ch不定积分的概念和性质实用.pptx

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1、21 二月 2023微分学积分学-两个相反的问题第1页/共15页21 二月 2023一、原函数（反导数）的定义一、原函数（反导数）的定义定义定义1 1 设 定义在区间I上,若存在函数 ,有5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质则称 是已知函数 在该区间I上的一个原函数（反导数）。例 设(x)=cos x,则F(x)=sinx,sinx1,sinx+C.1.原函数存在的条件?2.原函数的个数?3.不同的原函数之间的关系?问题:第2页/共15页21 二月 2023定理定理1 1 若函数(x)在区间I上连续,则(x)在区间I上的原函数一定存在.(证明略)定理定理2 2 设F(x)是

2、函数(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数(x)的原函数。证证 因证证由拉格朗日中值定理得推论知定理定理3 3 设F(x)和G(x)都是函数(x)的原函数,则 F(x)G(x)C(常数)第3页/共15页21 二月 2023注注:当当C为任意常数时为任意常数时,F(x)是是(x)的一个原函数的一个原函数,则表达则表达式式 F(x)+C 可表示可表示(x)的任意一个原函数的任意一个原函数,即：即：(x)的全的全体原函数所组成的集合，体原函数所组成的集合，就是就是函数族函数族:第4页/共15页21 二月 2023结论结论:若F(x)是函数(x)的一个原函数,则其中 称为积

3、分号,(x)称为被积函数,x称为积分变量,(x)d x 称为被积表达式。“”“”亦由莱布尼兹所创，它是德语中亦由莱布尼兹所创，它是德语中“总和总和”SummeSumme的第一个字母的第一个字母s s的伸长。的伸长。定义定义2 2 函数函数(x x)的全体原函数称为的全体原函数称为(x x)的不定积分的不定积分。二、不定积分的定二、不定积分的定义义C为任意常数,并称C为积分常数。记为记为第5页/共15页21 二月 2023例例1 1 求下列不定积分第6页/共15页21 二月 2023例2 已知 的一个原函数是 ,求常数求常数k.k.（1 1）求不定积分就是被积函数的一个原函数求不定积分就是被积函

4、数的一个原函数.（2 2）不定积分是全体原函数的一般表达式不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不最后结果中不要忘记积分常数要忘记积分常数C.C.（3 3）求不定积分的方法称为求不定积分的方法称为积分法积分法.说明：第7页/共15页21 二月 2023例3 F(x)是f(x)的一个原函数，满足证证 由 知(a,b为常数且a0).第8页/共15页21 二月 2023 y=F(x)函数(x)的一个原函数,称 y=F(x)的图形是(x)的一条积分曲线;而 是是(x x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式,所以它对应的图所以它对应的图形是一族积分曲线称它为形是一族积分曲线称它为积分曲线族积分曲

5、线族,其特点是其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x)沿y轴平行移动|c|个单位而得到.(如图)当c0时,向上移动;当c0时,向下移动.oxyxy=F(x)|c|三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义第9页/共15页21 二月 2023oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为(x).从而相应点的切线相互平行.注注 :当需要从积分曲线族中求出过点 的一条积分曲线时,则只须把 代入y=F(x)+C中解出C即可.第10页/共15页21 二月 2023例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点 求此曲线方程。解 设所求曲线为 y=(x),则故所求曲线为 y=ln|x|+2第11页/共15页21 二月 2023性质性质1 1 四、不定积分的性质四、不定积分的性质证明：注注:微分运算与积分运算是互逆的微分运算与积分运算是互逆的.证明：乘积关系第12页/共15页21 二月 2023即 性质3 3的推广 性质性质2 2 性质性质3 3 证证 是(x)g(x)的原函数.第13页/共15页21 二月 2023例5 已知 ,求函数(x).解第14页/共15页21 二月 2023感谢您的欣赏！第15页/共15页