chapter多元函数微分学小结.pptx

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1、第一部分第一部分:内容小结内容小结 一、极限，连续，偏导数，全微分一、极限，连续，偏导数，全微分 1.二元函数的定义二元函数的定义2.二元函数的极限二元函数的极限 3.二元函数的连续性二元函数的连续性(1)定义定义 (2)性质性质 连续函数的和差积商是连续函数连续函数的和差积商是连续函数.连续函数的复合函数是连续函数连续函数的复合函数是连续函数.一切多元初等函数在其定义区域内连续一切多元初等函数在其定义区域内连续.第1页/共52页(3)闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理最大最小值定理介值定理介值定理 4.偏导数偏导数(1)一阶偏导数一阶偏导数 定义定义:计算方法计算方

2、法:求偏导时求偏导时,只须对所讨论的变量只须对所讨论的变量求导求导,而把其余的变量看作常数而把其余的变量看作常数.第2页/共52页几何意义几何意义:(2)高阶偏导数高阶偏导数 第3页/共52页5.全微分全微分 6.极限存在、连续、可偏导、可微分的关系极限存在、连续、可偏导、可微分的关系 函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第4页/共52页二、微分法二、微分法1、全导数公式、全导数公式2、偏导数公式、偏导数公式第5页/共52页3、一阶全微分形式不变性、一阶全微分形式不变性4、隐函数的微分法、隐函数的微分法第6页/共52页(3)方程组情形方程组情形 确定了两个一元函

3、数确定了两个一元函数.确定了两个二元函数确定了两个二元函数.确定了一个以确定了一个以u,v为中间变量为中间变量x,y为自变量的二元函数为自变量的二元函数.第7页/共52页三、微分学的应用三、微分学的应用1.几何上的应用几何上的应用 第8页/共52页切向量为切向量为:第9页/共52页第10页/共52页2.方向导数与梯度方向导数与梯度 第11页/共52页3.极值极值(1)无条件极值无条件极值 极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件第12页/共52页第13页/共52页(2)条件极值条件极值 降元法（化为无条件极值）降元法（化为无条件极值）升元法（升元法（Lagran

4、ge乘数法）乘数法）解出解出(x,y)即为可能极值点即为可能极值点.判断是否为极值点通判断是否为极值点通常由实际问题来定常由实际问题来定.第14页/共52页(3)最大最小值最大最小值 1)闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值:将函数将函数 f(x,y)在在D内的所有驻点处的函数值与在内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值大值，最小的就是最小值.2)实际问题则根据问题的实际意义来判断实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，

5、则该驻点必为存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点所求的最值点.第15页/共52页第二部分第二部分:题型小结题型小结一、二元函数的定义域，函数值，极限一、二元函数的定义域，函数值，极限1、求定义域与函数关系、求定义域与函数关系Solution.所求定义域为所求定义域为第16页/共52页Solution.2、求二元函数极限常用的方法、求二元函数极限常用的方法(1)用定义用定义;(2)利用极限性质利用极限性质计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法一些法则与方法.对于未定型，不再有对于未定型，不再有LHospital法则，

6、须化成确定型法则，须化成确定型.第17页/共52页Solution.由夹逼准则得，由夹逼准则得，第18页/共52页Solution.第19页/共52页3.确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 一般选择下列极限方式：一般选择下列极限方式：第20页/共52页Solution.其值随着其值随着k的不同而改变的不同而改变.故所求极限不存在故所求极限不存在.第21页/共52页二、连续、可偏导、可微的讨论二、连续、可偏导、可微的讨论Solution.故函数连续故函数连续.第22页/共52页故偏导数存在故偏导数存在.第23页/共52页三、偏导数的计算三、偏导数的计算Solution.Solution.第

7、24页/共52页Solution.Solution.第25页/共52页Solution.Solution.第26页/共52页Solution.注意注意第27页/共52页Solution.注意注意第28页/共52页法法1:法法2:第29页/共52页法法1:法法2:两边对两边对x,y求偏导求偏导,并得到对并得到对x,y的二阶混合偏导的二阶混合偏导.法法3:化成化成z关于关于x,y的显函数的显函数,再求偏导再求偏导.第30页/共52页Method1.第31页/共52页代入所证等式的左边即可得结论代入所证等式的左边即可得结论.第32页/共52页Method2.等式两边对等式两边对x求偏导得：求偏导得：

8、代入所证等式左边即可得结论成立代入所证等式左边即可得结论成立.第33页/共52页solution.第34页/共52页solution.第35页/共52页Solution.方程组两边对方程组两边对x求导得求导得第36页/共52页Solution.第37页/共52页Solution.第38页/共52页四、全微分的计算四、全微分的计算Solution.第39页/共52页五、微分学的应用题五、微分学的应用题Solution.第40页/共52页Solution.及法平面方程及法平面方程.第41页/共52页Solution.切平面方程切平面方程法线方程法线方程第42页/共52页Solution.依题意，切平面平行于已知平面，得依题意，切平面平行于已知平面，得第43页/共52页所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程第44页/共52页Solution.第45页/共52页第46页/共52页ex29.三个正数的倒数和为三个正数的倒数和为1，求使三个正数和为最小，求使三个正数和为最小 的三个正数的三个正数.Solution.第47页/共52页第48页/共52页Solution.第49页/共52页第50页/共52页四面体体积最小四面体体积最小.The end 第51页/共52页