ch复合函数的求导法则及应用.pptx

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1、一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则定理定理(链式法则链式法则)即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导.1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则1第1页/共37页证证*2第2页/共37页注注 2)多层复合的情形多层复合的情形 3第3页/共37页例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解4第4页/共37页1.在求复合函数导数时关键是搞清复合结构在求复合函数导数时关键是搞清复合结构,然后然后如同锁链一样如同锁链一样,需由表及里一层一层地需由表及里一层一层地求导求导,一直求到

2、最里面一直求到最里面,不能漏掉任何一层不能漏掉任何一层,否则导致错误否则导致错误.注注2.熟练掌握后应省去中间变量而直接写出求熟练掌握后应省去中间变量而直接写出求导结果导结果.5第5页/共37页例例2 计算导数计算导数解解6第6页/共37页例例3 解解7第7页/共37页(1)(1)导数运算的基本法则导数运算的基本法则2.初等函数的求导问题初等函数的求导问题8第8页/共37页(2)基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式至此至此,初等函数的求导问题均可以解决初等函数的求导问题均可以解决.9第9页/共37页例例410第10页/共37页例例5解解12第12页/共37页解解例例6注注 后面还可用隐

3、函数求导法来计算后面还可用隐函数求导法来计算.13第13页/共37页例例7 14第14页/共37页15第15页/共37页注注 1.从本例可见虽然求导可以有很多种方法，从本例可见虽然求导可以有很多种方法，但显然把但显然把 f(x)先予以恒等变换成简单函数先予以恒等变换成简单函数后再求导能简捷得多后再求导能简捷得多.2.在求导问题中常用的恒等变形，在求导问题中常用的恒等变形，所以在具所以在具体做体做题时题时，一定要先把求，一定要先把求导导的函数的函数审视审视一一遍遍予以予以简简化化，这这比盲目代公式做比盲目代公式做题题要方便要方便.3.在很多问题中恒等变形是有益的，应对在很多问题中恒等变形是有益的

4、，应对其有足够的重视其有足够的重视.16第16页/共37页二、隐函数的导数二、隐函数的导数显化显化1.显函数和隐函数显函数和隐函数2.隐函数求导的方法隐函数求导的方法（利用复合函数的求导法则）（利用复合函数的求导法则）17第17页/共37页例例8 利用隐函数求导法，求下列函数的导数利用隐函数求导法，求下列函数的导数解解18第18页/共37页解解19第19页/共37页注注20第20页/共37页例例9 解解即即 21第21页/共37页例例9 另解另解22第22页/共37页观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数

5、.-对数求导法对数求导法结构特点结构特点(适用范围适用范围):):3.对数求导法对数求导法23第23页/共37页例例10解解等式两边先取绝对值再取对数得等式两边先取绝对值再取对数得24第24页/共37页例例11解解等式两边取对数得等式两边取对数得25第25页/共37页三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数引例引例斜上抛物体运动斜上抛物体运动 前者物理意义清楚，后者几何意思明显，各有利弊前者物理意义清楚，后者几何意思明显，各有利弊.若参数方程若参数方程 确定确定x与与y间的函数关系间的函数关系,则称此函数则称此函数y=y(x)(或或x=x(y)为为参数方程所确参数方程所确定

6、的函数定的函数。26第26页/共37页例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?27第27页/共37页由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得28第28页/共37页例例12解解29第29页/共37页例例13解解30第30页/共37页31第31页/共37页四、由极坐标方程确定的函数的导数四、由极坐标方程确定的函数的导数（1）极坐标系）极坐标系Ox（2）极坐标）极坐标M（3）极坐标与直角坐标的互化）极坐标与直角坐标的互化（4）曲线的极坐标方程）曲线的极坐标方程32第32页/共37页解：解：极坐标方程确定的函数的导数极坐标方程确定的函

7、数的导数例例1433第33页/共37页导数的构造性定义导数的构造性定义运算法则运算法则(四则四则/反函数反函数/复复合合)其它的基本初等函其它的基本初等函数的求导公式数的求导公式所有初所有初等函数等函数(显式显式)的求导的求导问题问题1.初等函数的求导问题初等函数的求导问题求导法则小结求导法则小结 3)各法则使用时均需注意使用条件各法则使用时均需注意使用条件.2)必须熟记基本导数公式必须熟记基本导数公式(注意公式的特点注意公式的特点).注：注：1)求导运算是分析中最基本最重要的计算求导运算是分析中最基本最重要的计算,是全书的重点是全书的重点,而复合函数的求导是其中的难而复合函数的求导是其中的难

8、点点.4)复合求导的关键在于正确分解复合结构复合求导的关键在于正确分解复合结构.34第34页/共37页2.其他形式的初等函数的求导问题其他形式的初等函数的求导问题1)隐函数的导数隐函数的导数2)某些特殊的显函数对数求导法某些特殊的显函数对数求导法3)由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数4)由极坐标方程确定的函数的导数由极坐标方程确定的函数的导数(直接对方程两边求导直接对方程两边求导)(实质上是利用复合函数求导法实质上是利用复合函数求导法则则)(利用直角坐标与极坐标之间的关系转化为由利用直角坐标与极坐标之间的关系转化为由参数方程确定的函数求导问题参数方程确定的函数求导问题)(方程两边取对数方程两边取对数,然后按隐函数求导法则求导然后按隐函数求导法则求导)求导法则小结求导法则小结 35第35页/共37页解答解答例如例如 思考与练习思考与练习36第36页/共37页