定积分及其应用优秀PPT.ppt

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1、定积分及其应用定积分及其应用你现在浏览的是第一页，共67页Archimedes你现在浏览的是第二页，共67页第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、定积分问题的提出一、定积分问题的提出你现在浏览的是第三页，共67页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）你现在浏览的是第四页，共67页Aera=?公元前公元前二百二百多年前的阿多年前的

2、阿基米德就已基米德就已会用此法求会用此法求出许多不规出许多不规则图形的面则图形的面积积阿基米德阿基米德你现在浏览的是第五页，共67页观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放你现在浏览的是第六页，共67页曲边梯形如图所示：曲边梯形如图所示：（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替你现在浏览的是第二十二页，共67页（3）求和）求和（4）取极限）取极限曲边梯形面积为曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、分割、近似代替、近似代替、求和、求和、取极限取极限.你现在浏览

3、的是第二十三页，共67页实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度速度看作不变看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值精确值你现在浏览的是第二十四页，共67页（1）分割）分割（3）求和）求和（4）取极限）取极限（2）近似代替）近似代替你现在浏览的是第二十五页，共67页二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义你现在浏览的是第二十六页，共67页被被积积函函

4、数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分下限黎曼积分黎曼积分积分和你现在浏览的是第二十七页，共67页注意注意:你现在浏览的是第二十八页，共67页则则则当则当你现在浏览的是第二十九页，共67页例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解你现在浏览的是第三十页，共67页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义你现在浏览的是第三十一页，共67页前前前前你现在浏览的是第三十二页，共67页你现在浏览的是第三十三页，共67页定理定理1 1定理定理2 2定积分存在定理定积分存在定理(可积充分条件可积充分条件)你现在浏览的

5、是第三十四页，共67页三、定积分的性质三、定积分的性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小你现在浏览的是第三十五页，共67页证明证明（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1你现在浏览的是第三十六页，共67页证明证明性质性质2 2你现在浏览的是第三十七页，共67页补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性）则则性质

6、性质3 3你现在浏览的是第三十八页，共67页证明证明性质性质4 4性质性质5 5你现在浏览的是第三十九页，共67页性质性质5 5的推论：的推论：证明证明（1）（定积分不等式性质定积分不等式性质）你现在浏览的是第四十页，共67页证明证明说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：(绝对值不等式性质绝对值不等式性质)你现在浏览的是第四十一页，共67页解解令令于是于是你现在浏览的是第四十二页，共67页证明证明（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6你现在浏览的是第四十三页，共67页解解你现在浏览的是第四十四页，共67页解解你现在浏

7、览的是第四十五页，共67页证明证明由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的介值定理介值定理知知性质性质7 7（定积分中值定理定积分中值定理）积分中值公式你现在浏览的是第四十六页，共67页使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：你现在浏览的是第四十七页，共67页解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使你现在浏览的是第四十八页，共67页 小小 结结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变

8、）取极限取极限你现在浏览的是第五十一页，共67页3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小你现在浏览的是第五十二页，共67页证证你现在浏览的是第五十三页，共67页命题得证命题得证所以可积必有界所以可积必有界.你现在浏览的是第五十四页，共67页思考题思考题1、将和式极限：、将和式极限：2、表示成定积分、表示成定积分.你现在浏览的是第五十五页，共67页思考题解答思考题解答1、原式、原式你现在浏览的是第五十六页，共67页例例你现在浏览的是第五十七页，共67页证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得你现在浏览的是第五十八页，共67页极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得你现在浏览的是第五十九页，共67页故故你现在浏览的是第六十页，共67页练练 习习 题题你现在浏览的是第六十一页，共67页你现在浏览的是第六十二页，共67页练习题答案练习题答案你现在浏览的是第六十三页，共67页你现在浏览的是第六十四页，共67页你现在浏览的是第六十五页，共67页你现在浏览的是第六十六页，共67页练习题答案练习题答案你现在浏览的是第六十七页，共67页