D反常积分审敛法.pptx

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1、定理定理2.(比较审敛原理比较审敛原理)且对充,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:不失一般性,因此 单调递增有上界函数,第1页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,第2页/共21页定理定理3.(比较审敛法比较审敛法 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共21页例例1.判别反常积判别反常积分分解:的敛散性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分的敛散性.提示:当 x1 时,利用 可知原积分发散.第4页/共21页定理定理4.(极限审敛法极限审敛法1)机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当 x 充分大时,必有,即满足第5页/共21页当当机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取必有即注意:此极限的大小刻画了第6页/共21页例例2.判别反常积分判别反常积分的敛散性.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1,该积分收敛.例3.判别反常积分的敛散性.解:根据极限审敛法 1,该积分发散.第7页/共21页定理定理5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：则而第8页/共21页定义定义.设反常积设反常积分分机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定

3、理5知所给积分收敛(绝对收敛).第9页/共21页无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.第10页/共21页定理定理6.(比较审敛法比较审敛法 2)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.使对一切充分接近 a 的 x(x a).第11页/共21页定理定理7.(极限审敛法极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得

4、根据极限审敛法2,所给积分发散.第12页/共21页例例6.判定椭圆积判定椭圆积分分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性.解:由于 的敛根据极限审敛法 2,椭圆积分收敛.第13页/共21页类似定理类似定理5,有下列结有下列结论论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.判别反常积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而 据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分 第14页/共21页三、三、函函数数1.定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在内收敛.令第15页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述,第16页/共21页2.性质性质(1)递推公式机动

5、 目录 上页 下页 返回 结束 证:(分部积分)注意到:第17页/共21页(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:(3)余元公式:(证明略)第18页/共21页(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,第19页/共21页内容小结内容小结 1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习P263 题1(1),(2),(6),(7)P264 题5(1),(2)作业P263 1(3),(4),(5),(8)2;3第20页/共21页感谢您的欣赏！第21页/共21页