D99二元泰勒公式.pptx

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1、记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示第1页/共15页定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,称为其拉格朗日型余项.第2页/共15页证证:令令则 利用多元复合函数求导法则可得:第3页/共15页一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.第4页/共15页说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有第5页/共15页(2)当当 n=0 时时,得二元函数的拉格朗日中得二元函数的拉格朗日中值公式值公式:(3)若函数在区

2、域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 定理1第6页/共15页例例1.求函求函数数解:的三阶泰勒公式.因此,第7页/共15页其中第8页/共15页时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)第9页/共15页证证:由二元函数的泰勒公式由二元函数的泰勒公式,并注并注意意则有所以第10页/共15页其中其中 ,是当是当h 0,k 0 时的无时的无穷小量穷小量,于是(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此第11页/共15页从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则 时,有异号;同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,第12页/共15页+若若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则若 A0,则 B0,为零或非零第13页/共15页此时因此 作业P123 1,3,4,5第十节 不能断定(x0,y0)是否为极值点.第14页/共15页感谢您的欣赏！第15页/共15页