第十八章 隐函数定理及其应用.doc

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1、数学分析教案-1-第十八章第十八章 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用教学目的教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。教学重点难点教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。教学时数：教学时数：12 学时 1 1隐函数隐函数一隐函数概念：一隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.1.隐函数及其几何意义隐函数及其几何意义:以为例作介绍.2.2.隐函数的两个问题隐函数的两个问

2、题:隐函数的存在性;隐函数的解析性质.二二.隐函数存在条件的直观意义隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理隐函数定理:ThTh 1 1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件:函数在以为内点的某一区域D D上连续;(通常称这一条件为初始条件)数学分析教案-2-在D D内存在连续的偏导数;.则在点的某邻域()D D内,方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数,使得,时()且.函数在区间内连续.(证)四四.隐函数可微性定理隐函数可微性定理:ThTh 2 2设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件,又设在D D内存在且连续.则隐函数在区间内可导,且.(证)例例 1 1验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理

3、的条件,并求隐函数的导数.P149 例 1例例 2 2.其中为由方程所确定的隐函数.求.P150 例 2(仿)数学分析教案-3-例例 3 3(反函数存在性及其导数)设函数在点的某邻域内有连续的导函数,且,.用隐函数定理验证存在反函数,并求反函数的导数.P151 例 4五五.元隐函数元隐函数:P149 Th3例例 4 4.验证在点存在是的隐函数,并求偏导数.P150 例 3 隐函数组隐函数组一一隐函数组：隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二二.隐函数组定理隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手,对方程组*在一定条件下拟线性化,分析可解出和的条件,得

4、出以下定理.ThTh 1 1(隐函数组定理)P153 Th 4.例例 1 1P154 例 1.三.反函数组和坐标变换反函数组和坐标变换:1.1.反函数组存在定理反函数组存在定理:数学分析教案-4-ThTh 2 2(反函数组定理)P155 Th 52.2.坐标变换坐标变换:两个重要的坐标变换.例例 2 2,3 3P156157 例 2,3.3 3几何应用几何应用一一.平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线:设平面曲线方程为.有.切线方程为切线方程为,法线方程为法线方程为.例例 1 1求 DescartesDescartes 叶形线在点处的切线和法线.P159 例 1.二二.空间曲线的切线与法平

5、面空间曲线的切线与法平面:1.1.曲线由参数式给出曲线由参数式给出:.切线的方向数与方向余弦.切线方程为.法平面方程为.2.2.曲线由两面交线式给出曲线由两面交线式给出:设曲线的方程为数学分析教案-5-点在上.推导切线公式.1P209.切线方程为.法平面方程为.例例 2 2P161 例 2.三三.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线:设曲面的方程为,点在上.推导切面公式.1P211.切平面方程为.法定义域线方程为.例例 3 3P162 例 3.4 4条件极值条件极值一一.条件极值问题条件极值问题:先提出下例:例例要设计一个容积为的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.分别以、和

6、表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约束条件之下求函数的最小值.数学分析教案-6-条件极值问题的一般陈述.二二.条件极值点的必要条件条件极值点的必要条件:设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有.代入,就有,(以下、均表示相应偏导数在点的值.)即,亦即(,),).可见向量(,)与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(,)与向量,)线性相关,即存在实数,使(,)+,).亦即三、三、LagrangeLagrange乘数法乘数法:由上述讨论可见,函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.数学分析教案-7-倘引进所谓LagrangeLagrange函数,(称其中的实数为LagrangeLagrange乘数)则上述方程组即为方程组以三元函数,两个约束条件为例介绍LagrangeLagrange乘数法的一般情况.四、用四、用LagrangeLagrange乘数法解应用问题举例乘数法解应用问题举例:例例 1 1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积.P166例 1例例 2 2抛物面被平面截成一个椭圆.求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.P167 例 2例例 3 3求函数在条件下的极小值.并证明不等式,其中为任意正常数.168 例 3