中考数学专题复习：几何压轴题.pdf

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1、 中考数学专题复习：几何压轴题-作者:_ -日期:_ 2 几何压轴题 1在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到EDC(使EBC 180)，连接DA、EB，设直线EB 与AC交于点O.(1)如图，当AC=BC时，DA:EB 的值为 ；(2)如图，当AC=5，BC=4 时，求DA:EB 的值；(3)在(2)的条件下，若ACB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值.图 图 答案：1；1分（2）解：DEAB，CDECABACDCBCEC 由旋转图形的性质得，CDDCCEEC,ACCDBCCE DCEECD,EACDCEEACECD即DACEBC

2、EBC DAC.45BCACEBDA4 分（3）解：作BMAC于点M，则BM=BCsin60=23 E为BC中点，CE=21BC=2 CDE旋转时，点E在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动 CO随着ECB 的增大而增大，当EB 与C相切时，即CEB=90时ECB 最大，则CO最大 ODEBCADEOEDEBCADODMEBCADE 3（如图2）NMACEFB（如图3）MNEACFB（如图1)NMFAEBC（如图3）MNEACFB此时ECB=30，EC=21BC=2=CE 点E在AC上，即点E与点O重合CO=EC=2 又CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3 3321BMAOSOAB最小

3、8 分 2点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且090FBCABE(如图 1)，则MBN是 三角形(2)在ABE和BCF中，若BA=BE,BC=BF,且FBCABE，(如图 2)，则MBN是 三角形，且MBN .(3)若将(2)中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同 3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.答案：（1）等腰直角 1 分 （2）等腰 2 分 3 分 （3）结论仍然成立 4 分 证明：在ABFEB

4、C和中，BABEABFEBCBFBC 4 ABFEBC.AF=CE.AFB=ECB.5 分 M,N分别是AF、CE的中点,FM=CN.MFBNCB.BM=BN.MBF=NBC.6 分 MBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC=.7 分 3图 1 是边长分别为 4 3 和 3 的两个等边三角形纸片ABC和C D E 叠放在一起(C与C重合)(1)固定ABC，将C D E 绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结ADBE、(如图 2)此时线段BE与AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)设图 2 中CE的延长线交AB于F，并将图 2 中的CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒 1 个单位的速度

5、平移，平移后的CDE设为QRP(如图 3)设QRP移动(点PQ、在线段CF上)的时间为x秒，若QRP与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变 量x的取值范围；图 1 图 2 图 3 图 4(3)若固定图 1 中的C D E ，将ABC沿C E 方向平移，使顶点C落在C E 的中点处，再以点C为中心顺时针旋转一定角度，设3090ACC，边BC交DE 于点M，边AC交DC 于点N(如图 4)此时线段C N E M的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M的值；如果有变化，请你说明理由 答案：（1）BEAD.1 分 证明：如图 2，ABC与DCE都是等边三角

6、形，C D E 绕点C顺时针旋转 30得到CDE，CDE也是等边三角形，且230，BAMFBPCCCAN(C)DEEBADC(C)QBARCED 5 60ACBDCE,CACB CECD.2 分 130,330,23 .BCEACD，BEAD.3 分（2）如图 3，设PRRQ、分别与AC交于点OL、.CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒 1 个单位的速度平移x秒，平移后的CDE为PQR，CQx.由（1）可知60,30PQRPRQBCABCF ，30ACF，30CLQRLO.,90LQCQxROL.3QR,3RLx.在RtROL中，11(3)22ORRLx，3cos30(3)2OLRLx.213

7、(3)28ROLSRO OLx.4 分 过点R作RKPQ于点K.在RtRKQ中，3 3sin602RKRQ，19 324RPQSPQ RK.233 39 3848RPQROLySSxx.5 分 30,60BCFB，90BFC.当点P与点F重合时，3FQPQ，sin606CFBC，3CQ.此函数自变量x的取值范围是03x.6 分（3）C N E M的值不变.7 分 证明：如图 4，由题意知，54180 ，1204，在CME中，61204，6.654DE 图4NCCMAB321 图2 (C)CDABEOLK 图3 CRABQPF 6 又60CE，E MCC CN，E ME CC CC N 点C是C

8、 E 的中点，3C E ，32E CCC，3232E MC N，94C N E M 8 分 4 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置及数量关系(1)如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；(2)将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AC,以斜边 AB所在直线为 x轴,以斜边 AB上的高所在直线为 y轴,建立直角坐标系,若 OA2+OB2=17,且线段 OA、OB的长度是关于 x的一元二次方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两

9、个根.（1）求 C点的坐标；（2）以斜边 AB为直径作圆与 y轴交于另一点 E，求过 A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点 P，使ABP与ABC全等？若存A O 图 10 E B G x C y E 10 在，求出符合条件的 P点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）线段 OA、OB的长度是关于 x的一元二次方程 x2mx+2(m3)=0 的两个根，）（2)3(2)1(mOBOAmOBOA 又 OA2+OB2=17，（OA+OB）22OAOB=17.（3）把（1）（2）代入（3），得 m24(m3)=17.m24m5=0.，解得 m=-1 或 m=5

10、.又知 OA+OB=m0，m=1 应舍去.当 m=5时，得方程 x25x+4=0.解之，得 x=1或 x=4.BCAC,OBOA.OA=1，OB=4.在 RtABC中，ACB=90，COAB，OC2=OAOB=14=4.OC=2，C（0，2）.（2）OA=1，OB=4，C、E两点关于 x轴对称，A(1,0),B(4,0),E(0,2).设经过 A、B、E三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,则 1,20,31640,22.2.abcabcbcc a=解之 得 所求抛物线解析式为2132.22yxx 11（3）存在.点 E是抛物线与圆的交点，RtACBAEB.E（0，-2）符合条件.圆心

11、的坐标（32，0）在抛物线的对称轴上，这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.点 E关于抛物线对称轴的对称点 E也符合题意.可求得 E（3，-2）.抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。如图 8，PA切O于点 A，PBC 交O于点 B、C，若 PB、PC 的长是关于 x的方程0)2(82mxx的两根，且 BC=4，求:（1）m的值；（2）PA的长；解：由题意知：（1）PB+PC=8，BC=PCPB=2 PB=2，PC=6 PBPC=(m+2)=12 m=10 （2）PA2=PBPC=12 PA=32 已知双曲线xy3和直线2 kxy相交于点A（1x，1y）和点B

12、（2x，2y），且102221 xx,求k的值.A B C P O 图 8 A B C P O 图 8 12 24（10 分）一艘渔船在 A 处观测到东北方向有一小岛 C，已知小岛 C 周围 4.8 海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东 30方向航行 10 海里到达 B 处，在 B 处测得小岛 C 在北偏东 60方向，这时渔船改变航线向正东(即 BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？25.（10 分）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB为 6 米，最高点离地面的距离OC 为 5 米以最高点 O为坐标原点，抛物线的对称轴为 y轴，1 米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，

13、求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x的取值范围；（2）有一辆宽 2.8米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB的距离）能否通过此隧道？O2ABO1PDC 26.（10分）已知：如图，O1和O2相交于 A、B两点，动点 P 在O2上，且在1 外，直线 PA、PB分别交O1于 C、D.问：O1的弦 CD的长是否随点 P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定 CD最长和最短时 P 的位置，如果不发生变化，请你给出证明；O x y A B C 13 23解：由xykxy32,得032,232xkxkxx 21xx k2，21xx k3 故2221xx（21xx）2221

14、xx kk64210 02352 kk 11k或522k，又0124k即31k，舍去522k，故所求k值为 1.24解法一：过点 B 作 BMAH 于 M，BMAF.ABM=BAF=30.在BAM 中，AM=21AB=5，BM=35.过点 C 作 CNAH 于 N，交 BD 于 K.在 RtBCK 中，CBK=90-60=30 设 CK=x，则 BK=x3 在 RtACN 中，CAN=90-45=45，AN=NC.AM+MN=CK+KN.又 NM=BK，BM=KN.xx3535.解得5x 5 海里4.8 海里，渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场危险.解法二：过点 C 作 CE

15、BD，垂足为 E，CEGBFA.BCE=GBC=60.ACE=FAC=45.BCA=BCE-ACE=60-45=15.又BAC=FAC-FAB=45-30=15，BCA=BAC.BC=AB=10.14 在 RtBCE 中，CE=BCcosBCE=BCcos60=1021=5(海里).5 海里4.8 海里，渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.25解：（1）设所求函数的解析式为2axy 由题意，得 函数图象经过点 B（3，-5），-5=9a 95a 所求的二次函数的解析式为295xy x的取值范围是33x （2）当车宽8.2米时，此时 CN为4.1米，对应454998.94

16、.1952y，EN长为4549，车高45451米，45454549，农用货车能够通过此隧道。26解：当点P 运动时，CD 的长保持不变，A、B是O1与O2的交点，弦 AB与点 P 的位置关系无关，连结 AD，ADP 在O1中所对的弦为 AB，所以ADP 为定值，P 在O2中所对的弦为 AB，所以P 为定值.CAD=ADP+P，CAD为定值，在O1中CAD对弦 CD，CD的长与点 P 的位置无关.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5 年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税 25 元，若两年后人均上缴农业税为 16 元，假设这两年降低的百分率相同.O x y A B C MNE 15（1）求降

17、低的百分率；（2）若小红家有 4 人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有 16000 农民，问该乡农民明年减少多少农业税.23、已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2-6x+k=0 的两个实数根，且 x12x22-x1-x2=115，（1）求 k 的值；（2）求 x12+x22+8 的值.五、（24 小题 10 分，25 小题 11 分，共 21 分）24、如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O，与斜边 AC 交于 D，E是 BC 边上的中点，连结 DE.(1)DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若 AD、AB 的长是方程

18、x210 x+24=0 的两个根，求直角边 BC 的长。25已知：如图 9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB2 10.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得 SABC =12 S梯形 ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.16 22、（1）设降低的百分率为x，依题意有 解得x10.220，x2 1.8(舍去)（2）小红全家少上缴税 2520420（元）（3）全乡少上缴税 16000252080000（元）答略 23、（1）k=-11；（2）66

19、 24、解：（1）DE 与半圆 O 相切.证明：连结 OD、BD AB 是半圆 O 的直径 BDA=BDC=90 在 RtBDC 中,E 是 BC 边上的中点 DE=BEEBDBDE OB=ODOBD=ODB 又ABCOBD+EBD90 ODB+EBD=90DE 与半圆 O 相切.（2）解：在 RtABC 中，BDAC RtABDRtABC ABAC=ADAB 即 AB2=ADAC AC=AB2AD AD、AB 的长是方程 x210 x+24=0 的两个根 解方程 x210 x+24=0 得：x1=4 x2=6 ADAC,以斜边 AB所在直线为 x轴,以斜边 AB上的高所在直线为 y轴,建立直

20、角坐标系,若 OA2+OB2=17,且线段 OA、OB的长度是关于 x的一元二次方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两个根.（1）求 C点的坐标；（2）以斜边 AB为直径作圆与 y轴交于另一点 E，求过 A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点 P，使ABP与ABC全等？若存在，求出符合条件的 P点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）线段 OA、OB的长度是关于 x的一元二次方程 x2mx+2(m3)=0 的两个根，）（2)3(2)1(mOBOAmOBOA 又 OA2+OB2=17，（OA+OB）22OAOB=17.（3）把（1）（2）代入（3），得

21、 m24(m3)=17.m24m5=0.，解得 m=-1 或 m=5.又知 OA+OB=m0，m=1 应舍去.当 m=5时，得方程 x25x+4=0.解之，得 x=1或 x=4.BCAC,OBOA.OA=1，OB=4.A O 图 10 E B G x C y E 25 在 RtABC中，ACB=90，COAB，OC2=OAOB=14=4.OC=2，C（0，2）.（2）OA=1，OB=4，C、E两点关于 x轴对称，A(1,0),B(4,0),E(0,2).设经过 A、B、E三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,则 1,20,31640,22.2.abcabcbcc a=解之 得 所求抛物

22、线解析式为2132.22yxx（3）存在.点 E是抛物线与圆的交点，RtACBAEB.E（0，-2）符合条件.圆心的坐标（32，0）在抛物线的对称轴上，这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.点 E关于抛物线对称轴的对称点 E也符合题意.可求得 E（3，-2）.抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。如图 8，PA切O于点 A，PBC 交O于点 B、C，若 PB、PC 的长是关于 x的方程0)2(82mxx的两根，且 BC=4，求:（1）m的值；（2）PA的长；A B C P O 图 8 26 解：由题意知：（1）PB+PC=8，BC=PCPB=2 PB=2，PC

23、=6 PBPC=(m+2)=12 m=10 （2）PA2=PBPC=12 PA=32 已知双曲线xy3和直线2 kxy相交于点A（1x，1y）和点B（2x，2y），且102221 xx,求k的值.24（10 分）一艘渔船在 A 处观测到东北方向有一小岛 C，已知小岛 C 周围 4.8 海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东 30方向航行 10 海里到达 B 处，在 B 处测得小岛 C 在北偏东 60方向，这时渔船改变航线向正东(即 BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？25.（10 分）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB为 6 米，最高点离地面的距离OC 为 5 米以最高

24、点 O为坐标原点，抛物线的对称轴为 y轴，1 米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x的取值范围；（2）有一辆宽 2.8米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB的距离）能否通过此隧道？A B C P O 图 8 O x y A B C 27 O2ABO1PDC 26.（10分）已知：如图，O1和O2相交于 A、B两点，动点 P 在O2上，且在1 外，直线 PA、PB分别交O1于 C、D.问：O1的弦 CD的长是否随点 P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定 CD最长和最短时 P 的位置，如果不发生变化，请你给出证明；23解：

25、由xykxy32,得032,232xkxkxx 21xx k2，21xx k3 故2221xx（21xx）2221xx kk64210 02352 kk 11k或522k，又0124k即31k，舍去522k，故所求k值为 1.24解法一：过点 B 作 BMAH 于 M，BMAF.ABM=BAF=30.在BAM 中，AM=21AB=5，BM=35.过点 C 作 CNAH 于 N，交 BD 于 K.在 RtBCK 中，CBK=90-60=30 设 CK=x，则 BK=x3 在 RtACN 中，CAN=90-45=45，28 AN=NC.AM+MN=CK+KN.又 NM=BK，BM=KN.xx353

26、5.解得5x 5 海里4.8 海里，渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场危险.解法二：过点 C 作 CEBD，垂足为 E，CEGBFA.BCE=GBC=60.ACE=FAC=45.BCA=BCE-ACE=60-45=15.又BAC=FAC-FAB=45-30=15，BCA=BAC.BC=AB=10.在 RtBCE 中，CE=BCcosBCE=BCcos60=1021=5(海里).5 海里4.8 海里，渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.25解：（1）设所求函数的解析式为2axy 由题意，得 函数图象经过点 B（3，-5），-5=9a 95a 所求的二次函

27、数的解析式为295xy x的取值范围是33x （2）当车宽8.2米时，此时 CN为4.1米，对应454998.94.1952y，EN长为4549，车高45451米，45454549，农用货车能够通过此隧道。O x y A B C MNE 29 26解：当点 P 运动时，CD 的长保持不变，A、B是O1与O2的交点，弦 AB与点 P 的位置关系无关，连结 AD，ADP 在O1中所对的弦为 AB，所以ADP 为定值，P 在O2中所对的弦为 AB，所以P 为定值.CAD=ADP+P，CAD为定值，在O1中CAD对弦 CD，CD的长与点 P 的位置无关.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5 年内免

28、去农业税.某乡今年人均上缴农业税 25 元，若两年后人均上缴农业税为 16 元，假设这两年降低的百分率相同.（1）求降低的百分率；（2）若小红家有 4 人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有 16000 农民，问该乡农民明年减少多少农业税.23、已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2-6x+k=0 的两个实数根，且 x12x22-x1-x2=115，（1）求 k 的值；（2）求 x12+x22+8 的值.五、（24 小题 10 分，25 小题 11 分，共 21 分）24、如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O，与斜边 AC 交于 D，E是 BC 边上的中点，连

29、结 DE.(3)DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(4)若 AD、AB 的长是方程 x210 x+24=0 的两个根，求直角边 BC 的长。30 25已知：如图 9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB2 10.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得 SABC =12 S梯形 ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.22、（1）设降低的百分率为x，依题意有 解得x10.220，x2 1.8(舍去)（2）小红全家少上缴税 2520420（元）（3）全乡少上缴税 16000252080000（元）答略 23、（1）k=-11；（2）66 24、解：（1）DE 与半圆 O 相切.证明：连结 OD、BD AB 是半圆 O 的直径 BDA=BDC=90 在 RtBDC 中,E 是 BC 边上的中点 DE=BEEBDBDE OB=ODOBD=ODB 又ABCOBD+EBD90 225(1)16x