立体几何中的向量方法(三)----利用向量方法求距离.pdf

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1、 立体几何中的向量方法(三)利用向量方法求距离 知识点一 求两点间的距离 已知矩形 ABCD 中，AB4，AD3，沿对角线 AC 折叠，使面 ABC 与面 ADC 垂直，求 BD 间的距离 解 方法一 过 D 和 B 分别作 DEAC 于 E，BFAC 于 F，则由已知条件可知 AC5，DE345125，BF345125.AEAD2AC95CF，EF529575，DBDEEFFB.|DB|2(DEB1EFB)2DE2EF 2FB22DEEF2DEFB2EFFB.面 ADC面 ABC，而 DEAC，DE面 ABC，DEBF,DE FB,|DB|2DE2B1E2FB2144254925144253

2、3725，|DB|3375.故 B、D 间距离是3375.方法二 同方法一 过 E 作 FB 的平行线 EP，以 E 为坐标原点，以 EP，EC，ED 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图 则由方法一知 DEFB125，EF75，D0，0，125，B125，75，0，BD125，75，125，|BD|125275212523375.【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2aa通过向量运算去求|a|.(2)建立空 间 坐 标 系，利 用 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式d x1x22y1y22z1z22求解 如图所示，正方形

3、ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2)(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的长最小 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)CMBNa(0a 2)，且四边形 ABCD、ABEF 为正方形，M(22a,0,122a)，N(22a，22a,0)，|MN(0，22a，22a1)，|MN|a2 2a1.(2)由(1)知 MNa22212，所以，当 a22时，MN22.即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时，MN 的长最小

4、，最小值为22.知识点二 求异面直线间的距离 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1上异于 C、C1的一点，EAEB1，已知 AB 2，BB12，BC1，BCC13，求异面直线 AB 与 EB1的距离 解.以 B 为原点，BA、BA所在直线分别为 y、z 轴，如图建立空间直角坐标系 由于 BC1，BB12，AB 2，BCC13，在三棱柱 ABCA1B1C1中有 B(0,0,0)，A(0,0，2)，B1(0,2,0)，设 E(3,02a)，由 EAEB1，得EA1EB=0，即32，a，2 32，2a，0 0，得a12a320，即 a12或 a32(舍去

5、)，故 E32，12，0.设n为异面直线 AB 与 EB1公垂线的方向向量，由题意可设n(x，y,0)，则有 n1EB=0.易得n(3，1,0)，两异面直线的距离 dBE nn 32，12，0 3，1，0311.【反思感悟】求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，M、N 分别为 DC、BB1的中点，求异面直线 MN 与 A1B 的距离 解 以 A 为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(0,0,2)，B(0,

6、4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)|MN(3,2,1)，1A B(0,4，2)设 MN、A1B 公垂线的方向向量为 n(x，y，z)，则10,0,n MNn A B 即 3x2yz04y2z0.令 y1，则 z2，x43，即n43，1，2，|n|613.1MA(3，2,2)在n上的射影的长度为 d1MA nn,故异面直线 MN 与 A1B 的距离为6 6161.知识点三 求点到平面的距离 在三棱锥 BACD 中，平面 ABD平面ACD，若棱长 ACCDADAB1，且BAD30，求点 D 到平面 ABC 的距离 解 如图所示，以 AD 的中点 O 为原点，以 OD、OC 所在直线为 x

7、 轴、y 轴，过 O 作 OM面ACD 交 AB 于 M，以直线 OM 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 A12，0，0，B312，0，12，C0，32，0，D12，0，0，AC=12，32，0，AB32，0，12，DC12，32，0，设n(x，y，z)为平面 ABC 的一个法向量，则310,22130,22ABxzACxynn，y33x，z 3x，可取n(3，1,3)，代入 dDC nn，得 d3232133913，即点 D 到平面 ABC 的距离是3913.【反思感悟】利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可 正方体 ABCDA1B1

8、C1D1的棱长为 4，M、N、E、F 分别为 A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面 AMN 平面与 EFBD 间的距离.解 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而EF(2,2,0)，MN(2,2,0)，AM(2,0,4)，BF(2,0,4)，EFMN，AMBF，EFMN，AMBF，平面 AMN平面 EFBD.设n(x，y，z)是平面 AMN 的法向量，从而220,240,MNxyAMxz nn 解得 x2zy2z.取 z1，得n(2，2,1)，

9、由于AB在n上的投影为n ABn844183.两平行平面间的距离 dn ABn83.课堂小结：1求空间中两点 A，B 的距离时，当不好建系时利用|AB|AB|x1x22y1y22z1z22来求 2两异面直线距离的求法如图(1)，n为 l1与 l2的公垂线 AB 的方向向量，d|AB|CDn|n|.3 点 B 到平面的距离：|BO|=AB nn.(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题 1.若 O 为坐标原点，OA=（1，1，2），OB=（3，2，8），OC=（0，1，0），则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为（）B2 14 答案 D 解析 由题意OP(1t)O

10、A12(OAOB)(2，32，3)，PCOCOP(1t)OA(2，12，3)，PC|PC|4149532.2 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A12 答案 B 解析 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则有 D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因 O 为 A1C1的中点，所以 O（12，12,1），1C O=（12，12，0），设平面 ABC1D1的法向量为 n=（x,y,z），

11、则有10,0,n ADn AB 即0,0,xzy 则 n=（1，0，1），O 到平面 ABC1D1的距离为：1C O ndn,.3在直角坐标系中，设A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标平面折成 120的二面角后，则A、B两点间的距离为()A2 11 D3 11 答案 A 解析 ABAEEFFB AB2AE2EF2FB22AEEF2AEFB2EFFB 92542321244.|AB|2 11.4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()答案 B 解析 如图所示，BA=（2，0，0），BE=（1，0，2），cos=BA BEBA BE

12、22 555，sin 1cos2255，A到直线BE的距离d|*6OC|sin22554 55.二、填空题 5已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_ 答案 49 1717 解析 设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则0,0,n ABn AC 即(x，y，z)(2，2，1)0，(x，y，z)(4，0，6)0.n32，1，1，又AD=（7，7，7）.点 D 到平面 ABC 的距离 d=AD nn 49 1717.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是_ 答案 2

13、63 解析 如图所示建立空间直角坐标系,设 n 为异面直线 D1E 与 BC1 公垂线的方向向量,并设 n=(x,y,z),则有110,0,n BCn D E 易求得 n=（1，2，1），d=11D C nn|(0，2，0)(1，2，1)|141462 63.7在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为_ 答案 33a 解析 以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)设n(x，y，z)为平面A1BD的法向量，则有10,0,n DAn DB，即(x，

14、y，z)(a，0，a)0，(x，y，z)(a，a，0)0.xz0，xy0，令x1，n(1，1，1)点A到平面A1BD的距离 dDA nna333a.三、解答题 8如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设F(0,0，z)四边形 AEC1F 为平行四边形，由1AFEC 得（-2，0，z）=（-2，0，2），z=2.F（0，0，2

15、）.BF=（-2，-4，2）.于是|BF|=2 6（2）设 n1为平面 AEC1F 的一个法向量，显然 n1不垂直于平面 ADF，故可设 n1=（x，y，1），由0,0,n AEn AF 得 0410,2020,xyxy 即410,220,yx 1,1,4xy n1=（1,14,1）.又1CC=(0,0,3),设1CC与n1的夹角为,则 cos=1111CC nCC n 34 3313331116 C 到平面 AEC1F 的距离为 d=|1CC|cos=34 33334 3311 9已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4，E、F 分别为棱AB、BC 的中点

16、(1)求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离(1)证明 建立如右图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(2 2，2 2，0)，E(2 2，2，0)，F(2，2 2，0)，D1(0,0,4)，B1(2 2，2 2，4)EF(2，2，0)，DB(2 2，2 2，0)，1DD(0,0,4)，EFDB0.EFDB，EFDD1，DD1BDD，EF平面 BDD1B1.又 EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1.（2）解由（1）知11D B=2 2,2 2,0 EF=2,2,0，1B E=0,2,4,设平面 B1EF 的法向量为n,且n=(x

17、,y,z)，则nEF,n1B E，即nEF=（x，y，z）2,2,0 2x 2y0，n1B E(x，y，z)(0，2，4)2y4z0.令 x1，则 y1，z24，n1，1，24.D1到平面 B1EF 的距离 11D B ndn|2 22 2|121224216 1717 10直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为 3，底面是边长为 4 且DAB60的菱形，ACBDO，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点(1)求二面角O1BCD的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离 解(1)OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系，底面 ABCD 是边长为 4，DAB

18、=60的菱形，OA=23，OB=2，则 A(23,0,0)，B(0,2,0)，C(23,0,0)，O1(0,0,3)设平面 O1BC 的法向量为n1=（x,y,z），则n11O B，n11O C,2y3z02 3x3z0，若z2，则x 3，y3，n1(3，3,2)，而平面AC的法向量n2(0,0,3)cosn1，n2n1n2|n1|n2|63412，设O1BCD的平面角为，cos12，60.故二面角O1BCD为 60.(2)设点E到平面O1BC的距离为d，E 是 O1A 的中点，1EO(3，0，32)，则 d=111EO nn|(3，0，32)(3，3，2)|(3)2322232 点E到面O1BC的距离等于32.