函数奇偶性对称性与周期性有关结论.pdf

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1、函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题;一、几个重要的结论 一函数)(xfy 图象本身的对称性自身对称 2、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称;3、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称;4、)()(xbfxaf)(xfy 的图象关于直线22)()(baxbxax对称;5、bxafxaf2)()()(xfy 的图象关于点),(ba对称;6、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称;7、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),

2、(ba对称;8、cxbfxaf2)()()(xfy 的图象关于点),2(cba 对称;二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 1、函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0 x对称;2、函数)(xfy 与)2(xafy图象关于直线ax 对称 3、函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称 4、函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线0)()(xbxa对称 即直线2abx对称 5、函数)(xfy 与)(xfy图象关于 X 轴对称;6、函数)(xfy 与)(xfy图象关于 Y 轴对称;7、函数)(xfy 与)(xfy图象关于原点对称 三函数的周期性 1、)(

3、)(xfTxf )(xfy 的周期为T 2、)()(bxbfaxf )(ba )(xfy 的周期为abT 3、)()(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 4、)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 5、)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 6、)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT3 7、1)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT3 8、)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT4 9、)()()2(xfaxfaxf )(xfy 的周期为aT6 10、)(xfy 有两条对称轴ax 和bx)ba )(xfy 周期)(2abT 11、

4、)(xfy 有两个对称中心)0,(a和)0,(b )(xfy 周期)(2abT 12、)(xfy 有一条对称轴ax 和一个对称中心)0,(b)(xfy 周期)(4abT 13、奇函数)(xfy 满足)()(xafxaf )(xfy 周期aT4;14、偶函数)(xfy 满足)()(xafxaf )(xfy 周期aT2;二、例题讲授 例题 1 1已知)(xfy 是定义在实数集R上奇函数,0 x时,12)(xxf,求)(xfy 的解析式;2 已知)(xfy 满足)1()1(xfxf,1x时,12)(xxf,求)(xfy 的解析式;3 已 知 奇 函 数)(xfy 满 足)1()1(xfxf,02x时

5、,12)(xxf,求)18(log2f 4 已知)(xfy 满足0)1()1(xfxf,1x时,12)(xxf,求)(xfy 的解析式;例题 2 1 已知2sin)(xbaxxf,1)2(f 求)2(f 2 已知偶函数)(xfy 定义域为 R,且恒满足)2()2(xfxf,若方程0)(xf在 4,0上只有三个实根,且一个根是 4,求方程在区间10,8中的根 3 已知122)(xxxf,求)6()5()4()5(ffff的值 例题 3 设函数)(xfy 的定义域为 R,若)(xfy 的图象关于1x对称,则函数满足 A、)1()(xfxf B、0)2()(xfxf C、)1()1(xfxf D、)

6、1()1(xfxf 函数)1(xfy与函数)1(xfy的图象关于关于_对称 函数)1(xfy和函数)1(xfy的图象关于关于_对称 设函数)(xfy 的定义域为 R,且满足)1()1(xfxf,则)1(xfy的图象关于_对称;)2(xfy 的图象关于_对称;设函数)(xfy 的定义域为 R,则下列命题中,若)(xfy 是偶函数,则)2(xfy图象关于 y 轴对称；若)2(xfy是偶函数,则)(xfy 图象关于直线2x对称；若)2()2(xfxf,则函数)(xfy 图象关于直线2x对称；)2(xfy与)2(xfy图象关于直线2x对称,其中正确命题序号为_;例题 2、设 fx 是定义在 R 上的偶

7、函数,其图像关于直线 x=1 对称,对任意 x1,x20,21,都有fx1+x2=fx1fx2,且 f1=a0;1 求 f21 及 f41 2 证明 fx 是周期函数 3 记 an=f2n+n21,求证：an=an21 三、自我检测 1、如果函数 fxx2bxc 对任意实数 t 都有 f2tf2t,那么 2f1f4 1f2f4 2f4f1 4f2f1 3、如果奇函数 fx 在区间 3,7 上是增函数且最小值为 5,那么 fx 在区间7,3 上是 A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 4、Fx1122xfx,x0 是偶函数,且 fx 不恒等于 0,则 fx 5、A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 6、设 fx 是,上的奇函数,fx2fx,当 0 x1,fxx,则 f A.0.5 B.0.5 D.7、设 fx 是定义在,+上的函数,对一切 xR 均有 fx+fx+3=0,且 当1x1 时,fx=2x3,求当 2x4 时,fx 的解析式;8、定义在上的偶函数满足且当时,.求的单调区间 提示：)4()2()(42xfxfxf,f21=fnn21=fn21+n1n21=fn21fn1