全国版2020年中考数学热点专题冲刺4动态探究问题.pdf

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1、.热点专题热点专题 动态探究问题动态探究问题2019 的中考中的动态问题是失分点,总结如下：常见的动点问题分类：求最值问题,动点构成特殊图形问题.一、求最值问题一、求最值问题初中利用轴对称性质实现搬点移线求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：1两点之间线段最短；2三角形两边之和大于第三边；3垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题,两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性.分析图形变化过程

2、中变量和其他量之间的关系,或是找到变化中的不变量,建立方程或函数关系解决.小结小结在变化中找到不变的性质是解决数学动点探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向考向 1 1动点与最值动点与最值1 如图,在 RtABO 中,OBA=90,A,点 C 在边 AB 上,且AC1=,点 D 为 OB 的中点,CB3点 P 为边 OA 上的动点,当点 P 在 OA 上移动时,使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为A55B2288C33D.答案C解析由题可知：A,D,C,点 D 关于 AO 的对称点 D,设 lDC：y=kx+b,将 D,C18888代入,可得 y=x+2,与

3、 y=x 联立,得,x=,y=,P故选 C433332.2019威海如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 在反比例函数y kk 0的图像上运动,且始终保持线x段AB 4 2的长度不变,M 为线段 AB 的中点,连接 OM.则线段 OM 的长度的最小值是用含 k 的代数式表示.yAMBOx答案2k 8解析过点 A 作 x 轴AC,过点 B 作 y 轴BD,垂足为 C,D,AC 与 BD 相交于点 F,连接 OF.当点 O、F、M 在同一直线上时 OM 最短.即 OM 垂直平分 AB设点A 坐标为a,a 4,则点 B 坐标为a 4,a,点 F 坐标为a,a.由题意可知AFB 为等腰直角三角形,AB

4、=4 2,AF=BF=4.点 A 在反比例函数 y=的图象上,a=k,解得 a=k 4 2.22在 RtOCF 中,OF=CF OC=2a=2(k 4 2)=2k 8 2 2,.OM=OFFM=2k 8 2 2 2 2=2k 8.yADOCMBx3 3 如图,在菱形 ABCD 中,连接 BD,AC 交于点 O,过点 O 作 OHBC 于点 H,以点 O 为圆心,OH 为半径的半圆交 AC 于点 M.1 求证:DC 是O 的切线;2 若 AC=4MC 且 AC=8,求图中阴影部分的面积;3 在的条件下,P 是线段 BD 上的一动点,当 PD 为何值时,PH+PM 的值最小,并求出最小值.解：1

5、过点 O 作 OGCD 于点 G,菱形 ABCD 中,AC 是对角线,AC 平分BCD,OHBC,OH=OG,OH 是OG 等于CD 是O 的半径,O 的半径,O 的切线.2AC=4MC,AC=8,OC=2MC=4,MC=OM=2,OH=OM=2,在 RtOHC 中,OH=2,OC=4,HC=OC2OH2=2 3,tanHOC=HOC=60,1S阴影=SOCHS扇形 OHM=CH OH26036022HCOH3,2=2 3.33 作点 M 关于 BD 的对称点 N,连接 HN 交 BD 于点 P,此时 PH+PM 的值最小.ON=OM=OH,MOH=60,MNH=30,MNH=HCM,HN=H

6、C=2 3,即 PH+PM 的最小值为2 3.在 RtNPO 中,OP=ONtan30=在 RtCOD 中,OD=OCtan30=2 3,34 3,PD=OP+OD=2 3.34 42019XX2019XX 如图,在半面直角坐标系xOy 中,矩形 ABCD 的边 AB=4,BC=6.若不改变矩形 ABCD 的形状和大小,当形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半上随之上下移动.当OAD=30时,求点 C 的坐标；设 AD 的中点为 M,连接 OM、MC,当四边形 OMCD 的面积为21时,求 OA 的长；2.当点 A 移动到某一位置时,点 C 到点

7、 O 的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时 cosOAD 的值.解：1 如图 1,过点 C 作 CEy 轴,垂足为 E.矩形 ABCD 中,CDAD,CDE+ADO=90,又OAD+ADO=90,CDE=OAD=30.在 RtCED 中,CE=1CD=2,DE=CD2CE24222 2 3;21AD=3.点 C 的坐标为.2在 RtOAD 中,OAD=30,OD=M 为 AD 的中点,DM=3,SDCM 6.又S四边形OMCD219,SODM,SOAD 9.22x2 y23622设 OA=x,OD=y,则1,x y 2xy,xy 92即(x y)0,x=y.将 x=y 代入x y 36得

8、x 18,解得x 3 2,OA 的长为3 2.3OC 的最大值为 8.理由如下：如图 2,2222.M 为 AD 的中点,OM=3,CM CD2 DM25.OCOM+CM=8,当 O、M、C 三点在同一直线时,OC 有最大值 8.连接 OC,则此时 OC 与 AD 的交点为 M,过点 O 作 ONAD,垂足为 N.CDM=ONM=90,CMD=OMN,CMDOMN,CDDMCM435,即ONMNOMONMN3912,ON,556.5ON2 AN26 5,5解得MN AN AM MN 在 RtOAN 中,OA cosOAD AN5.OA55 5 2019XX2019XX 如图如图,在等边在等边A

9、BC 中中,AB=6cm,动点 P 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速运动动点Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动当点P 到达点 B 时,点 P、Q 同时停止运动设运动时间为 ts过点 P 作 PEAC 于 E,连接 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE1 当 t 为何值时,BPQ 为直角三角形；2 是否存在某一时刻 t,使点 F 在ABC 的平分线上？若存在,求出 t 的值,若不存在,请说明理由；.3 求 DE 的长；4 取线段 BC 的中点 M,连接 PM,将BPM 沿直线 PM 翻折,得BPM,连接 AB,当 t 为何

10、值时,AB的值最小？并求出最小值解：1ABC 为等边三角形等边三角形,B=60=60,BPPQ,2BP=BQ 即 26t=6t,解得解得 t=2当 t 为 2时,BPQ 为直角三角形；2 存在作射线 BF,PEAC,AE=0.5t四边形 CQFE 是平行四边形,FQ=EC=60.5t,BF 平分ABC,FBQBQF=90BQ=2FQ,BQ=6t,6t=260.5t,解得 t=33 过点 P 作 PGCQ 交 AC 于点 G,则APG 是等边三角形BPPQ,EG=PGCQ,PGD=QCD,PDG=QDC,PG=PA=CG=t,PGDQCDGD=1AG211GCDE=AC=322.4 连接 AM,

11、ABC 为等边三角形等边三角形,点 M 是 BC 的中点,BM=3由勾股定理,得 AM=33由折叠,得 BM=3当 A、B、M 在同一直线上时,AB的值最小,此时 AB=333.t3AH2过点 B作 BHAP 于点 H,则 cos30=,即=,23 3 3AB解得 t=933t 为 933时,AB的值最小,最小值为 333AHPBMEBDCQF考向考向 2 2 动点与图形存在性问题动点与图形存在性问题1.1.2019XX 如图,已知直线 AB 与抛物线：y=ax+2x+c 相交于点 A-1,0 和点 B2,3 两点.1 求抛物线 C 函数解析式；2 若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一

12、动点,以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB,当平行四边形 MANB 的面积最大时,求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标；3 在抛物线 C 的对称轴上是否存在顶点F,使抛物线 C 上任意一点 P 到 F 的距离等于到直线 y=4的距离,若存在,求出定点 F 的坐标；若不存在,请说明理由.172.a 2+c=0a=1解：1 将 A-1,0 和 B2,3 代入抛物线解析式得,解得,4a+4+c=3c=3抛物线解析式为 y=-x+2x+3.2 过 M 作 MHy 轴,交 AB 于 H,2k+b=0k=1设直线 AB 为 y=kx+b,将 A,B 坐标代入得,解得,.2

13、k+b=3b=1直线 AB 的解析式为 y=x+1.设 M 为m,-m+2m+3,则 Hm,m+1MH=yM-YH=-=-m+m+2.SABM=SAMH+SBMH=2MHxB-xA=2=-2+3=-2+8.四边形 MANB 是以 MA、MB 为相邻的两边的平行四边形,ABMBAN.S四边形 MANB=2 SABM=-3+,2412222112323122727a=-30 且开口向下,当 m=2时,S四边形 MANB的最大值为4.此时,M 坐标为2,4.3 存在,理由如下：过 P 作直线 y=4的垂线,垂足为 T,171 15127.22抛物线为 y=-x+2x+3=-+4.抛物线的对称轴为直线

14、x=1,顶点坐标为1,4.当 P 为顶点,即 P1.4 时,设 F 点坐标为1,t,此时 PF=4-t,PT=4-4=4.P 到 F 的距离等于到直线 y=的距离,4-t=,即 t=.44417115171F 为1,设 P 点为a,-a+2a+3,由勾股定理,PF=+44152222152=a-4a+2a-5a+16.又PT=4-=a-4a+2a-5a+16.PF=PT,即 PF=PT.当 F 为 1,4时,抛物线 C 上任意一点 P 到 F 的距离等于到直线 y=的距离424313225217224313225221517.2.2.2019凉山州2019凉山州如图,抛物线 y=ax+bx+c

15、 的图象过点 A-1,0、B3,0、C0,3.1 求抛物线的解析式；2 在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PAC 的周长最小,若存在,请求出点 P的坐标及PAC 的周长；若不存在,请说明理由；3 在2 的条件下,在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M 不与 C 点重合,使得 SPAM=SPAC,若存在,请求出点 M 的坐标；若不存在,请说明理由.a b c 0a 12解：1 由题知9a 3b c 0,解得b 2,抛物线的解析式为y=-x+2x+3；c 3c 32 存在.连接 BC 交抛物线对称轴于点 P,此时PAC 的周长最小.设 BC:y=kx+3,则 3k+3=0,解得 k=-1,BC

16、:y=-x+3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x=1,当 x=1 时,y=-x+3=2,P 1,2.在 RtOAC 中,AC=1232=10；在 RtOBC 中,BC=3232=32.点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,PA=PB,PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB=AC+BC=10+32.综上,存在符合条件的点 P,其坐标为1,2,此时PAC 的周长为10+32；3 存在.由题知 AB=4,SPAC=SABC-SPAB=1143-42=2.22.设：AP:y=mx+n,则m n 0m 1,解得,AP:y=x+1.m n 2n 1过点 C 作 AP 的平行线交 x 轴上方

17、的抛物线于 M,易得 CM:y=x+3,由y x 3x1 0 x21解得,M1,4；2y1 3y2 4y x 2x 3设抛物线对称轴交 x 轴于点 E1,0,则 SPAC=122=2=SPAC过点 E 作 AP 的平行线交 x 轴上方的抛物线于 M,设 EM:y=x+t,则 1+t=0,21 171 17x x y x 11222t=-1,EM:y=x-1.由解得舍,2y x 2x 3y 1 17y 1 171222M1 171 17,.221 171 17,.22综上,存在符合条件的点 M,其坐标为1,4 或考向考向 3 3动点与函数图像问题动点与函数图像问题1 如图,点 P 是菱形 ABC

18、D边上的动点,它从点A 出发沿 ABCD路径匀速运动到点D,设PAD的面积为 y,P 点的运动时间为 x,则 y 关于 x 的函数图象大致为.答案A解析点 P 在整个运动过程中,PAD 的底边 AD 始终不变,故面积的变化取决于 AD 边上高线的变化,当点 P在 AB上运动时,高线均匀变大,故面积也均匀变大,当点 P在 BC上运动时,由于BCAD,平行线间距离处处相等,故高线不变,面积也不发生改变,当点 P 在 CD 上运动时,高线又会均匀变小,故面积也会均匀变小,故选A2 2019XX 如图,在直角三角形 ABC 中,C=90,AC=BC,E 是 AB 的中点,过点 E 作 AC 和 BC

19、的垂线,垂足分别为点 D 和点 F,四边形 CDEF 沿着 CA 方向匀速运动,点 C 与点 A 重合时停止运动,设运动时间为 t,运动过程中四边形 CDEF 与ABC 的重叠部分面积为 S,则 S 关于 t 的函数图象大致为BFCEDA答案C解析由题意知,四边形 CDEF 在运动过程中,与ABC 的重叠部分面积是由矩形到五边形,再到三角形,最后点 C 与点 A 重合时停止运动,呈现出的图象是曲线,故选 C3.2019XX 如图,正方形 ABCD 的边长为 2cm,动点 P,Q 同时从点 A 出发,在正方形的边上,分别按ADC,ABC 的方向,都以 1cm/s 的速度运动,到达点 C 运动终止

20、,连接 PQ,设运动时间为 xs,APQ 的面积为 ycm,则下列图象中能大致表示y 与 x 的函数关系的是2.答案A解析当 0 x2 时,正方形的边长为2cm,y=SAPQ=AQAP=x；22112当 2x4 时,y=SAPQ=S正方形 ABCDSCPQSABQSAPD,=22 4x 2x2 2x2=x+2x2222121112y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示,纵观各选项,只有 A 选项图象符合故选 A4 2019XX2019XX 如图,函数y k的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B 两点,点 M 是第一象x限内双曲线上的动点点M 在点 A 的左侧,直线 AM 分别

21、交 x 轴,y 轴于 C,D 两点,连接 BM 分别交 x 轴,y 轴于点 E,F现有以下四个结论：ODM 与OCA 的面积相等；若 BMAM 于点 M,则MBA=30；若 M 点的横坐标为 1,OAM 为等边三角形,则 k=23；若 MF=是2MB,则 MD=2MA其中正确的结论的序号5 答案答案 答案：解析设点 Am,Mn,则直线 AC 的解析式为 y=Cm+n,0,D0,SODM=n=x+,SOCA=m+n=,ODM 与OCA 的面积相等,故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称,O 是 AB 的中点.BMAM,OM=OA,k=mn,Am,n,Mn,m,AM=nm,OM=,AM 不一定等于 OM,.BAM 不一定是 60,MBA 不一定是 30故错误；M 点的横坐标为 1,可以假设 M1,k,OAM 为等边三角形,OA=OM=AM,1+k=m+22222,m=k.OM=AM,1m+m1,k=2+,故正确,=1+k,k 4k+1=0,k=2.如图,作 MKOD 交 OA 于 KOFMK,=,=,OA=OB,=,=,KMOD,=2,DM=2AM,故正确故答案为.