函数的单调性和奇偶性_例题和练习_高中数学.pdf

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1、函数的单调性和奇偶性 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数xxf1)(在(0，+)上的单调性.证明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)，令x=x2x10 则 x10，x20，01x，02x，021 xx，上式0，y=f(x2)f(x1)0 xxf1)(在(0，+)上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小(作差)3如何判断一个式子的符号(对差适当变形)举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0 x1x21

2、x1x20，0 x1x21 0 x1x21 故，即 f(x1)f(x2)0 x1x2时有 f(x1)f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间 2.判断下列函数的单调区间；(1)y=x2 3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图 f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)图象为 f(x)在上递增.举一反三：【变式 1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为(1，+)；(2)

3、定义域为，其中 u=2x 1 为增函数，在(，0)与(0，+)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(，0)(0，+)，单调增区间为：(，0)，单调减区间为(0，+).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3.已知函数 f(x)在(0，+)上是减函数，比较 f(a2a+1)与的大小

4、.解：又 f(x)在(0，+)上是减函数，则.4.求下列函数值域：(1)；1)x5，10；2)x(3，2)(2，1)；(2)y=x2 2x+3；1)x 1，1；2)x 2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2 个单位，再上移 2 个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，；2)；(2)画出草图 1)yf(1)，f(1)即2，6；2).举一反三：【变式 1】已知函数.(1)判断函数 f(x)的单调区间；(2)当x1，3时，求函数 f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是

5、利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数 f(x)在1，3上单调递增 x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=2 x=3 时 f(x)有最大值 x1，3时 f(x)的值域为.5.已知二次函数f(x)=x2(a 1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)对称轴是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需；(2)f(2)=22 2(a 1)+5=2a+11 又a2，2a 4 f(2)=2a+11 4+11=7 .类型四、判断函数的奇偶性 6.判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2 4|x|+3 (4

6、)f(x)=|x+3|x 3|(5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；(2)x 10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意xR，都有xR，且 f(x)=x2 4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2 4|x|+3 为偶函数；(4)xR，f(x)=|x+3|x 3|=|x 3|x+3|=f(x)，f(x)为奇函数；(5)，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=x|x|+x f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，f(x)为奇函数；(7)，f(x)为奇函数

7、.举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|x 1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(x)=|x+1|x 1|=(|x+1|x 1|)=f(x)f(x)为奇函数；(3)f(x)=(x)2+(x)+1=x2x+1 f(x)f(x)且 f(x)f(x)f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x0 则x0，f(x)=(x)2+2(x)1=x2 2x 1=(x2+2x+1)=f(x)任取x0，则x0 f(x)=(x)2+2(x)+1=x2 2x+1=(x2+2x 1)=f(x)x=0 时，f(0)=f(0

8、)xR 时，f(x)=f(x)f(x)为奇函数.举一反三：【变式 2】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=f(x)+g(x)=F(x)G(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知 f(x)=x5+ax3 bx 8，且 f(2)=10，求 f(2).解：法一：f(

9、2)=(2)5+(2)3a(2)b 8=32 8a+2b 8=40 8a+2b=10 8a 2b=50 f(2)=25+23a 2b 8=8a 2b+24=50+24=26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(2)=g(2)f(2)+8=f(2)8 f(2)=f(2)16=10 16=26.8.f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)=x2x，求当x0 时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：奇函数图象关于原点对称，x0 时，y=(x)2(x)即y=x2x又 f(0)=0，如图 9.设定义在 3，3上的偶函数 f(x)在0，3上是单调递增，当 f(a

10、 1)f(a)时，求a的取值范围.解：f(a 1)f(a)f(|a 1|)f(|a|)而|a 1|，|a|0，3 .类型六、综合问题 10.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间的图象与 f(x)的图象重合，设ab0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(b)f(a)g(a)g(b)；f(b)f(a)g(a)g(b)；f(a)f(b)g(b)g(a)；f(a)f(b)g(b)g(a).答案：.11.求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化

11、为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时 t 范围.解：(1)；(2)经观察知，；(3)令.12.已知函数 f(x)=x2 2ax+a2 1.(1)若函数 f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x 1，1时，求函数 f(x)的最小值 g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(xa)2 1 a0 或a2 (2)1当a 1 时，如图 1，g(a)=f(1)=a2+2a 2当 1a1 时，如图 2，g(a)=f(a)=1 3当a1 时，如图 3，g(a)=f(1)=a2 2a ，如图 13.已知函数 f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=

12、1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x 2)3.解：令x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x 2)3 可转化为：fx(x 2)f(8).14.判断函数上的单调性，并证明.证明：任取 0 x1x2，0 x1x2，x1x20，x1x20 (1)当时 0 x1x21，x1x2 10 f(x1)f(x2)0 即 f(x1)f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2(1，+)时，上是增函数.难点：x1x2 1 的符号的确定，如何分段.1

13、5.设a为实数，函数 f(x)=x2+|xa|+1，xR，试讨论 f(x)的奇偶性，并求 f(x)的最小值.解：当a=0 时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0 时，f(x)=x2+|xa|+1，为非奇非偶函数.(1)当xa时，1 且 2上单调递增，上的最小值为 f(a)=a2+1.(2)当xa时，1上单调递减，上的最小值为 f(a)=a2+1 2上的最小值为 综上：.学习成果测评 基础达标 一、选择题 1下面说法正确的选项()A函数的单调区间就是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇

14、函数的图象 2在区间上为增函数的是()A B C D 3已知函数为偶函数，则的值是()A.B.C.D.4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是()A B C D 5如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是()A增函数且最小值是 B增函数且最大值是 C减函数且最大值是 D减函数且最小值是 6设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是()A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.7下列函数中，在区间上是增函数的是()A B C D 8函数 f(x)是定义在 6，6上的偶函数，且在 6，0上是减函数，则()A.f(3)+f(4)0 B.f(3)f(2)0 C.f

15、(2)+f(5)0 D.f(4)f(1)0 二、填空题 1设奇函数的定义域为，若当时，的图象 如右图，则不等式的解是_.2函数的值域是_.3已知，则函数的值域是_.4若函数是偶函数，则的递减区间是_.5函数在 R 上为奇函数，且，则当，_.三、解答题 1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上 单调递减；(3)求的取值范围.3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数.当时，求函数的最大值和最小值；求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升 一、选择题 1下列判断正确的是()A函数是奇函数 B函数是偶函数 C函数是

16、非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数 2若函数在上是单调函数，则的取值范围是()A B C D 3函数的值域为()A B C D 4已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()A B C D 5下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若 函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间 为；(4)和表示相等函数.其中正确命题的个数是()A B C D 6定义在 R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则()A B C D 二、填空题 1函数的单调递减区间是_.2 已知定义在上的奇函数，当时，那么时，_.3若函数在上是奇函数，则的解析式为_.4奇函数在区间上是增函数

17、，在区间上的最大值为 8，最小值为 1，则_.5若函数在上是减函数，则的取值范围为_.三、解答题 1判断下列函数的奇偶性 (1)(2)2已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究 1已知函数，则的奇偶性依次 为()A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数 C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数 2若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的 大小关系是()A B C D 3已知，那么_.4若在区间上是增函数，则的取值范

18、围是_.5 已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6当时，求函数的最小值.7已知在区间内有一最大值，求的值.8已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析 基础达标 一、选择题 .奇次项系数为 .奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性 .在上递减，在上递减，在上递减 .二、填空题 1.奇函数关于原点对称，补足左边的图象 2.是的增函数，当时，3.该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大 4.5.三、解答题 1解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数

19、.2解：，则，3解：，显然是的增函数，4解：对称轴 (2)对称轴当或时，在上单调 或.能力提升 一、选择题 .选项 A 中的而有意义，非关于原点对称，选项 B 中的 而有意义，非关于原点对称，选项 D 中的函数仅为偶函数；.对称轴，则，或，得，或 .，是的减函数，当 .对称轴 .(1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象 可知，递增区间有和；(4)对应法则不同 .二、填空题 1.画出图象 2.设，则，3.即 4.在区间上也为递增函数，即 5.三、解答题 1解：(1)定义域为，则，为奇函数.(2)且既是奇函数又是偶函数.2证明：(1)设，则，而 函数是上的减函数;(2)由得 即，而 ，即函数是奇函数.3解：是偶函数，是奇函数，且 而，得，即，.4解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，当时，不存在；当时，当时，当时，.综合探究 .，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，则 当时，则 .，3.，4.设则，而 ，则 5.解：(1)令，则 (2)，则.6.解：对称轴 当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；或.8解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且 即，而，即 .