辽宁省瓦房店市高级中学2016届高三数学上学期期中试题-理.pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-20152016 学年度上学期期中考试 高三数学（理科）试题 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.）1.设i为虚数单位，则复数5i2iz 的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）.A第一象限 .B第二象限 .C第三象限 .D第四象限 2.函数1)(log1)(22xxf的定义域为（）.A1(0)2，.B(2)，.C1(02)2，.D1(0)(2)2，3.下列结论错误的是（）.A命题“若0432 xx，则4x”的逆否命题是“若4x，则0432 xx”.B命题“若0m，则

2、方程02mxx有实根”的逆命题为真命题.C“4x”是“0432 xx”的充分条件.D命题“若022nm，则0m且0n”的否命题是“若022 nm，则0m或0n”4.若实数x，y满足4 024 02 0 xyxyxy，则目标函数23zxy的最大值为（）.A11 .B24 .C 36 .D 49 5.在等差数列 na中，若1201210864aaaaa，则7513aa的值为（）.A 8 .B12 .C 16 .D 72 6.已知1e，2e是夹角为60的两个单位向量，若21eea，2124eeb，则a与b的夹角为（）.A30 .B60 .C120 .D150 7.对于直线m，n和平面，的一个充分条件

3、是（）.A mn，m，n .B mn，/m，/n.C/mn，n，m .D/mn，m，n 8.若函数)2sin(3)sin()(xxxf(0)xR，满足2)(f，0)(f，且的最小值为2，则函数)(xf的单调递增区间为（）-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-.A522()66kkkZ，.B522()1212kkkZ，.C()36kkkZ，.D5()1212kkkZ，9.设M是ABC内一点，且2 3AB AC，30BAC.定义()()f Mmnp，其中mnp、分别是MBCMCAMAB、的面积.若1()()2f Pxy，则14xy的最小值是.A 8 .B 9 .C 16 .D 1

4、8 10.已知函数()f x的大致图象如图所示，则函数()yf x的解析式为（）.A2ln()()xf xxx .B2ln()()xf xxx.C2ln()()xf xxx .Dln()()xf xxx 11.已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在PAD中，2PAPD，120APDo，2AB，则球O的外接球的表面积等于.A 16 .B 20 .C 24 .D 36 12.已知函数)(xfy 的定义域为R，当0 x时，1)(xf，且对任意的实数xyR，等式)()()(yxfyfxf成立，若数列 na满足)11(1)(1nnafaf，*

5、()nN，且)0(1fa，则下列结论成立的是（）.A20132016()()f af a .B20142015()()f af a.C20162015()()f af a .D20142016()()f af a 二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）13.若lg2,lg(21)x，lg(23)x成等差数列，则x的值等于_.14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623，所以36的所有正约数之和为22222222(1 33)(22 32 3)(22323)(122)(133)91 ，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .15.某几何体的三视图如右

6、图,则此几何体的体积为 .2 2 2 2 2 1 22 22 22 yxO第 10题-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-16.已知()exf xx，（其中e为自然对数的底数），方程 2()()10fxtf x()tR有四个实数根，则实数t的取 值范围为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分 10 分）已知向量(sin1)ax，1(3cos)2bx，函数2)()(abaxf（）求函数)(xf的最小正周期T；（）已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边,其中A为锐角，32a，4c,且1)(Af，求A，b

7、和ABC的面积S 18（本小题满分 12 分）已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，222AFABAD，M为AF的中点，CEBN，垂足为N.（）求证:/CF平面BDM；（）求二面角NBDM的大小.19（本小题满分 12 分）已知首项都是1的数列 na，nb*(0)nbnN，满足113nnnnnabbab.（）令nnnacb，求数列 nc的通项公式；（）若数列 nb为各项均为正数的等比数列，且23264bb b，求数列 na的前n项和nS.20.（本小题满分 12 分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛 C相距都为5n mile，与小岛D相

8、距为3 5n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且3sin5A.NMFEDCBADCBA-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（）记小岛D对小岛B与C的视角为，小岛B对小岛C与D的视角为，求sin(2)的值.21.（本小题满分 12 分）数列 na，nb的每一项都是正数，81a，161b，且na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，321，n.（）求2a，2b的值；（）求数列 na，nb 的通项公式；（）证明：对一切正整数n，有7211111121naaa.22.（本小题满分 12 分）

9、已知函数2()2lnf xxaxx（其中a是实数）.（）求()f x的单调区间；（）若设12(e)5ea，且()f x有两个极值点1x，2x（12xx），求12()()f xf x的取值范围.（其中e为自然对数的底数，*nN）.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-20152016 学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 16：CDBACC 712：CADABD 二、填空题 135log2 14.465 15.2 16.2e()e，三、解答题 17.解:（）2()()22f xabaaa b 21sin13sincos22xxx，2 分 1 cos23131s

10、in2sin2cos2sin(2)222226xxxxx.4 分 因为2，所以22T.5 分（）()sin(2)16f AA，因为(0)2A，52()666A，所以262A，3A.7 分 则2222cosabcbcA，所以2112162 42bb，即2440bb，则2b 9 分 从而11sin2 4 sin 602 322SbcA .10 分 18（）证明：连结AC交BD于O，连结OM.因为M为AF中点，O为AC中点，所以/FCMO，又因为MO 平面MBD，FC 平面MBD，所以/FC平面MBD.4 分（）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，所以AF 平面ABCD.以A为原点，以

11、AD，AB，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系.(110)C，(0 01)M，(0 10)B，(10 0)D，42(1)55N，设平面BDM的法向量为()pxyz，00p BDp BM，(111)p ，.6 分 设平面BDN的法向量为()qxyz，00q BDq BN，(112)q，.8 分 设p与q的夹角为，cos0p qpq10 分 所以二面角MBDN的大小为90.12 分 19.解：（）由题意可得，1113nnnnnnababbb，两边同除以1nnbb，得113nnnnaabb，zyxNMFEDCBA-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-又nnnacb，13nncc，

12、3 分 又1111acb，数列 nc是首项为1，公差为3的等差数列.1 3(1)32ncnn，*nN.5 分（）设数列 nb的公比为(0)q q，23264bb b，2426114b qbq，整理得：214q，12q，又11b，11()2nnb，*nN，7 分 11(32)()2nnnnacbn8 分 1231nnnSaaaaa 012111111()4()7()(32)()2222nn 123111111()4()7()(32)()22222nnSn 9 分 得：121111111 3()3()3()(32)()22222nnnSn 2111111 3()()(32)()2222nnn 11

13、11()1221 3(32)()1212nnn 10 分 1111 3 1()(32)()22nnn 114(632)()4(34)()22nnnn 18(68)()2nnSn12分 20.解：（）3sin5A，且角A为钝角，234cos1()55A .在ABD中，由余弦定理得，2222cosADABAD ABABD，2224525()(3 5)5ADAD ，28200ADAD，解得2AD 或10AD （舍），小岛A与小岛D之间的距离为2n mile.2 分 A，B，C，D四点共圆，角A与角C互补.3sin5C，4coscos(180)cos5CAA.在BDC中，由余弦定理得，2222cosC

14、DCBCD CBCBD，2224525(3 5)5CDCD，28200CDCD，解得2CD （舍）或10CD.4 分 11sinsin1822ABCBCDABCDSSSAB ADACB CDC四边形，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.6分（）在BCD中，由正弦定理，sinsinCBCBD，即53 53sin5，解得5sin5.222DCDBBC，为锐角，2 5cos5.8分 又3sin()sin(180)sin5CC，4cos()cos(180)cos5CC .10分 2 5sin(2)sin()sincos()coss

15、in()25.12 分 21.解：()由题意得2112aab，可得242112aba.由2122bba，可得361222bab.2 分()因为na，nb，1na成等差数列，所以12nnnaab，因为nb，1na，1nb成等比数列，所以121nnbban，因为 na，nb的每一项都是正数，所以11nnnbba，于是，当2n时，1nnnabb，将代入式，可得112nnnbbb，因此数列nb是首项为4，公差为2的等差数列，所以22)1(1ndnbbn，于是2)1(4nbn，6 分 由式，可得当2n时，)1(4nnan 当1n时，81a，满足上式，所以对一切正整数n，都有)1(4nnan.8 分 ()

16、由()可知，所证明的不等式为 721441471231712nn.【方法 1】首先证明)111(7214412nnnn 即证nnnn772144122，即证022nn，即证0)2)(1(nn，所以当2n时，72217271)111()3121(72711441471231712nnnn.当1n 时，7271.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12 分【方法 2】)321121(41)32)(12(13441144122nnnnnnnn.当3n时，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-)321121()121321()11171()9151(412317

17、11441471231712nnnnnn)7151(4123171 27 当1n 时，7271；当2n 时，72717123171.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12分【方法 3】)121121(21)12)(12(1141144122nnnnnnn 当4n时，)121121()121321()11191()9171(21471231711441231712nnnnnn 7214147123171.当1n 时，7271；当2n 时，72717123171；当3n 时，721411417147123171.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12

18、 分 22.解：（）()f x的定义域为(0)，2222()2xaxfxxaxx，令2()22g xxax，216a，对称轴4ax，(0)2g，（1）当0，即44a时，()0fx，于是，函数()f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间.（2）当0，即4a 或4a 时，当4a 时，()0fx恒成立，于是，()f x的单调递增区间为(0)，无减区间.当4a 时，令()0fx，得21164aax，22164aax，当12(0)()xxx，时，()0fx，当12()xxx，时，()0fx.于是，()f x的单调递增区间为1(0)x，和2()x，单调递减区间为12()xx，.综上所述：当4a时，()

19、f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间.当4a 时，()f x的单调递增区间为1(0)x，和2()x，单调递减区间为12()xx，.4 分（）由（）知，若()f x有两个极值点，则4a，且1202axx，121x x，1201xx 6分 又211220 xax，1112()axx，12(e)5ea，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-11111e22exx，又101x，解得1112ex，8分 于是，22121211222()()()ln()ln2f xf xxxaxxaxx 22121212)(2(lnl(n)xxxxxxa 112122)2()(ln2xxxxaax

20、x 11111)4l11(n(xxxxx 2112114lnxxx10分 令22()l14 nh xxxx11()2ex，则2232(1)()0 xh xx恒成立，()h x在11()2e，上单调递减，11()()()2ehh xh，即12115e2()()4ln2e4f xf x，故12()()f xf x的取值范围为115(e24ln2)e4，.12 分 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-20152016 学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 16：CDBACC 712：CADABD 二、填空题

21、135log2 14.465 15.2 16.2e()e，三、解答题 17.解:（）2()()22f xabaaa b 21sin13sincos22xxx，2 分 1 cos23131sin2sin2cos2sin(2)222226xxxxx.4 分 因为2，所以22T.5 分（）()sin(2)16f AA，因为(0)2A，52()666A，所以262A，3A.7 分 则2222cosabcbcA，所以2112162 42bb，即2440bb，则2b 9 分 从而11sin2 4 sin 602 322SbcA .10 分 18（）证明：连结AC交BD于O，连结OM.因为M为AF中点，O为

22、AC中点，所以/FCMO，又因为MO 平面MBD，FC 平面MBD，所以/FC平面MBD.4 分（）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，所以AF 平面ABCD.以A为原点，以AD，AB，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系.(110)C，(0 01)M，(0 10)B，(10 0)D，42(1)55N，设平面BDM的法向量为()pxyz，00p BDp BM，(111)p ，.6 分 设平面BDN的法向量为()qxyz，00q BDq BN，(112)q，.8 分 设p与q的夹角为，cos0p qpq10 分 所以二面角MBDN的大小为90.12 分 19.解：（）由题意可得，1

23、113nnnnnnababbb，两边同除以1nnbb，得113nnnnaabb，zyxNMFEDCBA-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-又nnnacb，13nncc，3 分 又1111acb，数列 nc是首项为1，公差为3的等差数列.1 3(1)32ncnn，*nN.5 分（）设数列 nb的公比为(0)q q，23264bb b，2426114b qbq，整理得：214q，12q，又11b，11()2nnb，*nN，7 分 11(32)()2nnnnacbn8 分 1231nnnSaaaaa 012111111()4()7()(32)()2222nn 123111111(

24、)4()7()(32)()22222nnSn 9 分 得：121111111 3()3()3()(32)()22222nnnSn 2111111 3()()(32)()2222nnn 1111()1221 3(32)()1212nnn 10 分 1111 3 1()(32)()22nnn 114(632)()4(34)()22nnnn 18(68)()2nnSn12分 20.解：（）3sin5A，且角A为钝角，234cos1()55A .在ABD中，由余弦定理得，2222cosADABAD ABABD，2224525()(3 5)5ADAD ，28200ADAD，解得2AD 或10AD （舍）

25、，小岛A与小岛D之间的距离为2n mile.2 分 A，B，C，D四点共圆，角A与角C互补.3sin5C，4coscos(180)cos5CAA.在BDC中，由余弦定理得，2222cosCDCBCD CBCBD，2224525(3 5)5CDCD，28200CDCD，解得2CD （舍）或10CD.4 分 11sinsin1822ABCBCDABCDSSSAB ADACB CDC四边形，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.6分（）在BCD中，由正弦定理，sinsinCBCBD，即53 53sin5，解得5sin5.222DC

26、DBBC，为锐角，2 5cos5.8分 又3sin()sin(180)sin5CC，4cos()cos(180)cos5CC .10分 2 5sin(2)sin()sincos()cossin()25.12 分 21.解：()由题意得2112aab，可得242112aba.由2122bba，可得361222bab.2 分()因为na，nb，1na成等差数列，所以12nnnaab，因为nb，1na，1nb成等比数列，所以121nnbban，因为 na，nb的每一项都是正数，所以11nnnbba，于是，当2n时，1nnnabb，将代入式，可得112nnnbbb，因此数列nb是首项为4，公差为2的等

27、差数列，所以22)1(1ndnbbn，于是2)1(4nbn，6 分 由式，可得当2n时，)1(4nnan 当1n时，81a，满足上式，所以对一切正整数n，都有)1(4nnan.8 分 ()由()可知，所证明的不等式为 721441471231712nn.【方法 1】首先证明)111(7214412nnnn 即证nnnn772144122，即证022nn，即证0)2)(1(nn，所以当2n时，72217271)111()3121(72711441471231712nnnn.当1n 时，7271.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12 分【方法 2】)321121(41)3

28、2)(12(13441144122nnnnnnnn.当3n时，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-)321121()121321()11171()9151(41231711441471231712nnnnnn)7151(4123171 27 当1n 时，7271；当2n 时，72717123171.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12分【方法 3】)121121(21)12)(12(1141144122nnnnnnn 当4n时，)121121()121321()11191()9171(21471231711441231712nnnnnn 72141

29、47123171.当1n 时，7271；当2n 时，72717123171；当3n 时，721411417147123171.综上所述：对一切正整数n，有7211111121naaa.12 分 22.解：（）()f x的定义域为(0)，2222()2xaxfxxaxx，令2()22g xxax，216a，对称轴4ax，(0)2g，（1）当0，即44a时，()0fx，于是，函数()f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间.（2）当0，即4a 或4a 时，当4a 时，()0fx恒成立，于是，()f x的单调递增区间为(0)，无减区间.当4a 时，令()0fx，得21164aax，22164aa

30、x，当12(0)()xxx，时，()0fx，当12()xxx，时，()0fx.于是，()f x的单调递增区间为1(0)x，和2()x，单调递减区间为12()xx，.综上所述：当4a时，()f x的单调递增区间为(0)，无单调递减区间.当4a 时，()f x的单调递增区间为1(0)x，和2()x，单调递减区间为12()xx，.4 分（）由（）知，若()f x有两个极值点，则4a，且1202axx，121x x，1201xx 6分 又211220 xax，1112()axx，12(e)5ea，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-11111e22exx，又101x，解得1112ex，8分 于是，22121211222()()()ln()ln2f xf xxxaxxaxx 22121212)(2(lnl(n)xxxxxxa 112122)2()(ln2xxxxaaxx 11111)4l11(n(xxxxx 2112114lnxxx10分 令22()l14 nh xxxx11()2ex，则2232(1)()0 xh xx恒成立，()h x在11()2e，上单调递减，11()()()2ehh xh，即12115e2()()4ln2e4f xf x，故12()()f xf x的取值范围为115(e24ln2)e4，.12 分