安徽省“五校联盟”2021届高三数学下学期第二次联考试题理.pdf

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1、.XX 省五校联盟2021 届高三数学下学期第二次联考试题 理 考生注意：1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.2.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合210Ax x,2log0Bx

2、x,则AB A.1x x B.0 x x C.1x x D.11x xx 或 2.已知,a bR,i是虚数单位.若11ibia,则ab的值为 A.3 B.2 C.-2 D.-3 3.下列说法中错误的是 A.命题1x,20 xx的否定是01x,2000 xx.B.在ABC中,sinsincoscosABABAB.C.已知某 6 个数据的平均数为 3,方差为 2,现又加入一个新数据 3,则此时这 7 个数的平均数和方差不变.D.从装有完全相同的 4 个红球和 2 个黄球的盒子中任取 2 个小球,则事件至多一个红球与都是红球互斥且对立.4.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为 1,

3、该三棱锥所有表面积中,最大面的面积为 .A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 2 5.已知平面向量3,1a,2b,且22abab,则ab A.2 B.2 C.3 D.3 6.电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：道路千万条,安全第一条,行车不规范,亲人两行泪成为网络热句.讲的是开车不喝酒,喝酒不开车.2019 年,公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见,对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图见图

4、,且图表所示的函数模型0.540sin13,0239014,2xxxyex,假设该人喝一瓶啤酒后至少经过*n nN小时才可以驾车,则n的值为参考数据：ln152.71,ln303.40 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值mg/100mL 饮酒驾车 20,80.醉酒驾车 80,A.5 B.6 C.7 D.8 7.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.在中华传统文化里,建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗 如图以连环诗的形式展现,20 个字绕着茶壶成一圆环,不论顺着读还是逆着读,皆成佳作.数学与生活也

5、有许多奇妙的联系,如 2020 年 02 月 02 日20200202 被称为世界完全对称日公历纪年日期中数字左右完全对称的日期.数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有 9 个11,22,99,则共有多少个这样的三位回文数 A.64 B.72 C.80 D.90 8.设5log 4a,ln2b,0.1c,则 A.abc B.bac C.cba D.acb 9.2()2(4)21f xfxxx,则()yf x在 2,2f处的切线方程为 A.230 xy B.2370 xy C.230 xy D.2370 xy 10.已知ABC的内角A,B,C对的边分别为a,b,c,

6、3sinsinsin2ABC当内角C最大且3b时,ABC的面积等于 A.93 34 B.2 3 C.2 5 D.3 63 24 11.如图,已知1F,2F分别为双曲线C：222210,0 xyabab的左右焦点,过1F的直线与双曲线C的左支交于A、B两点,连接2AF,2BF,在2ABF中,2ABBF,231cos32ABF,则双曲线的离心率为 .A.2 B.2 C.3 D.3 22 12.已知函数2()cos(0)3f xx,1230,xxx、,且0,x 都有 12()f xf xf x,满足 30f x的实数3x有且只有 3 个,给出下述四个结论：满足题目条件的实数1x有且只有 1 个；满足

7、题目条件的实数2x有且只有 1 个；()f x在0,10上单调递增；的取值范围是13 19,66.其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.若实数x,y满足约束条件3403400 xyxyxy,则32zxy的最小值是_.14.若二项式72axx的展开式的各项系数之和为-1,则含1x项的系数是_.15.已知抛物线220ypx p的焦点F到准线的距离为 2,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且3AFFB,则线段AB的中点到y轴的距离为_.16.已知菱形ABCD的边长为 4,对角线4BD,将ABD沿着BD折叠,使得二面角A

8、BDC为120,则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.一必考题：共 60 分.17.已知数列 na,nS是na的前n项的和,且满足*21nnSanN,数列 nb是等差数列,264bba,5462abb.1 求 na,nb的通项公式；2 设数列 nS的前n项和为nT,设23412(1)nnnnnnnTbbcbb,求nc的前n项的和nD.18.如图,在三棱锥ABCD中,ABC是边长为 3 的等边三角形,CDCB,CD 平面ABC,点M、N

9、分别为AC、CD的中点,点P为线段BD上一点,且/BM平面APN.1 求证：BMAN；2 求平面APN与平面ABC所成角的正弦值.19.已知圆C：22116xy,点1,0F,P是圆C上一动点,若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M.1 求点M的轨迹方程E.2A,B是M的轨迹方程与x轴的交点点A在点B左边,直线GH过点4,0T与轨迹E交于G,H两点,直线AG与1x 交于点N,求证：动直线NH过定点.20.公元 1651 年,法国一位著名的统计学家德梅赫Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡B.Pascal 提出了一个问题,帕斯卡和费马Fermat 讨论了这个问题,后来惠更斯C.Huygens

10、也加入了讨论,这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢*1,k kkN局,谁便赢得全部奖金a元.每局甲赢的概率为01pp,乙赢的概率为1p,且每场比赛相互独立.在甲赢了m mk局,乙赢了n nk局时,比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况,甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金.1 规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况,甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖.金的概率之比:PP甲乙分配奖金.若4k,2m,1n,34p,求:PP甲乙

11、.2记事件A为比赛继续进行下去乙赢得全部奖金,试求当4k,2m,1n 时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率 fp,并判断当45p 时,事件A是否为小概率事件,并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于 0.05,则称该随机事件为小概率事件.21.已知函数22()xf xexmxm,2()lng xaxxaxx.1 若函数()f x在1x 处取极小值,求实数m的值；2 设0m,若对任意0,x,不等式()()f xg x恒成立,求实数a的值.二选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方

12、程是4cos,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是2222xmtytt为参数.1 若直线l与曲线C相交于A、B两点,且14AB,试求实数m的值；2 设,M x y为曲线C上任意一点,求xy的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数()211f xxx.1 求不等式()2f x 的解集；2 若关于x的不等式2()2af xa有解,求a的取值范围.颍上一中 涡阳一中 蒙城一中 XX 一中 怀远一中 2021 届高三五校联盟第二次联考理科数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 1-5：ABCCA 6-10：BDBDC 11-12：DB

13、 详解：.12.B 0,当0,x时,222,333x.设23xt进行替换,作出函数cosyt的图象如下图所示：由于函数()yf x在0,上满足 30f x的实数3x有且只有 3 个,即函数cosyt在22,33上有且只有 3 个零点,由图象可知325232,解得131966,结论不正确；由图象知,cosyt在22,33上只有一个最小值点,有一个或两个最大值点,结论正确,结论错误；当0,10 x时,222,33103x ,由131966知27010320,所以cosyt在22,3103 上递增,则函数()yf x在0,10上单调递增,结论正确.综上,正确的有.故选 B.二、填空题 13.-1 1

14、4.-672 15.53 16.1123 详解：16.将ABD沿BD折起后,取BD中点为E,连接AE,CE,则AEBD,CEBD,所以AEC即为二面角ABDC的平面角,所以120AEC；ABD与BCD是边长为 4 的等边三角形.分别记三角形ABD与BCD的重心为G、F,.则12 333EGEA,12 333EFEC；即EFEG；因为ABD与BCD都是边长为 4 的等边三角形,所以点G是ABD的外心,点F是BCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O,连接OF,OG,根据球的性质,可得OF 平面BCD,OG 平面ABD,所以OGE与OFE都是直角三角形,且OE为公共边,所以RtOGE与RtO

15、FE全等,因此1602OEGOEFAEC,所以4 33OE；因为AEBD,CEBD,AECEE,且AE 平面AEC,CE 平面AEC,所以BD 平面AEC；又OE 平面AEC,所以BDOE,连接OB,则外接球半径222 213OBOEBE,所以外接球表面积为1123.故答案为：1123.三、解答题 17.解：由21nnSa,当1n 时1121Sa,解得11a,当2n时,1121nnSa,-得12nnaa,所以na是等比数列,12nna,由 nb是等差数列,264bba,5462abb.得nbn.221nnS,122nnTn,123412(34)2(1)(1)(1)(2)nnnnnnnnnTbb

16、ncbbnn 1222(1)12nnnnn,222(1)2nnnDn .18.1 证明：因为CD 面ABC,BM 面ABC,所以CDBM.又正ABC中,AMMCBMAC,BMCDBMACBMCDACC面ACD,BMAN.2 解：连接MD交AN于G点,连接PG,因为/BM平面APN,所以/BMPG,由重心性质知P为靠近B点的三等分点.0,0,0C,3 3 30,22A,0,3,0B,1,2,0P,3,0,02N,设面APN的法向量为,nx y z,0AP n,0AN n,4,1,3n,平面ABC的法向量为1,0,0u,2 5cos,5u v,平面APN与平面ABC所成角的正弦值为55.19.解：

17、1 由圆22116xy,可得圆心1,0C,半径4r,因为24FC,所以点F在圆C内,又由点M在线段PF的垂直平分线上,所以MFMP,所以4MCMFMPMCPC,.由椭圆的定义知,点M的轨迹是以F,C为焦点的椭圆,其中2a,1c,23b,所以点M的轨迹方程为22143xy.2 设直线GH的方程为4xmy,11,G x y,22,H xy,2,0A,2,0B,将4xmy代入22143xy,得223424360mymy,1222434myym,1223634y ym,要证明直线NH过点B,只要证明NB,HB的斜率相等,直线AC的方程为11(2)2yyxx,令1x 得1132yyx,1212322NH

18、BByykkxx 1221121212123224602222yxyxmy yyyxxxx.或设GH的直线方程4yk x,代入22143xy得 2222343264120kxk xk,21223234kxxk,2122641234kx xk,1212322NBHByykkxx 1221121212123224101602222yxyxx xxxxxxx,或1131,2yNx,22,H xy,NH的直线方程为121121323(1)12yyxyyxxx,2x 代入121211211212133231231212yyyyxyxxyyxxxx 12122141016012x xxxkxx.20.解：

19、1 设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金,则最后一局必然甲赢.由题意知,最多再进行 4 局,甲、乙必然有人赢得全部奖金.当2X 时,甲以4:1赢,所以339(2)4416P X；当3X 时,甲以4:2赢,所以123139(3)44432P XC；当4X 时,甲以4:3赢,所以22313327(4)444256P XC.所以,甲赢的概率为99272431632256256.所以,:243:13PP 甲乙；2 设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金,则最后一局必然乙赢.当3Y 时,乙以4:2赢,3(3)(1)P Yp；当4Y 时,乙以4:3赢,1333(4)(1)3(1)P YC pppp；所以,乙赢得全

20、部奖金的概率为333()(1)3(1)(13)(1)P Appppp.于是甲赢得全部奖金的概率3()1(13)(1)f ppp.求导,322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)fpppppp.因为415P,所以 0fp,所以 fp在4,15上单调递增,于是min4608()5625f pf.故乙赢的概率为6081710.02720.05625625,故事件A是小概率事件.21.解：122()(2)xfxexmxmm,由题意得 10f,即1m ,当1m 时,2()12fxexx,此时()f x在2,1上递减,在1,上递增,所以符合要求；当1m 时,()1xfxexx,此时()f x在,1

21、 上递增,在1,0递减,0,递减,所以不符合要求.综上得,1m.2 方法 1：直接研究差函数的最小值,需借助隐零点.由()()f xg x得不等式ln1xxea xx恒成立,.令()1(ln)(0)xh xxea xx x,求导得()(1)xeah xxx,当0a 时,()0h x,所以()h x在0,上递增,因为11211111111102eheeaeeeea ,所以不符合题意；当0a 时,令()0 xxxea x,则()x在0,上递增,又 00a ,0aaaea,且()x在0,上连续,所以存在唯一00,xa,使得 000axxx ea,当00,xx时,()0h x,故()h x递减；当0,

22、xx时()0h x,故()h x递增,所以 min0000()1lnln1xh xh xxaa xexaaa,所以ln10aaa,即1ln10aa,令 1ln1aaa,则 21aaa,所以 a在0,1上递减,在1,上递增,又 10,所以1a.方法 2：指数化、换元处理 由()()f xg x得1ln0 xxea xx,指数化得不等式ln1ln0 xxea xx 恒成立,令lnxxt,则tR,不等式10teat 恒成立,令 1th teattR,则()th xea,当0a 时,1110hae,所以不符合题意；当0a 时,h t在,lna上单调递减,在ln,a 上单调递增,所以 minlnln1h

23、 thaaaa,所以ln10aaa,即1ln10aa,令 1ln1aaa,则 21aaa,所以 a在0,1上递减,在1,上递增,又 10,所以1a.22.解：1 曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为2240 xyx,.即2224xy,直线l的直角坐标方程为yxm,圆心到直线l的距离弦心距2142222d,即圆心2,0到直线yxm的距离为2022122mm,1m 或3m.2 曲线C的方程可化为2224xy,其参数方程为22cos2sinxy为参数.,M x y为曲线C上任意一点,22 2 sin4xy,xy的取值范围是22 2,22 2.23.解：1 当12x 时,()2112f xxxx,()2f x,142x；当112x 时,()1 213f xxxx ,()2f x,2132x；当1x 时,()1 212f xxxx,()2f x,0 x,此时无实数解.综上所述,不等式()2f x 的解集为2,43.22()2af xa有解2min()2af xa.由1 可知 当1x 时,()3f x；当112x 时,3()32f x；当12x 时,3()2f x .3()2f x ,min3()2f x,故2232301322aaaaa ,即实数a的取值范围为1,3.