因式分解的常用方法及练习题.pdf

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1、1/8 因式分解的常用方法 一、提公因式法。：ma+mcm（a+b+c）二、公式法。在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1)平方差公式：(ab)(a-b）=2b (2)完全平方公式：（ab）2=aabb2 (3)立方和公式：a3+3=(+b)(a2abb2)（4)立方差公式:a3b3（-b）(a2+abb2)(）完全立方公式：(b）=a3ab+3ab 下面再补充两个常用的公式:（)22+2ab+2bc2ca=（a+c)2；（7）a3+b+3abc（a+b+c)（a22+c2abbc-ca）;三、十字相乘法.（一）二次项系数为 1的二次三项

2、式 直接利用公式：)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点:（）二次项系数是；(2）常数项是两个数的乘积;（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652 xx 672 xx 练习 5、分解因式(1)24142xx （2）36152aa （)542 xx 练习、分解因式（1）22 xx （2)1522yy （3）24102xx(二）二次项系数不为 1的二次三项式cbxax2 条件:（1）21aaa 1a 1c(2）21ccc 2a 2c（3)1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例 7、分解因式：101132xx 练习 7、

3、分解因式:（1)6752 xx （）2732 xx （3）317102xx （4)101162yy(三)二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式:221288baba 分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解.1 b 16 8b+（16b）-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba =)16)(8(baba 练习 8、分解因式（)2223yxyx（2)2286nmnm（）226baba（四)二次项系数不为 1的齐次多项式 例、22672yxyx 例 10、2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -y

4、 1 -2 2/8 （-3y）+（4y）7y （-1)+(-）3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1）224715yxyx （2)8622 axxa 综合练习 10、()17836 xx (2）22151112yxyx(3）10)(3)(2yxyx （4)344)(2baba(5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx （8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx （10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 四、分组分解法。（一）分组后能直接提

5、公因式 例、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)()(bnbmanam =)()(nmbnma 每组之间还有公因式！=)(banm 例 2、分解因式:bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2

6、(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习：分解因式 1、bcacaba2 2、1yxxy（二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。例 4、分解因式：2222cbaba 解：原式=)()(22ayaxyx 解：原式222)2(cbaba )()(yxayxyx 22)(cba )(ayxyx =)(cbacba 练习:分解因式 3、yyxx3922 4、yzzyx2222 综合练习：(1）3223yxyyxx （2)baaxbxbx

7、ax22（3)181696222aayxyx (4）abbaba4912622（）92234aaa （6）ybxbyaxa222244(7）222yyzxzxyx （）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy (1）)2()(abbcaca 五、换元法。例 13、分解因式（)2005)12005(200522xx （2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx 解：()设 200=a，则原式axaax)1(22 )(1(axax )2005)(12005(xx 3/8（)型如eabcd 的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式222)65)(67(xxxxx 设Axx6

8、52,则xAxx2672 原式=2)2(xAxA=222xAxA =2)(xA=22)66(xx 练习 1、分解因式（）)(4)(22222yxxyyxyx （2)90)384)(23(22xxxx 六、添项、拆项、配方法。例5、分解因式(1）4323 xx 解法-拆项。解法 2添项。原式=33123xx 原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx )331)(1(2xxxx =)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx =)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx 2)2)(1(xx 练习5、分解因式（)4224)1()1()1

9、(xxx (2）1724 xx （3）22412aaxxx 第二部分：习题大全 经典一:一、填空题.把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式:34m=3分解因式:x24y2=_ _.4、分解因式:244xx=_ _。5.将 xnyn分解因式的结果为(x2+2）（y）（-),则的值为 。6、若5,6xyxy，则22x yxy=_,2222xy=_.二、选择题 7、多项式3222315520m nm nm n的公因式是（）A、5mn B、225m n C、25m n D、25mn 8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是(）、2339aaa B、22ababa

10、b C、24545aaa a 、23232mmm mm 0.下列多项式能分解因式的是（）()x2y ()x2+1 （C)x2+y+y (D）x24+1把（x-y)2（y）分解因式为()。（y）（xy-）B(yx)（1）4/8 C(yx）(yx1）D(y）(-x+1）12下列各个分解因式中正确的是（)10b2c+6a22ac=2ac（23）B（ab）2(a）2=（b)2（a-）x（b+c）y（a-bc）ab-（bc)(+-1）D(a-2b）（3ab)5(2ba）2（a2b）(1b2)3.若12y9x2是一个完全平方式，那么 k 应为()A。2 .4 C.2y2 D。4y2 三、把下列各式分解因式

11、：1、nxny 15、2294nm 16、m mnn nm 17、3222aa bab 1、222416xx 1、22)(16)(9nmnm；五、解答题 20、如图，在一块边长a=。67c的正方形纸片中，挖去一个边长b333cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积.21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45dcm，外径75Dcm，长3lm.利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取 3。4，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5)个等式.24284216842(1)111(2)1111(3)11111(4)111111

12、(5)_xxxxxxxxxxxxxxxxxx 。分解因式(+y)2x（y)+4（1)2.证明:对于任何数，,下式的值都不会为33 xx4y-53y2+4xy42y5 因式分解小结 因式分解的一般步骤是：（1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项）等方法;1.通过基本思路达到分解多项式的目的 l d D 5/8 例 1。分解因式 分析：这是一个六项式，

13、很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后,再进一步分解;也可把，分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。解一：原式 解二：原式=2 通过变形达到分解的目的 例 1。分解因式 解一：将拆成,则有 解二:将常数拆成,则有 在证明题中的应用 例:求证：多项式的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。证明：6/8 设,则 4。因式分解中的转化思想 例：分解因式：分析:本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+b+的关系,努力寻找一种代

14、换的方法。解：设+bA，b+c=，+2b+=A 说明:在分解因式时，灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 1、在中,三边,，c 满足 求证：、若为任意整数，求证：的值不大于0。、将 试卷(因式分解)一、填空：（0分）1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_。2、22)(nxmxx则m_n_3、232yx与yx612的公因式是_ 4、若nmyx)()(4222yxyxyx,则_，n=_。7/8 5、在多项式2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的 有_，其结果是 _。6、若16)3(22xmx是完全平方式,则m=_。、_)(2(2(_)2xxxx、已知,0

15、1200520042xxxx则._2006x 9、若25)(162Mba是完全平方式 M_.1、22)3(_6xxx，22)3(9_xx 11、若229ykx是完全平方式，则 k=。_。14、若6,422yxyx则xy_。12、若442 xx的值为，则51232xx的值是_.1、若)15)(1(152xxaxx则a=_。5、方程042 xx,的解是_.二、选择题:(10 分）1、多项式)()(xbxaabbxxaa的公因式是（)、B、)(bxxaa C、)(xaa D、)(axa 2、若22)32(9xkxmx,则,k的值分别是(）、m=-2，k=6,B、=2，k=12，C、=4,=1、D m

16、4，k=12、3、下列名式:4422222222,)()(,yxyxyxyxyx中能用平方差公 式分解因式的有（)A、1 个，B、2 个，C、个，D、4 个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232的值是（）A、21 、2011.,101.,201DC 8/8 三、分解因式：（0分)1、234352xxx 2、2633xx 、22)2(4)2(25xyyx 4 、24369yx 5、22414yxyx 6、xx 5 7、2axabaxbxbx2 8、811824xx 四、代数式求值（5分）1、已知312 yx，2xy，求 43342yxyx的值。2、若 x、y互为相反数，且4

17、)1()2(22yx,求、y的值 3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值 五、计算：(15）(1)766.24366.3 (2）200020012121 （)2244222568562 六、试说明：(8 分）1、对于任意自然数，22)5()7(nn都能被动4 整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8 分）1、一种光盘的外 D119 厘米,内径的 d=3.厘米,求光盘的面积.(结果保留两位有效数字)2、正方形 1的周长比正方形的周长长 96厘米，其面积相差 960平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:甲：这是一个三次四项式 乙：三次项系数为 1,常数项为 1。丙：这个多项式前三项有公因式 丁:这个多项式分解因式时要用到公式法 若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4 分）