全国卷理科数学与答案精选.pdf

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1、20172017 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）逐题解析年普通高等学校招生全国统一考试（卷）逐题解析理科数学理科数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。3i二、【题目 1】(2017新课标全国卷理 1)1.（）1iA12i B12i C2i D2i【命题意图命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法解法二：对十法解法二：对十法3

2、13i3111可以拆成两组分式数，运算的结果应为abi形式，a 22 2（分子十字相乘，111i1 1分母为底层数字平方和），b 解法三：分离常数法解法三：分离常数法解法四：参数法解法四：参数法1131 1（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.1212a b 3a 23i a bi 3i a bi1i 3i a ba bi，解得a b 1b 11i故3i 2i1i【知识拓展知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的几何意义（2016 年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；5.复数的模【题目 2】(2017新课

3、标全国卷理 2)2.设集合 1,2,4，x x24xm 0若I 1，则（）A1,3 B1,0 C1,3 D1,5【命题意图命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法AI B 1 1 是方程x24x m 0的一个根，即m3，B x x2 4x 3 0故B 1,3解法二：韦达定理法解法二：韦达定理法AI B 1 1 是方程x24x m 0的一个根，利用伟大定理可知：x11 4，解得：x13，故B 1,3解法三：排除法解法三：排除法集合B中的元素必是方程方程x24x m 0的根，x1 x2 4，从四个选项 ABC

4、D看只有 C 选项满足题意.【知识拓展知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程求定义域和值域数集意义相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.【题目 3】(2017新课标全国卷理 3)3.我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【命题意图命题意图】本题主要考查等比数列通向公式an及其前n项和Sn，以考查考生的运算能力为主目的.【解析解析】解法一

5、：常规解法解法一：常规解法一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，即S7 381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，即q 2，塔的顶层为a1；由等比前n项和Sna13.a11 qn1 qq 1可知：S7a11 2n1 2 381，解得解法二：边界效应解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有an1 Sn，a8 S7 381，解得a1 2.9，a13.【知识拓展知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占 10 分或 12 分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17 题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生

6、的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式an及其前n项和Sn；2.等比数列通向公式an及其前n项和Sn.【题目 4】(2017新课标全国卷理 4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A90 B63 C42 D36【命题意图命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，

7、具体图像如下：切割前圆柱切割中切割后几何体从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为V Sh，r 3，h4，V1 36；上面阴影的体积V2是上V3与V1的比为高的比面部分体积V3的一半，即V2V3，（同底）12即V3V1，V2V1 27，故总体积V0V2V1 63.第二种体积求法：第二种体积求法：V3 Sh 54，其余同上，故总体积V0V2V1 63.3234【知识拓展知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本

8、质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.2x3y30【题目 5】(2017新课标全国卷理5)5.设x，y满足约束条件2x3y30，则y30z 2x y的最小值是（）A15 B9 C1 D9【命题意图命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的，属于过渡中档题.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法2x 3y 3 0根据约束条件2x 3y 3 0画出可行域（图中阴影部分）,作直线l:2x y 0，平移直线l，y 3 0将直线平移到点A处Z最小，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数Z 2x y，

9、可得Z 15，即Zmin 15.解法二：直接求法解法二：直接求法ylC对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的2x+3y-3=2x-3y+3=00为最小值即可，点A的坐标为6,3，点B的坐标为6,3，点C的坐标为0,1，所求值分Ox别为1591，故Zmin 15，Zmax 9.解法三：隔板法解法三：隔板法Ay=2323B-3首先 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为0；其次 排序按照坐标系位置排序0；再次 看目标函数的斜率和y前的系数看目标函数的斜率和y前的系数分别为21；最后 画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在,0之间，即为初始位

10、置，y前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为32 222最大值点，即,，第二个格为最小值点，即0,，只需解斜率为0和这两条线的交点33 3322323即可，其实就是点A，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数Z 2x y，可得Z 15，即Zmin 15.【知识拓展知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的

11、方法即可.【题目 6】(2017新课标全国卷理 6)6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【命题意图命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【解析解析】解法一：分组分配之分人解法一：分组分配之分人首先 分组1 3种可将三人分成两组，一组为三个人，有A33 6种可能，另外一组从三人在选调一人，有C3能；其次 排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有A22 2种可能；共计有 36 种可能.解法二：分组分配之分工作解法二：分组分配之分工作工

12、作分成三份有C42 6种可能，在把三组工作分给 3 个人有A33 6可能，共计有 36 种可能.解法三：分组分配之人与工作互动解法三：分组分配之人与工作互动1 3先让先个人个完成一项工作，有A43 24种可能，剩下的一项工作在有 3 人中一人完成有C3种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以A22 2，共计有 36 种可能.解法四：占位法解法四：占位法12C418中可能；剩下的两项工作其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有C3由剩下的两个人去完成，即有A22 2种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能.解法五：隔板法和环桌排列解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两

13、个隔板，有C42 6种可能，在分配给 3 人工作有A33 6种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能.【知识拓展知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有 1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目 7】(2017新课标全国卷理 7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩看后甲对大家说：

14、我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【命题意图命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.【解析解析】解法一：假设法解法一：假设法甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙丁两位同学知道自己的成绩.解法二：选项代入法解法二

15、：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略【知识拓展知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，2016 年的第 15 题（理）第 16 题（文），今年的理（7）文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.【题目 8】(2017新课标全国卷理 8)8.执行右面的程序框图，如果输入的a 1，则输出的S（）A2 B3 C4 D5【命题意图命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法S0 0，K01，a0 1，S S

16、 aK，a a，执行第一次循环：S1 1a11执行第二次循环：S21a2 1K2 3；执行第三次循环：S3 2K1 2；a31执行第四次循环：S4 2a4 1K4 5；执行第五次循环：S5 3K3 4；a51K5 6；执行第五次循环：S6 3a61K6 7；当K6 7 6时，终止循环，输出S6 3，故输出值为 3.解法二：数列法解法二：数列法Sn Sn11n，Kn n 1，裂项相消可得Sn S11i；执行第一次i2nni循环：S1 1a11K1 2，当Kn 6时，n6即可终止，S61 23 456 4，即S6 3，故输出值为 3.x2y2【题目 9】(2017新课标全国卷理 9)9.若双曲线C

17、:221（a 0，b0）的一条渐近ab线被圆x2 y2 4所截得的弦长为 2，则C的离心率为（）A2 B3 C2 D2 332【命题意图命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为y x，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到2ba2ba2渐进线的距离为3，圆心到渐近线的距离为，即ba23，解得e2.b 1a b 1a解法二：待定系数法解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，圆心到渐近线的距离为2k1 k2，即2k1 k23

18、，解得k23；由于渐近线的斜率与离心率关系为k2 e21，解得e2.解法三：几何法解法三：几何法从题意可知：OA OO1 O1A 2，OO1A为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为由于k tan，可得k 3，渐近线的斜率与离心率关系为k2 e21，解得e2.解法四：坐标系转化法解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：x 2 y2 4，可得极坐标方程 4cos，由4cos2可得极角32，3，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以k 3，渐近线的斜率与离心率关系为k2 e21，解得e2.解法五：参数法之直线参数方程解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可

19、求得渐近线方程为y x，可以表示点A的坐标为ba2a 2b 2cos,2sin，cosa，sinb 点A的坐标为,，代入圆方程中，cccc解得e2.【知识拓展知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形直线与圆向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降.【题目 10】(2017新课标全国卷理 10)10.已知直三棱柱C11C1中，C 120o，2，C CC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（）A331510 B C D2355【命题意图命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间

20、想象能力【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法在边BB1B1C1A1B1AB上分别取中点FGH，并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线AB1和BC1所成的夹角为FEG或其补角，通过几何关系求得EF FH 25，FG，2211，利用余弦定理可求得异面直线210.5AB1和BC1所成的夹角余弦值为解法二：补形解法二：补形通过补形之后可知：BC1D或其补角为异面直线AB1和BC1所成的角，通过几何关系可知：BC12，C1D 5，BD 3，由勾股定理或余弦定理可得异面直线AB1和BC1所成的夹角余弦值为解法三：建系解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，A0,2,1，31B10

21、,0,0，B0,0,1，C12,2,0uuuu r31uuurBC12,2,1，B1A 0,2,110.5uuur uuuu rB1ABC1210cos uuuruuuu r 552B1A BC1解法四：投影平移解法四：投影平移-三垂线定理三垂线定理设异面直线AB1和BC1所成的夹角为3利用三垂线定理可知：异面直线AB1和BC1所成的夹角余弦值为10.5【知识拓展知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍

22、.【题目 11】(2017新课标全国卷理 11)11.若x 2是函数f(x)(x2 ax 1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为（）A.1B.2e3C.5e3D.1【命题意图命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力.【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法2x1fxx2 ax 1ex1 导函数f x x a 2x a 1ef 2 0a 1 导函数f xx2 x 2ex1令f x 0，x1 2，x11当x变化时，fx，f x随变化情况如下表：0极大值0极小值+-+从上表可知：极小值为f1 1.【知识拓展知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极

23、值点的问题是非常重要考点之一，大题小题都会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目 12】(2017新课标全国卷理 12)12.已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平uuu ruuu ruuu r面 ABC 内一点，则PA(PB PC)的最小值是（）A.2B.D.134C.23【命题意图命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析解析】解法一：建系法解法一：建系法uuu ruuu ruuu r连接OP，OA 0,3，OB 1,0，OC 1,0.uuu ruuu ruuu ruuu r uuu rPC PB 2PO，P

24、OPAx,y x,3 yuuu r uuu r33POPA x2 y23y x2y 24uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r33POPA，PA PC PB 2POPA 422最小值为解法二：均值法解法二：均值法PC PB 2PO，PAPC PB 2POPA由上图可知：OA PA PO；两边平方可得3PAPO 2PAPO2232uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r2uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r2uuu rPA POuuu r uuu ruuu r uuu r3

25、 2PAPO，2POPA 2uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r33PA PC PB 2POPA，最小值为22 解法三：配凑法解法三：配凑法PC PB 2POPAPC PB 2POPA最小值为【知识拓展知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。【题目 13】(2017新课标全国卷理 13)13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的

26、二等品件数，则D 32uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu r2uuu ruuu rPO PA PO PA 22uuu ruuu r2uuu rPO PA AO2 23 2【命题意图命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力.【解析解析】解法一：一般解法解法一：一般解法随机变量XB100,0.02，DX np1 p1.96【知识拓展知识拓展】离散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.3【题目 14】(2017新

27、课标全国卷理 14)14.函数fx sin2x3cos x（x0,）42的最大值是【命题意图命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质最值，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析解析】解法一：换元法解法一：换元法220,fx sin2x 3cosx x，sin xcos x 1423fx cos2x 3cosx 设t cos x，t0,1，fx t23t 函数对称轴为t 30,1，fxmax121414【知识拓展知识拓展】此类问题属于热点题型，2016 年二卷（文 11）2010 年和 2014 广西卷均出现此题型，解决方法相同，但二卷近几年不会再出了.【题目 15】(2017新

28、课标全国卷理15)15.等差数列an的前n项和为Sn，a3 3，S410，则1k1Skn【命题意图命题意图】本题主要考查等差数列通向公式an及其前n项和以及叠加法求和，【解析解析】解法一：常规解法解法一：常规解法S410，a2 a3 a1 a4，a2 a3 5a3 3，a2 2an nSnna1 an2Sn1212 1 2Snnn 1nn 1nn 1i1nn112n 21Snn 1n 112n,nNSnn 1i1【知识拓展知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉nN这个条件，此处属于易错点.【题目 16】(2017新课标全国卷理 16)16.已知F是抛物线C:y28x的焦点，

29、是C上一点，F的延长线交y轴于点若为F的中点，则F【命题意图命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想运算求解的能力【解析解析】解法一：几何法解法一：几何法 点M为线段NF的中点xM1MF xM 2 3NF 2MF 6【知识拓展知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，课本习题常有练习.三、三、解答题：解答题：共共 7070 分。分。解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。解答过程或演算步骤。第第 17211721 题为必做题，题为必做题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、23

30、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。【题目 17】(2017新课标全国卷理 17)17.（12 分）BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin22(1)求cosB(2)若ac 6,ABC面积为 2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形【试题分析】在第（）中，利用三角形内角和定理可知AC B，将sin(AC)8sin2转化为角B的方程，思维方向有两个：利用降幂公式化简sin2B2B，结合sin2B cos2B 12BBB求出cosB；利用二倍角公式，化简sin B 8sin2，两边约去sin，求

31、得tan，进而222求得cosB.在第（）中，利用（）中结论，利用勾股定理和面积公式求出ac、ac，从而求出b（）【基本解法 1】由题设及A B C,sin B 8sin2B，故2上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去），cosB=【基本解法 2】由题设及A B C,sin B 8sin2BBBBB，所以2sincos 8sin2，又sin 0，所以222221517BB1215tan，cosB B17241 tan2215814（）由cosB=得sinB，故SABCacsin B ac171721717又SABC=2，则ac 21 tan2由余弦定理

32、及ac 6得所以 b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac,ac,a2c2三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎【题目 18】(2017新课标全国卷理 18)18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg,新

33、养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）【命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用【基本解法】（）旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 0.0125+0.0145+0.0245+0.0345+0.0405=0.62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，于是 P（A）=0.620.66=0.4092（）旧养殖法的箱产量低于 50kg 的有 1000.62=62 箱，不低于

34、 50kg 的有 38 箱，新养殖法的箱产量不低于 50kg 的有 1000.66=66 箱，低于 50kg 的有 34 箱，得到 22 列联表如下：箱产量0.50，不低于 55kg 的频率为 0.0465+0.0105+0.0085=0.320.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于 50kg 到 55kg 之间，设新养殖法箱产量的中位数为 x，则有（55-x）0.068+0.0465+0.0105+0.0085=0.50解得 x=52.3529因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35。【知识拓展】首先，先表示事件，再写出其发生的概率，将未知事件用已知事件表示，依据事件间的关系，求出未

35、知事件的概率.统计的基本原理是用样本估计总体.独立性检验，先填 2*2 列联表，再计算 ,与参考值比较，作出结论；中位数的计算要根据中位数以左其频率和为 50%.求面积和计算频率.【题目 19】(2017新课标全国卷理 19)19.（12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，1AB BC AD,BAD ABC 90o,E是PD的中点.2（1）证明：直线CE/平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值【命题意图】【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解【标准

36、答案】【标准答案】（1）证明略；（2）105【基本解法【基本解法 1 1】（1）证明：取PA中点为F，连接EF、AF11AD因为BAD ABC 90，BC AD所以BC221AD，所以EFBC因为E是PD的中点，所以EF2所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC/BF因为BF平面PAB，EC平面PAB所以直线CE/平面PAB（2）取AD中点为O，连接OC、OP因为PAD为等边三角形，所以PO AD因为平面PAD 平面ABCD，平面PADI平面ABCD AD，PO 平面PAD所以PO 平面ABCD因为AOBC，所以四边形OABC为平行四边形，所以AB/OC所以OC AD以OC,OD,OP分别为x

37、,y,z轴建立空间直角坐标系，如图uuu r设BC 1，则P(0,0,3),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0)，所以PC (1,0,3)uuuu ruuu r设M(x,y,z)，则PM (x,y,z 3)，AB (1,0,0)uuuu ruuu r因为点M在棱PC上，所以PM PC(0 1)，即(x,y,z 3)(1,0,3)uuuu r所以M(,0,3 3)，所以BM (1,1,3 3)rn平面ABCD的法向量为(0,0,1)因为直线BM与底面ABCD所成角为45，uuuu r ruuuu r r|BM n|3 3|2r r 所以|sin45|cos BM,n|uuuu22

38、2|BM|n|(1)1(3 3)12uuuu r262,1,)解得1，所以BM (222uuu r u rABm x 0u r设平面MAB的法向量为m (x,y,z)，则uuuu r u r26x yz 0BM m 22u r6,1)令z 1，则m (0,2u r ru r rmn110ru u r所以cos m,n u5|m|n|622()12所以求二面角M ABD的余弦值105【基本解法【基本解法 2 2】（1）证明：取AD中点为O，连接OC、OE11因为BAD ABC 90，BC AD所以BCAD，即BC22所以四边形OABC为平行四边形，所以OC/AB因为AB平面PAB，OC平面PAB

39、所以直线OC/平面PAB因为E是PD的中点，所以OE/PA因为PA平面PAB，OE平面PAB所以直线PA/平面PAB因为PAI AB A，所以平面OCE/平面PAB因为CE平面PAB所以直线CE/平面PAB（2）同上AO【知识拓展】【知识拓展】线面平行的证明一般有两个方向，线面平行的判定或面面平行的性质。角的求解多借助空间直角坐标系，需要注意两个问题：（1）题中没有现成的三条线两两垂u r r直，需要先证明后建系；（2）m,n 是指两个法向量的夹角，与二面角相等或互补，需要观察所求二面角是锐二面角还是钝二面角【题目 20】(2017新课标全国卷理 20)20.（12 分）x2设O为坐标原点，动

40、点M在椭圆C：y21上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满2uuu ruuuu r足NP 2NM.(1)求点P的轨迹方程；uuu r uuu r(2)设点Q在直线x=-3 上，且OPPQ 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（）解法一：相关点法求轨迹：uuu ruuuu r设Mx0,y0，Nx0,0,Px,y，则：NP x x0,y,NM 0,y0.uuu ruuuu r又NP 2NM,所以：x x0,y20,y0，则：x x0,y 2y0.x02 y021。又Mx0,y0在椭圆 C 上，所以：2所以：x2 y2 2.解

41、法二：x 2cos椭圆 C 的参数方程为：（为参数）.y sin2cos,0,Px,y，uuu ruuuu r则：NP x2cos,y,NM 0,sin.uuu ruuuu r又NP 2NM,所以：x2cos,y20,sin，则：x 设M2cos,sin，N2 cos,y 2sin.则：x2 y2 2.（）解法一：设P1uuu ruuu rOQ 3,y,PQ 3uuu r2cos,2sin，Q3,y1,F1,0,则OP 2cos,2sin，uuu r2cos,y12sin，PF 12cos,2sin.uuu r uuu r又OPPQ 1,所以：2cos,2sin 32cos,y12sin 3

42、2cos2cos22y1sin2sin21即：3 2cos2y1sin 3.uuu r uuu r那么：PF OQ 12cos,2sin3,y1 33 2cos2ysin 0.所以：uPFuu ruOQuu r.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆 C 的左焦点F。解法二：设Px1,y1，Q3,y2,F1,0uOQuu r3,yuuu rxuuu r2,PQ 31,y2 y1，PF 1 x1,y1.又uOPuu ruPQuu r1,所以：x1,y13 x21,y2 y1 3x1 x1 y1y2 y211.又Px1,y1在x2 y2 2上，所以：3x1 y1y2 3.又uPFuu ruOQuu r1

43、x1,y13,y233x1 y1y2 0.所以：uPFuu ruOQuu r.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆 C 的左焦点F。【题目 21】(2017新课标全国卷理 21)21.（12 分）已知函数f(x)ax2ax xln x,且f(x)0.（1）求a；（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2 f(x0)22.【命题意图】本题考查函数的极值，导数的应用【基本解法】(1)法一.由题知：f(x)xaxalnxx 0，且f(x)0，所以：ax1lnx 0.即当x0,1时，a ln xx1；当x1,时，a ln xx1；当x 1时，ax1lnx 0成立.,则uOPuu rx1,y1，令gx

44、 x1lnx，gx11x1，当x0,1时，gx0，xxlnx1.所以：a 1；gx递减，gx g1 0，所以：x1 ln x，即：x1当x1,时，gx0，gx递增，gx g10，所以：x1 ln x，即：综上：a 1.法二.洛必达法则lnx1.所以：a 1；x1由题知：f(x)xaxalnxx 0，且f(x)0，所以：ax1lnx 0.即当x0,1时，a ln xln x；当x1,时，a；x1x1当x 1时，ax1lnx 0成立.11x1lnx1lnxln xx令gx，gxx.22x1x1x11111 x令hx1ln x，hx22.xxxx当x0,1时，hx0,hx递增，hx h1 0；所以g

45、x0，gx递减，gx limx1lnx lim11.ln x limx1x1x1x1x所以：a 1；当x1,时，hx0,hx递减，hx h1 0；所以gx0，gx递减，gx limx1ln x lim11.lnx limx1x1x1x1x所以：a 1；故：a 1.（1）由(1)知：f(x)xx1lnx，f x 2x2lnx.设x 2x2lnx，则x 2x.11 1x 0,x,x 0 时，x0.当时，；当22所以x在0,2递减，在2,递增.2e 0，2 0，10，所以x在0,2有唯一零点x0，在2,有又1 1 11 1唯一零点 1，且当x0,x0时，x 0；当xx0,1时，x 0；当x1,时，x

46、 0.又f xx，所以x x0是f(x)的唯一极大值点.由f x0 0得lnx0 2x01，故fx0 x01 x0.由x00,1得fx014.11x xf(x)f e 0得0,1e 0,10因为是在的唯一极大值点，由，22e f(x)20所以.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。【题目 22】(2017新课标全国卷理 22)22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM

47、|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值3【命题意图】坐标系与参数方程，求动点的轨迹方程，三角函数【基本解法】（1）解法一：设P点在极坐标下坐标为,16由 OM OP 16可得M点的坐标为,，代入曲线C1的极坐标方程，得：16cos 4，即 4cos，两边同乘以，化成直角坐标方程为：x2 y2 4x，由题意知 0，所以检验得x2 y2 4x(x 0)解法二：设P点在直角坐标系下坐标为x,y，曲线C1的直角坐标方程为x 4，因为O,P,M4y 三点共线，所以M点的坐标为4,，代入条件OM OP 16得：x16y2162x

48、2 y216，因为x 0，化简得：xx2 y2 4x(x 0)（2）解法一：由（1）知曲线C2的极坐标方程为 4cos，故可设B点坐标为(4cos,)，SOAB124cos sin()2 3cos22sincos233cos2sin 23 2sin(2)33由22得SOAB 23，即最大值为23解法二：在直角坐标系中，A点坐标为(1,3)，直线OA的方程为3x y 0设点B点坐标(x,y)，则点B到直线OA的距离d 12d 223x y2所以SOAB3x y2，又因为点B坐标满足方程(x2)2 y2 4，由柯西不等式得：222，即4 3(x2)y 43(1)23(x2)y(x2)y 即4 2

49、3 3x y 4 2 3由SOAB3x y2得，SOAB 22 3解法三：前面同解法二，SOAB12d 23x y2，又因为点B坐标满足方程(x2)2 y2 4，故可设B的坐标(22cos,2sin)，即SOAB4sin()2 32 3cos2 3 2sin3 2322解法四：圆心为C(2,0),点A(1,3)在圆(x2)2 y2 4上，记C 到OA的距离为d，直线OA的方程为3x y 0，则d 3，不难得到:11SOABOA(d r)2(3 2)2322【题目 23】(2017新课标全国卷理 23)23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知a 0,b 0,a3b3 2，证明：（1）(ab

50、)(a3b3)4；（2）ab 2【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：解法二：(a b)(a5b5)a6b6 ab5 a5b (a3b3)2 ab5 a5b 2a3b32解法三：a ba5b54 a ba5b5a3b3 ab5 a5b 2a3b3又a 0,b 0，所以ab5a5b2a3b3 aba2b2 02当a b时，等号成立所以，aba5b54 0，即(ab)(a5b5)4(a b)2（2）解法一：由a b 2及ab 得433所以a b 2解法二：（反证法）假设a b 2，则a 2b，两边同时立方得：a3(2b)3 812b6b2b3，即a3b3 81