上海市杨浦区2021届高三上学期一模(期末)数学试题.docx

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1、 杨浦区 2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.一 填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 已知全集 = R ，集合 = (-,2) ，则集合_UAAU2，+ )直接利用补集的定义求解即可= (-,2)解：因为全集 = ，集合R，UA所以，A 2，+ )U故答案为： 2，+ )此题考查集合的补集运算，属于基础题2. 设复数 z =1- 2i，( 是虚数单位)，则| |=_.zi5由复数的模的计算公式即可求出1- 2i，解：因为复数 =z

2、所以| | 1 ( 2) 5 z = + - =22故答案为： 5 2x + y = 43x - ay = 83. 若关于 x, y 的方程组无解，则实数 =_.a3-22x + y - 4 = 0由题意可得直线值和直线3 - -8 = 0 平行，再利用两条直线平行的性质，求出 的x ay a2x + y = 43x - ay = 8详解】若关于 x ， y 的方程组无解，2x + y - 4 = 0则直线和直线3 - -8 = 0 平行，x ay1 33 -a -8故有，求得 = - ，a=221-43故答案为： -24. 已知球的半径是2 ，则球体积为_.323根据球的体积公式直接计算得结

3、果.432由于球的半径为2 ，故体积为 23 =.33本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题.: 2x + my +1= 0l y:2= 3 -1垂直，则实数m= _.5. 若直线l与x16.根据两直线垂直的充要条件，即 x ， y 项对应系数之积的和等于 0，解方程求得 m 的值: 2x + my +1= 0与l y = x - 垂直，l 可化为 - -1 = 0 ，:3 1x y3直线l12223+ m(-1) = 0故答案为：6，解得 = ，6m本题考查两直线垂直的充要条件，考查方程思想和运算求解能力，属于基础题p p,p5asin a6. 已知 asin = -， -

4、，则+= _.2 2252 55利用同角三角函数基本关系求cosa ，再利用诱导公式即可求解p p,5a因为sina = -， -，2 25pa,0 ，可得cos 0所以 -a2252 55所以cosa = 1-sin a = 1- -，=25p2 55sin a += cosa =，22 5故答案为：.52 2n7. 已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为256x +x _（结果用数值表示）.11202n由 +的二项展开式的所有二项式系数的和为 2 256 可求得 的值，进而可写出该二项=xnnx 展开式的通项，令 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可求得结果.x

5、2n由于 +的二项展开式的所有二项式系数的和为 2 256 ，解得 = 8.=nxnx 22 8k+的展开式通项为T = C x = C 2 x ，x8-k 8-2kk8k8kx k+1 x 令8- 2k = 0k = 4.，解得28的展开式中的常数项为 = T C2 = 7016 =1120 .因此， +x4845x故答案为：1120.结论点睛：在求解有关二项展开式中二项式系数和与各项系数和，可利用以下结论求解：( )（1）各二项系数之和： + 的展开式中各项的二项式系数之和为 2a bn，且二项展开式中奇数n项和偶数项的二项式系数之和相等，都为 2 ；n-1（2）各项系数和：在二项展开式中

6、令变量均为 ，得到二项式的值为二项展开式各项系数之和.18.是偶函数，当 0时， f (x) = 2 -1 ，则不等式 ( ) 1的解集为_.x x f xf (x)(-,-1) (1,+ )根据条件可得出，当 时，由0( ) 1 得出 ，然后根据 f (x) 是偶函数即可得出不等式x1xf xf (x) 1的解集解：当 时，由0( ) 1 ，得 2 2 ，解得 1.xf xxx( )因为 f x 为偶函数，所以 ( ) 1的解集为f x(-,-1) (1,+ ) .故答案为：(-,-1) (1,+ )( )9. 方程1+ log = logx-3 的解为_.x222x = 33 根据对数的运

7、算及性质可得：3 2 ，结合真数位置大于 即可求解.x - = x02( )( )2( )1+ log x = log x -3log 2x = log x -3由可得，22222( )( )-3 x +1 = 0所以3 2 ，即 xx - = x，2解得： = 或3= -1，xx因为 0且3 0 ，所以 = ，3x2 - xx( )1+ log x = log x -3x= 3所以方程的解为：222故答案为： =3.x10. 平面直角坐标系中，满足到 (-1,0) 的距离比到 (1,0) 的距离大 的点的轨迹为曲线F1F2T ，1点 P (n, y ) (其中 y ，0)是曲线 上的点，原点

8、 到直线OP F 的距离为 ，则dnN*T2nnnnnlim d = _.nn32分析】由双曲线定义可知 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线P F 的方程，再由点到直线的距Tn2离公式求解设曲线 上的点为 ，由题意，| PF | - | PF |=1 ， * 是曲线 上的点，0)n NTnnn+P Fn当 n时，直线的斜率趋近于 3 ，即=3 k2P Fn2则，即 3x - y - 3 = 0 P F : y = 3(x -1)n23 limd =n=2( 3) + (-1)2n24 3故答案为：2方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）定义法（根据已知分析得到动点的轨迹是某一种圆锥曲

9、线再求解）；（2）直接法；（3）相关点代入法.11. 如图所示矩形 ABCD中，= 2 ，=1，分别将边 BC 与等分成8 份，并将等分点DCAB自下而上依次记作 、 、 、 ，自左到右依次记作F 、F 、 、 ，满足 AE AFAD 2EEF7E27121ij( )1 i, j 7（其中 、 ，j N）的有序数对 , 共有_对.i ji*18以点 为坐标原点，A、所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，易得ABADj()()iE 2,i N ,1 i 7 ， F,1 j N ,1 j 7 ，由 AE AF 2 可得出 +i4 j 16，然后*84ijij( )列举出符合条件的有序实

10、数对 , 即可得解.i jy所在直线分别为 x 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，以点 为坐标原点，A、AB AD()，()ij2,i N ,1 i 7F,1 j N ,1 j 7，易知点 E*84ijijj ii + 4 j 16= + ，可得 ，则 AE = 2, ， AF =,1，所以， AE AF2842 8ijij5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1,11,21,32,12,22,33,1、 、 3,2 、所以符合条件的有序数对 , 有：i j、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,34,14,25

11、,15,26,16,27,17,2、 ，、 4,3 、18 .共 对故答案为：18.方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用112. 已知函数 = ( ) 在定义域 上是单调函数，值域为(-,0) ，满足 (-1) = - ，且对于任y f xfR3意 , ，都有 ( + ) = - ( ) ( ) . =(x)的反函数为 =x( ) ，若将 = ( ) 其中常数(x y R f x yf x f y y fy f -1y kf xk 0)的反函数的图像向上平移 1 个单位，将得

12、到函数 y = f x( ) 的图像，则实数 k 的值为-1_.3由题意设1根据 (-1) = - ，解得 ，在求解 = ( )的反函数，向上平移 1 个单位，f (x) = -axfay kf x3可得 =y f xk( ) ，即可求解实数 的值；-1解：由题意，设，f (x) = y = -ax1根据，解得= 3，f(-1) = -a3， f (x) = y = -3x(y 0)那么 x = log (-y) ，3yx 与 互换，可得( b 0 ， 0 ，则下列不等式中，恒成立的是（）c1 1c cD. B.C.ac bcac bc22a bB利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.1 1

13、， 选项错误； 0 Ab aab对于 A 选项，所以， ，所以，0a b 0ab ab对于 B 选项， 0，则 0 ，由不等式的基本性质可得，B 选项正确；ac bc2c22c对于 C 选项，若 0 ，由不等式的基本性质可得 ，C 选项错误；ac bcc1 1c c对于 D 选项，若 0，由不等式的基本性质可得 ，D 选项cb aa b错误.故选：D.14. 下列函数中，值域为(0 , +)的是（）2A. y x2B. =C. y = 2xD. =log xyy2xC由题意利用基本初等函数的值域，得出结论解： 函数 的值域为0 ， +) ，故排除 ；y x2A2函数 = 的值域为y | y 0

14、，故排除 ；Byx函数 = 2 的值域为(0, +)，故 满足条件；Cyx函数 y =| log x |的值域为0 ， +) ，故排除 ，D2故选： C15. 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A.-12B.C.D.CC 48-8- 6- 448C48C48A从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有 种，去掉四点共面的情况即可求解.C48从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有 种，C48正方体表面四点共面不能构成四面体有 种，67 .正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有 种，6所以可得到的四面体的个数为 - 6 - 6 =-12 种，C48C48

15、故选：A关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.16. 设集合(其中常数 0, a 1)，(其中常数 Q )，则= | = , y y x x A kA =y | y = a , x 0Baxk“ 0= 1,+ ，y y a xa 1Ax( )若 ，则 = | = , = 0,1 ，0kBy y x x Ak此时= ，A B( )当0 a 0= 0,1x( )若 ，则 = | = , = 1,+ ，0kBy y x x Ak此时= ，A B故“ 1时，若A BB =y | y = x , x A，可得 k 0 ，k( )= 0,1，若当

16、0 a 1时， A= ，A B，可得 0 ，B =y | y = x , x Akk所以“ ”不是“0= ”的必要条件，kA B= ”的充分非必要条件.A B所以“ 1)BG:ya12a（1）若，求椭圆G 的方程；A B A B = -412（2）设a = 2 ，F 是椭圆的右焦点，点 是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点MQF Q22y.在 轴上，求F BQ 的面积2（3）设 = 3，点 是直线 = 上的动点，点 和 是椭圆上异于左右顶点的两点，且 ，6axCCDDP分别在直线和PA PA2上，求证：直线CD恒过一定点.12x2（1） + y =1；（2）1-；（3）证明见解析.254（1

17、）计算得，代入解方程即可得 ，故可得椭圆G 的方程；A B1 A B = -4aA B = (a,1) A B = (-a,1)122（2）设另一焦点为 F ，则 x 轴，计算出点 坐标，计算即可；FQ1Q= S+ SS1F BQBF MBQM22x2m（3）设点 的坐标为(6, ) ，直线：y = (x + 3) ，与椭圆方程 + y =1联立，由韦达定理PmPA2919 -3m2 + 27 6m 3m2 - 3 -2 m计算得出,，同理可得,，分 = x ，两种情况表示 xxCC DxC9 + m29 + m21+ m21+ m2DD出直线CD方程，从而确定出定点.13 （1）(-a,0)

18、, A (a,0)， (0,1)A1B2，1= -4，解得a2 = 5A B = (a,1)A B = (-a,1) A B = -a +A B12122x2即椭圆 的方程为 + =1.Gy25( )F -1,0，x2（2）椭圆的方程为，由题意F(1,0)2，设另一焦点为+ y =1212设 ( , ) ，由线段的中点在 轴上，得y x 轴，所以 x = -1，F Q2FQ1Q x yQQQ2 2代入椭圆方程得，即 -1,Qy =Q221 2 2 2 =1-；S= S+ S= 1-244F BQBF MBQM22（3）证明：由题意(-3,0), A (3,0)，设点 的坐标为(6, ) ，A1

19、Pm2x2m直线：，与椭圆方程 + =1联立PA= ( + 3)yxy2919消去 y 得：(9 + m )x + 6m x + 9m -81= 022223m + 27 -3m2 + 27 6m-2由韦达定理得即C ,；x =C9 + m29 + m29 + m2 3m2 - 3 -2 m同理,；D1+ m21+ m227 - 3m2 3m - 32当 x = x ，即即3 时，m2 =9 + m2m +12CD3直线CD的方程为 = ；x2-2m4m x3m - 32当 x x 时，直线CD： -=-y1+ m2 3(3- m )1+ m22CD4m33化简得 =x- ，恒过点 , 0 ；

20、y3(3- m2)223综上所述，直线CD恒过点 , 0 .2关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出C, D 点的坐标，从而表示出直线，CD并能通过运算整理成关于 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难m度.14 21. 设数列 与 满足： 的各项均为正数，.abnaa n N= cos , bn*nnn3（1）设 a = , a = ，若b 是无穷等比数列，求数列b 的通项公式；4323nn（2）设0 a .求证：不存在递减的数列a ，使得b 是无穷等比数列；21nn（3）当1 n 2m +1时，b 为公差不为 0 的等差数列且其前m2 +1的和为 0；若对

21、任意满足条n件0 cosa 00 a a 1q2cosa1，考虑不等式cosa = cosa (q)n-1cosa q 1n-1n11当 1- log (cos ) 时，即 1+ 1- log (cos ) 时，na1na1qq有cosa 1(其中 表示不超过 的最大整数)，xxn(x) = cos x的值域为-1,1矛盾这与 f假设不成立，得证(b + b )(2m +1)（3）解：12m+1= 0，b + b= 0212m+1由等差数列性质b + bi= b + b= 0 (1 i m +1, iN )*2m+2-i12m+115 即cosa + cosa= 0 ，特别地，b = 0 ，i

22、2m+2-im+1现考虑 S 的最大值2m+1 为使 S 取最大值，应有 5, 6 ，an2m+1否则在 S 中将 替换为 ，且acosa = cosa ， a 5, 6an2m+1nnnn将得到一个更大的 S2m+11111由cosa + cosa= 0 可知，特别地，；a + a= 2=11a =m+1222m+2-i2m+2-iii11 (2m +1)11( )于S= m(11) +=100p222m+1max189解得，所以 的最大值为 8.mm 22是本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用1621. 设数列 与 满足： 的各项均为正数，.abnaa n N= cos , bn*nnn3（1）设 a = , a = ，若b 是无穷等比数列，求数列b 的通项公式；4323nn（2）设0 a .求证：不存在递减的数列a ，使得b 是无穷等比数列；21nn