6.4----微专题：平面向量与三角形的“四心”(2)公开课教案教学设计课件案例试卷.docx

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1、单元主题：向量一、设定教学目标核心素养：1.直观想象：能够通过图形直观认识数学问题，能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合；2.数学运算：能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用；3.数学抽象：能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；4.数学建模：了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。课程标准：1. 帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；2. 掌握平面向量的基本概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；3. 用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。核心问题

2、：1.夯实平面向量基础知识，掌握平面向量问题的解决方法2.掌握平面向量问题的解决方法教学目标：1.熟练掌握平面向量的基础知识，能在解题时灵活应用。2.掌握解决平面向量问题的基本方法：基底法和坐标法，能根据具体情境选择恰当的方法解决问题。3.训练转化化归、数形结合的思想方法，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心数学素养。4.感受数学知识的内在联系。二、确定恰当评估办法任务1：向量概念 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素-A 了解平面向量的意义和两个向量相等的含义，了解平面向量的几何表示和基本要素-B任务

3、2：向量运算 掌握平面向量加、减运算即运算规则，理解其几何意义，掌握平面向量数乘运算即运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义-A 不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题-B任务3：向量基本定理及坐标表示 理解平面向量基本定理及其意义，借助平面直角坐标系；掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件-A 不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题-B任务4：向量与解三角形会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际

4、问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用；借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理；能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题-A 不能完全理解上述内容，但能了解，能解决一些相应的基本问题-B微专题：数学运算 平面向量与三角形的“四心”1.平面向量与三角形的“重心”问题例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点答案C解析取AB的中点D,则2OD=OA+OB,因为OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,

5、所以OP=132(1-)OD+(1+2)OC=2(1-)3OD+1+23OC,又因为2(1-)3+1+23=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心.2.平面向量与三角形的“垂心”问题例2 已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC,(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心答案B解析因为OP=OA+AB|AB|cosB+AC|AC|cosC,所以AP=OP-OA=AB|AB|cosB+AC|AC|cosC.所以BCAP=BCAB|AB|cosB+AC|A

6、C|cosC=ABBC|AB|cosB+ACBC|AC|cosC=(-|BC|+|BC|)=0.所以BCAP,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.3.平面向量与三角形的“内心”问题例3 在ABC中,AB=5,AC=6,cos A=15,O是ABC的内心,若OP=xOB+yOC,其中x,y0,1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A.1063B.1463C.43D.62答案B解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为BOC的面积的2倍.在ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c

7、2-2bccos A,得a=7.设ABC的内切圆的半径为r,则12bcsin A=12(a+b+c)r,解得r=263,所以SBOC=12ar=127263=763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC=1463.4.平面向量与三角形的“外心”问题例4已知在ABC中,AB=1,BC=6,AC=2,点O为ABC的外心,若AO=xAB+yAC,则有序实数对(x,y)为()A.45,35B.35,45C.-45,35D.-35,45答案A解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则OMAB,ONAC,OM=AM-AO=12AB-(xAB+yAC)=12-xAB-yAC,ON=AN-AO=12AC-(xAB+yAC)=12-yAC-xAB,由OMAB,得12-xAB2-yACAB=0,由ONAC,得12-yAC2-xACAB=0.又因为BC2=(AC-AB)2=AC2-2ACAB+AB2,所以ACAB=AC2+AB2-BC22=-12,把代入,得1-2x+y=0,4+x-8y=0,解得x=45,y=35.故实数对(x,y)为45,35.