(完整版)大学物理学(课后答案)第5-6章.pdf
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1、 122 第 5 章 机械振动 一、选择题 5-1 一个质点作简谐振动,振幅为 A,在起始时刻质点的位移为2A,且向x 轴的正方向运动,代表这个简谐振动的旋转矢量图为 分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向 Ox 轴正向,同时矢端在 x轴投影点的位移为2A,满足题意,因而选(D)。5-2 作简谐振动的物体,振幅为 A,由平衡位置向 x 轴正方向运动,则物体由平衡位置运动到32Ax 处时,所需的最短时间为周期的几分之几 (A)1/2 (B)1/4 (C)1/6 (D)1/12 分析与解 设1t时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动,2t时刻物体第一次运动到32Ax 处,可通过旋转矢量图,如图
2、5-2 所示,并根据公式2tT 得31226tTTT,,因而选(C)。5-3 两个同周期简谐振动曲线如图 5-3(a)所示,1x的相位比2x的相位 O O O O A A x x x (A)(B)(D)(C)A/2 -A/2 A/2-A/2 A A x 习题 5-1 图 习题 5-2 图 123(A)落后2 (B)超前2 (C)落后 (D)超前 分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图(b),正确答案为(B)。5-4 一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E,若振幅增加为原来的 2 倍,振子的质量增加为原来的 4 倍,则它的总能量为 (A)2E (B)4E (C)E (D)16E 分析与解 因为
3、简谐振动的总能量2pk12EEEkA,因而当振幅增加为原来的 2 倍时,能量变为原来的 4 倍,因而答案选(B)。5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后,振幅仍为 A,则这两个简谐振动的相位差为 (A)60 (B)90 (C)120 (D)180 分析与解 答案(C)。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为 A。二、填空题 5-6 一质量为 m 的质点在力2Fx 作用下沿 x 轴运动,其运动的周期为 _。习题 5-5 图 x2 O x1 x t(a)习题 5-3 图(b)124 分析与解 由已知条件2Fx,可得2k,又可以根据公式km
4、求出角频率。将结果代入可得22222Tmk mm。5-7 一物体作简谐振动,其运动方程为 50.04cos()m32tx。(1)此简谐振动的周期T _;(2)当0.6 st 时,物体的速度v _。分析与解 将50.04cos()32tx与cos()xAt比较后可得角频率53,则周期21.2(s)T。物体的速度d550.04sin()d332xvtt,当0.6 st 时-0.209v m/s。5-8 一质点沿 x 轴作简谐振动,振动范围的中心点为 x 轴的原点,已知周期为 T,振幅为 A。若0t 时质点处于/2xA处,且向 x 轴负方向运动,则简谐振动方程为x _。分析与解 可得质点的角频率2T
5、,再根据题意画出0t 时刻对应的旋转矢量图,可得初相位为3,则简谐振动方程cos(2)T3tA。5-9 质量为 m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子,其振动周期为 T,当它作振幅为 A 的简谐振动时,此系统的振动能量E _。分析与解 简谐振动的总能量2221122EkAmA。根据题意可得2T。代入得222222221112=()=2222EkAmAmAmATT。5-10 已知弹簧的劲度系数为1.3 N/cmk,振幅为2.4 cm,这一弹簧振子的机械能为_。习题 5-8 图 125 分析与解 简谐振动的总能量2-213.74 10 J2EkA 三、计算题 5-11 若简谐振动方程为0.10cos(
6、20 t+)4x,式中 x 的单位为 m,t 的单位为 s,求:(1)振幅、角频率、周期和初相;(2)速度的最大值。分析 可采用比较法求解。将题目给的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率和初相。再根据ddxvt写出速度的表达式。解(1)将0.10cos(20 t+)4x与cos()xAt作比较,可得振幅0.10mA,角频率20 rad/s,初相4,则周期20.1sT。(2)速度d200.01sin(20 t+)d4xvt,则速度的最大值max200.012 m/sv。5-12 一物体沿 x 轴作简谐振动,振幅为10 cm,周期为2 s,在0t 时,5 cmx,且向 x 轴
7、负方向运动,求运动方程。分析 根据题中已给条件振幅A,角频率2T均已知,初相可由题给初始条件由旋转矢量法方便求出。解 由已知条件得0.1mA,22rad/s2T。0t 时A5 cm=2x 画出该简谐运动的旋转矢量图,如图 512 所示,可知3。则m)3cos(1.0tx。5-13 有一弹簧,当其下端挂一质量为 m 的物体时,伸长量为29.8 10 m。若使物体上下振动,且规定向下为正方向。(1)当0t 时,物体在平衡位置上方28.0 10 m处,由静止开始向下运动,求运动方程;(2)当0t 时,物体在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上运动,求运动方程。习题 5-12 图 126 分析 振动
8、的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定km,其中k可由物体受力平衡时弹簧得伸长计算,而振幅A和初相则由初始条件给出。解(1)根据物体受力平衡,FG,得k lmg,求出弹簧的劲度系数mgkl 角频率-110skmglgmml 由初始条件0t 时,208.0 10 mx,00v,得222008.0 10 mvAx 利用旋转矢量法,如图(a)所示可知初相,则运动方程为28.0 10cos 10(m)xt(2)当初始条件0t 时,00 mx,00.60 m/sv,求得222006.0 10 mvAx 利用旋转矢量法,如图(b)所示可得初相2,则运动方程为26.0 10cos(10)(m)2xt 5-1
9、4 有一条简谐振动曲线如图 5-14(a)所示,求:(1)该简谐振动的角频率,初相位0;(2)该简谐振动的运动方程,振动速度和振动加速度的表达式。习题 5-13 图(b)(a)127 分析 由已知的振动曲线可得样品的振幅A,周期T,角频率可由2T求得,并且从曲线中可得初始条件0t 时,00 cmx,0v0,通过旋转矢量可求得初相0,以上参数都得到后即可写出简谐振动方程及振动速度和振动加速度的表达式。解(1)由振动曲线可得样品的振幅2cmA,周期4sT,得角频率2rad/s2T 当0t 时,00 cmx,0v0,通过旋转矢量,如图(b)所示,可求得初相02 (2)简谐振动的运动方程2cos()(
10、cm)22xt 振动速度dsin()(cm/s)d22xvtt 振动加速度221acos()(cm/s)222dvtdt 5-15 质量为 10 g 的物体沿 x 轴作简谐振动,振幅10 cmA,周期4.0 sT,0t 时物体的位移为05.0 cmx ,且物体朝 x 轴负方向运动,求:(1)1.0 st 时物体的位移;(2)1.0 st 时物体所受的力;(3)0t 之后何时物体第一次到达5.0 cmx 处;(4)第二次和第一次经过5.0 cmx 处的时间间隔。分析 根据题中已给条件振幅A,角频率2T均已知,初相可由题给初始条件由旋转矢量法求出。有了运动方程,t时刻的位移和t时刻物体的受力2Fm
11、amx 也可求出,后面两问可通过旋转矢量图并根据公式t求出。解(1)由已知条件得0.1mA,22rad/s42T。0t 时A5 cm=2x (a)O 2 4 t/s x/cm 2 题 5-14 图(b)128 画出该简谐运动的旋转矢量图,如图 515(a)所示,可知23。则20.10cos()cm23xt 1.0 st 时物体的位移20.10cos(0.1)cm8.66 cm23x (2)1.0 st 时物体的受力2-32.14 10 NFmamx (3)设0t 时刻后,物体第一次到达5.0 cmx 处的时刻为1t,由旋转矢量图,如图 5-15(b)所示,在两个不同时刻相位差相差,由12stt
12、 (4)设0t 时刻后,物体第二次到达5.0 cmx 处的时刻为2t,由旋转矢量图,如图 5-15(c)所示,在1t,2t两个不同时刻相位差相差23,由214s3ttt 5-16 如图 5-16(a)所示,质量为21.00 10kg的子弹,以500 m/s的速度射入并嵌在木块中,同时使弹簧压缩从而作简谐振动,设木块的质量为4.99 kg,弹簧的劲度系数为38.00 10 N/m,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点,向左为x轴正向,求简谐振动的运动方程。分析 根据已知条件可用动量守恒定律求出子弹射入后和木块的共同速度。v m1 m2 k 习题 5-16 图(b)(a)(a)(b)(c)习题 5-
13、15 图 129 振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定km,而振幅A和初相则由初始条件给出。以上参数都得到后即可写出简谐振动方程。解 子弹和木块的共同速度10121m/sm vvmm 角频率1240rad/skmm 振幅22200022.510vvAxm 由旋转矢量,如图 5-16(b)所示,确定初相2 简谐振动方程22.510cos(40)2xtm 5-17 一物块悬于弹簧下端并作简谐振动,当物块位移大小为振幅的一半时,这个振动系统的势能占总能量的多少?动能占总能量的多少?又位移大小为多少时,动能、势能各占总能量的一半?分析 简谐振动的总能量221122EmAkA2,其中212pEkx
14、,212kEmv,即可求出动能与势能的大小。解 当物块位移大小为振幅的一半时,简谐振动的总能量221122EmAkA2 其中势能22112224pAEEkxk,动能3kpEEEE 因而势能占总能量的 25%;动能占总能量的 75%。设物体在x处物体动能和势能相等PkEE 12PPPEEEEE 2211 122 22AkxkAx 5-18 一劲度系数=312 N/mk的轻弹簧,一端固定,另一端连结一质量0.3 kg0m的物体,放在光滑的水平面上,上面放一质量为0.2 kgm的物体,两物体间的最大静摩擦系数5.0,求两物体间无相对滑动时,系统振动的最大能量。130 分析 根据题意可知,两物体间无相
15、对滑动,即m和0m有相同的速度和加速度,可以看做一质量为0mm的弹簧振子,则振动的圆频率0kmm。对于放在上面的物体m来说,它作简谐振动所需的回复力由两物体间的静摩擦力来提供的,其最大静摩擦力对应其最大加速度2maxmaxmgmamA,则最大总能量maxmax12EkA可方便算出。解 两物体间无相对滑动,即m和0m可以看做一质量为0mm的弹簧振子,则振动的圆频率0kmm 对于m来说,它作简谐振动所需的回复力是由两物体间的静摩擦力来提供的,其最大静摩擦力应对应着其最大加速度,即2maxmaxmgmamA 所以系统作简谐振动的最大振幅0max2g mmmgAkm 振动系统的最大能量20-3maxm
16、ax119.62 10 J22g mmEkAkk 5-1 9 已 知 两 同 方 向 同 频 率 的 简 谐 振 动 的 运 动 方 程 分 别 为 10.05cos 100.75xt,20.06cos 100.25xt,式中1x、2x的单位为 m,t的单位为 s。求:(1)合振动的振幅及初相;(2)若有另一同方向同频率的简谐振动330.07cos 10 xt,式中3x的单位为 m,t 的单位为 s,则3为多少时,13xx的振幅最大?又3为多少时,23xx的振幅最小?分析 两个同方向同频率简谐运动的合运动仍为简谐运动,其中初相位11221122sinsincoscosAAtgAA,合振幅221
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