含参量积分的分析性质及其应用_1.pdf

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1、-.z.含参量积分的分析性质及其应用 班级：11 数学与应用数学一班 成绩：日期：2021 年 11 月 5 日 含参量积分的分析性质及其应用 1.含参量正常积分的分析性质及应用 1.1 含参量正常积分的连续性 定理 1 假设二元函数),(yxf在矩形区域,dcbaR上连续,则函数 x=dcdyyxf),(在a,b上连续.例 1 设)sgn(),(yxyxf这个函数在*=y 时不连续,试证由含量积分10),()(dxyxfyF所确定的函数在),(上连续.解因为10 x,所以当 y0,则 sgn(*-y)=1,即 f(*,y)=1.-1,*y 则yyydxdxyF01.21)1()(1,y1 时

2、,f(*,y)=-1,则101)1()(dxyF,即 F(*)=1-2y,0y1 又因).1(1)(lim),0(1lim10FyFFyyF(y)在 y=0 与 y=1 处均连续,因而 F(y)在-.z.),(上连续.例 2 求以下极限：1dxax11220lim;(2)2020coslimxdxx.解 1因为二元函数22x在矩形域 R=-1,1-1.1上连续,则由连续性定理得dxax1122在-1,1上连续.则 1122110112201limlimdxxdxaxdxax.2 因为二元函数axx cos2在矩形域2,22,0R 上连续,由连续性定理得,函数202cosaxdxx在2,2上连续

3、.则.38coslim2020220dxxaxdxx 例 3 研究函数)(xFdxyxxyf1022)(的连续性,其中 f*在闭区间0,1上是正的连续函数.解 对 任 意00y,取0,使00y,于 是 被 积 函 数22)(yxxyf在,1,000yyR上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则 Fy在区间,00yy上连续,由0y的任意性知,Fy在),0(上连续.又因dxyxxyfdxyxxyfyF10221022)()()(,则 F y 在)0,(上连续.当y=0 处0)(0yF.由于)(xf为0,1上的正值连续函数,则存在最小值 m0.ymdxyxmydxyxxyfyF1arctan)()

4、(10221022,从而04)(lim0myFy,但 F(y)在 y=0 处不连续,所以 Fy在),0(),(上连续,在 y=0 处不连续.定理 2 设二元函数 f(*,y)在区域 G=(*,y)|bxaxdyxc),()(上连续,其中 c(*),d(*)为a,b上的连续函数,则函数 F(*,y)=)()(),(xdxcdyyxf在a,b上连续.例 4 求12201limxdx.-.z.解 记1221)(xdxI.由于2211,1,x都是和*的连续函数,由定理 2 知)(I在0处连续,所以41)0()(lim1020 xdxII.例 5 证明函数dxeyFyx0)(2)(在),(上连续.证明

5、对),(y,令*-y=t,可推得 00000)(2)(22222yyttttyxdtedtedtedtedxeyF.对于含多量正常积分02ytdte,由连续性定理可得02ytdte在),(上连续,则dxeyFyx0)(2)(在),(上连续.1.2 含参量正常积分的可微性 定理 3 假设函数fyx,与其偏导数xfyx,都在矩形区域 R=a,b*c,d上连续,则 x=dyyxfdc),(在a,b上可微,且dyyxfxdyyxfdxddcdc),(),(.定理 4 设fyx,xfyx,在 R=a,b*p,q上连续,c x,d x为定义在a,b上其值含于p,q內的可微函数,则函数 F x=)()(),

6、(xdxcdyyxf在a,b上可微,且).()(,()()(,(),()()()(xcxcxfxdxdxfdyyxfxFxdxcx 定理 5 假设函数fyx,及xfyx,都在a,b;c,d上连续,同时在c,d上)(ya及)(yb皆存在,并且 aa(y)b,ab(y)b(cyd),则)()()()()(),()(),(),(),()(ybyayybyayayyafybyybfdxyxfdxyxfdydyF.证明考虑函数 F(y)在c,d上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000yFyFyFdxyxfdxyxfdxyxfyFyayaybybyby

7、ao.现在分别考虑)3,2,1)(iyFi在点0y处得导数.由定理 5 可得)()(00100),()(ybyaydxyxfyF.由于0)(02yF,所以-.z.dxyyyxfyyyFyyyFyFyFybybyyyyoyyo)()(0020220;2000),(lim)(lim)()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(00020yfyyybybyFyy.这里在)(yb和)(0yb之间.再注意到fyx,的连续性及 b(y)的可微性,于是得到),()()(00002yybfybyF.同样可以证明 于是定理得证.例 6 设,sin)(2dxxyxyFyy求)(yF.解应用定理 5

8、有 yyy23sin2sin3.例 7 设)(xf在0 x的*个邻域 U 上连续,验证当Ux时,函数 dttftxnxnx)()()!1(1)(101 的 n 阶导数存在,且).()()(xfxn 解由于1中被积函数)()(),(1tftxtxFn及其偏导数),(txFx在 U 上连续,于是由定理 4 可得 同理 如此继续下去,求得 k 阶导数为 特别当1 nk时有 于是).()()(xfxn 例 8 计算积分.1)1ln(102dxxxI.解考虑含参量积分-.z.显然,)1(,0)0(I且函数21)1ln(xx在 R=0,10,1上满足定理 3 的条件,于是 102.)1)(1()(dxxx

9、x.因为 所以 因此)1(2ln4.另一方面 所以 1.3 含参量正常积分的可积性 定理 6 假设 fyx,在矩形区域 R=ba,dc,上连续,则 x和 x分别在ba,和dc,上可积.其中 x=dcyxf,dy,*ba,x=bayxf,dy.这就是说：在 fyx,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：dxdyyxfbadc,与dydxyxfdcba,简 便 记 为dyyxfdxbadc,与dxyxfdydcba,前者表示fyx,先对y求积然后对*求积,后者则表示先对*求积再对 y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在 fyx,连续性假设下,累次积分与

10、求积顺序无关,即假设 fyx,在矩形区域 R=ba,dc,上连续,则 dyyxfdxbadc,=dxyxfdydcba,.定理 7 假设 fyx,在矩形区域 R=ba,dc,上连续,g x在ba,上可积,则作为y的函数 dxxgyxfba,在dc,上连续,且-.z.dyyxfdxxgdccba,=dxxgyxfdydcba,.注意推论中闭区间dc,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例 9 求 I=dxxxxab10ln ba0.解由xxxdyxabbayln得 I=dxdyxbay 10=10baydyxdx,因为yxyxf,在矩形区域 ba,1,0上

11、连续,由定理可得I=dxxdybay10=dyyba11=lnab11.例 10 试求累次积分dyyxyxdx101022222与101022222dxyxyxdy,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：dyyxyxdx101022222=dxdyyxyx 101022222=dxyxyxdyyxdy 1010102222222=dxyxydyxdy 10101022221=dxx10211=0arctan1arctan=4.101022222dxyxyxdy=dxxyxydy101022222,由dyyxyxdx101022222=4,同 理 可 得dxxyxydy101022222=4,所

12、以101022222dxyxyxdy=4.即dyyxyxdx101022222101022222dxyxyxdy,这与定理不符.因为 222220,0,limyxyxyx=2222220,0,2limyxyyxyx=2222220,0,21limyxyyxyx 不存在,所以22222,yxyxyxf在点0,0处极限不存在,即在矩形区域 1,01,0上不连续,不满足定理的条件.例 11 应用积分号下的积分法求积分,dxxxxxabln1lnsin100 ab.-.z.解令 xxxxxgabln1lnsin,xxxdyxabbayln.因为 ,01,00,0lim,0lim10ggxgxgxx所以

13、 xg在 1,0上连续.所以dxxxxxabln1lnsin10=10 xg=dxdyxxbay 101lnsin.令yxf,=yxx1lnsin,10 x,0,0 x.则yxf,在矩形区域 ba,1,0上连续,由定理可知 dxdyxxbay 101lnsin=dxxxdyyba101lnsin=batytdtedy01sin=abdyyba1arctan1arctan1112.2.含参量反常积分的分析性质及应用 2.1 含参量反常积分的连续性 定理 8 设),(yxf在I,c上连续,假设含参量反常积分)(x=cdyyxf),(在 I 上一致连续,则*在 I 上连续.推论),(yxf在I,c上

14、连续,假设dyyxfxc),()(在 I 上內闭一致收敛,则*在 I 上连续.这个定理也说明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：例 12 证明dyxexy0在a,ba0上一致收敛;在0,b上不一致收敛.证明*),(ba,y),0,有bexeayxy0,而dybexy0收-.z.敛a0,由 M 判别法,知反常积分dyxexy0在a,ba0上一致收敛.因*=dyxexy0=0,0 x，1,0bx.在*=0 处不连续,而xexy在 0*b,0y+內连续,由连续性定理知dyxexy0在 0*b 上不一致连续.例 13 答复对极限dyxyxyex0220lim能否施行极限与积分运算顺序的变

15、换来求解.解110lim0limlim002200222limxxxxxyxyexyeedxydyxyo.而000002lim2dydyxyxyex运算顺序不能交换,是因为dyxyxye022在0,bb0上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理 9 如果函数),(uxf在a,+,上连续,而且积分adxuxf),(在,上一致收敛,则由*=adxuxf),(所确定的函数 在,上连续.证明 由于adxuxf),(在,上一致连续,故对任意0,存在A0a,使得不等式Adxuxf0),(0,存在0,当 u,且0uu 时,Adxuxfa0),(-Adxuxfa0),(03.于是当u,且u-0u

16、时,u-0u=adxuxf),(-adxuxf),(0Adxuxfa0),(-Adxuxfa0),(0 +Adxuxf0),(+Adxuxf0),(0-.z.3+3+3=.这就证明了在0u处是连续的.由于0u是,中的任意点,所以在,上连续.这个定理也可以写成：即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例 14 讨论函数)(dxxxx)2(arctan30的连续性区间.解先看函数)(的定义域是什么,即上述积分在什么围收敛.在*=0 附近,xxxdxx13121)2(arctan.所以当-2 时收敛.由此得知)(的定义域是-2,2.我们只需证明在任意a,b-2,2上连续.根据定理 9 只要

17、证明上面的积分在a,b上一致收敛.当*)1,0(时,设 ab2,这时存在常数 c 使得dxxxxa)2(arctan3xac1xbc1而 b-11,故由比较判别法,积分dxxxxa)2(arctan310在+,b一致收敛.当*1,+时,设-21,故 有 比 较 判 别 法,积 分dxxxx)2(arctan31在a,+上一致收敛,把积分合在一起,即知dxxxx)2(arctan30在a,b-2,2上一致收敛,故在-2,2上连续.注意 与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证连续的一个充分不必要条件.但在f非负的条件下,积分的一致收敛便是连续的必要条件.2.2 含参量反常积分的可微性-.z.定

18、理10 设),(yxf与),(yxfx在 区 域I,c上 连 续.假 设dyyxfxc),()(在I上收敛,dyyxfcx),(在I上一致收敛,则)(x在I上可微,且dyyxfxcx),()(.例 15 求积分dxxxyex20cos.解记 J(y)=dxxxyex20cos,有参量反常积分可微性定理推得)(yJ=dxxxyexsin0=yarctan,而0)0(J,所以dxxxyex20cos1=)(yJ=ydttJ0)(,)1ln(21arctanarctan20yyytdtIy.例 16 对dyexxFyx203)(能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数dyexxFyx2

19、03)(是否满足可微性定理条件,假设不满足条件,则不能变换顺序.1,0 x,解由于0420322)23()(dyeyxxdyexxyxyx=0,0 x.因而dyexxyx)(203在 1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dyexxFyx203)(=x,x,则,1)(xf而 在x=0 处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理 11积分号下求导定理 设),(yxf与),(yxfx在I,c上连续.假设dyyxfxc),()(在I上收敛,而dyyxfcx),(在I上闭一致收敛,则)(x在I上可微,且dyyxfxcx),()(.证明 设nCcCo为一递增且趋于的数列,记

20、dyyxfxunnccn1),()(,n=1,2 ,且有)(xI=)(1xunn.由正常积分的连续性定理得)(xun n=1,2 ,在ba,上可微,且dyyxfxunnccn1),()(,n=1,2 ,由条件dyyxfcx),(在ba,上一致收敛,又因假设含参变量反常积分dyyxfc),(关于bax,一致收敛,则函数项级数-.z.)(1xunn关于bax,一致收敛.从而函数项级数 也在ba,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(xI在ba,上可微,且)()(1xuxInndyyxfcx),(.上述定理的结果也可记成 dyyxfxdyyxfdxdcc),(),(.定理 12 如果函数

21、 f 和uf都在,a上连续,积分dxuuxfa),(在,上一致收敛,则adxuxfu),()(在,上可微,而且 udxuuxfua,),()(.证明对于任意正整数an,令nandxuxfx),()(.又因为假设函数 f 及其偏导数uf都在闭矩形,baI上连续,则函数badxuxfx),()(在,上可微,而且dxuxfuxdudba),()(.所以n在,上有连续的导函数 dxuuxfunan),()(.由于.),(dxuuxfa在,上一致收敛,所以函数列)(u在,上一致收敛,且因 n在,上收敛于,故在,上连续可微,且 成立.例 17 利用对参数的微分法,计算微分adxxeebxax,02220,

22、b0.解把 a 看作参数,记上面的积分为),(aI则dxeaIax02)(.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把 a 限制在区间,中,这里是任意一个正数.于是.2ax2xee由于.02dxex收敛,故由 Weierstrass 判别法知道,积分.02dxeax对,a中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于-.z.0 是任意的,故.)(02dxeaIax在,0中成立.计算得aaI2)(,所以.)(caaI由于,0)(bcbI故最后得).()(abaI 2.3 含参量反常积分的可积性 定理 13 设),(yxf在a,bc,上连续,假设dyyxfxc),()(在a,b上一致收敛,

23、则)(x在a,b上可积,且 dyyxfdxcba),(=dxyxfdybac),(.定理 14 设),(yxf在a,bc,上连续,假设1adxyxf),(关于 y 在c,上闭一致收敛,cdyyxf),(关于*在a,上闭一致收敛；2积分acdyyxfdx),(与cadxyxfdy),(中有一个收敛.则 acdyyxfdx),(=dxyxfdyac),(.例 18 等式dyebaxy=xeebxax出发,计算积分dxxeebxax0ba0.解 因为xye在 0,a,b上连续,且*ya*,则有 00上一致收敛.由可积性定理知 y0dxexy在 a,b上可积.且 dyedxbaxy0=dxxeebxax0=dxedyxyba0=baxydyey01=badyy1=abln.例 19 对dxexyydyxy03103)22(能否运用积分顺序交换来求解.解：令 u=*2y,则 dxexyydyxy03103)22(=dyueyu0102=100dy=0 而 xxuuxxyxyeuexdueuxdxyexyxdyexyy0021021031)1(1)1(1)22(22.则-.z.dyexyydxxy10303)22(=dxex0=1.所以积分运算顺序不能变换.原因是dxexyyxy033)22(在0,1上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.