2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测数学试题（含答案解析）.pdf

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1、 江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 1 页页/共共 13 页页 江苏江苏省省南通南通市市 2023 届高三届高三上第一次质量监测上第一次质量监测 公式：829 时间：2022-09-25 08:27 原试卷名：2023届高三第一次质量监测 一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1已知集合4|03xMxx+=，1|()33xNx=，则MN=()A 4,1 B 4,3)C 1,3)D 1,3【答案】C【解析】4043

2、3xxx+，|43Mxx=，由指数函数的单调性可知，1()33113xxxx=，从而|1Nx x=，故|13MNxx=.2已知0b，则“1ab+”是“1ab+”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：当3a=，1b=时充分性不成立；必要性：由1ab+可得22()(1)121abbbb+=+，即1ab+，“1ab+”是“1ab+”的必要不充分条件 3函数cos2()22xxxf x=的部分图象大致为()A B C D【答案】C 江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 2 页页/共共 13 页页 【解析】()f x的定义域

3、为(,0)(0,)+，cos(2)cos2()()2222xxxxxxfxf x=，故()f x为奇函数，从而()f x的图像关于原点对称，故 B错误；当(0,)4x时，220 xx且cos20 x，此时cos2()022xxxf x=，故 D 错误；cos2yx=在(0,)+上有无数个零点，cos2()22xxxf x=在(0,)+上也有无数个零点，故 A错误，C 正确 4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是()A5a=，4b=，6A=B4a=，5b=，4A=C5a=，4b=，56A=D4a=，5b=，3A=【答案】B【解析】对于 A：由正弦定

4、理可知，sinsinabAB=2sin5B=ab，6BA=，故ABC有一解；对于 B：由正弦定理可知，sinsinabAB=5 2sin8B=，ba，4BA=，故ABC有两解；对于 C：由正弦定理可知，sinsinabAB=2sin5B=A为钝角，B一定为锐角，故ABC有一解；对于 D：由正弦定理可知，sinsinabAB=5 3sin18B=，故ABC无解.5通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18表示，即512sin182=记2sin18m=，则21 cos36(2)sin144m+=()A2 B2 C2 D51【答案】C

5、【解析】21 cos36(2)sin144m+222cos 18(4sin 182)sin36=2cos182cos36 sin36=2sin722sin72=6已知过点(,0)A a作曲线(1)xyx e=的切线有且仅有 1 条，则a=()A3 B3 C3或 1 D3或 1 江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 3 页页/共共 13 页页 【答案】C【解析】设切点为000(,(1)xxx e，由已知得xyxe=，则切线斜率00 xkx e=，切线方程为00000(1)()xxyx ex exx=直线过点(,0)A a，则00000(1)()xxx ex eax=，化简得200

6、(1)10 xax+=，切线有且仅有1条，即2(1)40a=+=，化简得2230aa+=，即(3)(1)0aa+=，解得a=3或1 7设221a=，25ln21b=，2sin21c=，则()Acba Babc Cbca Dcab【答案】C【解析】由不等式(0,)2x，sinxx可得22sin2121，即ac；25222lnln(12)21212121ba=+，设()ln(12)f xxx=+1(0)2x，2()21baf=，21 2()11212xfxxx=+，102x，()0fx，()f x在1(0,)2上单调递增，当1(0,)2x，()(0)0f xf=，2()021f，即babac 8如

7、图是一个近似扇形的湖面，其中OAOBr=，弧AB的长为l()lr为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB若当102x时，3sin6xxx，扇形OAB的面积记为S，则ABS的值约为()A23212rll B23212lrr C23124rll D23124lrr 【答案】B【解析】在OAB中，2 sin2 sin22lABrrr=，又12Slr=，2 sin42sin122lrABlrSlrlr=，又1022lr，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 4 页页/共共 13 页页 4sin2ABlSlr=314()26 2lllrr23212lrr=二二、选择题、选择

8、题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求全部选对的得全部选对的得 5 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 2 分分，有选错的得有选错的得 0 0 分分 9设0a，0b，1ab+=，则下列不等式中一定成立的是()A14ab B2ab+C222 2ab+D48bab+【答案】ACD【解析】A选项：21()24abab+=，当且仅当12ab=时，等号成立，故 A 正确；B选项：2()212abababab+=+=，2ab+，当且仅当12ab=时，等号成立，故 B错；C选项：2

9、22 22 2aba b+=，当且仅当12ab=时，等号成立，故 C正确；D选项：44()bbababab+=+44baab=+4248baab+=，当且仅当4baab=，即13a=，23b=时，等号成立，故 D正确 10已知函数()sin()f xAx=+(其中0,0A，|2)的部分图象如图所示，则()A2=B()f x的图象关于直线23x=对称 C()2cos(2)6f xx=D()f x在5,63上的值域为 2,1 【答案】AC【解析】由图像可知，2A=，373()41264T=2T=2=，故 A正确；从而()2sin(2)f xx=+，又由()2sin()063f=+=3k+=3k=+

10、，kZ，|2，3=，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 5 页页/共共 13 页页 从而()2sin(2)3f xx=+2sin(2)62x=+2cos(2)6x=，故 C正确；25()2sin3233f=，23x=不是()f x的对称轴，故 B 错误；当5,63x 时，则42,333tx=+，sinyt=在4,32上单调递减，在(,23上单调递增，min|21tyy=，4|332ty=，|332ty=，max32y=，故31sin2t，即22sin3t，从而2()2sin(2)33f xx=+，即()f x在5,63上的值域为 2,3，故 D 错误 11对于定义域为0,)+

11、的函数()yf x=，若同时满足下列条件：0,)x+，()0f x；0 x，0y，()()()f xyf xf y+，则称函数()f x为“H函数”下列结论正确的是()A若()f x为“H函数”，则其图象恒过定点(0,0)B函数R1,()0,xQf xxQ=，在0,)+上是“H函数”C函数()f xx=在0,)+上是“H函数”(x表示不大于x的最大整数)D若()f x为“H函数”，则()f x一定是0,)+上的增函数【答案】AC【解析】对于 A：不妨令0 xy=，则(00)(0)(0)(0)0ffff+，0,)x+，()0f x，(0)0f，故(0)0f=，故 A正确；对于 B：不妨令1x=，

12、2y=，则(1)1f=，(2)0f=，(12)0f+=，即(12)(1)(2)fff+，这与,0 x y，()()()f xyf xf y+矛盾，故 B 错误；对于 C：由题意可知，0,)x+，()0f xx=，不妨令0 xmn=+，其中m整数部分，n为小数部分，则()f xxm=；再令0yab=+，其中a为整数部分，b为小数部分，则()f yya=；若01nb+，则()f xyxyma+=+=+；若1nb+，则()1f xyxyma+=+=+，从而,0 x y，()()()f xyf xf y+成立，故 C 正确；对于 D：由题意可知，常函数()0f x=为“H函数”，但()f x不是增函数

13、，故 D错误 12已知1x，2x分别是函数()2xf xex=+和()ln2g xxx=+的零点，则()江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 6 页页/共共 13 页页 A122xx+=B12ln2xex+=C122ex x D22123xx+【答案】ABD【解析】112xex=，22ln2xx=，那么1x，2x可以看做函数xye=和lnyx=与函数2yx=图像交点的横坐标，如图所示，点A，C，B分别为函数xye=，yx=，lnyx=的图像与函数2yx=图像的交点，(1,1)C，函数xye=和lnyx=互为反函数，函数图像关于yx=的图像对称，2yx=的图像也关于yx=的图像对

14、称，点11(,)xA x e和22(,ln)B xx关于点(1,1)C对称，122xx+=，12ln2xex+=，故 AB正确；21212()12xxx x+=，12xx，121x x，而12e，故 C错；当13x=时，函数xye=对应的函数值为3e，函数2yx=对应的函数值为53，335125()()327e=，353e，1x的范围为1(,1)3，那么222121126244(2,)9xxxx+=+，而2639，22123xx+，故 D 正确.三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 13若3sin()42+=，则1tantan+

15、=_【答案】4【解析】3sin()42+=，即23(sincos)22+=6sincos2+=，平方可得312sincos2+=，1sincos4=，1sincostantancossin+=+14sincos=14已知ABC的面积为2 3，2AB=，4AC=，则ABC的中线AD长的一个值为_【答案】7或3 江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 7 页页/共共 13 页页 【解析】ABC的面积为2 3，2AB=，4AC=，1sin4sin2 32ABCSAB ACAA=3sin2A=，故3A=或23；当3A=时，2222cos12BCABACAB ACA=+=2 3BC=，故1

16、32BDBC=，222ABBCAC+=，ABBC，故2227ADABBD=+=7AD=；当23A=时，2222cos28BCABACAB ACA=+=2 7BC=，故172BDBC=，在ABC中，由余弦定理可知2222 7cos27ABBCACBAB BC+=，在ABD中，由余弦定理可知，2222cos3ADABBDAB BDB=+=，故3AD=综上所述，ABC的中线AD长为7或3 15某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗假设每天流进和流出的水均为r万立方米，下雨和蒸发正好平衡用函数()g t表示经过t天后的湖

17、水污染质量分数，已知()(0)trVg tge=，其中(0)g表示初始湖水污染质量分数如果200V=，4r=，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过_天(参考数据：ln102.303)【答案】116【解析】设至少需要经过x天，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 10%以下，()10%(0)g xg，又()(0)rtVg tge=，(0)0.1(0)rxVgge，由题意知(0)0g，4r=，200V=，42000.1xe，整理得，1ln1050 x，解得115.15x，至少需要经过 116天 16已知函数()f x是定义域为R的奇函数，当0 x 时，()2()fx

18、f x，且(3)0f=，则不等式()0f x 的解集为_【答案】(3,0)(3)+【解析】()f x为奇函数，定义域为R，()()fxf x=()()fxfx=()()fxfx=，(0)0f=，又0 x 时，()2()fxf x，()2()fxf x，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 8 页页/共共 13 页页 构造函数2()()xf xh xe=，2()2()()xfxf xh xe=，当0 x 时，()0h x，()h x(0,)+上单调递增，又(3)0f=，(3)0h=，()h x在(3,)+上大于零，在(0,3)上小于零，又20 xe，当0 x 时，()f x在(3

19、,)+上大于零，在(0,3)上小于零，()f x为奇函数，当0 x 时，()f x在(,3)上小于零，在(3,0)上大于零，综上所述：()0f x 解集为(3,0)(3,)+四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知数列na满足112a=，21a=，212nnnaaa+=(1)证明：数列1nnaa+是等比数列；(2)求数列na的通项公式【解析】(1)212nnnaaa+=，211)(2nnnaaa+=+，从而1121111()122nnnnnnnnnaaaaaaaa

20、a+=，112a=，21a=，2111122aa=，故数列1nnaa+是首项为12，公比为12的等比数列(2)由(1)可知，11111(1)()222nnnnnaa+=，故当2n 时，2112aa=，32212aa=，43312aa=，112)2(1nnnnaa=，由各式相加可知，21231111(1)()2222nnnaa=+1111()2211()2n=111(1)132nn=，故111111(1)5(1)13263 2nnnnnaa=+=，当1n=时，115(1)63 2nnna=也满足，故数列na的通项公式为：115(1)63 2nnna=18(12 分)在ABC中，角A，B，C的对边

21、分别为a，b，c (1)若2CA=，2a=，3b=，求c；(2)若22215abc+=，求证：3tan2tanAC=【解析】(1)2CA=，3BACA=，则sinsin(3)sin(2)BAAA=+sincos2cossin2AAAA=，sin22sincosAAA=，2cos22cos1AA=，22sinsin(2cos1)2sincosBAAAA=2sin(4cos1)AA=，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 9 页页/共共 13 页页 由正弦定理，可得：sinsinabAB=，则223sinsin(4cos1)AAA=，可得28cos23A=，解得25cos8A=，则

22、21coscos22cos14CAA=，由余弦定理，22212cos492 2 3104cababC=+=+=，故10c=(2)22215abc+=，22215acb=，22215cab=，由余弦定理，22222135cos225bbcbabAcbcbc+=，22222125cos225bbabcbCababa+=，与相除可得：cos3533sincos5222sinAbaaACcbcC=，2cossin3sincosACAC=，两边同除以coscosAC，可得2tan3tanCA=19(12 分)如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC 底面ABC，侧面11AAC C是菱形，16

23、0A AC=，90ACB=，2ACBC=(1)若D为1AC的中点，求证：1ADAB；(2)求二面角11AACB的正弦值 【解析】(1)侧面11AAC C是菱形，1AAAC=，D为1AC的中点，1ADAC，侧面11AACC 底面ABC，侧面11AACC底面ABCAC=，90ACB=，BC 底面ABC，BC 侧面11AAC C，AD侧面11AAC C，BCAD，1ACBCC=，AD平面1ABC，1AB 平面1ABC，1ADAB 江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 10 页页/共共 13 页页 (2)取11AC中点E，连接CE，从而11CEAC，又由11/ACAC，则CEAC，侧面

24、11AACC 底面ABC，侧面11AACC底面ABCAC=，CE 底面ABC，以C为坐标原点，以CA，CB，CE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C，(2,0,0)A，1(1,0,3)A，1(1,2,3)B，由题意可知，(0,2,0)CB=为平面1AAC的一个法向量，不妨设111(,)nx y z=平面11ACB的一个法向量，1(1,0,3)CA=，1(1,2,3)CB=，从而111111130230CA nxzCB nxyz=+=+=，令13z=，则13x=，13y=，即(3,3,3)n=，设二面角11AACB为，由图可知为钝角，从而cos|co

25、s,|CB n=|217|CB nCBn=，即2 7sin7=，故二面角11AACB的正弦值为2 77 20(12 分)某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜，比赛结束)，比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积 3 分，负者积 0 分；五局结束比赛，取胜的一方积 2分，负者积 1 分已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12 (1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分的概率【解析】(1)X可能取值为0，1，2，3，当0X=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输

26、，则312311115(0)(1)(1)(1)222216P XC=+=，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 11 页页/共共 13 页页 当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)()(1)(1)22216P XC=；当2X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)()(1)22216P XC=，当3X=时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)()()(1)222216P XC=+=，故X的概率分布列如下：(2)设甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分为事件A，则甲的三场比赛积分分别为 1、

27、1、3 或者 0、2、3或者 1、2、2，故33335535333333()3316 16 1616 16 1616 16 162048P AA=+=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为 5分为3332048 21(12 分)已知A，A分别是椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点点P在C上，满足PFA A，/AB OP，|22FA=(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为1k，2k，求证：12k k为定值【解析】(1)PFAA，故可设0(,)Pc y，/AB OP，故/ABOPkk，即0yb

28、ac=，解得0bcya=又(,)bcPca在椭圆C上，故22222211cb caba+=，解得2222222acab=，故22abc=又|22FA=，故|(21)22FAacc=，故2c=，2a=，2b=故C的方程为22142xy+=(2)椭圆方程为22142xy+=，故(2,0)F，(2,0)A，当l斜率为 0 时A，M或A，N重合，不满足题意，故可设l：2xty=江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 12 页页/共共 13 页页 联立22242xyxty+=可得22(2)2 220tyty+=，设11(,)M x y，22(,)N xy，则1222 22tyyt+=+，1

29、2222y yt=+故12121 2121222(22)(22)yyy yk kxxtyty=12221212(22)()(22)y yt y yt yy=+221212121(22)(22)()yytty yy y=+22221(2)2(22)(22)2ttt=+13222(32 2)=+，故定值为322 22(12 分)设函数()lnf xxx=，()1xg xx=+(1)若直线12yxb=+是曲线()f x的一条切线，求b的值；(2)证明：当01x时，1()()(1)2g xf xx x；0 x，2()()g xf xe(e是自然对数的底数，2.718e)【解析】(1)由()lnf xx

30、 x=，则()ln1fxx=+，设12yxb=+在()f x上的切点为000(,ln)xxx，从而001()ln12xxf=+=120 xe=，故12yxb=+在()f x上的切点为11221(,)2ee，将11221(,)2ee代入12yxb=+得，11221122eeb=+12be=，故b的值为12e(2)当01x时，1()()(1)2g xf xx x12ln0 xxx+，不妨令1()2lnh xxxx=+，则221()1h xxx=22(1)0 xx=，故()h x在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x，都有()(1)0h xh=，故当01x时，1()()(1)2g xf xx x

31、(i)由知，当01x时，1()()(1)2g xf xx x，从而21ln(1)2xxx，故211()()122xg xf xxx+，欲证2()()g xf xe，只需证2112()122xxxxe=+，江苏省南通市 2023 届高三上第一次质量监测 第第 13 页页/共共 13 页页 则21()(1)xxx=+221(1)(1)x xx+=+，令2()1(1)xx x=+，则2()(1)2(1)0 xxx x=+，从而()x在(0,1)上单调递减，211 1()1(1)ee e=+21 191(1)1024ee+=，21919 1966139()1(1)104040 4064000=+=，由

32、零点存在的基本定理可知，01 19(,)40 xe，使得2000()1(1)0 xxx=+=，从而20000(1)1xxxx=+，结合()x在(0,1)上单调递减可知，0()00 xxx；0()01xxx，故()x在0(0,)x上单调递增，在0(,1)x上单调递减，从而20max00011()()122xxxxx=+2200011(1)22xxx=+32001122xx=+，故32max191191()()()402402x+20.72e，即当01x时，2()()g xf xe；(ii)由()ln10fxx=+1xe，从而()f x在1,)e+上单调递增，故当1x 时，()(1)0f xf=，又1()111xg xxx=+在(0,)+上单调递增，故当1xe时，()()()1xg xf xf xx=+211xexee+，当xe时，()()f xf ee=，此时12()()101g xf xexe+，综上所述，0 x，2()()g xf xe