辽宁省沈阳市第一二〇中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案解析）.pdf

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1、沈阳市第沈阳市第 120 中学中学 2022-2023 学年度上学期学年度上学期高二年级第三次质量监测高二年级第三次质量监测数学试题数学试题满分满分：150 分时间：分时间：120 分钟命题人：韩春静潘爽分钟命题人：韩春静潘爽一、单项选择题：每题只有一个选项是正确的（共一、单项选择题：每题只有一个选项是正确的（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1.已知直线1l的方程为2x5m y8，直线2l的方程为3m x4y53m，若12l/l，则m()A.1或7B.1C.7D.3【答案】C【解析】【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得m的值后检验即可得到m的值【详

2、解】因为12ll，故2 453mm，整理得到2870mm，解得1m 或7m 当1m 时，1:240lxy，2:240lxy，两直线重合，舎；当7m 时，1:40lxy，213:02lxy，两直线平行，符合；故7m ，选 C【点睛】如果1111:0lAxB yC，2222:0lA xB yC，（1）12,l l平行或重合等价于1221ABA B；（2）12,l l垂直等价于12120A AB B2.已知 M 是抛物线22yx上的一点，F 是抛物线的焦点，若以 Fx 为始边，FM 为终边的角60 xFM，则FM等于（）A.2B.4 33C.2 3D.4【答案】A【解析】【分析】设000,0M xy

3、y，根据题意列式求解00,xy，再根据抛物线的定义求FM.【详解】由题意可得：1,02F，设000,0M xyy，则2000020312yxyx，解得00323xy或001633xy（舍去），即3,32M，0122FMx.故选：A.3.哈三中招聘了 8 名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中 2 名语文教师不能分配在同一个校区，另外 3 名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（）A.18 种B.24 种C.36 种D.48 种【答案】C【解析】【分析】先将 2 名语文老师分到两个校区，再将 3 名数学老师分成 2 组再分到两个校区，最后只需将其他 3人分成 2 组，结合每个

4、校区各 4 人即可得出结果.【详解】由题意知，先将 2 名语文老师分到两个校区，有 2 种方法，第二步将 3 名数学老师分成 2 组，一组 1 人另一组 2 人，有13C种分法，然后再分到两个校区，共有1232C A种方法，第三步只需将其他 3 人分成 2 组，一组 1 人另一组 2 人，由于每个校区各 4 人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有13C种方法，根据分布乘法计数原理共有1123322C C A=36种.故选：C4.10101被 9 除的余数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根据1010901912，结合二项式定理可得10101被 9 除的余数与102被 9

5、 除的余数相同，由此确定结论.【详解】因为1001019128291910010101010110001992C 99C 99 2C 99 2C 99 2C 99 2,101所以0918127299101010101010010199 C 99C 99 2C 99 2C 2C 2,101 因为09181272991010101099 C 99C 99 2C 99 2C 2为 9的整数倍，所以10101被 9 除的余数与102被 9 除的余数相同，又51052210242，1024 被 9 除的余数为 7，故10101被 9 除的余数为 7，故选：C.5.托马斯贝叶斯(ThomasBayes)在

6、研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：ccP B AP AP A BP B AP AP B AP A，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中 ccP B AP AP B AP A称为B的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为 0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（）A.0.1%B.8%C.9%D.99

7、%【答案】C【解析】【分析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，由已知条件求出 P A，P B A，ccP B AP AP B AP A，结合题中的信息，求出P A B，即可得到答案.【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，则 0.1%P A，99%P B A，0.01098ccP B AP AP B AP A，所以 99%0.1%9%0.01098ccP B AP AP A BP B AP AP B AP A，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%，故选：C.6.已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点F与抛物线212yx的焦点重合，过点F

8、的直线交E于A、B两点，若AB的中点坐标为()1,1-，则E的方程为（）A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy【答案】D【解析】【分析】利用点差法可求得222ab，再由3c 可得出2a、2b的值，即可得出椭圆的标准方程.【详解】解：设11,A x y、22,B xy，若ABx轴，则A、B关于x轴对称，不合乎题意，将A、B的坐标代入椭圆方程得22112222222211xyabxyab，两式相减得22221212220 xxyyab，可得12121222120 xxyyyyaxxb，因为线段AB的中点坐标为()1,1-，所以，122xx，122yy

9、，因为抛物线212yx的焦点为3,0，所以3,0F，又直线AB过点3,0F，因此12121 011 32AByykxx，所以，2221202ab，整理得222ab，又223cab，解得218a，29b，因此，椭圆E的方程为221189xy，故选：D.7.在平面直角坐标系中，已知点1,0A，2,0B，圆 C：221204xymm，在圆上存在点 P 满足2PAPB，则实数 m 的取值范围是（）A.26,22B.521,42C.210,2D.521,22【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点 P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)P x y，由2PAPB得：22

10、22(1)2(2)xyxy，整理得：22(3)4xy，即点 P的轨迹是以点0(3,0)C为圆心，2 为半径的圆，而圆 C 的圆心(2,)Cm，半径为12，依题意，圆0C与圆 C 有公共点，即有0112222CC，即2925144m，而0m，解得52122m，所以实数 m 的取值范围是521,22.故选：D8.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为 24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若

11、点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为（）A.12,32B.13,32C.12,22D.13,22【答案】C【解析】【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设,0,0,1BEBC ，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围.【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为2，故正方体的棱长为2.所以2,1,0,2,2,1AF，1,0,2,0,1,2,1,2,2,0,1,1,1,1,0BCDAFBC .设,0,0,1BEBC ，则1,2,2,0EDE .所以222cos,2(2)

12、AF DEAF DEAF DE 2221(2)11222(2)222212(2).令12t11,2，则21cos,2 221AF DEtt ，因为21221,12tt，所以21cos,22AF DE .故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12,22.故选：C二、多项选择题：每题有多个选项是正确的（共二、多项选择题：每题有多个选项是正确的（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）9.从5名候选人中选派出3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则（）A.有36种不同的选派方案B.有48种不同的选派方案C.若甲参加活动，则有24种不同的

13、选派方案D.若甲不参加活动，则有24种不同的选派方案【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用排列问题及分类加法计数原理计算，再判断各选项作答.【详解】若甲参加活动，则选 B，C 之一给甲，余下两项活动选派给另 4 人中两人，有1224A A24种，C 正确；若甲不参加活动，则除甲外的 4 人中选派 3 人参加活动，有34A24种，D 正确；由分类加法计数原理知，不同的选派方案有123244A AA48种，B 正确；A 不正确.故选：BCD10.对于曲线22:127xyCkk，下面说法正确的是（）A.若3k，曲线 C 的长轴长为 4B.若曲线C是椭圆，则k的取值范围是27kC.若曲线C是

14、焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是7k D.若曲线C是椭圆且离心率为22，则k的值为113或163【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】曲线22:127xyCkk，A 选项，3k，2214yx，则2,24aa，A 选项正确.B 选项，若曲线C是椭圆，则207027kkkk，解得27k且92k，所以 B 选项错误.C 选项，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则2070kk，解得7k，C 选项正确.D 选项，曲线C是椭圆且离心率为22，222222222211,22ccabbbaaaaa，由 B 选项的分析可知27k且92k，当922k时，

15、椭圆焦点在y轴上，2172kk，解得113k；当972k时，椭圆焦点在x轴上，7122kk，解得163k，所以k的值为113或163，D 选项正确.故选：ACD11.已知202322023012202312xaa xa xax，则（）A.展开式中所有项的二项式系数和为20232B.展开式中系数最大项为第 1350 项C.20231352023312aaaaD.123202323202312222aaaa【答案】AD【解析】【分析】根据题目要求结合二项式定理的各项性质即可得到结果【详解】易知202312x的展开式中所有项的二项式系数和为20232，故 A 正确；由二项式通项，知120232023

16、C22CkkkkkkTxx，所以第 1350 项的系数为1349134920232C0，所以第1350 项不是系数最大项，故 B 错误；当1x 时，有01220231aaaa，当=1x时，有20230123202220233aaaaaa，可得202313520231 32aaaa，故 C 错误；当0 x 时，有01a，当12x 时，1232023023202302222aaaaa 所以1232023023202312222aaaaa ，故 D 正确故选：AD12.对于任意非零向量111,ax y z，222,bxyz，以下说法错误的有（）A.已知向量1,1,ax，3,9bx，若310 x，则,

17、a b为钝角B.若/a b，则111222xyzxyzC.若空间四个点13,44P A B C PCPAPB ，则,A B C三点共线D.若直线l的方向向量为1,0,3e，平面的法向量为22,0,3n，则直线/l【答案】ABD【解析】【分析】利用特例判断 A、B，根据空间向量线性运算法求出34ACAB，即可判断 C，根据空间向量数量积的坐标运算判断 D；【详解】解：对于 A：当3x 时，1,1,3a，3,3,9b ，即3ab ，可得a、b共线反向，故 A 错误；对于 B：当1,0,0a、2,0,0b 时，/a b成立，而111222xyzxyz不成立，故 B 错误；对于 C：根据题意可得34P

18、CPAPBPA ，即有34ACAB，则A、B、C三点共线，故 C 正确；对于 D：2120 0303e n ，en，所以l或/l，故 D 错误；故选：ABD.三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.随机变量X等可能取值为1,2,3,n，如果1(4)2P X，那么n _【答案】6【解析】【详解】因为随机变量X等可能取值，而4X 只有三个数，所以236n 14.已知5121920CCCCCmmmmmmm，则 m=_.【答案】4 或 14#14 或 4【解析】【分析】根据组合数的性质11CCCmmmnnn及CCmn mnn即可求解.【详解】解

19、：因为5121920CCCCCmmmmmmm，所以1121911219CCCCCCCCmmmmmmmmmmmmmm111522193192020CCCCCCCmmmmmmmmm，所以15m 或1520m ，又*019,mmN，解得4m 或14m=，故答案为：4 或 14.15.已知双曲线22:14xyCm与直线2yx无交点，则m的取值范围是_【答案】0,16【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线2yx应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式22m，解之即可求得m的取值范围.【详解】依题意，由22:14xyCm可得0m，双曲线C的渐近线方程为2myx，因为双曲线C与直线2yx无交点，所

20、以直线2yx应在两条渐近线上下两部分之间，故22m，解得016m，即0,16m.故答案为：0,16.16.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）25P B；15|11P B A；事件B与事件1A相互独立；123,A A A是两两互斥的事件；P B的值不能确定，因为它与123,A A A中哪一个发生有关【答案】【解析】【分析】根据互斥事

21、件的定义即可判断；根据条件概率的计算公式分别得出123,A A A事件发生的条件下B 事件发生的概率，即可判断；然后由123()P BP ABP A BP A B，判断和；再比较11()()()P ABP A P B，的大小即可判断.【详解】由题意可知事件123,A A A不可能同时发生，则123,A A A是两两互斥的事件，则正确；由题意得123544|,|,|111111P B AP B AP B A，故正确；123133122()|P BP ABP A BP A BP A P B AP AP B AP AP B A552434910111011101122,错；因为11559()()()

22、104492222P ABP A P B，所以事件 B 与事件 A1不独立，错；综上选故答案为：【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.四、解答题四、解答题17.已知在312nxx的展开式中，前 3 项的系数分别为123,a a a，且满足2132aaa.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.【答案】（1）23358x（2）737x和327x（3）4x和716x【解析】【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求n，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；(2)设第1k 项系数最大，列不等

23、式组求k，由此确定系数最大的项；(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.【小问 1 详解】因为312nxx展开式的通项公式为3561311=CC22knkn kkkknnkTxxx，0,1,2,kn，所以01212301211111C1,C,C,22228nnnn naan a依题意得112128n nn，即18(1)n nn，由已知2n,所以8n，所以8312xx的展开式有 9 项，二项式系数最大的项为第 5 项，所以22433584135C28Txx.【小问 2 详解】由（1）知，24 56181C2kkkkTx，设展开式中系数最大的项为第1k 项，则1881188111CC2

24、211CC22kkkkkkkk，即 8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!kkkkkkkk，即92228kkkk，解得23k，所以2k 或3k，所以展开式中系数最大的项为24 1072633821C72Txx和933624831C72Txx.【小问 3 详解】由24 56181C2kkkkTx(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k 为有理项知，2456k为整数，得0k，6，所以展开式中所有有理项为240461801C2Txx和66678617C216Txx.18.已知圆心为 C 的圆经过1,1A，2,2B两点，且圆心 C 在直线:10l xy 上.（1）求圆 C 的标准方程；（2）

25、设 P 为圆 C 上的一个动点，O 为坐标原点，求 OP 的中点 M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)25xy；（2）22325(1)24xy.【解析】【分析】（1）设圆心 C 的坐标为,a b，可得10ab ，结合条件可得330ab，进而求得圆心的坐标，半径，即得；（2）设,M x y，00,Pxy，进而可得2,2Pxy，然后代入圆C的方程，化简求得M点的轨迹方程.【小问 1 详解】设圆心 C 的坐标为,a b，半径为 r，圆心 C 在直线:10l xy 上，10ab ，圆 C 经过1,1A，2,2B两点，CACB，即2222(1)(1)(2)(2)abab，化简得：330ab，又

26、10ab ，所以32ab ，圆心 C 的坐标为3,2，22(1 3)(12)5rAC，所以圆 C 的标准方程为：22(3)(2)25xy；【小问 2 详解】设,M x y，00,Pxy，M 为 OP 的中点，0000022202xxxxyyyy，2,2Pxy，P 在圆 C 上，22(23)(22)25xy，即22325(1)24xy，OP 的中点 M 的轨迹方程为22325(1)24xy.19.如图，在矩形ABCD和ABEF中，4,3,013ABADAFDAFDMDB ANAE ，记,ABa ADb AFc .（1）求异面直线AE与BD所成角的余弦值；（2）将MN 用,a b c 表示出来，并

27、求|MN 的最小值；（3）是否存在使得MN 平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.答案】（1）2350；（2）(1)MNbc，最小值为32；（3）存在，23.【解析】【分析】（1）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量夹角公式进行求解即可；（2）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据线面垂直的判定定理，结合空间向量互相垂直的性质进行求解即可.【小问 1 详解】由已知得：,AEac DBab 22|216905,AEacaca c 同理|5DBab，所以2()()23cos,2550|acaba

28、b cAE DBAEDB 故异面直线AE与BD所成角的余弦值2350；【小问 2 详解】()MNANAMANADDM ()()(1)acbabbc.所以222|(1)9(1)9(1)9MNbc 2113 324当12时，|MN 的最小值为32；【小问 3 详解】假设存在使得MN 平面ABCD，故,MNAB MNAD.因为(1)0MN ABbca ；由0MN AD ，得(1)0bcb，化简得99(1)02，解得23，满足条件.故存在23使得MN 平面ABCD.20.已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对

29、的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项

30、选择题后所得的分数.求X的分布列.【答案】（1）45（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先通过全概率公式求出题目答对了的概率，在通过条件计算答对的情况下，知道单项选择题正确答案的概率即可；（2）设事件iA表示小明选择了 i 个选项，1,2,3i，C表示选到的选项都是正确的，则X可能取值为 0，2，5，依次计算0,2,5X 的概率，即可根据结果列出分布列.【小问 1 详解】记事件 A 为“题目答对了”，事件 B 为“知道正确答案”，则()1P A B，1()4P A B，1()()2P BP B，由全概率公式：1115()()()()()12248P AP B P A BP B P A B，

31、所求概率为11()()()42()5()()58P B P A BP BAP B AP AP A.【小问 2 详解】设事件iA表示小明选择了 i 个选项，1,2,3i，C表示选到的选项都是正确的.X可能取值为 0，2，5，111111(2)()()224P XP ACP A P C A，22224111(5)3C18P XP A CP AP C A，25(0)1(2)(5)36P XP XP X.随机变量X的分布列为X025P25361411821.如图，PD 平面,ABCD ADCD，ABCD，PQCD，222ADCDDPPQAB，点 M 为 BQ 的中点（1）求二面角QMCP的正弦值；（2

32、）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为6，求N到平面 MCP 的距离【答案】（1）12；（2）23.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面CMQ和平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角；（2）设(01)QNQC，求出平面PMQ的法向量，根据线面夹角求，利用空间向量求点到面的距离.【小问 1 详解】PD 平面ABCD，,AD CD 平面ABCD，则,PDAD PDCD，又ADCD，则以D为坐标原点，DA，DC，DP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得：(0,1,2)Q，(0,0,2)P，(1,1,1)M，(0,2,0)C，1,0

33、,1MQ ，(1,1,1)PM ，(1,1,1)CM ，设平面CMQ的法向量1111(,)nx y z，则1100n CMn MQ ，即1111100 xyzxz，令11z，则111,2xy，即11,2,1n，同理可得平面PCM的法向量2(0,1,1)n ，1212122 13cos,262n nn nnn ，且12,0,n n ，则21231sin,122n n ，故二面角QMCP的正弦值为12.【小问 2 详解】设(01)QNQC，(0,1,2)QC，即(0,2)QNQC，则(0,1,22)N，(0,1,22)DN，设平面PMQ的法向量为,nx y z，00n PMn MQ ，即00 xy

34、zxz，令1z，则1,0 xy，即1,0,1n，由题意知：sincos,6DN nDN nDNn ，即221|22|2(1)(22)2，整理得：231030，解得：13或3，又01，则13，4 40,3 3N，则240,33NC，由（1）知：平面PMC的一个法向量为2(0,1,1)n ，所以N到平面 MCP 的距离222423332NC ndn .22.已知，椭圆C过点3 5A,2 2，两个焦点为0,2，0,2，,E F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 1求椭圆C的方程；2求证：直线EF的斜率为定值【答案】（1）22yx1106；（2）见解析【解析】【分析】1由焦点坐

35、标求得2c，可设椭圆方程为22221yxab，可得22222591444abab，解方程即可；2设11,E x y，22,F xy，设直线AE的方程为3522yk x，代入221106yx，求出点E的坐标，再将k换为k，求出F的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.【详解】1由题意c2，可设椭圆方程为22221yxab，22222591444abab，解得210a，26b，椭圆的方程为221106yx.2设11E x,y，22F x,y，设直线 AE 的方程为3522yk x，代入221106yx得22233353533()30022kxkk xk，123353352kkxk，11352

36、2ykxk，又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，再上式中以k代 k，可得223353352kkxk，2235ykxk22，直线 EF 的斜率2212212121223353353333523523133533533352352kkkkkkkkk xxkyykkkkkxxxxkk.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,a b c的方程组，解出,a b，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.