2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数综合压轴题专题突破训练（附答案）1如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 O（O 为坐标原点），A 两点，且二次函数的最小值为1，点 M（1，m）是其对称轴上一点，y 轴上一点 B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点 P，连结 PA，PB，设点 P 的横坐标为 t，PAB的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点 N，使得以 A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 2如图，抛物线 ya

2、x2+x+c 经过 B（3，0），D（2，）两点，与 x 轴的另一个交点为 A，与 y 轴相交于点 C（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）若点 M 在直线 BC 上方的抛物线上运动（与点 B，C 不重合），求使MBC 面积最大时 M 点的坐标，并求最大面积；（请在图 1 中探索）（3）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标（请在图 2 中探索）3如图，已知二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（1，0），B（5，0），交 y 轴于点 C（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图 1，

3、点 M 从点 B 出发，以每秒个单位长度的速度沿线段 BC 向点 C 运动，点 N 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 OB 向点 B 运动，点 M，N 同时出发 设运动时间为 t 秒（0t5）当 t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？（3）已知 P 是抛物线上一点，在直线 BC 上是否存在点 Q，使以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由 4如图，抛物线 yax2+bx3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点 Q，使ACQ

4、 的周长最小，求点 Q 的坐标；（3）点 P 是抛物线对称轴上的一点，点 M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB 是以 PB 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点 M 的坐标 5在平面直角坐标系中，直线 ymx2m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，顶点为 D 的抛物线 yx2+2mxm2+2 与 y 轴交于点 C（1）如图，当 m2 时，点 P 是抛物线 CD 段上的一个动点 求 A，B，C，D 四点的坐标；当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标；（2）在 y 轴上有一点 M（0，m），当点 C 在线段 MB 上时，求 m 的取值范围；求线段 BC 长度的最大值 6如图，在平面

5、直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴分别交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3），连接 BC（1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标（2）如图，点 P 为线段 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B，C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值（3）动点 P 以每秒个单位长度的速度在线段 BC 上由点 C 向点 B 运动，同时动点 M以每秒 1 个单位长度的速度在线段 BO 上由点 B 向点 O 运动，在平面内是否存在点 N，使得以点 P，M，B，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 N 的坐标；若不

6、存在，请说明理由 7 如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B 两点，与 y 轴交于点 C（0，2），连接 BC（1）求抛物线的解析式（2）点 P 是第三象限抛物线上一点，直线 PB 与 y 轴交于点 D，BCD 的面积为 12，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，若点 E 是线段 BC 上点，连接 OE，将OEB 沿直线 OE 翻折得到OEB，当直线 EB与直线 BP 相交所成锐角为 45，时，求点 B的坐标 8如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0）、B（8，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，4），连接 AC、BC（1）求抛物线的表

7、达式；（2）将ABC 沿 AC 所在直线折叠，得到ADC，点 B 的对应点为 D，直接写出点 D 的坐标，并求出四边形 OADC 的面积；（3）点 P 是抛物线上的一动点，当PCBABC 时，求点 P 的坐标 9抛物线 yax2+x6 与 x 轴交于 A（t，0），B（8，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线ykx6 经过点 B点 P 在抛物线上，设点 P 的横坐标为 m（1）求抛物线的表达式和 t，k 的值；（2）如图 1，连接 AC，AP，PC，若APC 是以 CP 为斜边的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）如图 2，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 P 作 PQBC，垂足为

8、 Q，求 CQ+PQ 的最大值 10如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B（1，0），交 y 轴于点 C（1）求抛物线的表达式；（2）D 是直线 AC 上方抛物线上一动点，连接 OD 交 AC 于点 N，当的值最大时，求点 D 的坐标；（3）P 为抛物线上一点，连接 CP，过点 P 作 PQCP 交抛物线对称轴于点 Q，当 tanPCQ时，请直接写出点 P 的横坐标 11如图，在平面直角坐标系中，经过点 A（4，0）的直线 AB 与 y 轴交于点 B（0，4）经过原点 O 的抛物线 yx2+bx+c 交直线 AB 于点 A，C，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线

9、yx2+bx+c 的表达式；（2）M 是线段 AB 上一点，N 是抛物线上一点，当 MNy 轴且 MN2 时，求点 M 的坐标；（3）P 是抛物线上一动点，Q 是平面直角坐标系内一点是否存在以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2 经过 A（，0），B（3，）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在抛物线上，过 P 作 PDx 轴，交直线 BC 于点 D，若以 P、D、O、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；（3）抛物线上是否存在点 Q，使

10、QCB45？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，已知抛物线 L：yx2+bx+c 经过点 A（0，3），B（1，0），过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的关系式；（2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当OPE 面积最大时，求出P 点坐标；（3）将抛物线 L 向上平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OAE 内（包括OAE 的边界），求 h 的取值范围；（4）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P，使POF 成

11、为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 14在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+2mx+3m，点 A（3，0）（1）当抛物线过点 A 时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论 m 为何值，抛物线必过定点 D，并求出点 D 的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与 y 轴交于点 B，点 P 是抛物线上位于第一象限的点，连接 AB，PD 交于点 M，PD 与 y 轴交于点 N设 SSPAMSBMN，问是否存在这样的点 P，使得 S 有最大值？若存在，请求出点 P 的坐标，并求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由 15如图，抛

12、物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，点 C 在直线 AB上，过点 C 作 CDx 轴于点 D（1，0），将ACD 沿 CD 所在直线翻折，使点 A 恰好落在抛物线上的点 E 处（1）求抛物线解析式；（2）连接 BE，求BCE 的面积；（3）抛物线上是否存在一点 P，使PEABAE？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 16在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+（m1）x+2m 与 x 轴交于 A，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线在第一象限内的一个动点（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 A，C 的坐标；（2）如图甲，点

13、 M 是直线 BC 上的一个动点，连接 AM，OM，是否存在点 M 使 AM+OM最小，若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图乙，过点 P 作 PFBC，垂足为 F，过点 C 作 CDBC，交 x 轴于点 D，连接DP 交 BC 于点 E，连接 CP 设PEF 的面积为 S1，PEC 的面积为 S2，是否存在点 P，使得最大，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 17如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 E 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点，点 F

14、是抛物线的顶点，求 EF 的长；（3）设点 P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 SPAB6 的点 P？如果存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 2 中探讨）18已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）求该抛物线的解析式；（2）连接 BC，CD，BD，P 为 BD 的中点，连接 CP，则线段 CP 的长是 注：抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）19在平面直角坐标系中，抛物线 L1：yax2+2x+b 与 x 轴交于两点 A，B（3，0），与 y 轴交于点 C

15、（0，3）（1）求抛物线 L1的函数解析式，并直接写出顶点 D 的坐标；（2）如图，连接 BD，若点 E 在线段 BD 上运动（不与 B，D 重合），过点 E 作 EFx轴于点 F，设 EFm，问：当 m 为何值时，BFE 与DEC 的面积之和最小；（3）若将抛物线 L1绕点 B 旋转 180得抛物线 L2，其中 C，D 两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线 L2的对称轴上是否存在点 P，使得以 B，M，P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 20如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B（4，0）两点（A 在 B 的左

16、侧），与 y 轴交于点 C（0，4）点 P 在抛物线上，连接 BC，BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，若点 P 在第四象限，点 D 在线段 BC 上，连接 PD 并延长交 x 轴于点 E，连接 CE，记DCE 的面积为 S1，DBP 的面积为 S2，当 S1S2时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，若点 P 在第二象限，点 F 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴 l 与线段 BC交于点 G，当PBC+CFG90时，求点 P 的横坐标 参考答案 1解：（1）二次函数的最小值为1，点 M（1，m）是其对称轴上一点，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为 ya（x1）21，将点 O（0，

17、0）代入得，a10，a1，y（x1）21x22x；（2）连接 OP，当 y0 时，x22x0，x0 或 2，A（2，0），点 P 在抛物线 yx22x 上，点 P 的纵坐标为 t22t，SSAOB+SOAPSOBP+（t2+2t）t t2+1；（3）设 N（n，n22n），当 AB 为对角线时，由中点坐标公式得，2+01+n，n1，N（1，1），当 AM 为对角线时，由中点坐标公式得，2+1n+0，n3，N（3，3），当 AN 为对角线时，由中点坐标公式得，2+n0+1，n1，N（1，3），综上：N（1，1）或（3，3）或（1，3）2解：（1）将 B（3，0），D（2，）代入 yax2+x+c

18、，解得，yx2+x+，令 x0，则 y，C（0，）；（2）作直线 BC，过 M 点作 MNy 轴交 BC 于点 N，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，yx+设 M（m，m2+m+），则 N（m，m+），MNm2+m，SMBCMNOB（m）2+，当 m时，MBC 的面积有最大值，此时 M（，）；（3）令 y0，则x2+x+0，解得 x3 或 x1，A（1，0），设 Q（0，t），P（m，m2+m+），当 AB 为平行四边形的对角线时，m312，P（2，）；当 AQ 为平行四边形的对角线时，3+m1，解得 m4，P（4，）；当 AP 为平行四边形的对角线时，m13，解得 m4，P（4，）

19、；综上所述：P 点坐标为（2，）或（4，）或（4，）3解：（1）将点 A（1，0），B（5，0）代入 yx2+bx+c 中，得，解这个方程组得，二次函数的表达式为 yx2+4x+5；（2）过点 M 作 MEx 轴于点 E，如图：设BMN 面积为 S，根据题意得：ONt，BM B（5，0），BN5t，在 yx2+4x+5 中，令 x0 得 y5，C（0，5），OCOB5，OBC45 MEBMsin45，SBNME（5t）tt2+t（t）2+，0t5，当时，BMN 的面积最大，最大面积是；（3）存在点 Q，使以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由 B（5，0），C（0，5）得

20、直线 BC 解析式为 yx+5，设 Q（m，m+5），P（n，n2+4n+5），又 A（1，0），C（0，5），当 PQ，AC 是对角线，则 PQ，AC 的中点重合，解得 m0（与 C 重合，舍去）或 m7，Q（7，12）；当 QA，PC 为对角线，则 QA，PC 的中点重合，解得 m0（舍去）或 m7，Q（7，2）；当 QC，PA 为对角线，则 QC，PA 的中点重合，解得 m1 或 m2，Q（1，4）或（2，3），综上所述，Q 的坐标为（7，12）或（7，2）或（1，4）或（2，3）4解：（1）将点 A（1，0），点 B（3，0）代入 yax2+bx3，解得，yx22x3；（2）连接 CB

21、 交对称轴于点 Q，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线 x1，A、B 关于对称轴 x1 对称，AQBQ，AC+AQ+CQAC+CQ+BQAC+BC，当 C、B、Q 三点共线时，ACQ 的周长最小，C（0，3），B（3，0），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，yx3，Q（1，2）；（3）当BPM90时，PMPB，M 点与 A 点重合，M（1，0）；当PBM90时，PBBM，如图 1，当 P 点在 M 点上方时，过点 B 作 x 轴的垂线 GH，过点 P 作 PHGH 交于 H，过点 M 作 MGHG 交于 G，PBM90，PBH+MBG90，PBH+BPH90，MBGBPH

22、，BPBM，BPHMBG（AAS），BHMG，PHBG2，设 P（1，t），则 M（3t，2），2（3t）22（3t）3，解得 t2+或 t2，M（1，2）或（1+，2），M 点在对称轴的左侧，M 点坐标为（1，2）；如图 2，当 P 点在 M 点下方时，同理可得 M（3+t，2），2（3+t）22（3+t）3，解得 t2+（舍）或 t2，M（1，2）；综上所述：M 点的坐标为（1，2）或（1，2）或（1，0）5解：（1）直线 ymx2m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，A（2，0），B（0，2m）；y（xm）2+2，抛物线的顶点为 D（m，2），令 x0，则 ym2+2，C（0，m

23、2+2）当 m2 时，2m4，m2+22，B（0，4），C（0，2），D（2，2）由上可知，直线 AB 的解析式为：y2x4，抛物线的解析式为：yx2+4x2 如图，过点 P 作 PEy 轴交直线 AB 于点 E，设点 P 的横坐标为 t，P（t，t2+4t2），E（t，2t4）PEt2+4t2（2t4）t2+2t+2，PAB 的面积为：（20）（t2+2t+2）（t1）2+3，10，当 t1 时，PAB 的面积的最大值为 3 此时 P（1，1）（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y 轴上有一点 M（0，m），点 C 在线段 MB 上，需要分两种情况：当mm2+22m 时，

24、可得m1+，当mm2+22m 时，可得3m1，m 的取值范围为：m1+或3m1 当m1+时，BCm2+2（2m）m2+2m+2（m1）2+3，当 m1 时，BC 的最大值为 3；当mm2+22m 时，即3m1，BC2m（m2+2）m22m2（m1）23，当 m3 时，点 M 与点 C 重合，BC 的最大值为 13 当 m3 时，BC 的最大值为 13 6解：（1）由题意得，yx2+2x3，当 y0 时，x2+2x30，x11，x23，B（3，0）；（2）设直线 BC 的解析式为：ykx+b，yx3，设点 P（m，m3），Q（m，m2+2m3），PQ（m3）（m2+2m3）m23m（m+）2+，

25、当 m时，PQ最大；（3）如图 1，B（3，0），C（0，3），OBOC3，OCBOBC45，作 PDy 轴于 D，CDPDPCsinOCBt，当 BMPM 时，MPBOBC45，PMOPDOMOD90，四边形 OMPD 是矩形，OMPDt，由 BM+OMOB 得，2t3，t，P（，），N（3，），如图 2，当 PMPB 时，作 PDy 轴于 D，作 PEx 轴于 E，BM2BE，可得四边形 PDOE 是矩形，OEPDt，BE3t，t2（3t），t2，P（2，1），N（2，1），如图 3，当 PBMB 时，3t，t63，P（3，33），N（0，33），综上所述：N（3，）或（2，1）或（0，3

26、3）7解：（1）将 A（1，0），C（0，2）代入 yx2+bx+c，解得，yx2+x+2；（2）令 y0，则x2+x+20，解得 x1 或 x4，B（4，0），OB4，SBCD4（2+OD）12，OD4，D（0，4），设直线 BD 的解析式为 ykx+b，解得，yx4，联立方程组，解得或，P（3，7）；（3）如图 1，当 B在第一象限时，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，yx+2，设 E（t，t+2），OHt，EHt+2，D（0，4），B（4，0），OBOD，ODB45，直线 EB与直线 BP 相交所成锐角为 45，EBCD，由折叠可知，OBBO4，BEBE，在 RtOHB中，BH

27、，BE（t+2）+t2，BE+t2，在 RtBHE 中，（+t2）2（4t）2+（t+2）2，解得 t，0t4，t，B（，）；如图 2，当 B在第二象限，BGB45时，ABP45，BGx 轴，将OEB 沿直线 OE 翻折得到OEB，BEBE，OBOB，BOEBOE，BOEBEO，BEBO，BEBO，四边形 BOBE 是平行四边形，BE4，B（t4，t+2），由折叠可知 OBOB4，平行四边形 OBEB是菱形，BEOB，4，解得 t4+或 t4，0t4，t4，B（，）；综上所述：B的坐标为（，）或（，）方法 2：在 RtBCO 中，BC2，CO：OB：BC1：2：，BP 与 x 轴和 y 轴的夹

28、角都是 45，BP 与 BE 的夹角为 45，BEx 轴或 BEy 轴，当 BEy 轴时，延长 BE 交 x 轴于 F，BFOB，CBAOBE，OBFCBO，OF：FB：BO1：2：，OBOB4，FO，BF，B（，）；当 BEx 轴时，过 B作 BFx 中交于 F，BFOF，BEOB，BE 和 BE 关于 OE 对称，OB 和 OB关于 OE 对称，BEOB，FOBOBC，OBFBCO，BF：FO：OB1：2：，OBOB4，BF，OF，B（，）；综上所述：B坐标为（，）或（，）8解：（1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（2，0）、B（8，0）两点，与 y轴交于点 C（0，

29、4），解得：抛物线的表达式为 y+x+4；（2）点 D 的坐标为（8，8），理由：将ABC 沿 AC 所在直线折叠，得到ADC，点 B 的对应点为 D，如图，过点 D 作 DEx 轴于点 E，A（2，0）、B（8，0），C（0，4），OA2，OB8，OC4，AOCCOB90，AOCCOB，ACOCBO CBO+OCB90，ACO+OCB90，ACB90，将ABC 沿 AC 所在直线折叠，得到ADC，点 B 的对应点为 D，点 D，C，B 三点在一条直线上 由轴对称的性质得：BCCD，ABAD OCAB，DEAB，DEOC，OC 为BDE 的中位线，OEOB8，DE2OC8，D（8，8）；由题意

30、得：SACDSABC，四边形 OADC 的面积SOAC+SADC SOAC+SABC OCOA+ABOC 42+104 4+20 24；（3）当点 P 在 BC 上方时，如图，PCBABC，PCAB，点 C，P 的纵坐标相等，点 P 的纵坐标为 4，令 y4，则+x+44，解得：x0 或 x6，P（6，4）；当点 P 在 BC 下方时，如图，设 PC 交 x 轴于点 H，PCBABC，HCHB 设 HBHCm，OHOBHB8m，在 RtCOH 中，OC2+OH2CH2，42+（8m）2m2，解得：m5，OH3，H（3，0）设直线 PC 的解析式为 ykx+n，解得：yx+4，解得：，P（，）综

31、上，点 P 的坐标为（6，4）或（，）9解：（1）将 B（8，0）代入 yax2+x6，64a+2260，a，yx2+x6，当 y0 时，t2+t60，解得 t3 或 t8（舍），t3，B（8，0）在直线 ykx6 上，8k60，解得 k，yx6；（2）作 PMx 轴交于 M，P 点横坐标为 m，P（m，m2+m6），PMm2m+6，AMm3，在 RtCOA 和 RtAMP 中，OAC+PAM90，APM+PAM90，OACAPM，COAAMP，即 OAMACOPM，3（m3）6（m2m+6），解得 m3（舍）或 m10，P（10，）；（3）作 PNx 轴交 BC 于 N，过点 N 作 NEy

32、 轴交于 E，PNm2+m6（m6）m2+2m，PNx 轴，PNOC，PNQOBC，RtPQNRtBOC，OB8，OC6，BC10，QNPN，PQPN，由CNECBO，CNENm，CQ+PQCN+NQ+PQCN+PN，CQ+PQmm2+2mm2+m（m）2+，当 m时，CQ+PQ 的最大值是 10解：（1）把点 A（3，0）和 B（1，0）代入得：，解得：，抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）过点 D 作 DHy 轴，交 AC 于点 H，如图所示：设 D（m，m2+2m+3），直线 AC 的解析式为 ykx+b，由（1）可得：C（0，3），解得：，直线 AC 的解析式为 yx+3，H（m

33、，m+3），DHm2+3m，DHy 轴，OCNDHN，当时，的值最大，；（3）由题意可得如图所示：过点 P 作 y 轴的平行线 PH，分别过点 C、Q 作 CGPH 于 G，QHPH 于 H，PQCP，CPQCGPPHQ90，CPG+PCGCPG+QPH90，PCGQPH，PCGQPH，设点 P（n，n2+2n+3），由题意可知：抛物线的对称轴为直线 x1，C（0，3），QH|n1|，PG|n2+2n|，当时，解得：，当时，解得：综上：点 P 的横坐标为或或或 11解：（1）抛物线 yx2+bx+c 过点 A（4，0）和 O（0，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）直线 AB

34、经过点 A（4，0）和 B（0，4），直线 AB 的解析式为：yx+4，MNy 轴，设 M（t，t+4），N（t，t2+4t），其中 0t4，当 M 在 N 点的上方时，MNt+4（t2+4t）t25t+42，解得：t1，t2（舍），M1（，），当 M 在 N 点下方时，MNt2+4t（t+4）t2+5t42，解得：t12，t23，M2（2，2），M3（3，1），综上，满足条件的点 M 的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，如图 2，若 AC 是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 R，且 R（2，2），过点 C，A 分别作直线 AB 的垂线交抛物线于点 P1，P2

35、，C（1，3），D（2，4），CD，同理得：CR，RD2，CD2+CR2DR2，RCD90，点 P1与点 D 重合，当 CP1AQ1，CP1AQ1时，四边形 ACP1Q1是矩形，C（1，3）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到 P1（2，4），A（4，0）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到 Q1（5，1），此时直线 P1C 的解析式为：yx+2，直线 P2A 与 P1C 平行且过点 A（4，0），直线 P2A 的解析式为：yx4，点 P2是直线 yx4 与抛物线 yx2+4x 的交点，x2+4xx4，解得：x11，x24（舍），P2（1，5），当 ACP2Q2时，四边形

36、ACQ2P2是矩形，A（4，0）向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到 C（1，3），P2（1，5）向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到 Q2（4，2）；如图 3，若 AC 是矩形的对角线，设 P3（m，m2+4m）当AP3C90时，过点 P3作 P3Hx 轴于 H，过点 C 作 CKP3H 于 K，P3KCAHP390，P3CKAP3H，P3CKAP3H，点 P 不与点 A，C 重合，m1 或 m4，m23m+10，m，如图 4，满足条件的点 P 有两个，即 P3（，），P4（，），当 P3CAQ3，P3CAQ3时，四边形 AP3CQ3是矩形，P3（，）向左平移个单位，向下

37、平移个单位得到 C（1，3），A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到 Q3（，），当 P4CAQ4，P4CAQ4时，四边形 AP4CQ4是矩形，P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到 C（1，3），A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到 Q4（，）；综上，点 Q 的坐标为（5，1）或（4，2）或（，）或（，）12解：（1）将点 A（，0），B（3，）代入到 yax2+bx+2 中得：，解得：，抛物线的解析式为 yx2+x+2；（2）设点 P（m，m2+m+2），yx2+x+2，C（0，2），设直线 BC 的解析式为 ykx+c，解得，直线 BC 的解析式为 yx+2，D（

38、m，m+2），PD|m2+m+2m2|m23m|，PDx 轴，OCx 轴，PDCO，当 PDCO 时，以 P、D、O、C 为顶点的四边形是平行四边形，|m23m|2，解得 m1 或 2 或或，点 P 的横坐标为 1 或 2 或或；（3）当 Q 在 BC 下方时，如图，过 B 作 BHCQ 于 H，过 H 作 MNy 轴，交 y 轴于M，过 B 作 BNMH 于 N，BHCCMHHNB90，QCB45，BHC 是等腰直角三角形，CHHB，CHM+BHNHBN+BHN90，CHMHBN，CHMHBN（AAS），CMHN，MHBN，H（m，n），C（0，2），B（3，），解得，H（，），设直线 CH

39、 的解析式为 ypx+q，解得，直线 CH 的解析式为 yx+2，联立直线 CH 与抛物线解析式得，解得或，Q（，）；当 Q 在 BC 上方时，如图，过 B 作 BHCQ 于 H，过 H 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，过 B 作 BNMH 于 N，同理得 Q（，）综上，存在，点 Q 的坐标为（，）或（，）13解：（1）抛物线 L：yx2+bx+c 经过点 A（0，3），B（1，0），解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）如图，过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G，设 P（m，m24m+3），OE 平分AOB，AOB90，AOE45，AOE 是等腰直角三角形，AEOA3，E（3

40、，3），直线 OE 的解析式为：yx，G（m，m），PGm（m24m+3）m2+5m3，SOPESOPG+SEPG PGAE 3（m2+5m3）（m25m+3）（m）2+，0，当 m时，OPE 面积最大，此时，P 点坐标为（，）；（3）由 yx24x+3（x2）21，得抛物线 l 的对称轴为直线 x2，顶点为（2，1），抛物线 L 向上平移 h 个单位长度后顶点为 F（2，1+h）设直线 x2 交 OE 于点 DM，交 AE 于点 N，则 E（3，3），直线 OE 的解析式为：yx，M（2，2），点 F 在OAE 内（包括OAE 的边界），21+h3，解得 3h4；（4）设 P（m，m24m+

41、3），分四种情况：当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴下方时，如图，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l于 N，OMPPNF90，OPF 是等腰直角三角形，OPPF，OPF90，OPM+NPFPFN+NPF90，OPMPFN，OMPPNF（AAS），OMPN，P（m，m24m+3），则m2+4m32m，解得：m（舍）或，P 的坐标为（，）；当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴上方时，同理得：2mm24m+3，解得：m1（舍）或 m2，P 的坐标为（，）；当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴下方时，如图，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M，同理得ONPPMF，

42、PNFM，则m2+4m3m2，解得：m1或 m2（舍）；P 的坐标为（，）；当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴上方时，如图，同理得 m24m+3m2，解得：m或（舍），P 的坐标为：（，）；综上所述，点 P 的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）方法二：作直线 DE：yx2，E（1，1）是 D 点（1，0）绕 O 点顺时针旋转 45并且 OD 缩小 2 倍得到，易知直线 DE 即为对称轴上的点绕 O 点顺时针旋转 45，且到 O 点距离缩小倍的轨迹，联立直线 DE 和抛物线解析式得 x24x+3x2，解得 x1，x2，同理可得 x3或 x4；综上所述，点 P 的坐标是：（，）或（，）或（，

43、）或（，）14（1）解：把 x3，y0 代入 yx2+2mx+3m 得，9+6m+3m0，m1，yx2+2x+3；（2）证明：yx2+m（2x+3），当 2x+30 时，即 x时，y，D（，）；（3）如图，连接 OP，设 P（m，m2+2m+3），设 PD 的解析式为：ykx+b，ON+3，SSPAMSBMN，S（SPAM+S四边形AONM）（S四边形AONM+SBMN）S四边形AONPSAOB，S四边形AONPSAOP+SPON+（+m+，SAOB，S+m（m1）2+，当 m1 时，S最大，当 m1 时，y12+21+34，P（1，4）15解：（1）将ACD 沿 CD 所在直线翻折，使点 A

44、 恰好落在抛物线上的点 E 处，点 A的坐标为（3，0），点 D 的坐标为（1，0），点 E 的坐标为（1，0）将 A（3，0），E（1，0）代入 yax2+bx+3，得：，解得：，抛物线的解析式为 yx2+2x+3（2）当 x0 时，y102+20+33，点 B 的坐标为（0，3）设直线 AB 的解析式为 ymx+n（m0），将 A（3，0），B（0，3）代入 ymx+n，得：，解得：，直线 AB 的解析式为 yx+3 点 C 在直线 AB 上，CDx 轴于点 D（1，0），当 x1 时，y11+32，点 C 的坐标为（1，2）点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，3），点 C

45、的坐标为（1，2），点 E 的坐标为（1，0），AE4，OB3，CD2，SBCESABESACEAEOBAECD43422，BCE 的面积为 2（3）存在，理由如下：点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，3），OAOB3 在 RtAOB 中，AOB90，OAOB，BAE45.点 P 在抛物线上，设点 P 的坐标为（m，m2+2m+3）当点 P 在 x 轴上方时记为 P1，过点 P1作 P1Mx 轴于点 M，在 RtEMP1中，P1EA45，P1ME90，EMP1M，即 m（1）m2+2m+3，解得：m11（不合题意，舍去），m22，点 P1的坐标为（2，3）；当点 P 在 x 轴下

46、方时记为 P2，过点 P2作 P2Nx 轴于点 N，在 RtENP2中，P2EN45，P2NE90，ENP2N，即 m（1）（m2+2m+3），解得：m11（不合题意，舍去），m24，点 P2的坐标为（4，5）综上所述，抛物线上存在一点 P，使PEABAE，点 P 的坐标为（2，3）或（4，5）16解：（1）将 B（4，0）代入 yx2+（m1）x+2m，8+4（m1）+2m0，解得 m2，yx2+x+4，令 x0，则 y4，C（0，4），令 y0，则x2+x+40，解得 x4 或 x2，A（2，0）；（2）存在点 M 使 AM+OM 最小，理由如下：作 O 点关于 BC 的对称点 O，连接

47、AO交 BC 于点 M，连接 BO，由对称性可知，OMOM，AM+OMAM+OMAO，当 A、M、O三点共线时，AM+OM 有最小值，B（4，0），C（0，4），OBOC，CBO45，由对称性可知OBM45，BOBO，O（4，4），设直线 AO的解析式为 ykx+b，解得，yx+，设直线 BC 的解析式为 ykx+4，4k+40，k1，yx+4，联立方程组，解得，M（，）；（3）存在点 P，使得最大，理由如下：连接 PB，过 P 点作 PGy 轴交 CB 于点 G，设 P（t，t2+t+4），则 G（t，t+4），PGt2+2t，OBOC4，BC4，SBCP4（t2+2t）t2+4t4PF，P

48、Ft2+t，CDBC，PFBC，PFCD，B、D 两点关于 y 轴对称，CD4，（t24t）（t2）2+，P 点在第一象限内，0t4，当 t2 时，有最大值，此时 P（2，4）17解：（1）将 A（1，0），B（3，0）代入 yx2+bx+c，得：，解得：，该抛物线的解析式为 yx22x3（2）抛物线的解析式为 yx22x3，抛物线的顶点 F 的坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线 x1 当 x0 时，y022033，点 C 的坐标为（0，3）设直线 BC 的解析式为 ymx+n（m0），将 B（3，0），C（0，3）代入 ymx+n，得：，解得：，直线 BC 的解析式为 yx3 当 x1

49、时，y132，点 E 的坐标为（1，2），EF|2（4）|2（3）点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0），AB|3（1）|4 设点 P 的坐标为（t，t22t3）SPAB6，4|t22t3|6，即 t22t33 或 t22t33，解得：t11，t21+，t30，t42，存在满足 SPAB6 的点 P，点 P 的坐标为（1，3）或（1+，3）或（0，3）或（2，3）18解：（1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，解得：，抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，D（1，4），把 x0 代入 yx2+2x+3，

50、得 y3，C（0，3），P 为 BD 的中点，P（2，2），CP 故答案为：19解：（1）yax2+2x+b 经过 B（3，0），C（0，3），抛物线的解析式为 yx2+2x+3，y（x1）2+4，抛物线的顶点 D（1，4）；（2）如图 1 中，连接 BC，过点 C 作 CHBD 于点 H 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 T C（0，3），B（3，0），D（1，4），BC3，CD，BD2，BC2+CD2BD2，BCD90，CDCBBDCH，CH，EFx 轴，DTx 轴，EFDT，BEm，BFm，BFE 与DEC 的面积之和 S（2m）+mm（m）2+，0，S 有最小值，最小值为，此时 m，m时