2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题训练(附答案).pdf
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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形综合压轴题专题训练(附答案)1如图 1,在四边形 ABCD 中,DAB 被对角线 AC 平分,且 AC2ABAD,我们称该四边形为“黄金四边形”,DAB 称为“黄金角”(1)如图 1,四边形 ABCD 为“黄金四边形”,DAB 为“黄金角”,求证:DACCAB(2)如图 2,四边形 ABCD 为“黄金四边形”,DAB 为“黄金角”,且 AC4,BC2,D90,求 AD 的长度;(3)如图 3,四边形 ABCD 为“黄金四边形”,DAB 为“黄金角”,若DCBDAB,求DAB 的度数 2如图 1,以ABC 的边 AB,AC 为两边长作等边ABD
2、 和等边ACE,连接 BE,CD 相交于点 O (1)求证ADCABE;(2)若ABC 中,ACB60,求证:BOCBCE;(3)若ABC 中,BAC90,ABC30,且 BC4,如图 2 求线段 OB 的长度 3 如图,RtABC 中,ACB90,ACBC,点 D 是直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B,C 重合),过点 B 作 BEAD 于点 E,连接 CE (1)如图,当点 D 在线段 BC 上时,直接写出线段 AE,BE,CE 的数量关系:;(2)如图,当点 D 在线段 CB 的延长线上时,判断线段 AE,BE,CE 的数量关系,并加以证明;(3)如图,当点 D 在线段 BC 的延
3、长线上时,并将已知条件中的“ACBC”改成“BAC30”其它条件不变,若 AE1,CE,请直接写出线段 BE 的长 4古希数学家欧多克索斯(Eudoxus,约前 400前 347)在两千多年前发现了一种最能引起美感的分割比例:线段上一点把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值 我们称这样的分割为黄金分割,这个点就是黄金分割点,这个比值就叫做黄金分割比 如图 1,点 P 是线段 AB 上的一点(APBP),且,则点 P 是线段 AB 的黄金分割点,的值就是黄金分割比(1)黄金分割比是一个常数,请根据上面的描述,求出黄金分割比的值;(2)如图 2,对于任意的一条线
4、段 AB,我们可以通过下面方法找到它的一个黄金分割点:第一步:取线段 AB 的中点 C;第二步:过点 B 作 AB 的垂线 BQ,以 B 为圆心,BC 为半径作弧交 BQ 于点 D,即在 BQ上截取 BDAB;第三步:连接 AD,并以 D 为圆心,BD 为半径作弧交 AD 于点 E;第四步:以 A 为圆心,AE 为半径作弧交 AB 于点 P,则点 P 就是线段 AB 的一个黄金分割点试证之;(3)拓展应用:如图 3,在ABC 中,点 D 是线段 AC 的黄金分割点,且 ADCD,ABCD 求证:ABCADB;若 BC4cm,求 BD 的长 5如图 1 和图 2,在平面直角坐标系中,点 C 的坐
5、标为(0,4),A 是 x 轴上的一个动点,M 是线段 AC 的中点把线段 AM 以 A 为旋转中心、按顺时针方向旋转 90得到 AB过B 作 x 轴的垂线、过点 C 作 y 轴的垂线,两直线交于点 D,直线 DB 交 x 轴于点 E设 A点的横坐标为 m (1)求证:AOCBEA;(2)若 m3,则点 B 的坐标为 ;若 m3,则点 B 的坐标为 ;(3)若 m0,BCD 的面积为 S,则 m 为何值时,S6?(4)是否存在 m,使得以 B、C、D 为顶点的三角形与AOC 相似?若存在,求此时 m的值;若不存在,请说明理由 6爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角
6、形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是 ABC 的中线,AMBN 于点 P,像 ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BCa,ACb,ABc【特例探究】(1)如图 1,当PAB45,c时,a ,b ;如图 2,当PAB30,c2 时,a2+b2 ;【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想 a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图 3 证明你的结论【拓展证明】(3)如图 4,在ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的三等分点,且 AD3AE,BC3BF,连接 AF、BE、CE,且 BECE 于 E,AF
7、与 BE 相交点 G,AD3,AB3,求 AF的长 7综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动 操作发现“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片 ABC,A 为钝角,进行了如下操作:第一步:如图 1,折出ABC 的角平分线 AD;第二步:如图 2,展平纸片,再次折叠该三角形纸片,使预点 A 与点 D 重合,折痕 EF分别与 AB,AC 交于点 E,F;第三步:如图 3,再次展平纸片,连接 DE,DF,可得四边形 AEDF(1)在图 4 的ABC 中利用尺规作出折痕 AD,EF;(要求:保留作图痕迹,不写作法)实践探究(2)试判断图 3 中四边形 AEDF
8、 的形状,并写出证明过程;深入探究(3)“陈景润”小组的同学突发奇想,在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题:在图 3 中,连接 EC,分别交 AD 于点 P,交 FD 于点 Q,若 PQ1,PC7,利用相似三角形的知识可以求出 PE 的长请你写出求解过程 8如图 MQPN 于点 O,点 A 在MON 的角平分线上,作BAC45,BAC 的两边分别交 OM,ON 交于点 C,B,交 OP,OQ 交于点 E,D(1)求证:OA2ODOE;(2)若 ACOD,求 OC:OD 的值;(3)若 OB1,OE4求 tanCEO 9如图,RtABC 中,ACB90,AC6cm,BC8cm动点 M
9、 从点 B 出发,在 BA边上以 3cm/s 的速度向定点 A 运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以 2cm/s 的速度向点 B 运动,运动时间为 ts(0t),连接 MN(1)当 t 为何值时,BMN 与ABC 相似?(2)连接 AN,CM,如图 1 所示,若 ANCM,求 t 的值(3)当 t 为何值时,BMN 是等腰三角形?10如图,已知在四边形 ABCD 中,AB90,以 CD 为直径的O 交 AB 于点 E,F(点 E 在点 F 上方),连结 EC,ED,FD,FD 与 EC 交于点 G(1)求证:ADFEDC;(2)若 AD1,AB4,BC3 求 DF 的长;求 E
10、G:CG 11已知:RtABC 中,ABC90,ACB30,AB1,将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 得到ADE,点 B、C 的对应点分别是 D、E在旋转过程中直线 BD 分别交直线 AC、EC 于点 F、G,直线 AD 与直线 EC 相交于点 H (1)当旋转至如图 1 位置时,求证:EACDAB;(2)如图 2,当 90时,求四边形 CHDF 的面积;(3)当 0180,且 EH2CH 时,求 DF 与 EG 的数量关系 12 如图,在 RtABC 中,ACB90,AC1,BC7,点 D 是边 CA 延长线上的一点,AEBD,垂足为 E,AE 的延长线交 CA 的平行线 BF 于点
11、 F,联结 CE 交 AB 于点 G(1)当点 E 是 BD 中点时,求 tanAFB 的值;(2)设 CEx,AFy,求 y 关于 x 的函数关系式;(3)当BGE 与BAF 相似时,求线段 AF 的长 13已知:如图,在平行四边形 ABCD 中,AB3cm,BC5cm,ACABACD 沿AC 方向以速度为 1cm/s 匀速平移得到PMN;同时,点 Q 从点 C 出发,沿 CB 方向匀速运动,速度为 1cm/s当PMN 停止平移时,点 Q 也停止运动,如图设运动时间为 t(s)(0t4)解答下列问题:(1)当 t 为何值时ABC 与PQC 相似?(2)当 t 为何值时QPC45?(3)是否存
12、在某一时刻 t,SQMC:S四边形ABQP1:35若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由 14如图 1,在四边形 ABCD 中,BADC90,以 BC 为边构造矩形 BCEF,点 E,F 分别落在 AD、AB 上动点 P 在 AF 上从点 F 向终点 A 匀速运动,同时,动点 Q 在射线 AD 上从点 A 向点 D 方向匀速运动,点 P 到达终点时,P,Q 同时停止运动设 PF2x,APQ 的面积为 S,则 S3x2+12x当 x2 时,点 Q 恰好运动至 E 点 (1)求证:AFEEDC(2)求 AF 和 EF 的长(3)如图 2,EF2CD,点 H 为 BC 的中点,点 G 在 EF
13、 上,且,连结 DH、GH,当 PQ 与四边形 DEGH 的一边平行时,求 PF 的长 15已知正方形 ABCD,点 M 为边 AB 的中点(1)如图 1,点 G 为线段 CM 上的一点,且AGB90,延长 AG、BG 分别与边 BC、CD 交于点 E、F 求证:BECF;求证:BE2BCCE(2)如图 2,在边 BC 上取一点 E,满足 BE2BCCE,连接 AE 交 CM 于点 G,连接BG 并延长交 CD 于点 F,求的值 16如图,在ABC 中,ABAC,BAC120,D 为 BC 边上的点,将 DA 绕 D 点逆时针旋转 120得到 DE(1)如图 1,若DAC30 求证:ABBE;
14、直接写出 BE2+CD2与 AD2的数量关系为 ;求证:(2)如图 2,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 17定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解:(1)如图 1,ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上,若四边形 ABCD 是以 AC为“相似对角线”的四边形,请用无刻度的直尺在网格中画出点 D(保留画图痕迹,找出 3 个即可);(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,ABC80,ADC140,对角线 BD 平分ABC请问 BD 是四边形 ABC
15、D 的“相似对角线”吗?请说明理由;若 BD4,求 ABBC 的值 运用:(3)如图 3,已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”,EFHHFG30连接EG,若EFG 的面积为 6,求 FH 的长 18已知四边形 ABCD 是菱形,ABC60,EAF 的两边分别与射线 CB、DC 相交于点 E、F,且EAF60(1)如图 1,当点 E 是线段 CB 的中点时,求证:AEEF;(2)如图 2,当点 E 是线段 CB 上任意一点时(点 E 不与 B、C 重合),求证:BECF;(3)如图 3,当点 E 在线段 CB 的延长线上时,设 AF 交 BC 于点 G,求证:AGCFAFCG 19如
16、图 1,ABC 中,AB4,AC3,A90,P,Q,R 分别是ABC 三边 AB,BC,CA 上的动点,k(0k1 且 k)(1)求 BP1 时 AR 的长(2)如图 2,取 BC,CA 中点 E,F,连接 EF 交 RQ 于点 G 求证 QGRG 连接 PG,点 P,Q,R 在运动的过程中,PGR 的一边能否与ABC 的一边垂直,若可能,请求出此时 k 的值,若不可能,请说明理由 20半角模型是指有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等通过翻折或旋转,将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等或相似三角形,弱化条件,变更载体,而构建模型,可把握问题的本质 (1)问
17、题背景:如图 1,在四边形 ABCD 中,ABAD,BAD120,BADC90,E、F 分别是 BC、CD 上的点,且EAF60探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系;(2)探索延伸:如图 2,若在四边形 ABCD 中,ABAD,B+D180E、F 分别是 BC、CD 上的点,且EAFBAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;(3)结论应用:如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30的 A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80
18、 海里/小时的速度前进,1.5 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处,且两舰艇与指挥中心 O 之间的夹角EOF70,试求此时两舰艇之间的距离;(4)能力提高:如图,等腰直角三角形 ABC 中,BAC90,ABAC,点 M、N 在边 BC 上,且MAN45,若 BM1,CN3,试求出 MN 的长 参考答案 1(1)证明:四边形 ABCD 为“黄金四边形”,DAB 为“黄金角”,AC2ABAD,DAB 为“黄金角”,CADBAC,DACCAB;(2)解:四边形 ABCD 为“黄金四边形”,DAB 为“黄金角”,AC2ABAD,DACCAB,ADCACB,DACB90,AB2,AD
19、;(3)解:如图,AC 平分DAB,12,AC2ABAD,ADCACB,D4,DCBDAB,DCB3+4,DAB21,3+421,1+D+31+4+31+2131,31180,160,DAB120 2(1)证明:ABD 和ACE 都是等边三角形,ADAB,ACAE,DABEAC60,DAB+BACEAC+BAC,DACBAE,在ADC 与ABE 中,ADCABE(SAS);(2)证明:ACB60,BCO+ACD60,ACE 是等边三角形,BEC+AEB60,由(1)得,ADCABE,ACDAEB,BCOBEC,CBOEBO,BOCBCE;(3)解:在ABC 中,BAC90,ABC30,且 BC
20、4,AC2,由勾股定理得,AB2BD,DBA60,DBC90,DC2,由(1)得ADCABE,BECD2,由(2)得BOCBCE,即,OB 3解:(1)结论:AEBECE 理由:如图 1 中,过点 C 作 CFCE 交 AE 于 F BEAE,BEAACD90,EDBADC,EBDCAD,ECFACB90,ECBACF,BCAC,ECBFCA(ASA),BEAF,CECF,CEF 是等腰直角三角形,EFCE,AEAFAEBEEFCE,AEBECE (2)AE+BE,证明:过点 C 作 CFCE 交 DA 的延长线于点 F,ECF90,ACB90,BCEACF,BEAD,AEC+BEC90,AE
21、C+AFC90,BECAFC,又BCAC,BCEACF(AAS),CECF,BEAF,CEF 是等腰直角三角形,EFCE,AE+AFEF,AE+BECE;(3)过点 C 作 CFCE 交 BE 于点 F DEBACD90,ADCEDB,ADCBDE,又EDCADB,ADBCDE,ABDCED60,CEF30,又BAC30,ACBECF90,ACEBCF,ACEBCF,BF,CE,CF1,EF2,BEEF+BF2+4解:(1)设 AB1,APx,则 PB1x,AP2ABPB,x21x,x,x0,x,即黄金分割比的值为;(2)证明:设 AB2m,则 BDm,DEBDm,BDAB,ABD90,ADm
22、,AEADDEmm(1)m,APAE(1)m,点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点;(3)证明:点 D 是线段 AC 的黄金分割点,且 ADCD,AD:CDCD:AC,ABCD,AD:ABAB:AC,而DABBAC,ABDACB,ABCADB;解:ABDACB,而 ABCD,点 D 是线段 AC 的黄金分割点,且 ADCD,CDAC,BD(22)cm 5(1)证明:CAB90,CAO+BAE90,AOCAEB,CAO+ACO90,BAEACO,AOCBEA,(2)解:由(1)知,AOCBEA,2,2,AE2,BE,当 m3 时,B(5,),当 m3 时,B(1,),故答案是(5,),(1,)
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