2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形综合压轴题专题训练（附答案）1如图 1，在四边形 ABCD 中，DAB 被对角线 AC 平分，且 AC2ABAD，我们称该四边形为“黄金四边形”，DAB 称为“黄金角”（1）如图 1，四边形 ABCD 为“黄金四边形”，DAB 为“黄金角”，求证：DACCAB（2）如图 2，四边形 ABCD 为“黄金四边形”，DAB 为“黄金角”，且 AC4，BC2，D90，求 AD 的长度；（3）如图 3，四边形 ABCD 为“黄金四边形”，DAB 为“黄金角”，若DCBDAB，求DAB 的度数 2如图 1，以ABC 的边 AB，AC 为两边长作等边ABD

2、 和等边ACE，连接 BE，CD 相交于点 O （1）求证ADCABE；（2）若ABC 中，ACB60，求证：BOCBCE；（3）若ABC 中，BAC90，ABC30，且 BC4，如图 2 求线段 OB 的长度 3 如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B，C 重合），过点 B 作 BEAD 于点 E，连接 CE （1）如图，当点 D 在线段 BC 上时，直接写出线段 AE，BE，CE 的数量关系：；（2）如图，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，判断线段 AE，BE，CE 的数量关系，并加以证明；（3）如图，当点 D 在线段 BC 的延

3、长线上时，并将已知条件中的“ACBC”改成“BAC30”其它条件不变，若 AE1，CE，请直接写出线段 BE 的长 4古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前 400前 347）在两千多年前发现了一种最能引起美感的分割比例：线段上一点把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值 我们称这样的分割为黄金分割，这个点就是黄金分割点，这个比值就叫做黄金分割比 如图 1，点 P 是线段 AB 上的一点（APBP），且，则点 P 是线段 AB 的黄金分割点，的值就是黄金分割比（1）黄金分割比是一个常数，请根据上面的描述，求出黄金分割比的值；（2）如图 2，对于任意的一条线

4、段 AB，我们可以通过下面方法找到它的一个黄金分割点：第一步：取线段 AB 的中点 C；第二步：过点 B 作 AB 的垂线 BQ，以 B 为圆心，BC 为半径作弧交 BQ 于点 D，即在 BQ上截取 BDAB；第三步：连接 AD，并以 D 为圆心，BD 为半径作弧交 AD 于点 E；第四步：以 A 为圆心，AE 为半径作弧交 AB 于点 P，则点 P 就是线段 AB 的一个黄金分割点试证之；（3）拓展应用：如图 3，在ABC 中，点 D 是线段 AC 的黄金分割点，且 ADCD，ABCD 求证：ABCADB；若 BC4cm，求 BD 的长 5如图 1 和图 2，在平面直角坐标系中，点 C 的坐

5、标为（0，4），A 是 x 轴上的一个动点，M 是线段 AC 的中点把线段 AM 以 A 为旋转中心、按顺时针方向旋转 90得到 AB过B 作 x 轴的垂线、过点 C 作 y 轴的垂线，两直线交于点 D，直线 DB 交 x 轴于点 E设 A点的横坐标为 m （1）求证：AOCBEA；（2）若 m3，则点 B 的坐标为 ；若 m3，则点 B 的坐标为 ；（3）若 m0，BCD 的面积为 S，则 m 为何值时，S6？（4）是否存在 m，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，求此时 m的值；若不存在，请说明理由 6爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角

6、形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是 ABC 的中线，AMBN 于点 P，像 ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BCa，ACb，ABc【特例探究】（1）如图 1，当PAB45，c时，a ，b ；如图 2，当PAB30，c2 时，a2+b2 ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你的结论【拓展证明】（3）如图 4，在ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的三等分点，且 AD3AE，BC3BF，连接 AF、BE、CE，且 BECE 于 E，AF

7、与 BE 相交点 G，AD3，AB3，求 AF的长 7综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动 操作发现“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片 ABC，A 为钝角，进行了如下操作：第一步：如图 1，折出ABC 的角平分线 AD；第二步：如图 2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使预点 A 与点 D 重合，折痕 EF分别与 AB，AC 交于点 E，F；第三步：如图 3，再次展平纸片，连接 DE，DF，可得四边形 AEDF（1）在图 4 的ABC 中利用尺规作出折痕 AD，EF；（要求：保留作图痕迹，不写作法）实践探究（2）试判断图 3 中四边形 AEDF

8、 的形状，并写出证明过程；深入探究（3）“陈景润”小组的同学突发奇想，在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题：在图 3 中，连接 EC，分别交 AD 于点 P，交 FD 于点 Q，若 PQ1，PC7，利用相似三角形的知识可以求出 PE 的长请你写出求解过程 8如图 MQPN 于点 O，点 A 在MON 的角平分线上，作BAC45，BAC 的两边分别交 OM，ON 交于点 C，B，交 OP，OQ 交于点 E，D（1）求证：OA2ODOE；（2）若 ACOD，求 OC：OD 的值；（3）若 OB1，OE4求 tanCEO 9如图，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm动点 M

9、 从点 B 出发，在 BA边上以 3cm/s 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以 2cm/s 的速度向点 B 运动，运动时间为 ts（0t），连接 MN（1）当 t 为何值时，BMN 与ABC 相似？（2）连接 AN，CM，如图 1 所示，若 ANCM，求 t 的值（3）当 t 为何值时，BMN 是等腰三角形？10如图，已知在四边形 ABCD 中，AB90，以 CD 为直径的O 交 AB 于点 E，F（点 E 在点 F 上方），连结 EC，ED，FD，FD 与 EC 交于点 G（1）求证：ADFEDC；（2）若 AD1，AB4，BC3 求 DF 的长；求 E

10、G：CG 11已知：RtABC 中，ABC90，ACB30，AB1，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 得到ADE，点 B、C 的对应点分别是 D、E在旋转过程中直线 BD 分别交直线 AC、EC 于点 F、G，直线 AD 与直线 EC 相交于点 H （1）当旋转至如图 1 位置时，求证：EACDAB；（2）如图 2，当 90时，求四边形 CHDF 的面积；（3）当 0180，且 EH2CH 时，求 DF 与 EG 的数量关系 12 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC1，BC7，点 D 是边 CA 延长线上的一点，AEBD，垂足为 E，AE 的延长线交 CA 的平行线 BF 于点

11、 F，联结 CE 交 AB 于点 G（1）当点 E 是 BD 中点时，求 tanAFB 的值；（2）设 CEx，AFy，求 y 关于 x 的函数关系式；（3）当BGE 与BAF 相似时，求线段 AF 的长 13已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC5cm，ACABACD 沿AC 方向以速度为 1cm/s 匀速平移得到PMN；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 1cm/s当PMN 停止平移时，点 Q 也停止运动，如图设运动时间为 t（s）（0t4）解答下列问题：（1）当 t 为何值时ABC 与PQC 相似？（2）当 t 为何值时QPC45？（3）是否存

12、在某一时刻 t，SQMC：S四边形ABQP1：35若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 14如图 1，在四边形 ABCD 中，BADC90，以 BC 为边构造矩形 BCEF，点 E，F 分别落在 AD、AB 上动点 P 在 AF 上从点 F 向终点 A 匀速运动，同时，动点 Q 在射线 AD 上从点 A 向点 D 方向匀速运动，点 P 到达终点时，P，Q 同时停止运动设 PF2x，APQ 的面积为 S，则 S3x2+12x当 x2 时，点 Q 恰好运动至 E 点 （1）求证：AFEEDC（2）求 AF 和 EF 的长（3）如图 2，EF2CD，点 H 为 BC 的中点，点 G 在 EF

13、 上，且，连结 DH、GH，当 PQ 与四边形 DEGH 的一边平行时，求 PF 的长 15已知正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点（1）如图 1，点 G 为线段 CM 上的一点，且AGB90，延长 AG、BG 分别与边 BC、CD 交于点 E、F 求证：BECF；求证：BE2BCCE（2）如图 2，在边 BC 上取一点 E，满足 BE2BCCE，连接 AE 交 CM 于点 G，连接BG 并延长交 CD 于点 F，求的值 16如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，D 为 BC 边上的点，将 DA 绕 D 点逆时针旋转 120得到 DE（1）如图 1，若DAC30 求证：ABBE；

14、直接写出 BE2+CD2与 AD2的数量关系为 ；求证：（2）如图 2，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 17定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图 1，ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点 D（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC请问 BD 是四边形 ABC

15、D 的“相似对角线”吗？请说明理由；若 BD4，求 ABBC 的值 运用：（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，EFHHFG30连接EG，若EFG 的面积为 6，求 FH 的长 18已知四边形 ABCD 是菱形，ABC60，EAF 的两边分别与射线 CB、DC 相交于点 E、F，且EAF60（1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，求证：AEEF；（2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BECF；（3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上时，设 AF 交 BC 于点 G，求证：AGCFAFCG 19如

16、图 1，ABC 中，AB4，AC3，A90，P，Q，R 分别是ABC 三边 AB，BC，CA 上的动点，k（0k1 且 k）（1）求 BP1 时 AR 的长（2）如图 2，取 BC，CA 中点 E，F，连接 EF 交 RQ 于点 G 求证 QGRG 连接 PG，点 P，Q，R 在运动的过程中，PGR 的一边能否与ABC 的一边垂直，若可能，请求出此时 k 的值，若不可能，请说明理由 20半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质 （1）问

17、题背景：如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系；（2）探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80

18、 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F 处，且两舰艇与指挥中心 O 之间的夹角EOF70，试求此时两舰艇之间的距离；（4）能力提高：如图，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，点 M、N 在边 BC 上，且MAN45，若 BM1，CN3，试求出 MN 的长 参考答案 1（1）证明：四边形 ABCD 为“黄金四边形”，DAB 为“黄金角”，AC2ABAD，DAB 为“黄金角”，CADBAC，DACCAB；（2）解：四边形 ABCD 为“黄金四边形”，DAB 为“黄金角”，AC2ABAD，DACCAB，ADCACB，DACB90，AB2，AD

19、；（3）解：如图，AC 平分DAB，12，AC2ABAD，ADCACB，D4，DCBDAB，DCB3+4，DAB21，3+421，1+D+31+4+31+2131，31180，160，DAB120 2（1）证明：ABD 和ACE 都是等边三角形，ADAB，ACAE，DABEAC60，DAB+BACEAC+BAC，DACBAE，在ADC 与ABE 中，ADCABE（SAS）；（2）证明：ACB60，BCO+ACD60，ACE 是等边三角形，BEC+AEB60，由（1）得，ADCABE，ACDAEB，BCOBEC，CBOEBO，BOCBCE；（3）解：在ABC 中，BAC90，ABC30，且 BC

20、4，AC2，由勾股定理得，AB2BD，DBA60，DBC90，DC2，由（1）得ADCABE，BECD2，由（2）得BOCBCE，即，OB 3解：（1）结论：AEBECE 理由：如图 1 中，过点 C 作 CFCE 交 AE 于 F BEAE，BEAACD90，EDBADC，EBDCAD，ECFACB90，ECBACF，BCAC，ECBFCA（ASA），BEAF，CECF，CEF 是等腰直角三角形，EFCE，AEAFAEBEEFCE，AEBECE （2）AE+BE，证明：过点 C 作 CFCE 交 DA 的延长线于点 F，ECF90，ACB90，BCEACF，BEAD，AEC+BEC90，AE

21、C+AFC90，BECAFC，又BCAC，BCEACF（AAS），CECF，BEAF，CEF 是等腰直角三角形，EFCE，AE+AFEF，AE+BECE；（3）过点 C 作 CFCE 交 BE 于点 F DEBACD90，ADCEDB，ADCBDE，又EDCADB，ADBCDE，ABDCED60，CEF30，又BAC30，ACBECF90，ACEBCF，ACEBCF，BF，CE，CF1，EF2，BEEF+BF2+4解：（1）设 AB1，APx，则 PB1x，AP2ABPB，x21x，x，x0，x，即黄金分割比的值为；（2）证明：设 AB2m，则 BDm，DEBDm，BDAB，ABD90，ADm

22、，AEADDEmm（1）m，APAE（1）m，点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点；（3）证明：点 D 是线段 AC 的黄金分割点，且 ADCD，AD：CDCD：AC，ABCD，AD：ABAB：AC，而DABBAC，ABDACB，ABCADB；解：ABDACB，而 ABCD，点 D 是线段 AC 的黄金分割点，且 ADCD，CDAC，BD（22）cm 5（1）证明：CAB90，CAO+BAE90，AOCAEB，CAO+ACO90，BAEACO，AOCBEA，（2）解：由（1）知，AOCBEA，2，2，AE2，BE，当 m3 时，B（5，），当 m3 时，B（1，），故答案是（5，），（1，）

23、；（3）由上知，2，2，AE2，BE，当4 时，即 m8，点 B 在点 D 的下方，当 0m8 时，如图（1），BDDEBEOCBE4，SBDOE（4）（m+2），m2+4，当 S6 时，m2+46，m12，m24，当 m8 时，点 B 在点 D 的上方，如图（2），BDBEDE4，S（4）（m+2）m24，当 S6 时，m246，m34（舍去），m410，综上所述，当 m2 或 4 或 10 时，S6；（4）当 0m8 时，由上知：BD4m，CDm+2，当AOCBDC 时，m122，m222（舍去），当AOCCDB 时，方程无解，当 m8 时，当AOCBDC 时，方程无解，当AOCCDB 时

24、，m38，m48（舍去），当2m0 时，如图（3），当AOCCDB 时，m54+8（舍去）或 m684，当AOCBDC 时，方程无解，当 m2 时，如图（4），当AOCCDB 时，方程无解，当AOCBDC 时，m722（舍去）或 m82+2（舍去）；综上所述：或或 6解：（1）在 RtAPB 中，PAB45，c，则 PAPBc4，M、N 分别为 CB、CA 的中点，MNAB2，MNAB，APBMPN，PMPN2，BM2，a2BM4，同理：b2AN4，如图 2，连接 MN，在 RtAPB 中，PAB30，c2，PBc1，PA，PN，PM，BM，AN，a，b，a2+b220，故答案为：4；4；20

25、；（2）a2+b25c2，理由如下：如图 3，连接 MN，设 PNx，PMy，则 PB2PN2x，PA2PM2y，BM，AN，a2，b2，a2+b220（x2+y2），c2PA2+PB24（x2+y2），a2+b25c2；（3）取 AB 的中点 H，连接 FH 并延长交 DA 的延长线于点 P，四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，ADBC，AHPBHF，1，APBF，AD3AE，BC3BF，AD3，AEBF，PEFC，四边形 PFCE 为平行四边形，BECE，BGFH，AEBF，AEBF，AGGF，ABF 为“中垂三角形”，AB2+AF25BF2，即 32+AF25（）2，解得：AF4

26、7解：（1）如图 4，AD，EF 即为所求；（2）四边形 AEDF 为菱形，证明：由折叠可知，AD 是BAC 的角平分线，EF 是 AD 的垂直平分线，EADFAD，AEDE，AFDF，EADEDA，FADFDA，EADFDA，EDAFAD，AEDF，DEAF，四边形 AEDF 是平行四边形，AEDE，平行四边形 AEDF 是菱形；（3）连接 PF，四边形 AEDF 为菱形，AD 垂直平分 EF，AFDE，点 P 在 EF 的垂直平分线 AD 上，FEDEFD，PEPF，FEPEFP，FEDFEPEFDEFP，DEPDFP，AFDE，DEPFCP，DFPFCP，又FPQCPF，FPQCPF，即

27、，解得，PF，PEPF 8（1）如图 1，证：OMON，POCDOBMON90，OA 平分MON，AOCAOB45，AOEAOD135，AEO+EAO45，EAD45，DAO+EAO45，AEODAO，AOEDOE，OA2ODOE；（2）如图 2，由（1）知，CAOBOD，作 OEAC 交 AD 于 E，AOCDEOCAD45，DOEDCA，ACOD，AOCDEO（AAS），OEOC，OC2+ODOCOD20，OC，或（舍去），；（3）如图 3，作 BHAE 于 H，由（1）知，AOBAEB，ABOABE，AOBEAB，AB，在 RtABH 中，BHABsin45 ，EH ，tanCEO 9解

28、：（1）ACB90，AC6cm，BC8cm，AB10（cm），由题意知，BM3tcm，CN2tcm，BN（82t）cm，当MNB90时，BMNBAC，即，解得 t；当NMB90时，BMNBCA，即，解得 t；综上，当 t 为或时，BMN 与ABC 相似；（2）过 M 作 MDCB 于点 D，BDMACB90，BB，BDMBCA，AC6cm，BC8cm，AB10cm，BM3tcm，DMtcm，BD cm，CD（8t）cm，ANCM，ACB90，CAN+ACM90，MCD+ACM90，CANMCD，MDCB，MDCACB90，CANDCM，即，解得 t；（3）若BMN 是等腰三角形，可分以下三种情

29、况：当 BMBN 时，由（1）知，BM3tcm，BN（82t）cm，即 3t82t，解得 t；当 BNMN 时，作 NPBA 于 P，BPBMtcm，cosB，BPBN（82t）（t）（cm），即tt，解得 t；当 BMMN 时，作 MQBC 于 Q，BQBN（82t）（4t）（cm），cosB，BQBMt（cm），即 4tt，解得 t；综上，当 t 为或或时，BMN 是等腰三角形 10（1）证明：CD 是O 的直径，CED90 A90，CEDA AFD 与ECD 都是所对的圆周角，AFDECD，ADFEDC（2）解：过点 D 作 DHBC 于点 H，如图 AD1，AB4，BC3，DH4，CH

30、312，DEA+BEC90，BCE+BEC90，DEABCE AB90，AEDBCE，AD1，BC3，AEBE3 AE+BEAB4，点 E 在点 F 上方，AE1，BE3，由（1）知，ADFEDC，即，连接 CF，如图 ，AD1，A90，AF3，BF1 ADAEBF1，EF2，BEBC3，DECDFC90，DGECGF，DEGCFG，FECGDC，EGFDGC，EGFDGC，EG：CG1：5 11（1）证明：ADE 是由ABC 旋转所得，ADEABC90，DAEBAC，AEAC，ADAB，DAE+DAFDAF+BAC，EACDAB，EACDAB；（2）解：过 H 点作 HMAC 于 M，90，

31、DAB90ABC，AEAC，CAB903060，ACE45，CAH30，在CHA 中，设 CMm，则 HMm，AMm，AM+MCm+mAC2，m1，即 HMAM1，SAHCACHM1，DAB+ABC180，DABC，DAFBCF，且相似比为 1：，DAF 的高AB，SADFAD，S四边形CHDFSAHCSADF1；（3）当 60180时，即点 H 在线段 EC 上时，如图 3 所示，连结 AG EACDAB，ACEABD，AFBCFG，AFBGFC，FGCFAB60，AFGBFC，AGFACB30，AGEC，AEAC，EGGC，令 DFx，则由DAFACH，可得 CH2x，EH2CH4x，EC

32、6x，EGGC3x，EG3DF；当 060时，即点 H 在射线 EC 上时，如图 4 所示，令 DFx，则同理可知：CH2x，EH2CH4x，EC2x，EGx，EGDF，综上所述：当 60180时，EG3DF；当 060时，EGDF 12解：过点 E 作 EHCD 于 H，如图：则有EHAEHD90，BCD90，BEDE，CEDE，CHDH，EHBC，设 AHx，则 DHCHx+1，AEBD，AEH+DEHAED90，AEH+EAH90，EAHDEH，AHEEHD，EH2AHDH，解得（舍去负值），tanEAH，BFCD，AFBEAH，tanEAH；（2）取 AB 中点 O，连接 OC、OE，

33、如图，BCABEA90，OCOAOBOE，点 A、C、B、E 四点共圆，BCABAF，CBE+CAE180，BFCD，BFA+CAE180，CBEFAB，BCEFAB，CEFABCAB，BCA90，BC7，AC1，AB5，CEAF7535，由 CEx，AFy，xy35，y；（3）过点 E 作 EHCD 于 H，作 EMBC 于 M，如图：EMCMCHCHE90，四边形 EMCH 为矩形，由（2）知BCEFAB，BGE 与FAB 相似，BCE 与BGE 相似，ECGEBG，点 A、C、B、E 四点共圆，ECAEBG，ECBECA，EMEH，四边形 EMCH 为正方形，CMCH，ECBECABCA

34、45，EBAEAB45，EBEA，RtBMERtAHE（HL），BMAH，设 AHa，则 MBa，CM7a，CH1+a，7a1+a，a3，CH4，在 RtCHE 中，cosECH，CE，由（2）得 CEFA35，AF 13解：ACAB，BAC90，AB3cm，BC5cm，AC4（cm），AB：AC：BC3：4：5（1）当 PQBC 时，如图 1，则BACPQC90，BCAPCQ，ABCQPC，CQAPt，PC4t，由cosACB 得，CQPC，t（4t），解得，t；当 PQAC 时，如图 2，则BACQPC90，ABPQ，ABCPQC，由cosACB 得，PCCQ，4tt，解得，t，综上所述，

35、当 t或 t时，ABC 与PQC 相似（2）如图 3，作 QEPC 于点 E，则CEQPEQ90，QPC45，EPQEQP45，PEEQ，由sinACB，得 PEEQCQt，由cosACB，得 CECQt，t+t+t4，解得，t，当 t时QPC45（3）如图 4，作 PFBC 于点 F，则PFC90，由sinACB 得，PFPC（4t）；由平移得，PMBC，SQMCSQPCCQPF，SQMC：S四边形ABQP1：35，SQPC：S四边形ABQP1：35，SQPCSABC（34），t（4t），整理得，9t236t+50，解得，t或 t 14（1）证明：四边形 BCEF 是矩形，AFEADC90，

36、ECAB，DECA，AFEEDC；（2）解：S3x2+12x 当 x4 时，S0，此时，点 P 到达终点 A，PF2x8，即：AF8，当 x2 时，点 Q 恰好运动至 E 点，此时，PF4，AP4，SAPEF2EF322+12212，EF6，综上所述：AF8，EF6；（3）AF8，EF6，AE10，PF2x，当 x2 时，点 Q 恰好运动至 E 点，AQPF5x，当 PQEG 时，即，解得：x，PF2x；当 PQDH 时，延长 DH 交 AB 的延长线于点 M，过点 D 作 DNAB 于点 N，EF2CD，CD3，AFEEDC，即，解得：ED4，CE5，AD10+414，DNAB，AFE90，

37、EFDN，DN，AN，BNAF+BFAN8+5，点 H 为 BC 的中点，BH3，BM1，即：，解得：x，PF2x；当 PQGH 时，延长 GH 交 AB 于点 K，并反向延长交 CE 的延长线于点 L，交 AD 于点 O，FG4，即，BK15，BHCH，CHLBHK，HCLHBK90 CHLBHK（ASA），CLBK15，EL15510，解得：OE，AO10，PQGH，即，解得：x，PF2x；PQ 不可能平行于 AD；综上所述，PF或或 15（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABCBCF90，ABG+CBF90，AGB90，ABG+BAG90，BAGCBF，ABBC，ABEB

38、CF90，ABEBCF（ASA），BECF；AGB90，点 M 为 AB 的中点，MGMAMB，GAMAGM，又CGEAGM，GAMCBG，CGECBG，又ECGGCB，CGECBG，即 CG2BCCE，由CFGGBMBGMCGF 得 CFCG，由知 BECF，BECG，BE2BCCE；（2）解：延长 AE、DC 交于点 N，四边形 ABCD 是正方形，ABCD，NEAB，又CENBEA，CENBEA，即 BECNABCE，ABBC，BE2BCCE，CNBE，ABDN，AMMB，FCCNBE，设正方形的边长为 1，BEx，由 BE2BCCE 可得 x21（1x），解得：，（舍），则 16（1）

39、证明：如图 1 中，ABAC，BAC120，ABCACB30，DAC30 DACACB30，ADBCAD+ACB60，BAD90，由旋转得：DEDACD，BDEADB60，BDEBDA（SAS），ABBE 解：BDEBDA，BEDBAD90，BEAB，BE2+CD2BE2+DE2BD2，cosADBcos60，BD2AD，BE2+CD24AD2 故答案为：BE2+CD24AD2 DACABC30，ACDACB，DCAACB，BDEBDA，DEDA，BEAB，；（2）能满足（1）中的结论 理由：将ACD 绕点 A 顺时针旋转 120得到ABD，使 AC 与 AB 重合，连接 ED，DD，AE，设

40、 AB 交 DD于点 J DBJADJ30，BJDDJA，BJDDJA，BJDDJA，BJDDJA，JBDJDA30，同法可证，EBDEAD30，EDDEAD30，ABCDBJEBD30，DBE90，ADE120，ADD30，DDE90，EDD30，DE2DE2AD，在 RtDBE 中，DE2DB2+BE2，CDBD，CD2+BE24AD2 17解：（1）如图 1 所示AB，BC2，ABC90，AC5，四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，当ACD90时，ACDABC 或ACDCBA，CD2.5 或 CD10，同理：当CAD90时，AD2.5 或 AD10，如图中，D1，D2

41、，D3，D4即为所求；（2）如图 2，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”，理由如下：ABC80，BD 平分ABC，ABDDBC40，A+ADB140，ADC140，BDC+ADB140 ABDC，ABDDBC，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；ABDDBC，BD2ABBC，又BD4，ABBC16；（3）如图 3，FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，EFH 与HFG 相似 又EFHHFG，FEHFHG，FH2FEFG，过点 E 作 EQFG 垂足为 Q，可得 EQFEsin60EF，FGEQ6，FGEF6，FGFE24，FH2FGFE24，FH2 18（1）证明：如图

42、1，连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，ABBC，BCD120，ABC60，ABC 是等边三角形，ABAC，BACACB60，ACD60ABC，EAF60BAC，BAE+CAECAF+CAE，BAECAF，ABEACF（ASA）AEAF，EAF60，AEF 为等边三角形，AEEF；（2）如图 2，连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，ABBC，BCD120，ABC60，ABC 是等边三角形，ABAC，BACACB60，ACD60ABC，EAF60BAC，BAE+CAECAF+CAE，BAECAF，ABEACF（ASA）BECF；（3）由（1）知，FCG60EAF，AGEFGC，AEGCFG，

43、同（1）知，AEF 为等边三角形，AEAF，即 19解：（1）BP1，APABBP413，CR，ARACCR3；（2）E、F 是 BC 和 AC 的中点，EF 为ABC 的中位线，EFAB，2EFAB，BAAC，EFAC，过 Q 作 QTFE 的延长线于 T，QTAC，EQTECF，BQ5k，CR3k，FRFCCR3k，QE5k，QT，QTFR3k，QTFR，TRFG，在QTG 与RFG 中，QTGRFG（AAS），QGRG；当 GPAB 时，如图 3，过点 G 作 GHBC 于 H，过点 R 作 RNBC 于 N，AC3，AR4，BC5，AP4k，BQ5k，CR3k，F 为 AC 的中点，C

44、F，RF3k，CQ55k，GPAB，BPG90，A90，PGAF，GFAP，四边形 APGF 是平行四边形，A90，平行四边形 APGF 是矩形，GFAP4k，cosC，sinC，NC3kk，RNk，QN55kk5k，QR2RN2+QN2，GR2FR2+GF2，k2+（5k）24（3k）2+16k2，3k2+2k10，解得：或 k21（舍去），k，当 PGBC 时，如图 4，过点 R 作 RNBC 于 N，延长 PG 交 BC 于 H，cosC，NC3kk，QN55kk5k，GHRN，QGHQRN，QHQNk，BH5k+k+k，cosB，k；当 RGBC 时，如图 5，sinC，RQk，GQk，EFAB，BFEC，tanFEQtanB，k，综上所述：k 的值为或或 20解：（1）如图 1，EFBE+DF，理由如下：在ABE 和ADG 中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF 和AGF 中，