2023学年九年级数学下中考复习《特殊三角形存在性问题+将军饮马问题》专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学下中考复习特殊三角形存在性问题+将军饮马问题 专题提升训练（附答案）1如图 1，已知长方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，顶点 B（8，6），直线 yx+b 经过点 A 交 BC 于 D、交 y 轴于点 M，点 P 是 AD 的中点，直线 OP 交 AB 于点 E（1）求点 D 的坐标及直线 OP 的解析式；（2）点 N 是直线 AD 上的一动点（不与 A 重合），设点 N 的横坐标为 a，请写出AEN的面积 S 和 a 之间的函数关系式，并请求出 a 为何值时 S12；（3）在 x 轴上有一点 T（t，0）（5t8）

2、，过点 T 作 x 轴的垂线，分别交直线 OE、AD于点 F、G，在线段 AE 上是否存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，若存在，请写出点 Q 的坐标及相应的 t 的值；若不存在，请说明理由 2如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x+4 交坐标轴于 A、B 两点，过 x 轴负半轴上一点 C 作直线 CD 交 y 轴正半轴于点 D，且AOBDOC（1）OC ，OD ；（2）点 M（1，a）是线段 CD 上一点，作 ONOM 交 AB 于点 N，连接 MN，则点 N的坐标为 ；（3）若 E（1，b）为直线 AB 上的点，P 为 y 轴上的点，请问：直线 CD 上是否存在点 Q，使得EPQ

3、是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，已知：在矩形 ABCD 中，AB3cm，BC4cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；与点 P 同时，点 Q 从 D 点出发，沿 DA 方向匀速运动，速度为1cm/s；过点 Q 作 QEAC，交 DC 于点 E，设运动时间为 t（s），（0t2），解答下列问题：（1）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 PQ 平分APC？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（2）设五边形 APCEQ 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式；（3）是否存在某一时

4、刻 t，使PQE 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 4如图，已知直线 l1经过点（5，6），交 x 轴于点 A（3，0），直线 l2：y3x 交直线 l1于点 B（1）求直线 l1的函数表达式和点 B 的坐标；（2）求AOB 的面积；（3）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图，直线 l1经过 A（6，0）、B（0，8）两点，点 C 从 B 出发沿线段 BO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，点 D 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B运动，设运动时间为 t 秒

5、（t0），（1）求直线 l1的表达式；（2）当 t 时，BCBD；（3）将直线 l1沿 x 轴向右平移 3 个单位长度后，与 x 轴，y 轴分别交于 E、F 两点，求四边形 BAEF 的面积；（4）在第一象限内，是否存在点 P，使 A、B、P 三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 6如图，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴交于点 C，且点 A（1，m），B（n，2）（1）求点 C 的坐标；（2）求原点 O 到直线 AB 的距离；（3）在 x 轴上是否存在一点 P，使得ACP 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 7如图，已知函数

6、 yx+1 的图象与 y 轴交于点 A，一次函数 ykx+b 的图象经过点 B（0，1），与 x 轴以及 yx+1 的图象分别交于点 C、D（1）若点 D 的横坐标为 1，求四边形 AOCD 的面积；（2）若点 D 的横坐标为 1，在 x 轴上是否存在点 P，使得以点 P，C，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 8如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，等腰直角三角形 OAB 的斜边 OB 在 x轴上，OAB90，点 A（3，3）（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 从点 O 出发沿 x 轴以每秒 2 个单位的速度向 x 轴正方向运动，设点 P

7、 运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，OP2PB；（3）在（2）的条件下，当 OP2PB 时，在第一象限内是否存在点 Q，使BPQ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；（写出四个即可）若不存在，请说明理由 9如图，在平面直角坐标系中 A（a，0），B（0，b），满足 a24a+4+|b4|0（1）求 A，B 两点的坐标；（2）OBA 的平分线 BC 与OAB 的外角平分线 AM 交于点 C，求点C 的度数；（3）在平面内是否存在点 P，使ABP 为等腰直角三角形 若存在，请写出点 P 的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由 10问题探究（1）如图 1，在四边

8、形 ABCD 中，BC90，点 E 是边 BC 上一点，ABEC，BECD，连接 AE，DE，判断AED 的形状，并说明理由（2）如图 2，在ABC 中，C90，点 D 为边 CA 的延长线上一点，且 AD2BC，过点 A 作 AEAB 且 AEAB，连接 DE，求证：DEAE（3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，2），连接 OA，在 x 轴上方是否存在一点 B，使得OAB 是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由 11如图，在ABC 中，B90，AB11cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm的速度沿 AB 向点 B 匀

9、速运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，到达点 C 后返回点 B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为 t 秒（1）当 t1 时，直接写出 P，Q 两点间的距离（2）是否存在 t，使得BPQ 是等腰三角形，若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由（3）是否存在 t，使得BPQ 的面积等于 10cm2，若存在，请求出 t 的值：若不存在，请说明理由 12如图，在平面直角坐标中，把长方形 OABC 沿对角线 OB 所在的直线折叠，点 A 落在点 D 处，OD 与 BC 交于点 E已知 OA6，OC3（1）求出过点 A，E 的直线的函

10、数表达式（2）在 x 轴上是否存在点 F，使OBF 为等腰三角形？若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，等腰直角ABC 中，BCAC，ACB90，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点 B 坐标为（0，3），点 C 坐标为（9，0）过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D（1）求 OD 的长及点 A 的坐标；（2）取 AB 中点 E，连接 OE、DE，请你判定 OE 与 DE 的关系，并证明你的结论；（3）连接 OA，已知 OA15，试探究在 x 轴上是否存在点 Q，使OAQ 是以 OA 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 14如图，直线

11、 l1：yx+3 与过点 A（3，0）的直线 l2交于点 C（1，m），与 x 轴交于点 B，CDx 轴于点 D（1）求点 B 和点 C 的坐标；（2）求直线 l2的函数表达式；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以 B、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 15在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过（1，3）和（3，1）两点，且与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点（1）求直线 l 对应的函数解析式；（2）求AOB 的面积；（3）在 x 轴上是否存在一点 C，使ABC 为等腰三角形，若存在，直接写出点 C 坐标；若不存在，请说明理由

12、16古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营 A 出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线 l 上找一点 P 使得 PA+PB 的值最小（1）如图 1，点 A 到直线 l 的距离 AO12，点 B 到直线 l 的距离 BO23，O1O24，要解决该最小值问题，如图 2，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 AB 交直线 l 于点 P，此时 P 即为所求点，则 PA+PB 的最小值为 ；（2

13、）如图 3，在等腰 RtABC 中，ACBC8，ACB90，D 是 BC 边的中点，E是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是 ；（3）如图 4，正方形 ABCD 的边长是 6，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小值为 17【情景回顾】在进行 13.4最短路径问题的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀古从军行出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题“将军饮马”问题同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明

14、 下列图形分别说明了以上研究过程 证明过程如下：如图 4，在直线 l 上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC，点 B，B关于直线 l 对称，点 C，C在 l 上，CB ，CB ，AC+CBAC+CB 在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB，即 AC+CB 最小【问题解决】（1）请将证明过程补充完整（直接填在横线上）（2）课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图 1，A，B 是直线/同旁的两个定点在直线 l 上是否存在一点 P，使 PBPA 的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点 P 的位置，再证明你的结论是正确的（3）如图，平面直角坐标系中，M（2，2），

15、N（4，1），MN，P 是坐标轴上的点，则|PMPN|的最大值为 ，此时 P 点坐标为 （直接写答案）18龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线 l 同旁有两个定点 A、B，在直线 l 上存在点 P，使得 PA+PB 的值最小 解法：如图 1，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB，则 AB 与直线 l 的交点即为 P，且 PA+PB 的最小值为 AB 请利用上述模型解决下列问题：（1）格点应用：如图 2，边长为 1 的正方形网格内有两点 A、B，直线 l 与 A、B 的位置如图所示，点 P 是直线 l 上一动点，则 PA+PB 的最小值为 ；（2）几何应用：

16、如图 3，ABC 中，C90，AC4，BC6，E 是 AB 的中点，P是 BC 边上的一动点，则 PA+PE 的最小值为 ；（3）代数应用：代数式（0 x6）的最小值为 19古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营 A 出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线 l 上找一点 P 使得 PA+PB 的值最小（1）如图 1，点 A 到直线 l 的距离 AO11，点 B 到直线 l 的距离 BO23，

17、O1O23，要解决该最小值问题，如图 2，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 AB 交直线 l 于点 P，此时 P 即为所求点，则 PA+PB 的最小值为 ；（2）如图 3，在等腰 RtABC 中，ACBC4，ACB90，D 是 BC 边的中点，E是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是 ；（3）如图 4，在正ABC 中，AB4，P、M、N 分别是 BC、CA、AB 上的动点，PM+MN 的最小值为 ；求 PM+MN+NP 的最小值（4）如图 5，正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是边 AB 和 BC 上的动点且始终满足AEBF，连结 DE、DF，求 DE+DF 的最

18、小值 20【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河古从军行唐李欣 诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题“将军饮马”问题的数学模型如图 4 所示：【新模 1：模型应用】如图 1，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE1，F 为对角线 AC 上一动点，欲使BFE 周长最小（1）在图中确定点 F 的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；（2）BFE 周长的最小值为 【新模 2：模型变式】（3）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB5，AD4，在矩形

19、 ABCD 内部有一动点 P，满足 SPABS矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点的距离和 PA+PB 的最小值为 【超模：模型拓广】（4）如图 3，ABDBDE90，AB2，BDDE3请构造合理的数学模型，并借助模型求（x0）的最小值 21古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营 A，B他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后，再巡查 B 营他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图 2，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连结 AB与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求

20、的位置 证明：如图 3，在直线 l 上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC，直线 l 是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l 上，CB ，CB ，AC+CBAC+CB 在ACB，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即 AC+CB 最小 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C 在 AB与 l 的交点上，即 A，C，B三点共线）本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型 拓展应用：如图 4，等腰直角ABC 中，ACB90，BD

21、平分ABC 交 AC 于 D，点P 是 BD 上一个动点，点 M 是 BC 上一个动点，请在图 5 中画出 PC+PM 的值最小时 P的位置（可用三角尺）22李明酷爱数学，勤于思考，善于反思在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法于是他撰写了一篇数学作文请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题“将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀古从军行），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从 A 地出发到河边 l 饮马，然

22、后再到 B 地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图 1，A，B 是直线 l 同旁的两个定点在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB的值最小【问题解决】作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则点 P 即为所求此时，PA+PB 的值最小，且 PA+PBAP+PBAB 【模型应用】问题 1如图 2，经测量得 A，B 两点到河边 l 的距离分别为 AC300 米，BD900 米，且 CD900 米请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长 问题 2如图 3，在正方形 ABCD 中，AB9，点 E 在 CD 边上，且 DE2CE，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则

23、 PE+PD 的最小值是 问题 3如图 4，在平面直角坐标系中，点 A（2，4），点 B（4，2）（1）请在 x 轴上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小，并求出点 P 的坐标；（2）请直接写出 PA+PB 的最小值【模型迁移】问题 4如图 5，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC12，BD16点 P和点 E 分别为 BD，CD 上的动点，求 PE+PC 的最小值 23【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营 A，B他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后，再巡查 B 营如图，他时常想，怎么走才能使每天走

24、的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图，作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB与直线 l 交于点 P，连接 PB，则 AP+BP的和最小 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答 理由：如图，在直线 l 上另取任一点 P，连接 AP，BP，BP，直线 l 是点 B，B的对称轴，点 P，P在 l 上，PB ，PB ，AP+PBAP+PB 在APB中，ABAP+PB，AP+PBAP+PB，即 AP+BP 最小【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转

25、化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点 P 为 AB与 l 的交点，即 A，P，B三点共线）由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型【模型应用】（1）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点求 EF+FB的最小值 解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点 B 与 D 关于直线 AC对称，连接 DE 交 AC 于点 F，则 EF+FB 的最小值就是线段 ED 的长度，则 EF+FB 的最小值是 （2）如图，圆柱形玻璃杯，高为 14cm，底面周长为 16cm，在杯内离杯底 3cm

26、的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm（3）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，将ABD 沿射线 BD 的方向平移，得到ABD，分别连接 AC，AD，BC，则 AC+BC 的最小值为 24早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马”的

27、问题便流传至今 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图 2，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置 证明：如图 3，在直线 l 上另取任一点 C，连接 AC，BC，BC，直线 l 是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l 上，CBCB，CBCB，AC+CBAC+在ACB中，ABAC+CB AC+CBAC+CB即 AC+CB 最小 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C 在 AB与 l 的交点上，即

28、 A、C、B三点共线）本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型【简单应用】（1）如图 4，在等边ABC 中，AB6，ADBC，E 是 AC 的中点，M 是 AD 上的一点，求 EM+MC 的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B 与 C 关于直线 AD 对称，连接 BM，EM+MC 的最小值就是线段 的长度，则 EM+MC 的最小值是 ；（2）如图 5，在四边形 ABCD 中，BAD130，BD90，在 BC，CD 上分别找一点 M、N 当AMN 周长最小时，AMN+ANM 【拓展应用】如图 6，是一个港湾，港湾两岸有 A、B 两个码头，

29、AOB30，OA1 千米，OB2千米，现有一艘货船从码头 A 出发，根据计划，货船应先停靠 OB 岸 C 处装货，再停靠OA 岸 D 处装货，最后到达码头 B怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程 25某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线 l 同旁有两个定点 A、B，在直线 l 上存在点 P，使得 PA+PB 的值最小解法：如图1，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB，则 AB 与直线 l 的交点即为 P，且 PA+PB的最小值为 AB 请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图 2，ABC 中，C90，ACBC2，E 是 A

30、B 的中点，P 是BC 边上的一动点，则 PA+PE 的最小值为 ；（2）代数应用：求代数式+（0 x3）的最小值；（3）几何拓展：如图 3，ABC 中，AC2，A30，若在 AB、AC 上各取一点 M、N 使 CM+MN 的值最小，最小值是 参考答案 1解：（1）四边形 OABC 为长方形，点 B 的坐标为（8，6），点 A 的坐标为（8，0），BCx 轴 直线 yx+b 经过点 A，08+b，b8，直线 AD 的解析式为 yx+8 当 y6 时，有x+86，解得：x2，点 D 的坐标为（2，6）点 P 是 AD 的中点，点 P 的坐标为（，），即（5，3），设直线 OP 的解析式为 ykx

31、，35k，解得 k，直线 OP 的解析式为 yx；（2）当 x8 时，yx，点 E 的坐标为（8，），设点 N 的坐标为（a，a+8），S|8a|8a|，当 a8 时，S|8a|，当 a8 时，S|8a|，S，当 S12 时，|8a|12，解得：a3 或 a13；（3）点 T 的坐标为（t，0）（5t8），点 F 的坐标为（t，t），点 G 的坐标为（t，t+8）分三种情况考虑：当FGQ90时，如图 1 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FGGQ，即t（t+8）8t，解得：t，此时点 Q 的坐标为（8，）；当GFQ90时，如图 2 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FGFQ，即t（t+8）8t，解

32、得：t，此时点 Q 的坐标为（8，）；当FQG90时，过点 Q 作 QSFG 于点 S，如图 3 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FG2QS，即t（t+8）2（8t），解得：t，此时点 F 的坐标为（，4），点 G 的坐标为（，），此时点 Q 的坐标为（8，），即（8，）综上所述：在线段 AE 上存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，当 t时点 Q的坐标为（8，）或（8，），当 t时点 Q 的坐标为（8，）2解：（1）把 x0 代入 y2x+4 得：y4，点 B（0，4），OB4，把 y0 代入 y2x+4 得：x2，点 A（2，0），OA2，AOBDOC，OCOB4，ODOA2，故答案

33、为：4，2；（2）设直线 CD 对应的函数表达式为：ykx+b，OC4，OD2，C（4，0），D（0，2），把 C（4，0），D（0，2）代入 ykx+b 得，解得，直线 CD 对应的函数表达式为 yx+2，M（1，），AOBDOC，OBAOCD，OBOC，又ONOM，MON90，即MOD+BON90，COD90，即COM+MOD90，BONCOM，OBNOCM（ASA），OMON，分别过点 M、N 作 MEx 轴于点 E，NFy 轴于点 F，OFNOEM，BONCOM，OMON，OFNOEM（AAS），OFOE1，FNEM，点 N 的坐标为（，1），故答案为：（，1）；（3）直线 CD 上存

34、在点 Q，使EPQ 得是以 E 为直角顶点的等腰三角形 E（1，b）为直线 AB 上的点，b21+42，E（1，2），当点 P 在点 B 下方时，如图，连接 DE，过点 Q 作 QMDE，交 DE 的延长线于 M 点，D（0，2），DEy 轴，DE1，点 M 的纵坐标为 2，MEDP90，EPQ 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，EPEQ，PEQ90，QEM+PED90QEM+EQM，DEPEQM，DEPMQE（AAS），MQDE1，Q 点的纵坐标为 3，把 y3 代入 yx+2 中得：x2，点 Q（2，3）；当点 P 在点 B 上方时，如图，过 E 点作 EMy 轴，过点 Q 作 QME

35、M 于 M 点，过 P点作 PNEM 交 ME 的延长线于 N 点 则MN90，N 点的橫坐标为 1，则 PN1，EPQ 是以 E 为直角顶点的等腰三角形，EPEQ，PEQ90，QEM+PEN90PEN+NPE，MEQNPE，EQMPEN（AAS），EMPN1，M 点的纵坐标为 1，Q 点的纵坐标为 1，把 y1 代入 yx+2 中得：x2，Q（2，1）；综上所述，直线 CD 上存在点 Q，使得EPQ 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为（2，3）或（2，1）3解：（1）如图 1，当 PQ 平分APC，有APQCPQ，矩形 ABCD 中，AB3cm，BC4cm，ADBC，ADBC

36、4cm，ABCD3cm，B90，CPQAQP，APQAQPCPQ，APAQ，AP2AQ2，由题意知：BP2tcm，DQtcm，AQADDQ（4t）cm，B90，AP2AB2+BP232+（2t）2，32+（2t）2（4t）2，解得：t1，t2，0t2，t，当 t秒时，PQ 平分APC；（2）如图 2，当 P、Q 运动时间为 ts 时，BP2tcm，DQtcm，QEAC，DQEDAC，DEtcm，SABPABBP32t3t（cm2），SQDEttt2（cm2），S矩形ABCDABBC3412（cm2），yS五边形APCEQS矩形ABCDSABPSQDE123tt2（0t2），y 与 t 的函数关

37、系式为：yt23t+12（0t2）；（3）当QEP90，如图 3，QED+EQD90，QED+EQD90，CEPDQE，QDEECP90，QDEECP，当运动时间为 ts 时，QDtcm，由（2）可知，DEtcm，ECDCDE（3t）cm，BP2tcm，CP（42t）cm，解得：t或 t0（舍去），t；当PQE90时，如图 4，过点 P 作线段 PIAD 于点 I，EQD+PQI90，QED+EQD90，PQIQED，QDEPIQ90，QDEPIQ，当运动时间为 ts 时，QDtcm，由（2）可知，DEtcm，BPAI2tcm，QIADQDAI4t2t（43t）cm，PIAB3cm，解得：t或

38、 t0（舍去），t；当QPE90，不满足题意，综上所述，t 的值为或时，PQE 是直角三角形 4（1）解：设直线 l1的函数表达式为 ykx+b（k0）图象经过点（5，6），A（3，0），解得，直线 l1的函数表达式为 联立，解得：，点 B 的坐标为（1，3）；（2）解：A（3，0），B（1，3），；（3）解：点 C 在 x 轴上，BAC90，当ABC 是直角三角形时，需分ACB90和ABC90两种情况 当ACB90时，点 C 在图中 C1的位置：点 A 和点 C1均在 x 轴上，BC1x 轴 B（1，3），C1（1，0）；当ABC90时，点 C 在图中 C2的位置：设 C2（m，0），（m0

39、）A（3，0），B（1，3），C1（1，0），AC14，BC13，C1C2m1，AC2m+3，在 RtABC2中，在 RtBC1C2中，即（m+3）25232+（m1）2，解得，综上可知，在 x 轴上存在点 C，使得ABC 是直角三角形，点 C 的坐标为（1，0）或 5解：（1）设直线 l1的表达式为 ykx+b，将 A（6，0）、B（0，8）代入得：，解得：，直线 l1的表达式为；（2）由点 A、B 的坐标知，OA6，OB8，则 AB10，t 秒时，BCt，BDBAAD102t，当 BCBD 时，则 t102t，解得：t；故答案为：（3）由平移可得：直线 EF 的关系式为：，当 x0 时，y

40、12，F（0，12），当 y0 时，x9，E（9，0），四边形 BAEF 的面积SEFOSABO，即，答：四边形 BAEF 的面积是 30（4）存在 当ABP90，ABBP 时，如图所示：过点 P 作 PMy 轴于点 M，可证AOBBMP（AAS），AOBM6，BOMP8，OM14，P（8，14）当BAP90，ABAP 时，如图所示：过点 P 作 PMx 轴于点 M，可证AOBPMA（AAS），AOPM6，BOAM8，OM14，P（14，6）当APB90，BPAP 时，如图所示：过点 P 作 PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N，可证AMPBNP（AAS），AMBM，PMPN，6+AM8BN

41、，AMBN1，OM7PNPM，P（7，7），P（8，14）综上，点 P（8，14）或（14，6）或（7，7）6解：（1）令，解得：，点 C 的坐标为；（2）由（1）知 OC；代入点 A（1，m），B（n，2）两点可得：，解得：m3，n3，A（1，3），B（3，2），SAOC，AC，设原点 O 到直线 AB 的距离为 d，SAOCd，解得：；（3）存在，理由如下：设点 P 的坐标为（x，0），ACP 为锐角，ACP 是直角三角形，而分两种情况分析：若APC90，此时点 P 的坐标为（1，0）；若PAC90，AC2+AP2CP2，故，解得：，此时点 P 的坐标为（6，0）；综上所述，存在满足条件的

42、点 P 的坐标为（1，0）或 7解：（1）把 D 坐标（1，n）代入 yx+1 中得：n2，即 D（1，2），把 B（0，1）与 D（1，2）代入 ykx+b 中得：，解得：，直线 BD 解析式为 y3x1，对于直线 yx+1，令 y0，得到 x1，即 E（1，0）；令 x0，得到 y1，对于直线 y3x1，令 y0，得到 x，即 C（，0），则 S四边形AOCDSDECSAEO211；（2）存在如图，当DPC90时，P（1，0）当CDP90时，DPCPPD，PD2CPPP，22PP，PP6，OPOP+PP1+67，P（7，0）综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（1，0）或（7，0）8解：（

43、1）如图 1 中，过点 A 作 AHOB 于点 H，A（3，3），AHOH3，OAAB，AHOB，HBOH3，OB6，B（6，0）；（2）当点 P 在线段 OB 上时，2t2（62t），t2 当点 P 在线段 OB 的延长线上时，2t2（2t6），t6 综上所述，满足条件的 t 的值为 2 或 6（3）存在如图 2 中，当 P（4，0）时，满足条件的点 Q 的坐标为（5，1）或（6，2）或（4，2）如图 3 中，当 P（12，0）时，点 Q 的坐标为（9，3）或（12，6）或（6，6）综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（5，1）或（6，2）或（4，2）或（9，3）或（12，6）或（6，6）9

44、解：（1）a24a+4+|b4|0，（a2）2+|b4|0，（a2）20，|b4|0，a2，b4，A（2，0），B（0，4）；（2）BC 平分OBA，AM 平分BAD，C+CBABAM，AOBBADOBA，；（3）存在，满足条件的点共有 6 个，如图所示，P1（6，2），P2（2，2），P3（4，6），P4（4，2），P5（3，3），P6（1，1）10（1）解：结论：AED 是等腰直角三角形 理由：在ABE 和ECD 中，ABEECD（SAS），AEDE，BAECED，BAE+AED90，CED+AEB90，AED90，AED 是等腰直角三角形；（2）证明：过点 E 作 EFAD 于 F，由（

45、1）可知EFAACB，AFBC，AD2BC，AD2AF，AFDF，又EFAD，DEAE；（3）解：存在分三种情况，若点 O 为直角顶点，如图 3，A（3，2），OF3，AF2，过点 A 作 AFx 轴于 F，过点 B 作 BEx 轴于 E，由（1）知BEOOFA，BEOF3，OEAF2，B（2，3）；若点 A 为直角顶点，如图 4，过点 A 作 AFx 轴于 F，过点 B 作 BEAF，交 FA 的延长线于 E，由（1）知BEAAFO，BEOF2，AEPF5，B（1，5）；若点 B 为直角顶点，如图 5，过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 A 作 AFBE，交 EB 的延长线于 F，由（1）

46、知BEOAFB，BEAF，OEBF，设 BEAFa，则 OE2+a，a+2+a3，a，OEa+2，B（，）；综上所述，存在点 B，使得OAB 是等腰直角三角形，点 B 的坐标为（2，3）或（1，5）或 B（，）11解：（1）当 t1 时，由题意可知：AP1cm，BQ2cm，AB11cm，PB10cm，B90，；（2）B90，BPQ 是等腰三角形时，只有 BPBQ，由题意可知：BP（11t）cm，Q 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，到达点 C 后返回点 B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，当 0t4 时，BQ2tcm；当 4t8 时，BQ（162t）cm；

47、当 8t11 时，BQ（2t16）cm；BPBQ，11t2t，解得：，故不符合题意；11t162t，解得：t5，符合题意；11t2t16，解得：t9，符合题意；综上所述：t5 或 t9；（3）假设存在 t 使得BPQ 的面积等于 10cm2，由（2）可知：BP（11t）cm，当 0t4 时，BQ2tcm；当 4t8 时，BQ（162t）cm；当 8t11 时，BQ（2t16）cm；当 0t4 时，；解得：t1 或 t10（舍去）；当 4t8 时，解得：t6 或 t13（舍去）；当 8t11 时，因为0，故无解，综上所述，当 t1 或 t6 时BPQ 的面积等于 10cm2 12解：（1）四边形

48、 OABC 是矩形，OABC，CBOAOB，根据翻折的性质可知：EOBAOB，EOBEBO，EOEB，设 EOEBx，在 RtECO 中，EO2OC2+CE2，x232+（6x）2，解得 x，CEBCEB6，E（，3），设直线 AE 的解析式为 ykx+b，解得，直线 AE 的函数解析式为 yx+；（2）如图，OB3 设 F（n，0）当 OBOF 时，F（3，3）或（3，0）；当 OBBF 时，OB2BF2，459+（6n）2，解得 n12 或 0（舍去），F（12，0），当 OFBF 时，OF2BF2，n29+（6n）2，解得 n，F（，0），综上所述，在 x 轴上是存在点 F，使OBF 为

49、等腰三角形，点 F 的坐标为（3，3）或（3，0）或（12，0）或（，0）13（1）解：点 B 坐标为（0，3），点 C 坐标为（9，0），OB3，OC9，ACB90，BCO+ACD90，且BCO+OBC90，ACDOBC，且 ACBC，BOCADC90，BOCCDA（AAS），CDOB3，ODOC+CD12，AOOC9，点 A 的坐标（12，9）；（2）OEDE 且 OEDE；证明：过 E 作 EFy 轴于 F，并交 AD 于 G，则 FGOD12 且 FGAD，B（0，3），A（12，9），E 为 AB 中点，E（6，6），EFEG6，OFDG6，又EFOEGD90，EFOEGD，且EFO

50、 和EGD 都为等腰直角三角形，OEDE，FEOGED45，OED180FEOGED90，OEDE；（3）解：当以点 A 为顶角顶点时，且 OA 是腰，ADx 轴，点 Q1，O 关于直线 AD 对称，即：Q1（24，0）；当以点 A 为底角顶点时，且 OA 是腰，形成锐角三角形时，则 OQ2OA15，Q2（15，0）；当以点 A 为底角顶点时，且 OA 是腰，形成钝角三角形时，则 OQ3OA15，Q3（15，0），综上所述：Q 的坐标为：（24，0）或（15，0）或（15，0）14解：（1）在 yx+3 中，令 y0，得 x3，B（3，0）将 C（1，m）代入 yx+3 得 m4，C（1，4）