2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题复习训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形综合压轴题专题复习训练（附答案）1已知正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点（不与 C、D 重合），将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABF，如图 1，连接 EF，分别交 AC、AB 于点 P、G （1）求证：APFEPC；（2）求证：PA2PGPF；（3）如图 2，当点 E 是边 CD 的中点时，PE1，求 AG 的长 2已知四边形 ABCD 中ADAB，ADBC，A90，M 为边 AD 的中点，F 为边 BC上一点，连接 MF，过点 M 作 MEMF，交边 AB 于点 E（1）如图 1，当ADC90时，求证：4AE+2CF

2、CD；（2）如图 2，当ADC135时，线段 AE、CF、CD 的数量关系为 （3）如图 3在（1）的条件下，连接 EF、EC，EC 与 FM 相交于点 K，线段 FM 关于FE 对称的线段与 AB 相交于点 N若 NE，FCAE，求 MK 的长 3如图 1，菱形 ABCD 与菱形 GECF 的顶点 C 重合，点 G 在对角线 AC 上，且BCDECF60，（1）问题发现的值为 ；（2）探究与证明 将菱形 GECF 绕点 C 按顺时针方向旋转 角（060），如图 2 所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形 GECF 在旋转过程中，当点 A，G，F

3、三点在一条直线上时，如图 3 所示连接 CG 并延长，交 AD 于点 H，若 CE2，GH，则 AH 的长为 4（1）问题发现 如图（1），在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD36，连接AC，BD 交于点 M 的值为 ；AMB 的度数为 ；（2）类比探究 如图（2），在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC，交 BD 的延长线于点 M请计算的值及AMB 的度数（3）拓展延伸 在（2）的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M若 OD1，OB，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长 5【问题呈现】如图 1

4、，ABC 和ADE 都是等边三角形，连接 BD，CE求证：BDCE【类比探究】如图 2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABCADE90 连接 BD，CE 请直接写出的值【拓展提升】如图 3，ABC 和ADE 都是直角三角形，ABCADE90，且 连接 BD，CE（1）求的值；（2）延长 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G求 sinBFC 的值 6已知矩形 ABCD，点 E 为直线 BD 上的一个动点（点 E 不与点 B 重合），连接 AE，以 AE为一边构造矩形 AEFG（A，E，F，G 按逆时针方向排列），连接 DG（1）如图 1，当1 时，请直接写出线段 BE 与线段 D

5、G 的数量关系与位置关系；（2）如图 2，当2 时，请猜想线段 BE 与线段 DG 的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，EG，分别取线段 BG，EG 的中点 M，N，连接 MN，MD，ND，若 AB，AEB45，请直接写出MND 的面积 7如图 1，ABC 中，B30，点 D 在 BA 的延长线上，点 E 在 BC 边上，连接 DE，交 AC 于点 F若EFC60，DE2AC，求的值 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现C 与D 存在某种数量关系”；小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得的值 老师：如

6、图 2，将原题中“点 D 在 BA 的延长线上，点 E 在 BC 边上”改为“点 D 在 AB边上，点 E 在 BC 的延长线上”，添加条件“BC5，EC4”，其它条件不变，可求出BED 的面积 请回答：（1）用等式表示C、D 的数量关系并证明；（2）求的值；（3）BDE 的面积为 （直接写出答案）8阅读下面材料，完成（1）（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，在ABC 中，BABC，ABkAC点 F 在 AC 上，点 E 在 BF 上，BE2EF点D 在 BC 延长线上，连接 AD、AE，ACD+DAE180探究线段 AD 与 AE 的数量关系并证明 同学们经过思考后，交流了自

7、己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD 与EAB 相等”小亮：“通过观察和度量，发现FAE 与D 也相等”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段 AD 与 AE 的数量关系”老师：“保留原题条件，延长图 1 中的 AE，与 BC 相交于点 H（如图 2），若知道 DH 与AH 的数量关系，可以求出的值”（1）求证：CADEAB；（2）求的值（用含 k 的式子表示）；（3）如图 2，若 DHAH，则的值为 （用含 k 的式子表示）9阅读下面材料，完成（1）、（2）题 数学课上，老师出示了这样一道题：ABC 中，ABAC，BCkAB，DAAC 交 BC 于点 D，点 E

8、 在 BC 的延长线上，且BBAD+E，AF 平分DAE 交 BE 于点 F，CGAF 垂足为 G，探究线段 CG 与 AD的数量关系，并证明 同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现BAD 与CAE 相等”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 CG 与 AD 的数量关系”老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流”（1）求证：BADEAC；（2）探究线段 CG 与 AD 的数量关系（用含 k 的代数式表示），并证明 10如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD8，点 E 是边 AB 上

9、的一点，点 F 是边 BC 延长线上的一点，且 AE2CF连接 AC，交 EF 于点 O，过 E 作 EPAC，垂足为 P（1）求证：DAEDCF；（2）求证：OP 长为定值；（3）记 AC 与 DE 的交点为 Q，当时，直接写出此时 AP 的长 11（1）如图 1，ADBC，垂足为 D，BEAC，垂足为 E，AD 与 BE 相交于点 F，连接ED你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？（2）如图 2，在ABC 中，ABAC，A45，BEAC，垂足为 E，P 为 AB 上一点，PDBC 于 D，交 BE 于 F求证：PF2BD；（3）如图 3，在ABC 中，C90，M 为 AC 上一

10、点，连接 BM，MBCA，tanABM，AM2，请直接写出 BC 的长 12在矩形 ABCD 中，BECF，（1）如图 1，证明：ABEBCF（2）如图 2，作 CPBD，M、N 分别为 CF、BE 上一动点，若存在 CMCFBNBE，试用含 k 的代数式表示 tanPMN（3）在（2）的基础上，连接 CN 交 MP 于 H，k2连接 BM，求 BM、MN、BC 的数量关系 13“如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作

11、FDED，交直线 BC 于点 F，设”（1）探究发现：如图，若 mn，点 E 在线段 AC 上，则 ；（2）数学思考：如图 3，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m，n 的代数式表示）；当点 E 在直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 4 的情形给出证明；（3）拓展应用：若 AC，BC2，DF4，请直接写出 CE 的长 14已知：如图，正方形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于 O，Q 为线段 DB 上的一点，MQN90，点 M、N 分别在直线 BC、DC 上，（1）如图 1，当 Q 为线段 OD 的中点时，求证：DN+BMBC；（2）如图 2，当 Q 为线段 OB 的

12、中点，点 N 在 CD 的延长线上时，则线段 DN、BM、BC的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接 MN，交 AD、BD 于点 E、F，若 MB：MC3：1，NQ，求 EF 的长 15已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G（1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF求证：；（2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形 试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图 3，若 BABC6，DADC8，BAD90，DECF请直接写出的值 16如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是

13、AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且AGDBGC（1）求证：ADBC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图 2，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求的值 17如图，平行四边形 ABCD 中，DB 为对角线，DF 平分ADB，交 AB 于点 E，交 CB 延长线于点 F（1）如图 1，求证：；（2）如图 2，点 G 为 EF 上一点，连接 GB 并延长交 DC 延长线于点 H，若 BGBE，BCD2ABD，求证：BCHC；（3）在（2）的条件下，若 CF10，AE2，求线段 GE 的长 18已知四边形 AB

14、CD 的一组对边 AD、BC 的延长线交于点 E（1）如图 1，若ABCADC90，求证：EDEAECEB；（2）如图 2，若ABC120，cosADC，CD5，AB12，CDE 的面积为 6，求四边形 ABCD 的面积；（3）如图 3，另一组对边 AB、DC 的延长线相交于点 F若 cosABCcosADC，CD5，CFEDn，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示）19【基础巩固】（1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图 2，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4，B

15、E3，求 AD 的长【拓展提高】（3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDFBAD，AE2，DF5，则菱形 ABCD 的边长为 20【模型呈现：材料阅读】如图，点 B，C，E 在同一直线上，点 A，D 在直线 CE 的同侧，ABC 和CDE 均为等边三角形，AE，BD 交于点 F 对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）BCDACE；（2）ACE 可以看作是由BCD 绕点 C 旋转而成 【模型改编：问题解决】点 A，D 在直线 CE 的同侧，ABAC，EDEC，BACDEC50，直线 AE，BD交于 F 如图 1：点 B 在直

16、线 CE 上 求证：BCDACE；求AFB 的度数 如图 2：将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定角度 补全图形，则AFB 的度数为 ；若将“BACDEC50”改为“BACDECm”，则AFB 的度数为 （直接写结论）【模型拓广：问题延伸】如图 3：在矩形 ABCD 和矩形 DEFG 中，AB1，ADED，DG3，连接 AG，BF，求的值 21已知ABC 和EFC 中，ABCEFC，点 E 在ABC 内，且CAE+CBE90（1）如图，当ABC 和EFC 都是等腰三角形，且 90时，连接 BF 求证：ACEBCF 若 BE1，AE2，求 EF 的长（2）如图，当ACBECF，且 90时，若k，B

17、E1，AE2，CE3，则 k 的值为 （3）如图，当ABC 和EFC 都是等腰三角形，且 120时，设 BEm，AEn，CEp，直接写出 m，n，p 三者之间满足的等量关系 参考答案 1（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ACB45，由旋转的性质可知，AFAE，FAE90，AFPECP45，APFEPC，APFEPC（2）证明：四边形 ABCD 是正方形，CAB45，AFE45，PAGAFP，APGFPA，APGFPA，PA2PGPF（3）解：如图 2 中，设正方形的边长为 2a ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABF，ABFD90，DEBF，ABC90，FBC180，F，B，C 共

18、线，DEECBFa，BC2a，CF3a，EFa，BGEC，BG：ECFB：CFFG：FE1：3，BGa，AGa，GEa，GAPAEG45，AGPEGA，AGPEGA，AG2GPGE，（a）2（a1）a，a，AG 2（1）证明：过点 F 作 FNAD，垂足为 N ADBC，A90，BA90，ADC90，ADAB，四边形 CDAB 是正方形，NFCDAD M 为边 AD 的中点，AD2AM2MD，NFCD2AM 在AME 与MFN 中，A90MNFEMF，AME+NMF90NMF+MFN，AMEMFN，AMENFM，MN2AE，MDADCDMN+DN2AE+FC，2MD4AE+2CF，4AE+2F

19、CCD；（2）解：如图 2，过点 C 作 CDAD 于 D，过点 F 作 FNAD 于 N，则四边形 ABFN 与四边形 FNDC 都是矩形，DCNFABAD，NDFC ADC135，DDC45，CDD90，CDD 是等腰直角三角形，CDDDCD，ABCD 在AME 与NFM 中，AMNF90，AMEMFN90NMF，AMENFM，MN2AE，MD+DDND2AE，MDADABCDCD，DDCD，NDFC，CD+CDFC2AE，8AE+4FC3CD；（3）解：如图 3，AEFCa，则 CD4AE+2FC6a，AMDM3a，ADCD6a，在 RtAME 中，EM2AM2+AE2，EMa，由（1）

20、得 FM2EM2a 在 RtMEF 中，tanMFEtanEFN 过 N 作 NPEF 于 P，设 NPx，则 PF2x，BEABAEBCFCBF，B90，BEF 是等腰直角三角形，BEF45，在ENP 中，NE，NPxEP，EFEP+PF3x5BE5a，a1，EM2+FM2EF2，FM2，延长 CE、DA 相交于点 R，在 RtAER 中，ARBC，RECB，AERBEC，AERBEC，ARa，RMAR+AMa RMFC，RKCF，RKMCKF，RMKCFK，MK+FKFM2，MKFM 3解：（1）如图 1 中，作 EHCG 于 H 四边形 ECFG 是菱形，ECF60，ECHECF30，E

21、CEG，EHCG，2GHCG，cos30，2，EGCD，ABCD，GEAB，故答案为 （2）结论：AGBE 理由：如图 2 中，连接 CG 四边形 ABCD，四边形 ECFG 都是菱形，ECFDCB60，ECGEGCBCABAC30，ECGBCA，ECBGCA，ECBGCA，AGBE （3）如图 3 中，AGHCGF30AGHGAC+GCA，又DACHAG+GAC30，HAGACH，AHGAHC，HAGHCA，HA：HCGH：HA，AH2HGHC，FC2，CGCF，GC2，HG，AH2HGHC39，AH0，AH3 故答案为 3 4解：（1）AOBCOD36，AOB+DOACOD+DOA，COA

22、DOB，又OAOB，OCOD，COADOB（SAS），ACBD，1，故答案为：1；设 AO 与 BD 交于点 E，由知，COADOB，CAODBO，AOB+DBODEO，AMB+CAODEO，AOBAMB36，故答案为：36；（2）在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，tan30，AOB+DOACOD+DOA，即DOBCOA，DOBCOA，DBOCAO，DBO+OEB90，OEBMEA，CAO+MEA90，AMB90，AMB90；（3）如图 31，当点 M 在直线 OB 左侧时，在 RtOCD 中，OCD30，OD1，CD2，在 RtOAB 中，OAB30，OB，AB2，

23、由（2）知，AMB90，且，设 BDx，则 ACAMx，在 RtAMB 中，AM2+MB2AB2，（x）2+（x+2）2（2）2，解得，x13，x24（舍去），ACAM3；如图 32，当点 M 在直线 OB 右侧时，在 RtAMB 中，AM2+MB2AB2，（x）2+（x2）2（2）2，解得，x14，x23（舍去），ACAM4，综上所述，AC 的长为 3或 4 5【问题呈现】证明：ABC 和ADE 都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE；【类比探究】解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，DAEBAC45

24、，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，；【拓展提升】解：（1），ABCADE90，ABCADE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD，；（2）由（1）得：CAEBAD，ACEABD，AGCBGF，BFCBAC，sinBFC 6解：（1）由题意得：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90，BADDAEEAGDAE，BAEDAG，BAEDAG（SAS），BEDG，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（2）BE，BEDG，理由如下：由（1）得：BAEDAG，2，BAEDAG，ABEADG，ADG+AD

25、BABE+ADB90，BDG90，BEDG；（3）如图，当 B 在线段 BD 上时，作 AHBD 于 H，tanABD，设 AH2x，BHx，在 RtABH 中，x2+（2x）2（）2，BH1，AH2，在 RtAEH 中，tanAEB，EHAH2，BEBH+EH3，BD5，DEBDBE532，由（2）得：，DGBE，DG2BE6，SBEG9，在 RtBDG 和 RtDEG 中，点 M 是 BG 的中点，点 N 是 CE 的中点，DMGM，NMNM，DMNGMN（SSS），MN 是BEG 的中位线，MNBE，BEGMNG，（）2，SMNDSMNGSBEG，如图，同上可得：BEEHBH211，DG

26、2BE2，1，SBEG，综上所述：DMN 的面积是或 7解：（1）结论：C+D90 理由：如图 1 中，BAC180CB150C，BACAFD+D60+D，150C60+D，C+D90 （2）过点 A 作 AGBC 垂足为 G，交 DE 点 Q，过点 E 作 EHBD 垂足为 H，则DHEBHE90 AGC90，DHEAGC DCAG，DEHACG DH2AG B30，AGB90，AB2AG ABDH ABAHDHAH 即 ABDH 在 RtBHE 中，cos30 （3）如图 2 中，在 BA 上取一点 G，使得 GBGC，作 GJBC 于 J，AHCG 于 H，EKBA 交 BA 的延长线于

27、 K BAC180BACB180ADEAFD，150ACB120ADF，ACB30ADE，GBGC，GJBC，GCBB30BJJC，ACHACB30EDK，BGCG5，ACHEDK，AHCK90，DEKCAH，2，在 RtBKE 中，K90，B30，BE9，EK，BK，AH，GHAH，CHCGGH，DK2CH，BDBKDK8，SBDEBDEK818 故答案为 18 8（1）证明：如图 1 中，BABC，BACBCA，ACD+DAE180，ACD+ACB180，DAEACB，DAEBAC，DACBAE （2）解：如图 2 中，过点 C 作ACMABE，交 AD 于点 M DACBAE，AEBAM

28、C，ABkAC，BE2EF，AEFEAB+ABE，DMCMAC+ACM，DMCAEF，ACBD+DAC，DAEDAC+FAE，DAEACB，DFAE，DCMAFE，ADAM+DM，（3）解：如图 3 中，过点 B 作 BNAC 交 AE 延长线于点 N DCAH，AHCDHA，AHCDHA，AH2HCDH，ABkAC，设 AH2a，ABBCb，DH3a，NE2AE，NEb，EHAHAEENNH，AH2HCDH，由（2）知，ADHNBH，9b212ab20a2k20，（舍），故答案为：9（1）证明：ABAC，BACB，ACB 是ACE 的外角，ACBCAE+E，BBAD+E，BADEAC；（2）

29、解：CGAD，理由如下：作 ANCD 于 N，DHAG 于 H，设BAD，则EAC，AF 平分DAE，DAFEAFDAE（DAC+EAC）45+，ABAC，BACB（180BAC）（90BAD）45，ADFB+BAD45+，ADFDAF，FAFD，DAC90，FAC90DAF，FCA90ADF，FACFCA，FAFC，DFCF，在DFH 和CFG 中，DFHCFG（AAS），CGDH，ABAC，ANBC，BNBCAB，ADH90DAF45，ADHB，又AHDANB，ADHABN，即 CGAD 10（1）证明：在矩形 ABCD 中，ABCD4，DAEDCB90，DCF90，DAEDCF，AE2C

30、F，ADBC8，2，DAEDCF；（2）证明：如图 1，过点 E 作 EGBC，交 AC 于点 G，AEGB90，AGEACB，EOGFOC，在 RtABC 中，AB4，BC8，AC4，EPAC，AEP+BAC90，CAD+BAC90，AEPCAD，tanCADtanACBtanAGEtanAEP，即，EG2AE，AE2CF，EG4CF，设 APm（m0），OCn（n0），则 PE2m，PG4m，EOGFOC，4，OG4OC4n，ACAP+PG+OG+OCm+4m+4n+n4，m+n，OPPG+OG4m+4n，所以 OP 是一个定值；（3）如图 2，PQOP，由（2）知：APm（m0），AEm

31、，AECD，AEQCDQ，解得：m2，0m4，0m，AP2 11解：（1）共有八对，BDFBEC，AEFADC，BDFAEF，BECADC，CDECAB，DEFBAF，AEFBEC，BDFADC；理由：ADBC，BEAC，BDFAEC90，DBFEBC，BDFBEC；同理：AEFADC；BDFAEF，BFDAFE，BDFAEF；CBECAD，CC，BECADC；，CC，CDECAB；BDFAEF，AFBEFD，DEFBAF；利用相似三角形的传递性得，AEFBEC，BDFADC （2）如图 2，过 P 作 PGAC，分别交 BE、BC 于点 H、G，BPGA45，CPGB，BEAC，PHBE，B

32、HP90，PBH90BPG45BPG，HPHB，PBH 是等腰直角三角形，ABAC，CB，PGBB，PBPG，PDBC，BG2BD，PFH+FPH90，PFHBFD，BFD+FPH90，BFD+FBD90，FPHFBD，在PHF 和BHG 中，PHFBHG（ASA），PFBG，BG2BD，PF2BD；（3）如图 3，过点 M 作 MPAB 于 P，BPM90，在 RtBPM 中，tanABM，设 PMx（x0），则 BP3x，根据勾股定理得，BMx，过点 A 作 AQBM 交 BM 的延长线于 Q，Q90，MAQ+AMQ90，AMQBMC，MAQ+BMC90，C90，CBM+BMC90，CBM

33、MAQ，MBCA，MAPMAQ，MQAQ，MPAB，MQMPx，BQBM+MQx+x（+1）x，在 RtAQM 中，tanABM，AQ，QC90，AMQBMC，AMQBMC，CMx2，BCx2，在 RtBCM 中，根据勾股定理得，BC2+CM2BM2，x22+（x2）2（x）2，x2，BCx23 12（1）证明：矩形 ABCD 中，BECF，AFBC90，ABE+BFC90，AEB+ABE90，BFCAEB，ABEBCF；（2）解：连接 NP，CF 与 BD 交于点 O，CMCFBNBE，又ABEBCF，k，四边形 ABCD 为矩形，k，CPBD，CPBBCD90，又CBPDBC，BPCBCD

34、，又BECF，CPBD，BOFCOP，NBPPCM，PCMNPB，MPCNPB，CPBD，MPC+BPM90，NPB+BPM90，NPM90，tanPMN；（3）解：结论：BC2k2MN2+（k2+1）BM2 理由：如图，过点 C 作 CGPM，交 PM 的延长线于点 G，PNPM，CGPM，CGPN，k2，k2，又PCMNPB，（）2k2，SPMNSPBN，PNBM，BMPM，BMP90，BM2+PM2BP2，k，BPBC，PMMN，BC2k2MN2+（k2+1）BM2 13解：（1）当 mn 时，即：BCAC，ACB90，A+ABC90，CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC

35、90，FDECDEADCCDE，即ADECDF，ADECDF，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，1，1，故答案为 1 （2）ACB90，A+ABC90，CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDECDEADCCDE，即ADECDF，ADECDF，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，故答案为 成立如图，ACB90，A+ABC90，又CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDE+CDEADC+CDE，即ADECDF，ADECDF，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，（3）由（2）有，ADECDF，CF2AE，在 RtDEF 中，DE2，D

36、F4，EF2，当 E 在线段 AC 上时，在 RtCEF 中，CF2AE2（ACCE）2（CE），EF2，根据勾股定理得，CE2+CF2EF2，CE2+2（CE）240 CE2，或 CE（舍 而 ACCE，此种情况不存在，当 E 在 AC 延长线上时，在 RtCEF 中，CF2AE2（AC+CE）2（+CE），EF2，根据勾股定理得，CE2+CF2EF2，CE2+2（+CE）240，CE，或 CE2（舍），如图 41，当点 E 在 CA 延长线上时，CF2AE2（CEAC）2（CE），EF2，根据勾股定理得，CE2+CF2EF2，CE2+2（CE）240，CE2，或 CE（舍）即：CE2或 C

37、E 14解：（1）如图 1，过 Q 点作 QPBD 交 DC 于 P，PQB90 MQN90，NQPMQB，四边形 ABCD 是正方形，CDCB，BDCDBC45DOBO DPQ45，DQPQ DPQDBC，QPNQBM，Q 是 OD 的中点，且 PQBD，DO2DQ，DPDC BQ3DQDN+NPBC，BQ3PQ，NPBM DN+BMBC （2）如图 2，过 Q 点作 QHBD 交 BC 于 H，BQHDQH90，BHQ45 COB90，QHOC Q 是 OB 的中点，BHCHBC NQM90，NQDMQH，QND+NQD45，MQH+QMH45 QNDQMH，QHMQDN，HMND，BMH

38、MHB，故答案为：（3）MB：MC3：1，设 CMx，MB3x，CBCD4x，HB2x，HMx HMND，ND3x，CN7x 四边形 ABCD 是正方形，EDBC，NDENCM，DEFBMF，DE，NQ，QM3，在 RtMNQ 中，由勾股定理得：MN15，NE EM 设 EFa，则 FM7a，a+7a a 15（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AFDC90，CFDE，DGF90，ADE+CFD90，ADE+AED90，CFDAED，ACDF，AEDDFC，；（2）当B+EGC180时，成立 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BADC，ADBC，B+A180，B+EGC180，AEGCF

39、GD，FDGEDA，DFGDEA，BADC，B+EGC180，EGC+DGC180，CGDCDF，GCDDCF，CGDCDF，即当B+EGC180时，成立 （3）解：理由是：过 C 作 CNAD 于 N，CMAB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CNx，BAD90，即 ABAD，AMCNA90，四边形 AMCN 是矩形，AMCN，ANCM，在BAD 和BCD 中 BADBCD（SSS），BCDA90，ABC+ADC180，ABC+CBM180，MBCADC，CNDM90，BCMDCN，CMx，在 RtCMB 中，CMx，BMAMABx6，由勾股定理得：BM2+CM2BC2，（x6）2+

40、（x）262，x0（舍去），x，CN，AFGD90，AED+AFG180，AFG+NFC180，AEDCFN，ACNF90，AEDNFC，16（1）证明：GE 是 AB 的垂直平分线，GAGB，同理：GDGC，在AGD 和BGC 中，AGDBGC（SAS），ADBC；（2）证明：AGDBGC，AGBDGC，在AGB 和DGC 中，AGBDGC，又AGEDGF，AGDEGF，AGDEGF；（3）解：延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，如图所示：则 AHBH，AGDBGC，GADGBC，在GAM 和HBM 中，GADGBC，GMAHMB，AGBAHB90，AGEAGB45，

41、又AGDEGF，17（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，ADFF，AABF，AEDBEF，BF 平分ADB，ADFFDB，FDBF，BDBF，；（2）BCD2ABD，设ABD，BCD2，BGBE，BGEBEG，FFDB，FBGABDHBC，H2HBC，BCHC；（3）解：如图 2，过点 D 作 DNCF 于 N，FFDB，BFBD，HHBC，BCCH，ABCD，ABDBDC，BEGHDG，HBDH，BDBHBF，设 BEBGx，BCy，AB2+xCD，BF10y，DH2+x+y，BFDBBH10y，BEBGx，GHBG+BHx+10y，BEGBGE，BEGHDG，H

42、DGBGE，GHDH，x+10y2+x+y，y4，ADBC4，BFDBBH6，BE3，ABCD5，BGBE3，AEDBEF，DN2DB2BN2，DN2DC2CN2，DB2BN2DC2CN2，36BN225（4BN）2，BN，FNBF+BN6+，DF2DN2+FN2DB2BN2+FN236+，DF，DE3，ABCD，GE 18解：（1）如图 1 中，ADC90，EDC+ADC180，EDC90，ABC90，EDCABC，EE，EDCEBA，EDEAECEB （2）如图 2 中，过 C 作 CFAD 于 F，AGEB 于 G 在 RtCDF 中，cosADC，CD5，DF3，CF4，SCDE6，E

43、DCF6，ED3，EFED+DF6，ABC120，G90，G+BAGABC，BAG30，在 RtABG 中，BGAB6，AG6，CFAD，AGEB，EFCG90，EE，EFCEGA，EG9，BEEGBG96，S四边形ABCDSABESCDE（96）667518 （3）如图 3 中，作 CHAD 于 H，则 CH4，DH3，tanE，作 AGDF 于点 G，设 AD5a，则 DG3a，AG4a，FGDFDG5+n3a，CHAD，AGDF，EF，易证AFGCEH，a，AD5a 19（1）证明：ACDB，AA，ADCACB AC2ADAB（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AC，又B

44、FEA，BFEC 又FBECBF，BFEBCF BF2BEBC BC AD（3）解：如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G，四边形 ABCD 是菱形，ABDC，BACBAD，ACEF，四边形 AEGC 为平行四边形，ACEG，CGAE，EACG，EDFBAD，EDFBAC EDFG 又DEFGED，EDFEGD DE2EFEG 又EGAC2EF，DE22EF2 DEEF 又，DGDF5 DCDGCG52 故答案是：52 20解：【模型改编：问题解决】ABAC，EDEC，BACDEC50，ABCACB（18050）265，EDCECD（18050）265，ABCEDC，ACE180ACB115

45、，BCD180ECD115，BCDACE；由知，BCDACE，DBCEAC，AFBDBC+CEAEAC+CEAACB65；补图如下：由BCDACE 可得，CEFBDC，AFBBDC+CDE+DEFCEF+CDE+DEFCED+CDE50+65115，故答案为：115；同理可得AFBCED+CDEm+（180m）290+，故答案为：90+；【模型拓广：问题延伸】连接 BD、DF，在矩形 ABCD 和矩形 DEFG 中，AB1，ADED，DG3，又BADDGF90，ADBGDF，ADBGDF，ADGGDF+ADF，BDFADB+ADF，ADGBDF，BDFADG，AD，AB1，BD2，21解：（1

46、）ABC 和EFC 都是等腰三角形，且ABCEFC90，ACBECF45，ACEBCF，ACEBCF；ACEBCF，CAECBF，CAE+CBE90 CBF+CBE90即EBF90，EF；（2）连接 BF，如图 2，ACBECF，ABCEFC90，ABCEFC，ACBECF，ACEBCF，ACEBCF，CBFCAE，BFkAE2k，CAE+CBE90 CBF+CBE90 EBF90，BF2+BE2EF2CE2CF2，k，CE3，CF3k，（2k）2+1232（3k）2，故答案为：；（3）连接 BF，过 B 作 BGAC 于 G，如图 3，ABC120，ABBC，ACB30，AGCG，BGBC，BC，同理得，EFCF，ABC 和EFC 都是等腰三角形，且 120，ECFACB30，BCFACE，BCFACE，CBFCAE，BFAEn，CAE+CBE90，CBF+CBE90 EBF90，BE2+BF2EF2，即，3m2+n2p2