2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第17讲定值问题.pdf

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1、1学科网（北京）股份有限公司2023 届新高考数学真题解析几何专题讲义届新高考数学真题解析几何专题讲义第第 17 讲讲定值问题定值问题一方法综述解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确 定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值类型一类型一与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题【例 1】已知椭圆2222:1xyCab+=过点(2,0),(0,1)AB两点.（I）求椭

2、圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.解：（1）由题意得，2,1ab=所以椭圆C的方程为2214xy+=又223cab=-=，所以离心率32cea=（2）设0000(,)(0,0)P xyxy,22t-，122xxt+=-，21222x xt=-，2212151()8422EFxxt=+-=-.设12,d d分别为点11,A B到直线EF的距离,则122211,111()1()22ttdd+-=+,212121()(11)22SSddEFttt+=+=+-,当12t时,22412222 2(0

3、,1)SStttt+=-=-；当11t-时，2122 22,2 2SSt+=-；当21t-的长轴长为4，焦距为2 2.（I）求椭圆C的方程；()过动点(0,)(0)Mm m的直线交x轴与点N，交C于点,A P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线,PM QM的斜率分别为,k k，证明kk为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知24,22 2ac=，222,2abac=-=椭圆C的方程为22142xy+=.（2）（i）设0000(,)(0,0)P xyxy，由(0,)Mm，可得00(,2

4、),(,2)P xm Q xm-6学科网（北京）股份有限公司直线PM的斜率002mmmkxx-=，直线QM的斜率0023mmmkxx-=-此时3kk=-，kk为定值3-.（ii）设1122(,),(,)A x yB xy，直线PA的方程为ykxm=+，直线QB的方程为3ykxm=-+，联立22142ykxmxy=+=整理得222(21)4240kxmkxm+-=.由20122421mx xk-=+可得212024(21)mxkx-=+11ykxm=+2202(2)(21)k mmkx-=+，同理：222222002(2)6(2),(181)(181)mk mxymkxkx-=+.2222212

5、2220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)mmkmxxkxkxkkx-=-=+，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k mmkkmyymmkxkxkkx-+-=+-=+，221216111(6)44AByykkkxxkk-+=+-.由00,0mx，可知0k，162 6kk+，当且仅当66k=时取等号.此时26648mm=-即147m=，符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为62.【方法归纳【方法归纳】本题利用,a b c e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方

6、程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.【例 3】如图，椭圆2222:1(0)xyEabab+=经过点(0,1)A-，且离心率为22.(I)求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：（I）由题意知2,12cba=，又222abc=+，2a=，椭圆的方程为2212xy+=.（II）由题设知直线PQ的方程为(1)1(2)yk xk=-+，代入2212xy+=，得22(12)4(1)2(2)0kxk kxk k+-+-=，由已知

7、0，设1122(,),(,)P x yQ xy,120 x x，7学科网（北京）股份有限公司1212224(1)2(2),1212k kk kxxx xkk-+=+，直线AP与AQ的斜率之和为12121212121122112(2)()APAQyykxkkxkkkkkxxxxxx+-+-+=+=+=+-+12124(1)2(2)2(2)22(1)22(2)xxk kkkkkkkx xk k+-=+-=+-=-=-.即直线AP与AQ的斜率之和为2.【方法归纳】【方法归纳】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转

8、化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果.【例 4】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点和上顶点分别为,A B M为线段AB的中点，且232OM ABb=-.（1）求椭圆的离心率；（2）若2a=，四边形ABCD内接于椭圆，且ABDC.记直线,AD BC的斜率分别为12,k k，求证：12kk为定值解：(1)由题意，(,0),(0,)A aBb，由M为线段AB的中点得(,)2 2a bM(,)2 2a bOM=,(,)ABa b=-.因为232OM ABb=-，所以2223(

9、,)(,)2 2222a babba b-=-+=-，整理得224ab=，即2ab=.因为222abc=+，所以2234ac=，即32ac=.所以椭圆的离心率32cea=.(2)证明：由2a=得1b=，故椭圆方程为2214xy+=.从而(2,0),(0,1)AB，直线AB的斜率为12-.设00(,)C x y，则220014xy+=.因为ABDC，故CD的方程为001()2yxxy=-+.联立方程组00221()214yxxyxy=-+=，消去y，得20000(2)20 xxyxx y-+=，解得0 xx=或02xy=.所以点D的坐标为001(2,)2yx.所以0012001112224xyk

10、kyx-=-，即12kk为定值14.【例 5】已知椭圆222210()xyabab+=的焦距为 2，离心率为22，右顶点为.（1）求该椭圆的方程；8学科网（北京）股份有限公司（2）过点(2,2)D-作直线P Q交椭圆于两个不同点,PQ，求证：直线A P，A Q的斜率之和为定值.解：（1）由题意可知221cc=，又21ceabc=，所以椭圆方程为2212xy+=.（2）由题意得，当直线PQ的斜率不存在时，不符合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为22()yk x+=-，即22ykxk=-，由22222222124 2482012()()ykxkk xkk xkkxy=-+-+=+=，

11、因为直线与椭圆交于两点，故其14 8108()kkD=-+的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线75120 xy-+=相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设4 0(,)A-，过点3 0(,)R作与x轴不重合的直线l交椭圆C于,PQ两点，连接,A PA Q分别交直线163x=于,MN两点，若直线,M RN R的斜率分别为12,kk，试问：12kk是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得22222124122 311612752caaxybbcabc=+=眄镲+镲镲=镲=+；（2）设1222(,),(,)P xyP xy，直线PQ的方程为3xm

12、y=+，由22221341821016123()xymym yxm y+=+-=+，所以12122218213434,myyy ymm-+=+由,APM三点共线可知1111281643443()MMyyyyxx=+同理可得222834()Nyyx=+，121212916161649443333()()MNMNyyy yy yk kxx=+-9学科网（北京）股份有限公司2121212124477749()()()()()xxm ym ym y ym yy+=+=+，12122121216127749()y yk km y ym yy=-+.【变式训练 3】.如图，椭圆22122:1(0)xyCa

13、bab+=和圆2222:Cxyb+=，已知椭圆1C过点2(1,)2，焦距为2.(1)求椭圆1C的方程；(2)椭圆1C的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆2C相交于点,A B，直线,EA EB与椭圆1C的另一个交点分别是点,P M.设PM的斜率为1k，直线l斜率为2k，求21kk的值.解：（I）解法 1：将点2(1,)2代入方程，解方程组，求得椭圆1C的方程为2212xy+=.解法 2：由椭圆定义的22 2a=，椭圆1C的方程为2212xy+=.（2）由题意可知直线,PE ME的斜率存在且不为 0，PEEM，不妨设直线PE的斜率为(0)k k，则:1PE ykx=-，由22

14、121xyykx+=-得2224212121kxkkyk=+-=+或01xy=-，222421(,)21 21kkPkk-+.用1k-去代k，得22242(,)22kkMkk-+，则2113PMkkkk-=，由2211xyykx+=-得2222111kxkkyk=+-=+或01xy=-，22221(,)11kkAkk-+.则2212OAkkkk-=，所以2132kk=【变式训练 4】如图，M是抛物线2yx=上的一点，动弦,ME MF分别交x轴于,A B两点，且MAMB=.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.【证明】设200(,)M yy，直线ME的斜率为(0)k k，则直线MF的斜率为k-

15、，直线ME的方程为200()yyk xy-=-.联立2002()yyk xyyx-=-=消去x，得200(1)0kyyyky-+-=.解得01Ekyyk-=，202(1)Ekyxk-=.同理，01Fkyyk+=-，202(1)Fkyxk+=.0022000022211214(1)(1)2EFEFEFkykyyykkkkkykykyxxykkk-+-=-+-(定值).直线EF的斜率为定值.类型三：与长度有关的定值问题类型三：与长度有关的定值问题10学科网（北京）股份有限公司与长度有关的定值问题包括线段长度（弦长）为定值，或两线段长度之积为定值，或两线段对应数量积为定值等.【例 1】已知椭圆222

16、210:()xyCabab+=的离心率为22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线10()()yk xk=-与椭圆C交于,AB两点，且与x轴，y轴交于,MN两点.（）若M BA N=，求k的值；（）若点Q的坐标为704()，求证：Q AQ B 为定值；解：（1）222210()xyabab+=满足222abc=+，又22e=，22222acbc=又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2，即1222bc创=，即2224bcb c=以上各式联立解得2242,ab=，椭圆方程为22142xy+=.（2）（）直线1()yk x=-与x轴交点为1

17、0(,)M，与y轴交点为0N(,)k，联立222222112424024()()yk xk xk xkxy=-+-+-=+=4222164 122424160()()kkkkD-+-=+.设1122(,),(,)A xyB xy，则2122412kxxk+=+又22111(,),(,)M BxyA Nxky=-=-由M BA N=得21224112kxxk+=+，解得22k=由202kk=.（）由上可知2122412kxxk+=+，21222412kxxk-=+，所以1122121277774444()()()()Q A Q Bxyxyxxy y=-=-+21212771144()()()()

18、xxk xx=-+-22221227449141612()()kk x xkkk=+-+242242222424742491612kkkkkkkk-+-+=+2284491612kk-=+491541616=-+=-11学科网（北京）股份有限公司所以，Q AQ B 为定值1516-.【例 2】已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.()求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点,A B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于,C D，证明：MAMBMCMD=解：（1）由已知，2ab

19、=.又椭圆22221(0)xyabab+=过点1(3,)2P，2213414bb+=，解得21b=，所以椭圆E的方程为2214xy+=.（2）设直线l的方程为1(0)2yxm m=+，1122(,),(,)A x yB xy由方程组221412xyyxm+=+得222220 xmxm+-=，由24(2)0m=-得22m-的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l yx=-+与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；12学科网（北京）股份有限公司（）设O是坐标原点，直线lOT，与椭圆E交于不同的两点,A B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得2PTPAP

20、B=，并求的值.解：（I）由已知，222(2)aac+=，即2ac=，所以2ab=，则椭圆 E 的方程为222212xybb+=.由方程组22221,23,xybbyx+=-+得22312(182)0 xxb-+-=.方程的判别式为2=24(3)b-，由=0，得2=3b，此时方程的解为=2x，所以椭圆E的方程为22163xy+=.点T坐标为(2,1).（II）由已知可设直线l的方程为1(0)2yxm m=+，由方程组123yxmyx，=+=-+可得22321.3mxmy，=-=+所以P点坐标为22(2,1)33mm-+，2289PTm=.设点,A B的坐标分别为1122(,)(,)A x yB

21、 xy，.由方程组2216312xyyxm，+=+可得2234(412)0 xmxm+-=.方程的判别式为2=16(92)m-，由0，得3 23 222m-相交于,A B两点.设1122(,),(,)A x yB xy.（1）求证：12y y为定值；（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由.解：（1）（解法 1）当直线AB垂直于x轴时，122,2yp yp=-,因此2122y yp=-(定值)；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为()yk xp=-，由2()2yk xpypx=-=得22220kypyp k

22、-=，2122y yp=-，因此2122y yp=-为定值；（解法 2）设直线AB的方程为myxp=-，由22myxpypx=-=得22220ypmyp-=，2122y yp=-，因此2122y yp=-为定值；（2）设存在直线:l xa=满足条件，则AC的中点11(,)22xp yE+，2211()ACxpy=-+.以AC为直径的圆的半径2222111111()222rACxpyxp=-+=+，点E到直线xa=的距离12xpda+=-所以所截弦长为：22222222211111122()()(2)2(2)4442xprdxpaxpxpax paapa+-=+-=+-+-=-+-，当20pa-

23、=即2pa=时，弦长24424pppp-=为定值，此时直线方程为2px=.【例 5】如图，曲线1C是以原点O为中心、12,F F为焦点的椭圆的一部分，曲线2C是以O为顶点、2F为焦点的抛物线的一部分，A是曲线1C和2C的交点且21AF F为钝角，若172AF=，252AF=.（）求曲线1C和2C的方程；（）过2F作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线1C，2C依次交于,B C D E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问22BEGFCDHF是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.14学科网（北京）股份有限公司（）解法一：设椭圆方程为22221xyab+=，则12752622aAFAF=+=+=

24、，得3a=.设12(,),(,0),(,0)A x y FcF c-，则22222275()(),()()22xcyxcy+=-+=，两式相减得32xc=，由抛物线定义可知252AFxc=+=，则31,2cx=或31,2xc=（舍去），所以椭圆1C方程为22198xy+=，抛物线2C方程为24yx=.解法二：过1F作垂直于x轴的直线xc=-，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，作AMx轴于M，则由抛物线的定义得2AFAH=，所以222222111126AMAFFMAFAHAFAF=-=-=-=，2251()622F M=-=，得1251222FF=-=，所以1c=，2228bac=-=（127

25、52622aAFAF=+=+=，得3a=.）因而椭圆1C方程为22198xy+=抛物线2C方程为24yx=.（）设11223344(,),(,),(,),(,)B x yE xyC x yD xy把直线(1)yk x=-代入22198xy+=得222(89)16640kykyk+-=，122212216896489kyykky yk+=-+=-+，同理，将直线(1)yk x=-代入24yx=得2440kyyk-=，343444yyky y+=-，222234212343412121222222341234123434121()()()()421()()()()42yyBEGFyyyyyyyyy

26、yy yCDHFyyyyyyyyyyy yyy+-+-+-=-+-+-+222222222164644()()89893464()16()89kkkkkkkk+=+为定值.【变式训练 1】已知动圆1O过定点3 0(,)F-且与圆2222 3130:Oxyx+-=相切，记动圆圆心1O的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）设2 00 1(,),(,)AB,P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|ANBM为定值.15学科网（北京）股份有限公司解：（1）圆2O的圆心为3 0(,)，半径为 4，F在圆2O内，故圆1O与2O相内切.设圆1O的半径为r，则11

27、24|O|,|FrO Or=-，从而1124|O|FO O+=，因为22 34|F O=的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过,M F O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34，过定点(0,)Dp作直线与抛物线C相交于,A B两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若点N是点D关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（3）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AD为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解：（1）抛物线220()Cxpy p=：的焦点为02(,)pF，圆心Q在线段O F的垂直平分线4py=上，因为抛物线C的准线方程为2p

28、y=-，所以33144pp=，所以抛物线C的方程为22xy=.（2）依题意可知点01(,)N-，设1122(,)(,)A x yB xy，设直线A B的方程为1ykx=+，联立2222201xyxkxykx=-=+，故有121222,xxk x x+=-，21222|A BNBCNA CNSSSxxkDDD=+=-=+，当0k=时，ANB的面积有最小值min()2 2ANBS=.（3）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya=，则以A D为直径的圆的方程为1100()()()()xxxyp yy-=，将直线方程1,ya p=代入可得21110()()xx xaay-=，2111141412()(

29、)()()xaayayaaD=-=-+-，设直线l与以A D为直径的圆的焦点为3344(,)(,)P xyQ xy，则有341111412122|()()()()P Qxxayaaayaa=-=-+-=-+-.16学科网（北京）股份有限公司令102a-=，即12a=时，1|P Q=为定值；则直线方程为12y=.【变式训练 3】在直角坐标系xoy中，曲线22yxmx=+-与x轴交于,A B两点，点C的坐标为0 1(,).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过,A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解：（1）令12000 1(),(,),()A xB

30、xC,，12,xx为220 xm x+-=的根121202xxmx xD+=-=-，假设A CBC成立，所以0A C BC=，1211(,),(,)A CxBCx=-=-，所以1210A C BCx x=+，故假设不成立；（2）设圆与y轴的交点为30 10(,),(,)CDy，设圆的方程为220 xyD xE yF+=，令0y=得20 xD xF+=的根为12,xx，所以2,DmF=-，又点 C 在圆上，所以1E=，故220yy+-=，得到1y=或2y=-是，所以32y=-，所以在y轴上的弦长为 3，是定值.【方法归纳】【方法归纳】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时

31、多用几何法即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：222121212114|()A Bkxxkxxx x=+-=+-；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题【变式训练 4】已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的离心率为32，(,0)A a，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为 1.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值.解：（1）由题意得2223,211,2,caababc解得2,1ab.所以椭圆C的方程为2214xy.（2）由（

32、1）知，(2,0),(0,1)AB，设00(,)P x y，则220044xy.当00 x时，直线PA的方程为00(2)2yyxx.令0 x，得0022 Myyx.从而002112MyBMyx.直线PB的方程为0011yyxx.令0y，得001 Nxxy.从而00221NxANxy.17学科网（北京）股份有限公司所以000022112 xyANBMyx220000000000000000004448444882222xyx yxyx yxyx yxyx yxy4.当00 x时，01 y，2,2,BMAN所以4ANBM.综上，ANBM为定值.类型四：与角度有关的定值问题类型四：与角度有关的定值问

33、题【例 1】已知12,A A B是椭圆22221(0)xyabab+=的顶点（如图）,直线l与椭圆交于异于顶点的,P Q两点,且2lA B.若椭圆的离心率是32,且2|5A B=.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线1AP和直线BQ的倾斜角分别为,.试判断+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解：（1）依题意有22532abca+=，2241ab=，椭圆的方程为2214xy+=.（2）12(2,0),(2,0),(0,1)AAB-，且212A Bk=-，2lA B，设11221:,(,),(,)2PQlyxt P x yQ xy=-+，则由221412xyyxt+=-+得222444

34、0 xtxt-+-=，12212222xxtx xt+=-.12121212121212211111()()2(1)22tantan22(2)xtxtyyx xt xxxxtxxxxxx-+-+-+-+-+=+=+=+22212222220(2)ttttx x-+-+-=+，tan()0+=.又(0,),(,)22挝，+=，为定值.【变式训练】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦点为12,F F，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且12PFF的周长为42 2+（）求椭圆C的方程；（）设直线的l是圆224:3O xy+=上动点0000(,)(

35、0)P xyxy坠处的切线，l与椭圆C交于不同的两点,Q R，证明：QOR的大小为定值答案：2QOR=.18学科网（北京）股份有限公司类型五：其他有关定值问题类型五：其他有关定值问题【例 1】已知抛物线2:2(0)E ypx p=，直线3xmy=+与E交于A，B两点，且6OA OB=，其中O为坐标原点.（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C的坐标为(3,0)-，记直线CA、CB的斜率分别为1k，2k，证明：22212112mkk+-为定值.解：（1）设1122(,),(,)A x yB xy，联立方程组223ypxxmy=+，消元得2260ypmyp-=，121226yypmyyp+=-.又2

36、121212122()9664y yOA OBx xy yy ypp=+=+=-=，所以12p，从而2yx.（2）1122121122,3636yyyykkxmyxmy=+，11221616,mmkyky=+=+，因此22212112mkk2222222121212661111()()2212()36()2mmmmmmyyyyyy=+-=+-222121212221212()2212362yyyyyymmmy yy y+-=+-，又122yypmm+=，1263y yp=-=-，所以2222221211622123622439mmmmmmkk-+-=+-=.即22212112mkk+-为定值.

37、【例 2】已知抛物线2:2(0)C ypx p=经过点(1,2)P过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点,A B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，,QMQO QNQO=，求证：11+为定值解:（）因为抛物线22ypx=经过点(1,2)P所以42p=，解得2p=，所以抛物线的方程为24yx=由题意可知直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为1(0)ykxk=+由241yxykx=+得22(24)10k xkx+-+=依题意22(24)40kk=-，解得0k或01k的右焦点到直线3 20 xy-+=的距离为5，且椭圆C的一个长轴

38、端点与一个短轴端点间的距离为10.（1）求椭圆C的标准方程；（2）给出定点6 5(,0)6Q，对于椭圆C的任意一条过Q的弦2211,ABQAQB+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解：（1）依题意可知右焦点(,0)c到直线3 20 xy-+=的距离3 252cd+=，2 2c=，228ab-=，又2210ab+=，即2210ab+=，2291ab=.椭圆的方程为2219xy+=.（2）当直线AB与x轴重合时，22221111106 56 5(3)(3)55QAQB+=+=+-.当直线AB与x轴不重合时，设1122(,),(,)A x yB xy，设直线AB的方程为65xmy=+

39、，联立方程组221965xyxmy+=+消去x得22129(9)055mmyy+-=，122122125(9)95(9)myymy ym+=-+=-+，又222222221111111116(1)()5m yymyQAxy=+-+，同理222211(1)myQB=+，20学科网（北京）股份有限公司2222121222222222222121221218()5(9)()211115(9)109(1)(1)(1)(1)()5(9)mmyyy ymmymymy yQAQBmm+-+=+=+.综上所述，2211QAQB+为定值10.第第 18 讲讲 范围与最值问题范围与最值问题一、问题综述圆锥曲线中的

40、目标取值范围与最值问题，实质是探求运动变化中的特殊值或临界值，可以与函数、不等式等知识相结合。通常有两类：一类是有关角度、长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题。二、典例分析类型类型 1：化折为直化折为直-圆锥曲线的定义转化法圆锥曲线的定义转化法【例 1】抛物线24yx上一点P到直线1x 的距离与到点2,2Q的距离之差的最大值为（）A3B3C5D5【解析】如图作出抛物线24yx，点F为抛物线的焦点，直线1x 为抛物线的准线，过点P作PD垂直于直线1x ，垂足为点A，由抛物线的定义知PAPF，则点P到直线1x 的距离与到点2,2Q的距离之差PFPQ当P

41、、Q、F三点共线时，由三角形三边之间的关系可知，PFPQQF当点P为射线FQ与抛物线的交点时，5PFPQQF故选 D方法总结：化折为直-圆锥曲线的定义转化法第一步根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；第二步利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值类型类型 2 2：距离的最值与：距离的最值与范围问题范围问题【例 2】求椭圆2212xy上的点到直线2 3yx的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标【解析】解法解法 1 1 切线法切线法设与直线2 3yx平行，且与椭圆相切的直线为yxb将yxb代入2

42、212xy，得2234220 xbxb所以22443220bb ，解得3b 当3b 时，代入2234220 xbxb中得切点坐标为2 33(,)33，此时min62d当3b 时，代入2234220 xbxb中得切点坐标为2 33(,)33，此时max3 62d解法解法 2 2 参数法参数法设椭圆2212xy上的点2cos,sinP，0,2，则点P到直线2 30 xy的距离2cossin2 33cos2 322d（其中63cos,sin33）当cos1时，得6coscos 23k，即点2 33(,)33，此时max3 62d当cos1 时，得6coscos 23k，即点2 33(,)33，此时m

43、in62d【方法总结】1切线法第一步设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线ykxb，第二步切线方程ykxb与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且0，求出b的值，即可求出切线方程；第三步两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点2参数法第一步根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步将目标函数表示成关于参数的函数；第三步把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法【例 3】如图，已知抛物线2xy，点1 1,2 4A，3 9,2 4B，抛物线上的点,P x y1322x，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PAPQ的

44、最大值【解析】（）设直线AP的斜率为k,则2114122xkxx因为1322x，所以直线AP斜率的取值范围是1,1。（）联立直线AP与BQ的方程得，110,24930,42kxykxkyk解得点Q的横坐标是224321Qkkxk因为|PA|=2211()1(1)2PAkxkkx|PQ|=222(1)(1)1()1QkkPQkxxk，所以3(1)(1)kkPAPQ 令 3(1)(1)kkf k 因为 2(42)(1)kkkf 所以 f k在区间11,2上单调递增，1,12上单调递减，因此当12k 时，PAPQ取得最大值2716【方法总结】函数法第一步：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第

45、二步：通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法【例 4】定长为3的线段AB的两个端点在2yx上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。【解析】解法解法 1 函数思想函数思想+基本不等式法基本不等式法设211,A x x，222,B x x，AB中点00,M xy，则2222121212022120()()9(1)2(2)2(3)xxxxxxxxxyLL LL L由(1)得221212()1()9xxxx即22121212()1()9xxxxxx（4）由（2）（3）得2212000022242x xxyxyxy0MABA1A2M1M2B1B2代入（4）得2220000(2)841(

46、2)9xxyx，所以2020041944xxy，2200022009944(41)12 915441yxxxx ，所以450y当20413x 即220 x时，45)(min0y此时)45,22(M解法解法 2 抛物线定义抛物线定义+化折为直化折为直如图，22223MMAABBAFBFAB所以232MM，即11342MM，所以154MM，当AB经过焦点F时取得最小值。所以 点M到x轴的最短距离为54【方法总结】【方法总结】（1）可直接利用抛物线设点，如设211,A x x，222,B x x，又设AB中点为00,M xy用弦长公式及中点公式得出0y关于0 x的函数表达式，再利用基本不等式或函数思

47、想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。类型类型 3 3：面积的最值问题：面积的最值问题【例 5】抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2AFFBuuu ruur，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【解析】(1)依题 意知1,0F，设直线AB的方程为1xmy将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得2440ymy设11(,)A x y，22(,)B xy，所以124yym，124y y 因为2AFFBuuu ruur，所以122yy 联立和，

48、消去12,y y，得24m 所以直线AB的斜率是2 2(2)原点O关于点M的对称点为C，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2AOBS因为22121212122|()44 12AOBSOFyyyyy ym，所以当0m 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4【例 6】已知抛物线2:2(0)L ypx p的焦点为F，过点(5,0)M的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，AC的最小值为4（）求抛物线L的方程；（）记ABC、AFM的面积分别为1S，2S，求12SS的最小值【解析】（）由已知及抛物线的几何性质可得min

49、|2ACp42p 抛物线L的方程为24yx（）设直线:5AB xty，:1AC xmy112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy由254xtyyx24200yty12124,20yyt y y 同理可得134y y ，从而21144(,)Cyy，点C到AB的距离211222144|5|116|4|11tyydytt22121120|1|1|ABtyytyy2111221111420242|1|(1)(20)|Syyyyyy又2114|2Sy=12|y12SS=421214(1)(20)yy=2121804(24)yy4(8 524)9632 5当且仅当24 5y，即4(5,2

50、 5)A时12SS有最小值9632 5【方法总结】圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。xyOMABCF类型类型 4 4：面积的取值范围：面积的取值范围【例 7】已知椭圆2222:10 xyEabab的左、右焦点分别是12,F F,离心率12e,过点1F且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3（1）求椭圆E的方程;（2）若直线l过椭圆E的右焦点2F,且与x轴不重合,交椭圆E于,M N两点,过点2