2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与圆综合压轴题》专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习二次函数与圆综合压轴题专题提升训练（附答案）1已知抛物线 ya（x3）2+过点 C（0，4）顶点为 M，与 x 轴交于 A、B 两点如图所示以 AB 为直径作圆，记作D（1）求抛物线解析式（2）判断CDM 的形状，并证明你的猜想（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，若将线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 90，使 C 点的对应点 C恰好落在抛物线上？若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由 2已知：如图，抛物线 yax2+bx+1 的图象关于 y 轴对称，且抛物线过点（2，2），点 P 为抛物线上的动点，以点 P 为圆心的P 与 x 轴相切，当点 P 运动

2、对，P 始终经过 y 轴上的一个定点 E（1）求抛物线的解析式；（2）当P 的半径为时，P 与 y 轴交于 M、N 两点，求 MN 的长；（3）求定点 E 到直线 ykx8k 的距离的最大值 3如图 1，抛物线 y+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，以 AB 为直径在 x 轴上方画半圆交 y 轴于点 E，圆心为 G，P 为半圆上一动点，连接 DP，点 Q 为 PD 的中点 判断点 C、D 与G 的位置关系，并说明原因；当点 P 沿半圆从点 B 运动到点 A 时，求线段 AQ 的最小值 4定义：在平面直

3、角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 yx称为 P 点的“坐标差”，记作 Zp，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“共享值”（1）点 A（5，1）的“坐标差”为 ；求抛物线 yx2+7x 的“共享值”；（2）某二次函数 yx2+bx+c（c0）的“共享值”为1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等 直接写出 m ；（用含 c 的式子表示）求此二次函数的解析式（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为原点，点 D（4，0），以 OD 为直径作M，直线 yx

4、+b 与M 相交于点 E，F请直接写出M 的“共享值”为 5抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（2，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，点 P 是介于 B、C 之间的抛物线上的动点（包括 B、C 两点），点 E 是ABP 的外接圆圆心（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 P 为抛物线的顶点时，求圆心 E 的坐标；（3）如图 2，作 PHx 轴于点 H，延长 PH 交E 于点 Q，当 P 从 C 点出发，沿该抛物线运动到 B 点，求点 Q 在这个运动过程中的路径长 6 已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（6，0），点 D 为

5、AC 的中点，点 E 是抛物线在第二象限图象上一动点，经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 yax2+bx+8，连接 DE，把点 A 沿直线 DE 翻折，点 A 的对称点为点 G（1）求抛物线的解析式；（2）当点 E 运动时，若点 G 恰好落在 BC 上（G 不与 B、C 重合），求 E 点的坐标；（3）当点 E 运动时，若点 B、C、D、G 四点恰好在同一个圆上，求点 E 坐标 7在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C，且 OC4OA （1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线 yx 交抛物线

6、于 D，E 两点，点 F 在抛物线上，且在直线 DE 下方，若以 F 为圆心作F，当F 与直线 DE 相切时，求F 最大半径 r 及此时 F 的坐标；（3）如图，M 是抛物线上一点，连接 AM 交 y 轴于 G，作 AM 关于 x 轴对称的直线交抛物线于 N，连接 AN，MN，点 K 是 MN 的中点，若 G，K 的纵坐标分别是 t，n，求 t，n 的数量关系 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，D 为抛物线顶点连接 AD，交 y 轴于点 E，P 是抛物线上的一个动点 （1）如图一，点 P 是第一象限的抛物线上的一点，

7、连接 PD 交 x 轴于 F，连接 EF，AP，若 SADP3SDEF，求点 P 的坐标（2）如图二，点 P 在第四象限的抛物线上，连接 AP、BE 交于点 G，若，则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？9如图，在平面直角坐标系中，以 D（5，4）为圆心的圆与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A、B 两点，且 AB6（1）求经过 C、A、B 三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 F，证明直线 FA 与D 相切；（3）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 N，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出 N 点坐标 10如图、，在平面直角坐标系中，一边长为 2 的等边三角板 C

8、DE 恰好与坐标系中的OAB 重合，现将三角板 CDE 绕边 AB 的中点 G（G 点也是 DE 的中点），按顺时针方向旋转 180到CED 的位置 （1）直接写出 C的坐标，并求经过 O、A、C三点的抛物线的解析式；（2）点 P 在第四象限的抛物线上，求COP 的最大面积；（3）如图，G 是以 AB 为直径的圆，过 B 点作G 的切线与 x 轴相交于点 F，抛物线上是否存在一点 M，使得BOF 与AOM 相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 11已知抛物线 yax2+bx 过点 A（1，4）、B（3，0），过点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，在 x 轴上有

9、一点 D（4，0），连接 CD（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点 Q，使得 CD 平分ACQ，请求出点 Q 的坐标；（3）在直线 CD 的下方的抛物线上取一点 N，过点 N 作 NGy 轴交 CD 于点 G，以 NG为直径画圆在直线 CD 上截得弦 GH，问弦 GH 的最大值是多少？12【发现问题】小明在练习簿的横线上取点 O 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图 1 所示，他发现这些点的位置有一定的规律【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上 【分析问题】小明利用已学

10、知识和经验，以圆心 O 为原点，过点 O 的横线所在直线为 x 轴，过点 O 且垂直于横线的直线为 y 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图 2 所示当所描的点在半径为 5 的同心圆上时，其坐标为 【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立【深度思考】小明继续思考：设点 P（0，m），m 为正整数，以 OP 为直径画M，是否存在所描的点在M 上若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由 13如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 A（4，0），点 B（0，4），AC是ABO 的中线，且M 经过 O，A，C 三点，抛物线的顶点为 M，并且经过点 B，M的切线

11、CD 交 x 轴于 D，M 与抛物线的其中一个交点为 G，连接 AG，CG（1）求抛物线的解析式；（2）设直线 CD 与抛物线的交点的横坐标为 h，求 h 的值；（3）设点 G 的坐标为（m，n），则 n 14如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 C（2，3），且与 x 轴交于原点及点 B（8，0），点 A 为抛物线的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 是等腰三角形？如果存在，请求出点 M 的坐标如果不存在，请说明理由；（3）若点 P 为O 上的动点，且O 的半径为，求的最小值 15如图，以 AB 为直径的D 与抛物线 yax2bx+

12、c 交于点 A、B、C，与 y 轴交于点 E，点A、C 的坐标分别是（3，0）、（0，3），过点 B 作 y 轴的垂线垂足为 F（0，4）（1）求线段 CE 的长；（2）求抛物线的函数表达式；（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使P 与直线 AB 和 x 轴都相切？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 16如图 1，抛物线与 x 轴交于 O、A 两点，点 B 为抛物线的顶点，连接 OB （1）求AOB 的度数；（2）如图 2，以点 A 为圆心，4 为半径作A，点 M 在A 上连接 OM、BM，当OBM 是以 OB 为底的等腰三角形时，求点 M 的坐标；如图 3，取 OM 的中点 N，连

13、接 BN，当点 M 在A 上运动时，求线段 BN 长度的取值范围 17抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（2，0），B（4，0）两点交 y 轴于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 D 在线段 BC 上，把点 D 绕点 A 逆时针方向旋转 90，恰好落在 y 轴正半轴的点 E 处，求点 E 的坐标；（3）如图 2，若点 P 在第四象限的抛物线上，过 A，B，P 作O1，作 PQx 轴于 Q，交O1于点 H，HQ 的值是否为定值？若是，请求值；若不是，请说明理由 18如图 1，抛物线 yax2+bx4 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（

14、1，0），抛物线的对称轴是直线 x（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一个动点，是否存在点 P 使四边形 ABPC 的面积为 16，若存在，求出点 P 的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图 2，过点 B 作 BFBC 交抛物线的对称轴于点 F，以点 C 为圆心，2 为半径作C，点 Q 为C 上的一个动点，求BQ+FQ 的最小值 19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，以 AB 为直径的半圆O与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC，ACCD 是半圆O的切线，ADCD 于点 D（1）求证：CADCAB；（2）已知抛物线 yax2+bx+c 过

15、A、B、C 三点，AB10，tanCAD 求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形，请说明理由 20如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0，c0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且以 AB 为直径的圆经过点 C（1）若点 A（4，0），点 B（16，0），求 C 点坐标和函数关系式（2）若点 D 是圆与抛物线的交点（D 与 A、B、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点 P，使得以 P、B、C 为顶点的三角形与CBD 相似？若存在，请求点 P坐标；若不存在，请说

16、明理由 参考答案 1解：（1）抛物线 ya（x3）2+过点 C（0，4），9a+4，a 抛物线解析式为 y（x3）2+x2+x+4；（2）CDM 是直角三角形，证明：yx2+x+4 令 y0，则x2+x+40，解得：x2 或 8，A（2，0），B（8，0），OA2，OB8，AB10 AB 为直径作圆，圆心为 D，DADB5，DODAOA523，D（3，0），连接 DC，DM，MC，过点 M 作 MEy 轴于点 E，如图，点 M 为抛物线的顶点，M（3，），ME3，MD，C（0，4），OC4，MDAB，EAOB，EMOE，四边形 MEOD 为矩形，OEMD，ECOEOC，CM2CE2+EM2 D

17、C2OC2+OD225，CM2+CD2+25，DM2（）2，CM2+DC2DM2，DCM90，CDM 是直角三角形；（3）在抛物线对称轴上存在点 P，若将线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 90，使 C 点的对应点 C恰好落在抛物线上，理由：点 P 在抛物线的对称轴上，对称轴为直线 x3，设点 P（3，m），则 PDm，过点 C 作 CEDM 于点 E，过点 C作 CFDM 于点 F，如图，由题意得：CPC90，CPCP，CE3，DEOC4 CPE+CPF90，PEDEPD4m CEDM，CPE+ECP90，ECPFPC 在CEP 和PFC中，CEPPFC（AAS），CEPF3，PECF4m D

18、FPF+PD3+m，C（7m，3+m），点 C在抛物线 y（x3）2+上，（7m3）2+3+m，解得：m1 或 3，P（3，1）或 P（3，3）在抛物线对称轴上存在点 P，若将线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 90，使 C 点的对应点C恰好落在抛物线上，此时点 P 的坐标为（3，1）或（3，3）2解：（1）抛物线 yax2+bx+1 的图象关于 y 轴对称，对称轴为直线 x0，则 b0，抛物线过点（2，2），4a+12，解得 a，抛物线的解析式为 yx2+1；（2）过点 P 作 PHMN 于 H，连接 PM，PN，a，P 的半径为4，P 与 x 轴相切，点 P 的纵坐标为 4，yx2+14，x

19、2，点 P 的坐标为（2，4）或（2，4），PHMN，MHNHMN，PN2PH2+NH2，42（2）2+NH2，NH2，MN4；（3）设直线 ykx8k 与 x 轴交于点 Q，ykx8kk（x8），点 Q（8，0），设 P（t，t2+1），E（0，m），P 的半径为t2+1，PE2（t2+1）2t2+（t2+1m）2，（t2+1）2t2+（t2+1）22m（t2+1）+m2，（1）t22m+m20，点 E 为定点，m 的值与 t 无关，10，解得 m2，定点 E（0，2），ykx8k 过定点 Q（8，0），当 EQ直线 ykx8k 时距离最大 EQ2，定点 E 到直线 ykx8k 的距离的最大

20、值为 2 3解：（1）将 A（1，0），B（3，0）代入 y+bx+c，解得，yx；（2）令 x0，则 y，C（0，），yx（x1）22，D（1，2），A（1，0），B（3，0），G（1，0），AB4，CG，DG2，C 点在圆 G 的内部，D 点在圆上；连接 DG 并延长与圆交于点 N，连接 NP，NPD90，G 是 DN 的中点，Q 是 DP 的中点，GQNP，GQD90，Q 点在以 M（1，1）为圆心，半径为 1 的圆上，AQ 的最小值为 AM1，AQ1，线段 AQ 的最小值为1 4解：（1）点 A（5，1）的“坐标差”为156，故答案为：6；设 P（x，y）是抛物线 yx2+7x 上一点

21、，坐标差x2+7xxx2+6x（x3）2+9，最大值为 9，所以抛物线 yx2+7x 的“共享值”为 9；（2）由题知 C（0，c），点 B 与点 C 的“坐标差”相等，B（c，0），故答案为：c；将 B 点坐标代入抛物线解析式，得c2bc+c0，c1b 或 0（舍去），二次函数 yx2+bx+c（c0）的“共享值”为1，yxx2+（b1）x+1b 的最大值为1，1，解得 b3，c2，二次函数的表达式为 yx2+3x2；（3）点 E，F 在直线 yx+b 上，设点 E 的坐标为（xE，xE+b），点 F 的坐标为（xF，xF+b），ZExE+bxEb，ZFxF+bxFb，ZEZF 作直线 yx

22、+n（n0）与M 相切，设切点为 N，该直线与 x 轴交于点 Q，如图所示 yxx+nxn，当直线 yx+n（n0）与M 相切时，yx 的值为M 的“共享值”NQM45，MNNQ，MN2，MNQ 为等腰直角三角形，MQ2，点 Q 的坐标为（22，0）将 Q（22，0）代入 yx+n，得：022+n，解得：n22，M 的“共享值”为 22 故答案为：22 5解：（1）抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（2，0），B（4，0）两点，解得：，抛物线的解析式为 yx4；（2）yx4（x1）2，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点为（1，），当 P 为抛物线的顶点时，P（1，），连接 EA，设抛物线

23、的对称轴交 x 轴于点 F，如图，P（1，），OF1，PF A（2，0），OA2，AFOA+OF3 设E 的半径为 r，则 EAEPr，FEPFPEr AF2+EF2AE2，解得：r，EF，E（1，）；（3）如图，点 P 是介于 B、C 之间的抛物线上的动点（包括 B、C 两点），设 P（m，m4），则 0m4，m40，OHm，PH（m4）+m+4，A（2，0），B（4，0），OA2，OB4，AHm+2，BH4m 由相交弦定理得：AHBHPHQH，QH2，当 P 从 C 点出发，沿该抛物线运动到 B 点，点 Q 在这个运动过程中到 x 轴的距离 QH是定值 2，点 Q 的运动轨迹为平行于 x

24、轴且到 x 轴的距离为 2 的一条线段，如图中的线段 MN，此时，MNOB4，点 Q 在这个运动过程中的路径长为 4 6解：（1）将 A（4，0），B（6，0）代入 yax2+bx+8，解得，yx2+x+8；（2）令 x0，则 y8，C（0，8），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，yx+8，设 G（t，t+8），点 A 与点 G 关于 DE 对称，DGAD，点 D 为 AC 的中点，D（2，4），（t+2）2+（4+t8）220，解得 t0（舍）或 t，G（，），设 E（m，m2+m+8），AEEG，（m+4）2+（m2+m+8）2（m）2+（m2+m+8）2，解得 m3+或 m3，

25、点 E 在第二象限，m3，E（3，）；（3）连接 BD，C（0，8），B（6，0），D（2，4），BC10，BD4，CD2，BC2BD2+CD2，BCD 是直角三角形，B、C、D 三点在以 BC 的中点为圆心，BC 长为半径的圆上，由对称性可知，ADDG，G 点在以 D 为圆心，AD 长为半径的圆上，AOC90，A、O、C、G 四点共圆，点 B、C、D、G 共圆，G 点与 O 点或 C 点重合，当 G 点与 O 点重合时，E（2，）；当 G 点与 C 点重合时，AEEC，设 E（m，m2+m+8），（m+4）2+（m2+m+8）2m2+（m2+m）2，解得 m6 或 m，E（，）；综上所述：E

26、 点坐标为（2，）或（，）7解：（1）A（1，0），OA1，OC4OA，OC4，C（0，4），将 A（1，0），C（0，4）代入 yx2+bx+c，解得，yx23x4；（2）联立方程组，解得或，D（22，22），E（2+2，2+2），DE8，设切点为 H，连接 FH，FD，过点 F 作 FGx 轴交 DE 于点 G，FHDE，设 F（t，t23t4），则 G（t，t），FGt（t23t4）t2+4t+4，SDEFDEHFGF（2+22+2），HF（t2+4t+4）（t2）2+4，HFr，当 t2 时，r 有最大值 4，此时 F（2，6）；（3）设 AN 与 y 轴的交点为 D，由题意可知，G（

27、0，t），由对称性可知，D（0，t），设直线 AN 的解析式为 ykx+b，解得，ytxt，同理可求直线 AM 的解析式为 ytx+t，联立方程组，解得或，M（t+4，t2+5t），同理可求 N（4t，t25t），点 K 是 MN 的中点，K（4，t2），nt2 8 解：抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，D 为抛物线顶点，令 x0，解得 y3，则 C（0，3），令 y0，则 x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0），B（3，0），yx22x3（x1）24，D（1，4），设直线 AD 的解析式为 ykx+b（k0），代入 A（1，0），D（1

28、，4）得：，解得，y2x2，令 x0，则 y2，E（0，2），AEED，SFAESFED，SADP3SDEF，SAPFSADPSAFD3SDEFSAFD3SDEF2SDEFSDEFSAEF，OEAF，AFAF，OEyp2，依题意，设 P（m，m22m3）（m3），m22m32，解得（舍），；（2）点 P 在第四象限的抛物线上，AP、BE 交于点 G，设 P（m，m22m3）（0m3），设直线 AP 的解析式为 ycx+d，代入 A（1，0），P（m，m22m3）得：，0m3，m+10，解得：，直线 AP 的解析式为 y（m3）x+m3，设直线 BE 的解析式为 yk1x+b1，代入 B（3，0

29、），E（0，2）得：，解得：，直线 BE 的解析式为，联立，解得，0m3，m30，令，30，z 存在最大值，则 w 存在最小值，当时，z 存在最大值，最大值为，则 w 的最小值为，w 有最小值，w 的最小值是 9（1）解：如图，连接 CD，AD，过点 D 作 DEAB 于点 E，DEO90，以 D（5，4）为圆心的圆与 y 轴相切于点 C，且 AB6，COB90，DCy 轴，DE4，DCO90，四边形 OCDE 是矩形，CODE4，OECD5，OAOEAE2，OBOA+AB8，C（0，4），A（2，0），B（8，0），设经过点 C、A、B 三点的抛物线解析式为：yax2+bx+c，将点 C、A

30、、B 三点的坐标代入可得：，解得：，经过 C、A、B 三点的抛物线的解析式为：（2）证明：点 D 为圆心，点 A 在圆周上，由（1）知，rDA5，抛物线解析式为：，且顶点 F 的坐标为，又D（5，4），DAF90，直线 FA 与D 相切（3）解：存在点 N，使CBN 面积最大，如图，过点 N 作 NPy 轴，交 BC 于点 P，C（0，4），B（8，0），设直线 BC 的解析式为：ykx+b1，解得：，直线 BC 的解析式为：，设点 N 的坐标为，NPy 轴，交 BC 于点 P，点 P 的坐标为，SBCN SPNC+SPNBn2+8n（n4）2+16，当 n4 时，SBCN最大，最大值为 16

31、，此时 N（4，2）10解：（1）过点 C作 CMx 轴，垂足为 M，如图：由题意可知OAB 和CDE 是等边三角形，BAOBAC60，AOAC2，CAM180BAOBAC60，CMACsinCAM2sin60，AMACcosCAM2cos601，OMOA+AM2+13，C（3，），A（2，0），O（0，0）在抛物线上，故设抛物线的解析式 yax（x2），将 C（3，）代入得 3a，解得 a，yx2x；（2）过 P 作 PQx 轴，交 OC于 Q，连接 PC，OP，如图：设 OC的表达式为：ykx，由（1）知 C（3，），3k，解得 k，OC的表达式为 yx，设 P 点的横坐标为 m，则有：P

32、（m，m2m），Q（m，m），PQm2+m，SCOP3（m2+m）（m）2+，当 m时，COP 的最大面积为；（3）抛物线上存在一点 M，使得BOF 与AOM 相似，理由如下：BF 与G 相切，ABF90，BAF60，ABOA2，AF4，OF2，BOF180BOA120，BOF 为顶角为 120的等腰三角形 AOAM2 时，点 M 与点 C重合，如图：此时OAC120，BOFOAC，BOFMAO，此时 M（3，）；OAOM2 时，点 M 与点 C关于抛物线对称轴直线 x1 对称，如图：由对称性可知，此时AOM120，BOFAOM，M；MOMA 时，点 M 为抛物线顶点（1，），此时 tanAO

33、M，AOM30，AOMOAM30BFOFBO，BOFAMO，M（1，），综上所述，M 的坐标为：（3，），（1，），（1，）11解：（1）抛物线 yax2+bx 过点 A（1，4）、B（3，0），解得：，抛物线的表达式为 yx2+3x；（2）当 y4 时，则 x2+3x4，解得：x14，x21，点 C 的坐标为（4，4），AC1（4）5 A（1，4），D（4，0），AD5 取点 E（1，0），连接 CE 交抛物线于点 Q，如图 1 所示 AC5，DE4（1）5，ACDE，四边形 ACED 为平行四边形，ACAD，四边形 ACED 为菱形，CD 平分ACQ 设直线 CE 的表达式为 ymx+n（

34、m0），将 C（4，4）、E（1，0）代入 ymx+n，得：，解得：，直线 CE 的表达式为 yx 联立直线 CE 与抛物线表达式成方程组，得：，解得：，点 Q 的坐标为（，）；（3）设直线 CD 的表达式为 ykx+c（k0），将 C（4，4）、D（4，0）代入 ykx+c，得：，解得：，直线 CD 的表达式为 yx+2 设点 N 的坐标为（x，x2+3x），则点 G 的坐标为（x，x+2），NGx+2（x2+3x）x2x+2（x+）2+，10，当 x时，NG 取最大值，最大值为 以 NG 为直径画O，取 GH 的中点 F，连接 OF，则 OFBC，如图 2 所示 直线 CD 的表达式为 y

35、x+2，NGy 轴，OFBC，tanGOF，GH2GFOGNG，弦 GH 的最大值为 12【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为 5 的同心圆上时，其纵坐标 y514，横坐标 x3，点的坐标为（3，4）或（3，4）【解决问题】证明：设所描的点在半径为 n（n 为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n1），该点的横坐标为，该点的坐标为（，n1）或（，n1）（）22n1，n1，该点在二次函数 y（x21）x2的图象上，小明的猜想正确【深度思考】解：设该点的坐标为（，n1），M 的圆心坐标为（0，m），m，mn1+2+又m，n 均为正整数，n11，m1+2+14，存在所描的点在M 上，m

36、 的值为 4 13解：（1）点 B（0，4），OB4，AC 是ABO 的中线，OC2，点 C（0，2），AOC90，AC 是M 的直径，点 M 为 AC 的中点，点 A（4，0），抛物线的顶点 M（2，1），设抛物线的解析式为 ya（x+2）2+1，把点 B（0，4）代入得：4a（0+2）2+1，解得 a，抛物线的解析式为 y（x+2）2+1x2+3x+4；（2）点 A（4，0），点 C（0，2），AC2，M 的切线 CD 交 x 轴于 D，ACCD，AOCACD90，CADOAC，CADOAC，即，解得：AD5，OD1，点 D（1，0），设直线 CD 的解析式为 ykx+b，把点 C（0，2

37、）点 D（1，0）代入得：，解得，直线 CD 的解析式为 y2x+2 联立 yx2+3x+4 得，解得 x，即 h 的值为；（3）连接 GM，M 与抛物线的其中一个交点为 G，GMCM，AC2，点 M 是 AC 的中点，GMCM，点 G 的坐标为（m，n），点 M（2，1），（m+2）2+（n1）2（）2，即 m2+4mn2+2n，点 G 在抛物线上，nm2+3m+4，即 3m2+12m4n16，3（n2+2n）4n16，解得：n或2（舍去），故答案为：14解：（1）由题意，解得：，二次函数的表达式为 yx22x；（2）过点 A 作直线 AFx 轴于点 F，由（1）得 y（x4）24，抛物线的

38、顶点 A（4，4），AMBM，B（8，0），BF4，AFB90，AFBF4，ABF 是等腰直角三角形，M 在点 F 处，ABM 是等腰直角三角形，此时 M 为（4，0），ABAM，由得ABF 是等腰直角三角形，BF4，AB4，M 为（4，44）或（4，4+4），ABBM，ABBM，BFAM，MFAF，M 为（4，4），综上所述，M 为（4，0），（4，44）或（4，4+4）或（4，4）；（3）如图 2，以 O 为圆心，为半径作圆，则点 P 在圆周上，在 OA 上取点 D，使 OD，连接 PD，则在APO 和PDO 中，满足：2，AOPPOD，APOPDO，2，从而得：PDAP，AP+PBPD+

39、PB，当 B、P、D 三点共线时，PD+PB 取得最小值，过点 D 作 DGOB 于点 G，由于 OD，且ABO 为等腰直角三角形，则有 DG1，DOG45，AP+PB 的最小值为：AP+PBDB5 15解：（1）过点 D 作 OF 的垂线，垂足为 H，BFy 轴，BFDHAO，OF4，OH2，OC3，CHOCOH1，DHEC，CE2CH2；（2）连接 AC、BC，OAOC，AOC90，ACO45，AB 是D 的直径，ACB90，BFC45，BFCFFOCO1，点 B 的坐标是（1，4），将 A（3，0）、B（1，4）、C（0，3）代入得，yx2+2x3；（3）存在点 P，使P 与直线 AB

40、和 x 轴都相切，理由如下：yx2+2x3（x+1）24，设存在点 P（1，m），BPm+4，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 G，PNPG|m|，AG2，BG4，AB，P 与直线 AB 和 x 轴都相切，即，存在点 P或 16解：（1）令 y0，则2x0，解得：x0 或 8 A（8，0）OA8 y2x4，B（4，4）过点 B 作 BDOA 于点 D，如图，则 OD4，BD4，ODBD，AOBOBD45；（2）设A 与 x 轴交于点 C，则 C（4，0）连接 BC，如图，B（4，4），BCOA COCB4，CBO 是以 OB 为底的等腰三角形 点 M 与点 C 重合时，MBO 是以 OB 为

41、底的等腰三角形此时点 M（4，0）；过点 A 作 AMx 轴，交A 于点 M，延长 MA 交A 于点 E，连接 BE，过点 M 作 MFy 轴于点 F，如图，则 M（8，4），E（8，4），F（0，4）MFME8 B（4，4），BEx 轴 BEME，BE4 BEMMFO90，BEOF4 在MOF 和MBE 中，MOFMBE（SAS）MOMB MBO 是以 OB 为底的等腰三角形此时点 M（8，4）；综上，当OBM 是以 OB 为底的等腰三角形时，点 M 的坐标为（4，0）或（8，4）；设A 与 x 轴交于点 C，则 C（4，0）连接 BC，CN，AM，如图，A（8，0），点 C 是 OA 的中

42、点 N 为 OM 的中点，CN 是OMA 的中位线 CNAM2 当点 M 在A 上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BCCNBNBC+CN BC4，42BN4+2 线段 BN 长度的取值范围为：2BN6 17解：（1）将 A（2，0），B（4，0）代入解析式 yax2+bx4，解得，yx2x4；（2）如图，作 DFAB 于 F EAF+DAF90，DAF+ADF90，EAFADF，AEAD，AOEAFD90，AOEDFA（AAS），AODF2，抛物线 yx2x4 交 y 轴于点 C C（0，4），B（4，0），OBOC，AFOE，ABC45，DFAB，BDFABC45，BFDF2，OF2，

43、AF4OE，E（0，4）；（3）如图，连接 PA，BH设 P（m，m2m4）PQAB，Q（m，0），QAm+2，BQ4m，PQm2+m+4，AQPBQH，PAQPHB，AQPHQB，HQ2 HQ 的值是定值，HQ2 18解：（1）抛物线 yax2+bx4 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（1，0），抛物线的对称轴是直线 x，解得 抛物线的解析式为：yx23x4（2）由（1）知抛物线的解析式为：yx23x4 令 y0，解得 x1 或 x4，A（1，0），B（4，0），设直线 BC 的解析式为：ykx+n，解得 直线 BC 的解析式为：yx4 设点 P 的横

44、坐标为 m，则 P（m，m23m4），过点 P 作 PMy 轴交 BC 于点 M，M（m，m4），PM（m4）（m23m4）m2+4m S四边形ABPCSABC+SBCP（4+1）4+（m24m）4 2m2+8m+10 四边形 ABPC 的面积为 16，2m2+8m+1016，解得 m1 或 m3，P（1，6）或（3，4）（3）如图，过点 B 作 BFBC 交抛物线的对称轴于点 F，以点 C 为圆心，2 为半径作C，B（4，0），C（0，4），OBOC4，BC4，OBC45，BFBC，FBO45，抛物线的对称轴是直线 x，点 F 的纵坐标为：4，F（，）在 CB 上取 CE，过点 E 作 EG

45、OC，交 y 轴于点 G，交抛物线对称轴于点 H，CGEG，EH1 FH6，CQ2，CE，BC4，QCEBCQ，CQECBQ，QEBQ，BQ+FQQE+FQFE，当 F，Q，E 三点共线时，取得最小值，最小值为 FE 的长，EHFH，EF 则BQ+FQ 的最小值为：19（1）证明：连接 OC，CD 是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCACAD，OAOC，CABOCA，CADCAB；（2）解：AB 是O的直径，ACB90，OCAB，CABOCB，CAOBCO，即 OC2OAOB，tanCAOtanCAD，AO2CO，又AB10，OC22CO（102CO），解得 CO4 或 CO0（舍去

46、），CO4，AO8，BO2，CO0，CO4，AO8，BO2，A（8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线 yax2+bx+c 过点 A，B，C 三点，由题意得：，解得，抛物线的解析式为：yx2x+4；顶点 E 在直线 CD 上，理由如下：设直线 DC 交 x 轴于点 F，AOCADC，ADAO8，OCAD，FOCFAD，OFADOCAF，8（BF+5）5（BF+10），BF，F（，0）；设直线 DC 的解析式为 ykx+m，解得，直线 DC 的解析式为 yx+4，由 yx2x+4（x+3）2+得顶点 E 的坐标为（3，），将 E（3，）代入直线 DC 的解析式 yx+4 中，右边（3）+4

47、左边，抛物线顶点 E 在直线 CD 上；（3）存在点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形，理由如下：当 BPAC 时，A（8，0），C（0，4），设直线 AC 的解析式为 ykx+b，解得，yx+4，设 BP 的直线解析式为 yx+s，把 B（2，0）代入得 s1，直线 PB 的解析式为 yx1，联立方程组，解得或（舍去），P（10，6）；当 APBC 时，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，解得，y2x+4，设 AP 的直线解析式为 y2x+n，把 A（8，0）代入得 n16，y2x16，联立方程组，解得（舍去）或，P（10，36）；综上所述：P 点坐标为（10，6）或（10，36）20解

48、：（1）A（4，0），B（16，0），AB20，AB 的中点 G（6，0），CG10，令 x0，则 yc，C（0，c），36+c2100，c8，c0，c8，C（0，8），将 A（4，0），B（16，0）代入 yax2+bx+8，解得，yx2+x+8；（2）坐标轴上存在一点 P，使得以 P、B、C 为顶点的三角形与CBD 相似，理由如下：yx2+x+8（x6）2+，抛物线的对称轴为直线 x6，G 的圆心为（6，0），C 点与 D 点关于直线 x6 对称，D（12，8），CD12，B（16，0），C（0，8），BD4，BC8，当 P 点在 x 轴上，BPCD，BCDCBP，如图 1，当CPBCDB 时，BCDCBP，DBCBCP，四边形 CDBP 是平行四边形，CDBP12，P（4，0）；如图 2，当CDBCPB 时，BCDPBC，PB，P（，0）；当 P 点在 y 轴上时，A、B、C、D 四点共圆，CAB+CDB180，COAB，ACBC，CAOBCO，OCB+CDB180，PCBCDB，如图 3，当 P 点在 BD 的延长线上时，BCDBPC，CP48，P（0，56）；如图 4，当DCBPBC 时，BCDPBC，PC，P（，0）；综上所在：P 点坐标为（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）