2022-2023学年九年级数学中考复习《几何模型综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习几何模型综合压轴题专题突破训练（附答案）1如图，点 E 是正方形 ABCD 边 BC 上一点（点 E 不与 B、C 重合），连接 DE 交对角线AC 于点 F，ADF 的外接圆 O 交边 AB 于点 G，连接 GD、GE（1）求EDG 的度数；（2）若，求 tanDEG 2如图，在等腰 RtABC 中，ABBC，D 是 BC 的中点，E 为 AC 边上任意一点，连接DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，连接 EF，交 AB 于点 G（1）如图 1，若 AB6，AE，求 ED 的长；（2）如图 2，点 G 恰好是 EF 的中点，连

2、接 BF，求证：CDBF；（3）如图 3，若 AB4，连接 CF，当 CF+BF 取得最小值时请直接写出 SCEF的值 3如图，在平面直角坐标系中，ABO 为等腰直角三角形，AOB90，AOBO，点A 的坐标为（3，1）（1）求点 B 的坐标；（2）在 x 轴上找一点 P，使得 PA+PB 的值最小，求出点 P 的坐标；（3）在第四象限是否存在一点 M，使得以点 O，A，M 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 4如图 1，在ABC 中，BE 平分ABC，CF 平分ACB，BE 与 CF 交于点 D（1）若BAC74，则BDC ；

3、（2）如图 2，BAC90，作 MDBE 交 AB 于点 M，求证：DMDE；（3）如图 3，BAC60，ABC80，若点 G 为 CD 的中点，点 M 在直线 BC 上，连接 MG，将线段 GM 绕点 G 逆时针旋转 90得 GN，NGMG，连接 DN，当 DN 最短时，直接写出MGC 的度数 5在ABC 中，A45，点 D 是边 AB 上一动点，连接 CD（1）如图 1，若ADC30，将线段 CD 绕着 D 逆时针旋转 90得到 ED，连接 CE 若CE12，求 AD 的长；（2）如图 2，过点 C 作 CFAB 于 F，当点 D 在线段 BF 上时，将线段 CD 绕着 D 逆时针旋转 9

4、0得到 ED，连接 CE，过点 E 作 EGAC 交 AB 于点 G求证：AG2DF；（3）如图 3，若ABC15，AB3+3，将线段 CD 绕着 D 逆时针旋转 120得到ED，连接 CE请直接写出 DE+BD 的最小值 6已知：如图，AB 是O 的直径，点 M 为半径 OA 的中点，弦 CDAB 于点 M，过点 D作 DECA 交 CA 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若点 F 在弧 BD 上，且DCF45，CF 交 AB 于点 N 请补全图形；若 DE，求 FN 的长 7在ABC 中，CAB90，ACAB若点 D 为 AC 上一点，连接 BD，将 BD 绕点 B顺时

5、针旋转 90得到 BE，连接 CE，交 AB 于点 F （1）如图 1，若ABE75，BD4，求 AC 的长；（2）如图 2，点 G 为 BC 的中点，连接 FG 交 BD 于点 H若ABD30，猜想线段DC 与线段 HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，若 AB4，D 为 AC 的中点，将ABD 绕点 B 旋转得ABD，连接 AC、AD，当 AD+AC 最小时，求 SABC 8如图 1，在四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 E，ADE 为等边三角形（1）若点 E 为 BD 的中点，AD4，CD5，求BCE 的面积；（2）如图 2，若 BCCD，点 F 为 CD 的中点，求

6、证：AB2AF；（3）如图 3，若 ABCD，BAD90，点 P 为四边形 ABCD 内一点，且APD90，连接 BP，取 BP 的中点 Q，连接 CQ当 AB6，AD4，tanABC2 时，求CQ+BQ 的最小值 9如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+和直线 l2：yx+b 相交于 y轴上的点 B，且分别交 x 轴于点 A 和点 C（1）求ABC 的面积；（2）点 E 坐标为（5，0），点 F 为直线 l1上一个动点，点 P 为 y 轴上一个动点，求当 EF+CF最小时，点 F 的坐标，并求出此时 PF+OP 的最小值；（3）将OBC 沿直线 l1平移，平移后记为O1B1C1，直线

7、O1B1交 l2于点 M，直线 B1C1交 x 轴于点 N，当B1MN 为等腰三角形时，请直接写出点 C1的横坐标 10如图 1，抛物线 yx2+bx+c 经过 B（3，0），C（0，3）两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A，连接 AC、BC（1）求抛物线的解析式及点 A 的坐标；（2）若点 D 是线段 AC 的中点，连接 BD，在 y 轴上是否存在一点 E，使得BDE 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图 2，P 为抛物线在第一象限内一动点，过 P 作 PQBC 于 Q，当 PQ 的长度最大时，在线段 BC 上找一点 M 使 PM+BM

8、的值最小，求 PM+BM 的最小值 11如图，抛物线的解析式为 yx+5，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线对称轴与直线 BC 交于点 D（1）E 点是线段 BC 上方抛物线上一点，过点 E 作直线 EF 平行于 y 轴，交 BC 于点 F，若线段 CD 长度保持不变，沿直线 BC 移动得到 CD，当线段 EF 最大时，求 EC+CD+DB 的最小值；（2）Q 是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点 P 是APQ 为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由 12如图 1，抛物线 yx2+（m2）x2m（m0）

9、与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 左边），与 y 轴交于点 C连接 AC，BC且ABC 的面积为 8（1）求 m 的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点 T，T 的横坐标为 t，使ATC60求（t1）2的值（3）如图 2，点 P 为 y 轴上一个动点，连接 AP，求 CP+AP 的最小值，并求出此时点 P 的坐标 13如图 1，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，其中 ABAD，对角线 AC、BD 相交于点E，在 AC 上取一点 F，使得 AFAB，过点 F 作 GHAC 交O 于点 G、H（1）证明：AED ADC（2）如图 2，若 AE1，且 GH 恰好经过圆心

10、 O，求 BCCD 的值（3）若 AE1，EF2，设 BE 的长为 x 如图 3，用含有 x 的代数式表示BCD 的周长 如图 4，BC 恰好经过圆心 O，求BCD 内切圆半径与外接圆半径的比值 14在菱形 ABCD 中，DAB30（1）如图 1，过点 B 作 BEAD 于点 E，连接 CE，点 F 是线段 CE 的中点，连接 BF，若 ED2，求线段 BF 的长度；（2）如图 2，过点 B 作 BEAD 于点 E，连接 CE，过点 D 作 DMDC，连接 MC，且MCE15，连接 ME，请探索线段 BE，DM，EM 之间的数量关系，并证明；（3）如图 3，连接 AC，点 Q 是对角线 AC

11、上的一个动点，若 AB2，求 QB+QC+QD的最小值 15已知，AB 是O 的直径，AB，ACBC（1）求弦 BC 的长；（2）若点 D 是 AB 下方O 上的动点（不与点 A，B 重合），以 CD 为边，作正方形 CDEF，如图 1 所示，若 M 是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线段 MN 的长为定值；（3）如图 2，点 P 是动点，且 AP2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2个单位的速度沿线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，到达点 B 后停止运动，求点 Q 的运动时间 t 的最小值 16如图，已知抛

12、物线 yax22ax8a（a0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+与抛物线的另一交点为 D，且点 D 的横坐标为5（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P（x，y）在该二次函数的图象上，且 SBCDSABP，求点 P 的坐标；（3）设F 为线段BD 上的一个动点（异于点B和 D），连接 AF 是否存在点F，使得 2AF+DF的值最小？若存在，分别求出 2AF+DF 的最小值和点 F 的坐标，若不存在，请说明理由 17如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5x+5 与 x 轴，y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线 yx2+bx+c 经过 A

13、、C 两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求抛物线解析式；（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，当点 M 运动到某一位置时，ABM 的面积等于ABC 面积的，求此时点 M 的坐标；（3）如图 2，以 B 为圆心，2 为半径的B 与 x 轴交于 E、F 两点（F 在 E 右侧），若 P点是B 上一动点，连接 PA，以 PA 为腰作等腰 RtPAD，使PAD90（P、A、D三点为逆时针顺序），连接 FD求 FD 长度的取值范围 18如图，抛物线 yx26x+7交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），交 y轴于点 C，直线 yx+7经过点 A、C，点 M 是线段 AC 上的一

14、动点（不与点 A，C重合）（1）求 A，B 两点的坐标；（2）当点 P，C 关于抛物线的对称轴对称时，求 PM+AM 的最小值及此时点 M 的坐标；（3）连接 BC，当AOM 与ABC 相似时，求出点 M 的坐标 19如图，在ABC 与DEF 中，ACBEDF90，BCAC，EDFD，点 D 在AB 上（1）如图 1，若点 F 在 AC 的延长线上，连接 AE，探究线段 AF、AE、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图 2，若点 D 与点 A 重合，且 AC3，DE4，将DEF 绕点 D 旋转，连接BF，点 G 为 BF 的中点，连接 CG，在旋转的过程中，求CG+BG 的最小值；

15、（3）如图 3，若点 D 为 AB 的中点，连接 BF、CE 交于点 M，CE 交 AB 于点 N，且 BC：DE：ME7：9：10，请直接写出的值 20【问题提出】如图，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离为 AB 的长度，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C，先乘船到登陆点 D，船速为 a，再乘汽车，车速为船速的 n倍，点 D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若 n2，则时间 t+，当 a 为定值时，问题转化为：在 BC 上确定一点 D，使得+的值最小如图，过点 C 作射线 CM，使得BCM30（1）过点 D 作 DECM，垂足为 E，试说明：DE；（2）请在图中画出

16、所用时间最短的登陆点 D【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图，抛物线 yx2+x+3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，E 为 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF一动点 P 从 E出发，沿线段 EF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿着线段 FC 以每秒个单位的速度运动到 C 后停止若点 P 在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点 F 的坐标 参考答案 1解：（1）四边形 ABCD 是正方形，BAC45，ED

17、GFAG45；（2）延长 BA 至点 P，使 APCE，连接 DP，四边形 ABCD 是正方形，ADDC，BADDCE90，PADDCE，又APCE，DCEDAP（SAS），DEDP，CDEADP，PDEC，ADCPDE90，EDGPDG45，又DGDG，EDGPDG（SAS），DEGP，DECDEG，tanDEGtanDCE 2解：（1）如图，过点 E 作 EHBC 于点 H，CHE90，在等腰直角三角形 ABC 中，AB6，BC6，AC，D 为 BC 中点，CDBC，AE，CEACCE，C45，CHE 也是等腰直角三角形，CHEH5，HDCHCD2，在 RtDHE 中，DE（2）如图，过点

18、 E 作 EMBF 于 AB 交点 M，过点 D 作 DNBC 交 AC 于 N，CDN 为等腰直角三角形，CDND，BDCD，BDDN，5+BDE6+BDE，56，在BFD 和NED 中，BFDNED（SAS），BFEN，34，在EMG 和FBG 中，EMGFBG（AAS），MEBF，MEEN，2+345，1+445，MEN1+4+FED90，AEM90，AEM 是等腰直角三角形，AEMEBFEN，BFAN，DNBC，D 是 BC 的中点，CNAN，BFCN，又在等腰 RtCDN 中，CDCN，CDBF（3）如图 31 中，取 AC 的中点 T，连接 DT，BT，则BDT 是等腰直角三角形

19、EDFTDB90，BDFTDE，DBDT，DFDE，BDFTDE（SAS），DBFDTE135，DBT135，F，B，T 共线，点 F 在直线 BT 上运动，如图 32 中，取 AT 的中点 Q，连接 BQ，作 FHBQ 于点 H，CJBQ 于点 J，交 BT于点 R tanFBH，FHBF，CF+BFCF+FHCJ，当点 F 与 R 重合时，CF+BF 的值最小，BTQCTR90，BTCT，QBTRCT，BTQCTR（ASA），TRQT，ABBC4，ABC90，ACAB8，ATCTBT4，QTRT2，BFTE2，SCEFCEFT222 3解：（1）过点 A 作 ACx 轴于点 C，过点 B

20、作 BDx 轴于点 D，点 A 的坐标为（3，1），OC3，AC1，又ACx 轴，BDx 轴，ACOBDO90，OAC+AOC90，又AOB90，BOD+AOC90，OACBOD，又AOBO，AOCOBD（AAS），OCBD3，ACOD1，点 B 的坐标为（1，3）；（2）如图 2，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于点 P，连接 BP，由对称性可知 BPBP，AP+BPAP+BPAB，当 A、B、P 三点共线时 PA+PB 的值最小，连接 BB交 x 轴于点 E，则 E（1，0），点 B 与 B关于 x 轴对称，点 B的坐标为（1，3），设直线 AB的解析式为 ykx+

21、b，yx2，P（2，0）；（3）存在一点 M，使得以点 O，A，M 为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：当AOM90时，AOOM，如图 3，过点 A 作 AFy 轴交于点 F，过点 M 作 MEy 轴交于点 E，FOA+FAO90，FOA+EOM90，FAOEOM，AOOM，FAOEOM（AAS），OFEM，OEFA，A（3，1），AF3，OF1，M（1，3）；如图 4，当OAM90时，OAAM，过点 A 作 AFy 轴交于 F 点，过点 M 作 MGAF 交于点 G，FAO+FOA90，FAO+GAM90，AFOGAM，FAOGMA（AAS），AFGM，OFAF，A（3，1），AF3，

22、OF1，M（4，2）；如图 5，当OMA90时，OMAM，过点 M 作 MQy 轴交于 Q 点，过点 A 作 APQM 交于 P 点，OMQ+QOM90，OMQ+AM90，QOMAMP，OQMMPA（AAS），OQMP，QMAP，A（3，1），QM+MP3，1+QOQM，1+QO+OQ3，QO1，M（2，1）；综上所述：M 点坐标为（1，3）或（4，2）或（2，1）4（1）解：BAC74，ABC+ACB106，BE 平分ABC，CF 平分ACB，DBCABC，DCBACB，DBC+DCB（ABC+ACB）53，BDC127，故答案为：127；（2）证明：如图 2，过点 D 作 DGAB 于 G

23、，DHAC 于 H，DPBC 于 P，BD 平分ABC，CD 平分ACB，DGAB 于 G，DHAC 于 H，DPBC 于 P，DPDHDG，MDBE，MDEA90，AMD+AED180，AMD+DMG180，DMGAED，又DGADHE90，DMGDEH（AAS），DMDE；（3）如图 3，过点 G 作 GQDC，且 GQGC，连接 QN，BAC60，ABC80，ACB40，BCD20，将线段 GM 绕点 G 逆时针旋转 90得 GN，MGGN，MGN90QGC，MGCQGC，又GQGC，MGGN，MGCNGQ（SAS），QMCG20，点 N 在直线 QN 上运动，当 DNQN 时，DN 有

24、最小值为 DN，此时，延长 NG 交 BC 于 T，连接 NM，设 NQ 与 BC 的交点为 H，DNQN，BCNQ，DNBC，BHQ90，NDGBCD，THN90，点 G 是 BC 的中点，DGCG，又DGNCGT，DNGCTN（ASA），TGGN，TGGNGM，TMN90，点 M与点 H 重合，GMGN，MGN90，GNM45，QGN25，QGCMGN90，MGCQGN25，当 DN 最短时，MGC 的度数度数为 25 5（1）解：过点 C 作 CHAB 交于点 H，由旋转可知，DECD，CDE90，CE12，CD6，在 RtCDH 中，ADC30，CH3，DH3，在 RtACH 中，A4

25、5，AHHC3，ADAH+DH3+3；（2）证明：过 E 点作 EKAB 交于点 K，由旋转可知，DECD，CDE90，EDK+FDCFDC+DCF，EDKDCF，EDKDCF（AAS），DKCF，EKDF，A45，CFAF，DKAF，GEAC，EGKA45，GKEKDF，GDKF，DFDK+KFAF+GD，AG2DF；（3）解：过点 C 作 CFAB 交于 F 点，过点 B 作ABG30，过点 D 作 DMBG 交于点 M，MDBD，CDED，DE+BDDE+MDCD+MDCM，过点 C 作 CNBG 交于点 N，当 DE+BDCN 时，DE+BD 有最小值；过 A 作 AQBC 交延长线于

26、点 Q，BAC45，ABC15，ACQ60，设 CQx，则 AC2x，AQx，在 RtACF 中，AFCFx，ABCFBCAQ，（3+3）xBCx，解得 BC，CBN45，CNBC+3，DE+BD 的最小值是 3+6（1）证明：如图，在O 中，CDAB 于点 M，DMCM，OMDAMC90，OMAM，OMDAMC（SAS），ODMACM，ODAC，DECA，E90，ODE1809090，OD 是O 的半径，且 DEOD，DE 是O 的切线（2）补全图形如图所示 如图，连接 OC，作 FGAB 于点 G，则OGF90，CD 垂直平分 OA，ACOCOA，AOC 是等边三角形，ACOMOC60，O

27、CMACMACO30，DECD，CMCD，CMDE，OMC90，OMOC，OM2+CM2OC2，（OC）2+（）2OC2，解得 OC2 或 OC2（不符合题意，舍去），OFOC2，DCF45，DOF2DCF90，DOMCAM60，FOG180609030，FGOF1，MNCMCN45，GNFMNC45，GFNGNF45，NGFG1，FN 7解：（1）过 D 作 DGBC，垂足是 G，如图 1：将 BD 绕点 B 顺时针旋转 90得到 BE，EBD90，ABE75，ABD15，ABC45，DBC30，在直角BDG 中有 DG2，ACB45，在直角DCG 中，CGDG2，BCBG+CG，ACBC；

28、（2）线段 DC 与线段 HG 的数量关系为：HG，证明：延长 CA，过 E 作 EN 垂直于 CA 的延长线，垂足是 N，连接 BN，ED，过 G 作 GMAB 于 M，如图：END90，由旋转可知EBD90，EDB45 ENDEBD90，E，B，D，N 四点共圆，BNEEDB45，NEB+BDN180 BDC+BDN180，BCD45，BENBDC，BNE45BCD，在BEN 和BDC 中，BENBDC（AAS），BNBC，BAC90，在等腰BNC 中，由三线合一可知 BA 是 CN 的中线，BACEND90，ENAB，A 是 CN 的中点，F 是 EC 的中点，G 是 BC 的中点，FG

29、 是BEC 的中位线，FGBE，FGBE，BEBD，FGBD，ABD30，BFG60，ABC45，BGF75，设 ACa，则 ABa，在 RtABD 中，AD，BDBE，FGBE，FG，GMAB，BGM 是等腰三角形，MGMB，在 RtMFG 中，MFG60，MFMG，MF，BFBM+MF，在 RtBFH 中，BFG60，FHa，HGFGFHa，又CD，HG；（3）设 ABa，则 BC，取 BC 的中点 N，连接 AD，AC，AN，连接 DN，如图 3，由旋转可知 ABABa，又ABNCBA，ABNCBA，ANAC，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是 AD+AN 最小，此时 D、A、N

30、 共线，即 A在线段 DN 上，设此时 A落在 A处，过 A作 AFAB 于 F，连接 AA，如图 4，D，N 分别是 AC，BC 的中点，DN 是ABC 的中位线，DNAB，ABAC，DNAC，AAFAADA90，四边形 AFAD 是矩形，AFAD，AFAD2，又 ABAB4，设 AFx，在直角三角形 AFB 中，AB2AF2+BF2，4222+（4x）2，解得 x 此时 SABCSABCSAABSAACABACABAFACAD44424（42）44 8（1）解：如图 1 中，过点 C 作 CHBD 于 H，设 EHx ADE 是等边三角形，ADDE4，AEDCEH60，CHE90，CHEH

31、tan60 x，CD2CH2+DH2，253x2+（x+4）2，4x2+8x90 x或（舍弃），CH，SBEC42 解法二：过点 B 作 BJAC 交 AC 的延长线于 J，过点 D 作 DTAE 于 T 证明 BJDT，求出 DT，即可解决问题（2）证明：如图 2 中，延长 AF 到 G，使得 FGAF，连接 DG，CG，延长 GC 交 BD于 T，过点 C 作 CHBD 于 H AFFG，CFFD，四边形 ACGD 是平行四边形，ACDG，GCAD，CAD+ADG180，ADE 是等边三角形，AEAD，AEDADEEAD60，AEBADG120，CGDEAD60GDT，DGT 是等边三角形

32、，DGDT，CTECET60，CET 是等边三角形，CTCE，CTECET60，CBCD，CHBD，BHDH，THEH，BTDE，BEDTDG，AEBADG（SAS），ABAG2AF（3）解：如图 3 中，取 AD 的中点 O，连接 OP，OB，OC，取 OB 的中点 J，连接 QJ，CJ，过点 C 作 CFAB 于 F，在 JB 上取一点 T，使得 JT，连接 QT，TC ABCD，BAD90，ADC90，CFAB，CFA90，四边形 AFCD 是矩形，ADCF4，tanCBA2，BF2，AB6，AF4，ADAF，四边形 AFCD 是正方形，BC 2，CO 2，OB4，CBCO，CFCD，C

33、FBCDO90，RtCFBRtCDO（HL），BCFDCO，BCODCF90，BJJO，CJOB2，CT，BQQP，BJJO，QJOP，QJ22，TJJB22，QJ2JTJB，QJTQJB，QJTBJQ，QTBQ，CQ+BQCQ+QTCT，CQ+BQ 的最小值为 9解：（1）由题意知：b 直线 l2：yx+当 y0 时，x1 C（1，0）直线 l1：y 当 y0 时，0，x3 A（3，0）SABC1（3）2；（2）在 RtABO 中，AB2AO2+BO232+（）212 在 RtBOC 中，BC2OC2+OB212+（）24 在ABC 中，AB2+BC212+416AC2 ABC 是直角三角形

34、，ABBC 作 C 点关于直线 AB 的对称点 C（1，2），连接 CE 交直线 l1于 F，C（1，2）E（5，0）直线 CE：yx+解得：F（1，）作二、四象限的角平分线 l3，过点 P 作 PQl3于 Q，则 PQOP，PF+OPFP+PQ，当 F，P，Q 三点共线时最小，即过 F 作 PQl3于 Q 交 y 轴于 P，作 FGOB 交直线 l3于 G 此时FQG 为等腰直角三角形，斜边 FG，PF+OP 的最小值为：FQFG+（3）如图 2 中，当 B1MB1N 时，点 C1中直线 yx上运动，设 C1（m，m），B1O1交 x 轴于 E，则EB1+m+m，OE+m，MB1NB12OE

35、+m，M（m1，+m+m），把点 M 坐标代入直线 yx+，得到：+m+m（m1）+，解得 m 如图 3 中当 MNMB1时，同法可得 M（m1，+m），把点 M 代入 yx+得到，+m（m1）+，解得，m 如图 4 中，当 B1MB1N 时，同法可得 M（m1，+mm），把点 M 代入 yx+得到，+mm（m1）+，解得 m 如图 5 中，当 NMNB1时，同法可得 M（m1，+m），把点 M 代入 yx+得到，（+m）（m1）+，解得 m4，综上所述，C1的横坐标为：或或或 4 10解：（1）将 B（3，0），C（0，3）代入 yx2+bx+c 得：，解得，抛物线的解析式为 yx2+2x+

36、3，在 yx2+2x+3 中，令 y0 得x2+2x+30，解得 x3 或 x1，A（1，0），答：抛物线的解析式为 yx2+2x+3，点 A 的坐标是（1，0）；（2）在 y 轴上存在一点 E，使得BDE 是以 BD 为斜边的直角三角形，理由如下：如图：A（1，0），C（0，3），线段 AC 的中点 D（，），设 E（0，t），又 B（3，0），BED90，BE2+DE2BD2，即（30）2+（0t）2+（0+）2+（t）2（3+）2+（0）2，化简整理得：2t22t30，解得 t或 t，E 的坐标为（0，）或（0，）；（3）B（3，0），C（0，3），BC 的解析式为：yx+3，作直线 m

37、BC，如图：设直线 m 的解析式为：yx+n，当直线 m 与抛物线只有一个公共点时，这个公共点即为 P，此时 PQ 最大，由x+nx2+2x+3 得 x23x+n30，（3）241（n3）0，n，此时 x23x+30，解得：x1x2，P（，），过 P 作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M，sinCBO，MNBM，PM+BM 最小即是 PM+MN 最小，而 PNx 轴，P、M、N 共线，PM+BM 最小值即是 PN 的长，PM+BMPM+MNPN，即 PM+BM 的最小值是 11解：（1）因为 yx2+x+5（x5）（x+），A（，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为 x2，由 B

38、、C 坐标可求得直线 BC 的解析式为 yx+5，令 x2，则 y2+53，D（2，3），CDCD4 设 E（m，m2+m+5），则 F（m，m+5），EFyEyFm2+m+5+m5m2+m（m）2+，当 m时，EF 取得最大值，此时 E（，）如图 1，作平行四边形 ECDE，则 ECED，E（，）作 DGOB 于 G，EHOB 于 H tanCBO，所以CBO30，DGDB，EC+CD+DBCD+ED+DGCD+EH，当且仅当 E、D、G 三点共线时，EC+CD+DB 取得最小值 CD+EH4+（2）如图 2，APQ 是等边三角形，此时 Q 与 B 重合，等边三角形的边长为 AQAB6 如图

39、 3，APQ 是等边三角形，此时 Q 与 B 重合，P 在 x 轴下方 等边三角形的边长为 AQAB6 如图 4，APQ 是等边三角形，此时 Q 与 C 重合，P 在 x 轴上方 等边三角形的边长为 AQAC2 如图 5，APQ 是等边三角形，此时 Q 在第三象限，P 在 x 轴下方 PAPBPQ，所以 A、Q、B 三点在以 P 为圆心 PA 为半径为圆周上，ABQAPQ30，直线 BQ 的解析式为 yx5，联立方程组，解得或（舍），Q（2，7），AQ2，即等边APQ 的边长为 2 综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2 12解：（1）yx2+（m2）x 一 2m（x2）（x+

40、m），令 y0，则 x2 或 xm，m0，m0，A（m，0），B（2，0），AB2+m，令 x0，则 y2m，C（0，2m），ABC 的面积为 8，（2+m）（2m）8，解得 m2 或 m4（舍）；（2）当 m2 时，yx24，的横坐标为 t，T（t，t24），过点 C 作 EFx 轴，过点 T 作 TFEF 交于 F 点，过点 C 作 CDCT 交直线 AT 于点 D，过点 D 作 DEEF 交于 E 点，DCT90，DCE+TCF90，DCE+CDE90，TCFCDE，CEDTFC，ATC60，C（0，4），CFt，TFt2，DEt，CEt2，D（t2，t4），设直线 AT 的解析式为 y

41、kx+b，解得，y（t2）x+2t4，t4（t2）（t2）+2t4，（t1）2；（3）过点 B 作 BGAC 交于 G 点，交 y 轴于点 P，A、B 关于 y 轴对称，APBP，GBA+BACACO+CAO90，ABGACO，AO2，CO4，AC2，sinACO，CPGP，CP+AP（CP+AP）（GP+AP）BG，cosACO，BG，CP+AP 的最小值为 8，tanACO，OP1，P（0，1）13（1）证明：ABAD，ADBACD DAECAD，AEDADC（2）解：AEDADC，GH 为O 的直径，GHAC，AFFCAC ABAD，AFAB，ABADAF，AC2AD AE1，AD2 A

42、B2，AC4 ECACAE3 ABAD，ACBACD BDCBAC，DECABC BCCDACEC4312（3）解：AE1，EF2，ABADAFAE+EF3 AEDADC，AC3AD9 CEACAE8 CADCBD，CEBDEA，AEDBEC DE，BC3x ABDACD，AEBDEC，AEBDEC DC BCD 的周长BC+CD+BE+DE3x+x+4x+BC 为O 的直径，BAC90 BC3 BCD 外接圆半径为 在 RtABE 中，BE 由的结论可得：DE，CD，BCD 的周长4+，BDBE+DE 设BCD 内切圆半径为 r，BCD 的周长rBDCD r r BCD 内切圆半径与外接圆半

43、径的比值 14解：（1）设菱形 ABCD 的边长为 a，则 ABADa，ADBC，AEADDEa（2），BEAD，DAB30，BEABa，在 RtABE 中，AE2+BE2AB2，a（2）2+（a）2a2，解得：a2 或 a148（舍去），BC2，BE1，在 RtCBE 中，CE，点 F 是线段 CE 的中点，BFCE；（2）BEDM+EM 证明：如图 2，在 BE 上截取 BNDM，连接 CN，四边形 ABCD 是菱形，CBCD，BCDDAB30，在CBN 和CDM 中，CBNCDM（SAS），BCNDCM，CNCM，BCN+DCN30，DCM+DCN30，即MCN30 MCE15，NCEM

44、CNMCE301515，NCEMCE，在CEN 和CEM 中，CENCEM（SAS），ENEM，BEBN+EN，BEDM+EM；（3）如图 3，过点 C 在直线 AC 的上方作ACK30，分别过点 B、Q 作 BHCK 于点 H，QGCK 于点 G，BH 交 AC 于点 Q，连接 BG，则 QGQC，B、D 关于直线 AC 对称，QBQD，QB+QC+QDQC+2QB2（QC+QB）2（QG+QB），当点 Q 与 Q重合时，QG+QB 的值最小，当点 Q 与 Q重合时，QG+QBQH+BQBH 当点 Q 与 Q不重合时，QG+BQBGBH 四边形 ABCD 是菱形，BCD30，BCABCD15

45、，又ACK30，BCKBCA+ACK45，BHC90，BCAB2，BH2，即 QG+QB 的最小值是 2 QB+QC+QD 的最小值是 4 15解：（1）AB 是O 的直径，ABC90，ACBC，ABC 是等腰直角三角形，CAB45，AB4，BCABsin454；（2）连接 AD、CM、DB、FB，如图：ABC 是等腰直角三角形，四边形 CDEF 是正方形，CDCF，DCFACB90，ACD90DCBBCF，又 ACBC，ACDBCF（SAS），CBFCAD，CBF+ABC+ABDCAD+ABC+ABD DAB+CAB+ABC+ABD DAB+45+45+ABD，而 AB 是O 的直径，ADB

46、90，DAB+ABD90，CBF+ABC+ABD180，D、B、F 共线，四边形 CDEF 是正方形，DCF 是等腰直角三角形，M 是 DF 的中点，CMDF，即CMB 是直角三角形，N 是 BC 的中点，MNBC2，即 MN 为定值；（3）以 A 为圆心，AP 为半径作圆，在 AC 上取点 M，使 AM1，连接 PM，过 M 作 MHAB 于 H，连接 BM 交A 于 P，如图：一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，Q 运动时间 t+BP，AM1，AP2，ACBC4，又MAPPAC，MAPP

47、AC，PM，+BP 最小，即是 PM+BP 最小，此时 P、B、M 共线，即 P 与 P重合，t+BP 最小值即是 BM 的长度，在 RtAMH 中，MAH45，AM1，AHMH，AB4，BHABAH，RtBMH 中，BM5，点 Q 的运动时间 t 的最小值为 5 16解：把 x5 代入 yx+，解得 y3，D（5，3），把 D（5，3）代入 yax22ax8a，解得 a，抛物线的解析式为；（2）设直线 BD 与 y 轴交于点 E，E（0，），由可得 A（2，0），B（4，0），C（0，），由 SBCDSABP，CE|xBxD|AB|yP|，（）（4+5）（4+2）|yP|，|yP|，yP，抛

48、物线的顶点为（1，），yP，P 点坐标为或；（3）存在点 F，使得 2AF+DF 的值最小，理由如下：过点 D 作 DM 平行于 x 轴，故BDM30，过 F 作 FHDM 于 H，sin30，HFDF，2AF+DF2（AF+DF）2（AF+HF）2AH，当 A、F、H 三点共线时，即 AHDM 时，2AF+DF 取最小值，A（2，0），F（2，2），D（5，3），AH3，2AF+DF 的最小值为 6 17解：（1）令 x0，则 y5，C（0，5），令 y0，则 x1，A（1，0），将点 A（1，0），C（0，5）代入 yx2+bx+c，得，yx26x+5；（2）设 M（m，m26m+5），令

49、 y0，则 x26x+50，解得 x5 或 x1，B（5，0），AB4，SABC4510，ABM 的面积等于ABC 面积的，SAMB64（m26m+5），解得 m2 或 m4，M（2，3）或 M（4，3）；（3）将点 B 绕 A 点顺时针旋转 90到 B，连接 AB，PB，BD，BAD+BAD90，PAB+BAD90，BADPAB，ABAB，PAAD，ADBAPB（SAS），BPBD，PB2，BD2，D 在以 B为圆心，2 为半径的圆上运动，B（5，0），A（1，0），B（1，4），BF2，F（7，0），BF2，DF 的最大值为 2+2，DF 的最小值为 22，22DF2+2 18解：（1）在

50、 yx26x+7中，令 y0 得：x26x+70，解得 x7 或 x1，A（7，0），B（1，0）；（2）过 P 作 PNx 轴于 N，交 AC 于 M，如图：抛物线 yx26x+7的对称轴为直线 x3，在 yx26x+7中，令 x0 得 y7，C（0，7），AC7，sinCAB，在 RtAMN 中，MNAMsinCABAM，PM+AM 最小，即是 PM+MN 最小，由垂线段最短可知 PM+AM 的最小值即为PN 的长，点 P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线 x3 对称，PN 与 OC 关于抛物线 yx26x+7的对称轴直线 x3 对称，P（6，7），PNOC7，即 PM+AM 的最小值为