2023年高考数学真题与模拟训练专题09 平面向量试题含解析.doc

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1、2023年高考数学真题与模拟训练2023年高考数学真题与模拟训练专题9 平面向量第一部分 真题部分一、选择题1（2021浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件2（2021全国高考真题）已知为坐标原点，点，则（ ）ABCD3（2020全国高考真题（理）已知向量 ，满足，则（ ）ABCD4（2020全国高考真题（文）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（ ）ABC D5（2019全国高考真题（文）已知非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD6（2018浙江高考真题）已知、是平面向量，是单位向量若非零向量与

2、的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）ABC2D二、填空题7（2021天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_8（2021北京高考真题），则_；_9（2021全国高考真题（理）已知向量若，则_10（2021全国高考真题）已知向量，_11（2021全国高考真题（理）已知向量，若，则_12（2020浙江高考真题）设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为_13（2019江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.14（2019天津高考真题（文） 在四边

3、形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.15（2019上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为_16（2021江苏高考真题）已知向量，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，所对的边分别为，若，求的面积.第二部分 模拟训练1已知，若，则（ ）ABC2D2在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）ABCD3设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为（ ）ABCD4如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）ABCD5在中，与的夹角为，则_6已知向量，则实数_.7已知向量的模长为1，平面向量

4、满足：，则的取值范围是_.8已知平面内非零向量，满足，若，则的取值范围是_.9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小；（2）若点D是BC的中点，且，求ABC的面积的最大值.10已知向量，.（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.11已知函数.（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值专题9 平面向量第一部分 真题部分一、选择题1（2021浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【

5、解析】若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件故选：B.2（2021全国高考真题）已知为坐标原点，点，则（ ）ABCD【答案】AC【解析】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC3（2020全国高考真题（理）已知向量 ，满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，.，因此，.故选：D.4（2020全国高考真题（文）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（ ）ABC D【答案】D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本

6、选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.5（2019全国高考真题（文）已知非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD【答案】B【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B6（2018浙江高考真题）已知、是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）ABC2D【答案】A【解析】设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.二、填空题7（2021天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E且交AC于点F,则的值为_；的最小值为_【答案】1 【解析】设，为边长为1的等边三角形，为边长为的

7、等边三角形，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.8（2021北京高考真题），则_；_【答案】0 3 【解析】，.故答案为：0；3.9（2021全国高考真题（理）已知向量若，则_【答案】.【解析】,，解得,故答案为：.10（2021全国高考真题）已知向量，_【答案】【解析】由已知可得，因此，.故答案为：.11（2021全国高考真题（理）已知向量，若，则_【答案】【解析】因为，所以由可得，解得故答案为：12（2020浙江高考真题）设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为_【答案】【解析】，.故答案为：.13（2019江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，A

8、D与CE交于点.若，则的值是_.【答案】.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.14（2019天津高考真题（文） 在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为由得，所以所以15（2019上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为_【答案】【解析】由题意：，设，因为，则与结合 ，又 与结合，消去，可得：所以本题正确结果：16（2021江苏高考真题）已知向量，设

9、函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，所对的边分别为，若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以函数当时，（2）为锐角三角形，. 又 即 第二部分 模拟训练1已知，若，则（ ）ABC2D【答案】D【解析】，则，故选：D.2在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设，所以，所以，所以，所以，所以，又，故选：B.3设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，是直线的一个方向向量，则，是直线的一个法向量，则，故，故选：C.4如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，

10、点是线段的中点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意，故选：B5在中，与的夹角为，则_【答案】【解析】解：.故答案为: .6已知向量，则实数_.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，则，所以，整理得，解得.故答案为：.7已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意知：不妨设，则根据条件可得：，根据柯西不等式得：因为， ，当且仅当时取等号；令，则，又，则，所以，当时，即；，而，所以当时，即，故的取值范围是.8已知平面内非零向量，满足，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】，又，的夹角为，建立如图所示直角坐标系，设，则，设，则点C在以为圆心，1为半径的圆上，的取

11、值范围转化为圆上的点到定点的距离的范围，圆心到点的距离为，的取值范围为.故答案为：9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小；（2）若点D是BC的中点，且，求ABC的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得（2）,当且仅当时，等号成立.故ABC的面积的最大值是10已知向量，.（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.【答案】（1）最大值为，；（2）.【解析】（1），的最大值为，此时，即，；（2），当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最大值.11已知函数.（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值

12、范围；（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1），又，所以，则，所以在区间上的值域为.由可得，所以，即；（2）由，即，可得，则或，解得或由，即，所以，则，由余弦定理，得，由三角形的面积公式可得，即所以所以边上的高长的最大值为.专题10 等差数列第一部分 真题部分一、选择题1（2021北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，则（ ）ABCD2（2021北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，则的最大值为（ ）A9B10C11D123（2020浙江高考真题）已知等差数列an的前n项和Sn，公差d0，记b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，下列等式不可能成

13、立的是（ ）A2a4=a2+a6B2b4=b2+b6CD4（2019全国高考真题（理）记为等差数列的前n项和已知，则ABCD二、填空题5（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，成等差数列，则的值是_.6（2020海南高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_7（2020全国高考真题（文）记为等差数列的前n项和若，则_8（2019江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.9（2019全国高考真题（理）记Sn为等差数列an的前n项和，则_.三、解答题10（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比

14、大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明11（2021全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值12（2021全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.13（2021全国高考真题（理）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分14（2021全国高考真题（理）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（

15、2）求的通项公式15（2019江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值16（2019北京高考真题（文）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值第二部分 模拟训练1若数列为等差数列，且，则（ ）ABCD2记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，

16、则实数k的取值范围是（ ）ABCD3已知为等差数列的前项和，则下列数值中最大的是（ ）ABCD4在正项等比数列中.满足=.则（ ）A4B3C5D85已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和_.6数列的前项和为，数列满足，则数列的前10项和为_7设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为_.8已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为_.9设等差数列的前n项和为，首项，且.数列的前n项和为，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.10已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）

17、设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和11已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，设是的前项之和，求的最大值.专题10 等差数列第一部分 真题部分一、选择题1（2021北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.2（2021北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，则的最大值为（ ）A9B10C11D12【答案】C【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，所以n的最大值为11.故选：C.

18、3（2020浙江高考真题）已知等差数列an的前n项和Sn，公差d0，记b1=S2，bn+1=S2n+2S2n，下列等式不可能成立的是（ ）A2a4=a2+a6B2b4=b2+b6CD【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，A正确；对于B，由题意可知，根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，当时，C正确；对于D，当时，即；当时，即，所以，D不正确故选：D.4（2019全国高考真题（理）记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，故选A二、填空题5（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，成等差数列，则的值是_

19、.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，成等差数列，所以，有，解得.故答案为：.6（2020海南高考真题）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.7（2020全国高考真题（文）记为等差数列的前n项和若，则_【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.

20、8（2019江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.9（2019全国高考真题（理）记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以三、解答题10（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（

21、i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.11（2021全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.12（2021全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【

22、解析】（1）由题设可得又， 故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.13（2021全国高考真题（理）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】答案见解析【解析】选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上

23、可知为等差数列.14（2021全国高考真题（理）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.15（2019江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和

24、求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n；5.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0

25、f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为516（2019北京高考真题（文）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值【答案】（）；（）.【解析】（）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（）由（）知,所以；当或者时，取到最小值.第二部分 模拟训练1若数列为等差数列，且，则（ ）ABC

26、D【答案】C【解析】故选：C2记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是故选：C3已知为等差数列的前项和，则下列数值中最大的是（ ）ABCD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，解得，可得是单调递增数列，所以在，中，最大的为故选：D.4在正项等比数列中.满足=.则（ ）A4B3C5D8【答案】A【解析】由题意得公比，首项，由，可得，解得,故选：A

27、.5已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和_.【答案】【解析】，当时，当时，满足，当为偶数时，当为奇数时，.故答案为：6数列的前项和为，数列满足，则数列的前10项和为_【答案】65【解析】由知：，则，得，而，故数列的前10项和为，故答案为：65.7设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为_.【答案】【解析】设，由题意成等比数列，所以，也成等比数列，所以，所以，所以，所以，设，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，又，所以的最小值为45即的最小值为45故答案为：458已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项

28、和，则的最大值为_.【答案】【解析】由题意，函数，当时，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以， 当时，此时函数的最大值为，所以，当时，当时，所以的最大值为.故答案为：.9设等差数列的前n项和为，首项，且.数列的前n项和为，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】解：（1）设数列的公差为d，且，又，则，所以，则；由可得，两式相减得，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）设，记的前n项和为.则，两式相减得：，所以.10已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项

29、和为，且，令，求数列的前项和【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，；当时，由，得，得，也符合，因此，数列的通项公式为；（2）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，；由（1）知，故11已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，设是的前项之和，求的最大值.【答案】（1） ；（2），；（3）【解析】（1）若且，所以，即，当成等差数列时，所以，解得： ；（2），令可得，即，令可得，即所以，因为，所以，解得，由可得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， ，以上式子累乘得：，所以，（3）由可得，所以，因为，所以，即，所以， 因为，

30、所以，所以，因为，所以即，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.专题11 等比数列第一部分 真题部分一、选择题1（2021浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2（2021全国高考真题）设正整数，其中，记则（ ）ABCD【答案】ACD【解析】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，取，而，则，即，B选项错误；对于C选项，所以，所以

31、，因此，C选项正确；对于D选项，故，D选项正确.故选：ACD.3（2020全国高考真题（文）设是等比数列，且，则（ ）A12B24C30D32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.4（2020全国高考真题（理）数列中，若，则（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得.故选：C.5（2019全国高考真题（理）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C二、填空题6（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且

32、，成等差数列，则的值是_.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，成等差数列，所以，有，解得.故答案为：.7（2019全国高考真题（理）记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以8（2020江苏高考真题）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列an+bn的前n项和，则d+q的值是_【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：三、解答题9（2021天津高考真题）已知是公差为2的等差

33、数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.10（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，

34、当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.11（2021全国高考真题（文）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.12（2021江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）

35、；（3）【解析】（1）由，得，又，是首项为3，公比为3的等比数列. （2），.（3）.13（2020山东高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.14（2020全国

36、高考真题（文）设等比数列an满足，（1）求an的通项公式；（2）记为数列log3an的前n项和若，求m【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以，15（2020全国高考真题（理）设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，由得：，

37、即.16（2020全国高考真题（理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.17（2019上海高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1）， ，由周期性可知，以为周期进行循环（2），恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，集合，符合题意； 当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取，符合条件 当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取，符合条件当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，如图取时，符合条件当时，或因为为公差的等差数列，故 又，故当时，因为对应个正弦值，故