2023届高考数学专项练习高分突破智取压轴小题07 与三角形相关的范围问题含答案.doc

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1、2023届高考数学专项练习与三角形相关的范围问题一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解二解题策略类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决【例1】在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）ABCD【来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第二次适应性检测数学试题【答案】A【解析】由余弦定理知：在中，有，在中，有，则，由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，故，在三角形中

2、，易知，当且仅当时等号成立，此时，故，故选：A.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.【例2】（2020广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值【详解】在中，设，在中，由余弦定理，可得，由，当且仅当时取等号，即有，由于 则，利用余

3、弦定理可得：，化简得：，又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ，在中，由正弦定理可得：，即：，则，由于 ，即所以的面积 当时，取最大值1，所以的面积的最大值为【例3】（2020湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.【详解】由题得，由基本不等式得又因为，所以所以,所以，所以，.此时，故答案为1【举一反三】1（2020安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，则周长的取值范围是ABCD【答案】B【解析】是和的等差中项，又，则，从而

4、，所以的周长为，又，故选B2若是垂心，且，则（ ）ABCD【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题【答案】D【解析】在中，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.3（2020山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,则的面积的最大值为_【答案】【解析】分析：由,可知为直角三角形，设设BAD=，则，从而，求二次函数的最值即可.详解：由,可知为直角三角形，其中ACB=90，设BAD=，AB=2r，则，在中，即，令t=，则当，即时，的最大值为类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题【例1

5、】已知分别为椭圆：的左右顶点，为椭圆上一动点，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，令得，即，则设与的外接圆的半径分别为，由正弦定理得：，又，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为故选：A【例2】（2020江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本

6、不等式求解出最小值.【详解】由正弦定理可得：得：，即又令，得：为锐角三角形 得：，即 当且仅当，即时取等号【例3】（2020湘赣十四校联考）在中，角，的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】 又 又，当且仅当时取等号 设，即当时，恒成立设则可知 可得：【举一反三】1在中，已知，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.A9BCD【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题【答案】C【解析】因为，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因为为线段上的点（点不与点，点重合），所以，根据

7、题意得 所以所以，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：C.2在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（ ）ABC3D2【答案】A【解析】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，.由于，两边平方，得，当且仅当时取等号，即，线段长度的最小值为.故选：A.3（2020河南高考模拟）在中，角，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_【答案】 【解析】由题得由题得所以,当且仅当时取等号.所以的最大值为,故填点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点三强化训练1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形的内角，的对边分别为，已知，则周长的最大

8、值为（ ）A B C3 D4【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）中，角、所对的边分别为、，且满足，则面积的最大值是 （ ）A B C D【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在中，即，即，因为，所以，在中，由余弦定理可知，且，即，当且仅当时，等号成立，即，所以的最大面积为，故选A.3（2020山东高考模拟）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若， ，

9、, ， ， ,由正弦定理得，即 ，则b的取值范围为,故选C.4设锐角的三个内角.的对边分别为.，且，则周长的取值范围为（ ）ABCD【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标卷）【答案】C【解析】为锐角三角形，且，又，又，由，即，令，则，又函数在上单调递增，函数值域为，故选：C5（2020安徽省定远中学高考模拟）已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，.又，.又在锐角中, ,，当且仅当时取等号，故选A. 6、（2020山西省高考模拟） 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（ ）A2BC3D【答案】A【解析】因为的面积

10、为，所以 整理得，即， ，因为 ，所以 又因为周长为6，所以 ，即 所以 ， ，所以的最小值是2，故选A7、（2020陕西省汉中市质检）在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（ ）A B C2 D【答案】D【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.8.（2020湖南省湘潭市模拟）分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，

11、即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，则，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.9（2020山东高考模拟）曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为ABCD【答案】C【解析】【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线yx求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为则直线l方程为，即，可求直线l与yx的交点为A（），与y轴的交点为，在OAB中，当且仅当22时取等号由正弦

12、定理可得OAB得外接圆半径为，则OAB外接圆面积，故选：C10已知三棱锥中，平面，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图所示：因为平面，所以当的面积最大时，此时三棱锥的体积最大.设，则，所以.所以，当，即时，最大.当时，则.将三棱锥放入直三棱柱中，分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为，则的中点为直三棱柱外接球球心，设外接球半径为，如图所示：根据正弦定理，解得，所以.故外接球体积.故选：D11锐角的内角，的对边分别为，且，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，可得：，即，因为为锐角三角形，则有，即，解得：.=

13、，当时，原式有最大值，此时，则，即，所以.故选：A.12已知锐角三角形的内角，的对边分别为，.且， 则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C13若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）A1BCD2【来源】福建省宁德市2020届高三毕业班6月质量检查理科数学试题【答案】C【解析】的面积，且，根据余弦定理得：，即，可得，则，解得：，即边的最小值为.故选：C.14已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A4BC6D【答案】C【解析】解法一：因为，所以由正弦定理

14、得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，由得，则，所以，因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；解法二：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6故选：C15如图，在平面四边形中，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，在中，由正弦定理得，即整理得，由余弦定理得，因为，所以，在中，由余弦定理得，所以当时，故选：C16已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（ ）AB1C2D【来源】2020届湖南省衡阳市高三下

15、学期第二次模拟数学（理）试题【答案】C【解析】法一：角靠拢，形助兴，整理得：，如图有：由，可得，代入，整理可得：，法二：，得：法三：，得，由正弦定理，得，如图可得：，17（2020甘肃西北师大附中高考模拟）在锐角中，则的取值范围是 【答案】【解析】在锐角中，由正弦定理可得，=在锐角中有，可求得结合余弦函数的图像与性质可得18（2020广东高考模拟）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.19（2020湖

16、南高考模拟）在中，角，的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.【详解】 又 又，当且仅当时取等号 设，即当时，恒成立设则可知 ，可得：20（2020湖北高考模拟）已知分别为的三个内角的对边，已知，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是 【答案】【解析】在中，由，则，要使得三角形有两个，则满足，即， 解得，即实数的取值范围是.21（2020河南高考模拟）在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为 【答案】【解析】【分析】

17、先根据已知得到，再由余弦定理得，再利用函数在上单调递增求出的取值范围.【详解】因为，所以，即，所以，从而，则，因为，所以当时，；当时，又在上单调递增，故的取值范围为.22（2020江苏高考模拟）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先根据，成等差数列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得,所以,所以因为所以故答案为23（2020湖南高考模拟）在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果【详解】设，则：由于，所以：

18、则：，设，所以：，因为当时，当时，所以当时，的最小值为，故的最小值为。 平面向量中范围、最值等综合问题一方法综述 平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质二解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】已

19、知向量，满足，则的最大值为（ ）ABCD【来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题【答案】A【解析】由向量的运算性质有，展开后结合已知条件即得，又令整理可得关于m的不等式，即可求出的最值.【详解】，而，又，而，若令，则，即，可知的最大值为，故选：A【举一反三】1平面上的两个向量和，若向量，且，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，取的中点D，且，如图所示：则，C在以D为圆心，为半径的圆上，的最大值为.故选:B.2.（2020浙江高考模拟）已知平面向量不共线，且，记与 的夹角是，则最大时，（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】把表示为的函数，利用

20、函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值.【详解】设，则，所以.易得，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.3.已知向量满足 与的夹角为,则的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, 与的夹角为,则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）,x2+y2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；圆心到B的距离为,的最大值

21、为【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键类型二 与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为_.来源:学+科+网【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解【解析】由题意知,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,求得,所以.【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解【举一反三】1.已

22、知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【答案】【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以2.非零向量满足=，则的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得，整理得，即，夹角的最小值为.3.已知向量与的夹角为，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是_.【答案】【解析】，,在时取得最小值, 解可得：,则夹角的取值范围类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】（2020天津模拟）设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )A. B. C. D. 来源:Z#xx#k.Com【答案】D当时， 当故当时， 取得最小值为，即当时， ，即，综上所述故答案选【举一反三】设，且，则

23、向量在上的投影的取值范围（ ）ABCD【来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（理）试题【答案】A【解析】因为，建立以点为原点的直角坐标系，设，则，即有设向量与的夹角为，所以向量在上的投影为当时，；当时，由可得，即，所以；当时，由可得，即，所以综上可知，向量在上的投影的取值范围为故选：A2（2020北京高考模拟）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且BAC=，BC=1，P为BC中点过点P作PQBC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）ABCD【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个

24、定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选C类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例4】（2020天津高考模拟）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.【详解】由题意知：，设

25、以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，设 则， 当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.【举一反三】1（2020四川高考模拟）已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】【详解】如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,当点在边上时,设点,则 的最大值为;

26、当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, ,的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A.2、（2020辽宁省鞍山市高三一模）中，且，则的最小值等于ABCD【答案】C【解析】由题意知，向量，且，可得点D在边BC上，所以，则，即，所以时以C为直角的直角三角形如图建立平面直角坐标系，设，则，则，当时，则最小，最小值为故选：C3如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是ABCD【答案】A【解析】如图，先将C视为定点，设CAB，0，），则AC=2cos，连接CB，则CBAC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，

27、且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cos, cos，最大为2cos,当且仅当cos=时等号成立，即=， 的最大值为.故选A.类型五 平面向量系数的取值范围问题来源:学+科+网【例5】（2020河南高考模拟）在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，若，则的最小值为（ ）A3B4CD【答案】A【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值. 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A.【点睛】：考查向量减法的几何意义

28、，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用。【举一反三】1（2020安徽高考模拟）已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，则的最小值是( )ABCD【答案】D【解析】如图 三点共线， 是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立，故选D2在中，已知，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）A9BCD【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题【答案】C【解析】因为，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因为为线段上的点（点不与点，点重合），所以，根据题意得 所以

29、所以，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：C.3.（2020云南省昆明市云南师范大学附属中学）已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为ABCD【答案】C【解析】解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系：则，设， ,则由得，化简得：，又，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C类型六 平面向量与三角形四心的结合:学+科+网【例6】（2020吉林高考模拟）如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）CMNABGQA2 B C D【答案】C【解析】由题意得：,又,所以，因此，当且仅当时取等号，所以选C【指

30、点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决【举一反三】1.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为 【答案】52已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【解析】因为则,即移项可得即则因为 所以化简可得,即设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量所以,则所以则

31、在的角平分线上同理可知 在的角平分线上因而为的内心故选:B3.（2020大连模拟）已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】O是锐角ABC的外心，O在三角形内部，不妨设锐角ABC的外接圆的半径为1，又，|=| |，可得=+2mn，而=|cosA0B|=1.1=+2mn+2mn， 1，如果 1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形， 1，故选：C.三强化训练1已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）ABCD【答案】D【解析】建立直角坐标系如图：则A（0，2），B（2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（x，2y），=（2x，

32、y），=（2x，y），所以（+）=x（2x）+（2y）（2y）=2x24y+2y2=2x2+（y）23；所以当x=0，y=时，（+）取得最小值为2（3）=6故选：D2已知向量满足，设，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，不妨设，设，整理可得，则在以为圆心，半径的圆上，设，又，则，则可得或，将代入可得，则在以为圆心，半径的圆上，则可得，同理，若，则可得，则由于对称性，可得最大值也为，综上，的最大值为.故选：D.3（2020山东高考模拟）如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，设，则，所以，所以，则当时，取

33、得最小值，故选B4（2020河北高考模拟）已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】的轨迹为圆，考虑该圆和直线有公共点（即相交或相切）可得实数的取值范围.【详解】设，则 由得，因在直线上，故圆心到直线的距离，故，故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧5（2020浙江高考模拟）如图，在中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意求出x

34、,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x，y均为正，设，共线， ，则，则的最小值为，故选D.6、（2020宁夏六盘山一模）如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设，则因为所以 则 所以的最大值为 所以选B7（2020山东高考模拟）已知ABC中，点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A2BCD【答案】D【解析】【分析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值【详解】以BC

35、的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为故选D8（2020四川高考模拟）已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】圆：，圆：，动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ，由题意得 则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆，其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ，选A.9（2020天津市滨海新区高考模拟）已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】用表示出，用表示出，然后表示出，代入，得到关于的函数，求出其最大值，令最大值等

36、于，从而求出的值.【详解】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.10（2020黄陵中学高考模拟）如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，当点在线段上时，当在四边形内（含边界）时，（），又，作出不等式组（）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，即，故选C.11已知向量，满足，若，且，则的最大值为（ ）A3B2CD【来源】2021年新高考

37、测评卷数学（第六模拟）【答案】D【解析】如图:令，则，故.因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.因为，所以，即，所以.结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D12若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）ABCD【来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题【答案】A【解析】如图设的外接圆圆心为O，的边，的外接圆半径为2，为正三角形，且，则，故选：A13已知的边，的外接圆半径为2，则的取值范围是（ ）ABCD【来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺数学试题（5）【答案】A【解析】如图设的外接圆圆心为，的边，的外接圆

38、半径为2，是等边三角形.则，其中，则，于是，故选：A14均为单位向量，且它们的夹角为45，设，满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系均为单位向量，且它们的夹角为45，则，设满足 ，设,故 ， 则，则的最小值为圆上的点到直线距离的最小值其最小值为故选:C.15在中，点，为所在平面内的一点，且满足，若，则的最大值为（ ）ABCD【来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） 文科数学全国卷II试题【答案】A【解析】由题意，以原点，所直线为轴，轴建立直角坐标系，则，设，因为，所以点满足，则可设点，则由，得，所以，则的最大值为.故

39、选：A.16如图，在中，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）A0BCD【来源】江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题【答案】C【解析】如图所示，作，可得，即，利用向量的三角形法则，可知若与O重合，则若在O左侧，即在上时, 若在O右侧，即在上时，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）故选：C.17若是垂心，且，则（ ）ABCD【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题【答案】D【解析】在中，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.18如图，在平面四边形中，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）A1BCD2【答案】B【解析】以为原点建立如图所示平面直角.依题意，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理