2023届高考数学专项练习高分突破智取压轴小题13 与球相关的外接与内切问题含答案.doc

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1、2023届高考数学专项练习与球相关的外接与内切问题一方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.（3）球自身的对称性与多面体的对称性；二解题策略 类型一 柱体与球【例1】（2020河南高三（理）已知长方体的表面积为，则该

2、长方体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题意得出，由这两个等式计算出，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，所以，故外接球半径，因此，所求长方体的外接球表面积.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.【举一反三】1.（2020河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径，外

3、接球的表面积.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.2.（2020安徽高三（理）已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为,外接球的半径为，则，所以

4、，所以外接球的表面积为，故选：.【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3（2020河南高三（理）有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：）A个B个C个D个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满

5、足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球故选：类型二 锥体与球【例2】5已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为，则正四面体的体积为_【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题【答案】【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高，体高，在和中，即，【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为_【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD

6、BC，设等边三角形ABC的中心为O，则，即再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：2（2020宁夏育才中学）九章算术是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，则，解得，又，解得，外接球的半径为，外接球的体积为3（2020贵阳高三（理）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面

7、平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】过作，交于，取的中点，连接，取的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点，可证为外接球的球心，利用解直角三角形可计算【详解】如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点因为为等边三角形，所以因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因平面，故 又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故，因，故平面在中，因，故，故平面，同理平面因为正方形的中心，故球心在直线上，因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径在中，故，所以球的表面积为类型三 构造法（补形法）【例3】已知

8、三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】平面，将三棱锥补成长方体，如下图所示：设，连接、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，则为的中点，所以，且，设，且，所以，球的半径为，在中，在中，由余弦定理可得，平面，平面，平面，则，设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则.当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即.由题意可得，解得.所以，因此，球的表面积为.故选：B.【

9、举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为ABCD【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3（2020贵州高三月考（理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】

10、【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体中，取棱的中点分别为，则该几何体为四棱锥，其体积为.故选：类型四 与球体相关的最值问题【例4】（2020福建高三期末（理）在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.【详解】解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知，则.又正三棱锥的体积，则，令，则或（舍去），函数在上单调递增，在上单调递减，当

11、时，V取得最大值，故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高.【举一反三】1.（2020广东高三（理）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的

12、体积为.特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2（2020遵义市南白中学高三期末）已知，四点在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据,可得直角三角形的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,设小圆的圆心为, 由于底面积不变,高最大时体积最大,所以与面垂直时体积最大，最大值为为，即,如图,设球心为,半径为，则在直角中,即,则这个球的表面积为,故选C.3（2020河南高三（理

13、）菱形ABCD的边长为2，ABC60，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥DABC体积最大时，其外接球表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到和，计算得到答案.【详解】易知：当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大.如图所示：为中点，连接，外接球球心的投影为是中心，在上， ，设半径为，则，解得： ，表面积 故选：D三强化训练一、选择题1（2020广西高三期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，

14、多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，由题意可知面交于，连接，则且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为.设外接球的半径为R，由得.设正三棱锥的高为h，因为，所以.因为底面的边长为a，所以，则正三棱锥的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥的表面积，故选：A.2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为故选：C3（2020安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个

15、凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（ ）ABCD【答案】B【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为则,即故选：B4（2020北京人大附中高三）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由四边形为矩形，得，又，且，平面，则平面平面，设三角形的外心为，则.过作底面，且，则.即四棱锥外接球的半径为四棱锥外接球的表面积为.故选B5（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，

16、平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形所以，在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，则：，故选：C6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高

17、分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.7（2020江西高三期末（理）如图，三棱锥的体积为，又，且二面角为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】因，所以平面，且为二面角的平面角，又，由勾股定理可得，因为，所以三棱锥的体积，解得，又为锐角，所以，在中，由余弦定理得，即，则，故，由平面得，故平面，即，取中点，在直角和直角中，易得，故为外接球球心，外接圆半径，故外接球的表面积.故选：A.8（2019湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体

18、的三条棱长，上面的四棱锥中，则过五点、的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥的外接球的表面积，所以外接圆的半径为，由于平面，则平面，平面，所以平面平面，所以外接球的所以9三棱锥PABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（ ）A3BCD【答案】B【解析】设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，则，因为，所以，因为，所以当时，当时，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.10（2019河北高三月考）在平面四边形ABCD中，ABBD，BCD=30，若将ABD

19、沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )A4B5C6D8【答案】C【解析】取中点，设的外心为，连，则分别过作的平行线，交于点，即，为的外心，平面平面，平面，平面，平面，同理平面，分别为，外心，为三棱锥的外接球的球心，为其半径,，.故选:C11（2020梅河口市第五中学高三期末（理）设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，由题意得，解得.记，由余弦定理，得，当且仅当时取等号所以且平面底面时，三棱锥的体积最大.分别过和的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心，设和的外

20、接圆半径分别为，球的半径为，则，.故，球的表面积为.故选：A.12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，且，把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，外接球的表面积为故选：C13已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为（ ）A

21、BCD【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题【答案】A【解析】过三点作球的截面，如图：设该截面与棱交于，则，又，所以平面，所以，所以，依题意得，所以四点共圆，且为该圆的直径，因为，所以也是该圆的直径，所以四边形的对角线与的长度相等且互相平分，所以四边形为矩形，又，所以该矩形为正方形，所以，即圆的半径为，所以圆的表面积为.故选：A14已知点在半径为2的球面上，满足，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，设为中点，连，如图，则，且在上，设外接圆半径为，解得，要使体积的最大，需到平面距离最大， 即为的延长线

22、与球面的交点，最大值为，所以三棱锥体积的最大值为故选：A15已知半球与圆台有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图1所示，设，作于点，延长交球面于点，则，由圆的相交弦定理及图2得，即，解得，则圆台侧面积，则，令，则或（舍去），当时，当时，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值当时，则在轴截面中，为圆台母线与底面所成的角，在中可得，故选：D16（2020重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为 【答案】【解析】设圆柱的底面直径为

23、，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球的直径为，半径为，其体积为.17（2020江西高三）半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为 【答案】【解析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为的正四棱柱

24、的外接球，,该二十四等边体的外接球的表面积.18（2020福建高三期末（理）在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，若平面交于点，四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则球半径为 【答案】【解析】如图1，三点共线，连结从而平面，则与的交点即为点，又与相似，所以；如图2，设的外接圆圆心为，半径为，球半径为，在中，由正弦定理得，所以，在中，解得，即，所以所求的球的半径为.19（2020黑龙江高三（理）设是同一个半径为4的球的球面上四点，在中，,则三棱锥体积的最大值为 【答案】【解析】中，,，则， ， 当时等号成立，此时 20（2020河北承德第一中学高三）正三棱锥SABC的外接球半径为2，底边长A

25、B3，则此棱锥的体积为 【答案】或【解析】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以 当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图此时有 ，即，可解得h=3因而棱柱的体积 当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图 有，即，可解得h=1所以，综上，棱锥的体积为或21（2020江西高三（理）已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为 【答案】【解析】如下图，由题意，取的中点为，则为三角形的外心，且为在平面上的射影，所以球心在的延长线上，设，则，所以，即，所以.故，过作于，设

26、()，则,设，则，故，所以，则，所以的面积，令，则，因为，所以当时，即此时单调递增；当时，此时单调递减所以当时，取到最大值为，即的面积最大值为当的面积最大时，三棱锥体积取得最大值为.22已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题【答案】【解析】如下图所示，设，可得出，则球的直径为，球的半径为，设截面圆的半径为，可得，由勾股定理可得，即，即，所以球的半径为，则球的表面积为.23如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为_【答案】【解析】平面，将三棱锥补成长

27、方体，则三棱锥的外接球直径为，所以，设球心为点，则为的中点，连接，、分别为、的中点，则，且，设过点的平面为，设球心到平面的距离为.当时，；当不与平面垂直时，.综上，.设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为.24若正四棱锥的底面边长和高均为8，M为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为_.【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题【答案】【解析】在正四棱锥中M为侧楼PA中点,四棱锥外接球即为棱台的外接球，如图，四棱锥的底面边长和高均为8，,设球心为，则图中均为直角三角形，设，, 都在球面上，,解得,25已知P为球O球面上一点，点M满足，

28、过点M与成的平面截球O，截面的面积为，则球O的表面积为_.【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题【答案】【解析】如图所示：设截面圆心为，依题意得，设，则，又，所以，即球的半径为，所以，又截面的面积为，所以，解得，在中，解得，所以球的半径为，所以球的表面积是，故答案为： 26如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为_.【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】【解

29、析】如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在中, , , , , 解得, ,即 , 所以椭圆离心率为 在中解得,故答案为：27在长方体中，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为_.【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题【答案】【解析】如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，设，圆对应的半径为，根据三角形

30、内切圆的性质，在中，则，又当与重合时，取得最大值，由内切圆等面积法求得，则设圆对应的半径为，同理可得，又，解得.故，设，则，由对号函数性质易知，函数单减，则，即最大值为故答案为：28设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_.【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题【答案】【解析】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，点M为三角形ABC的重心，中，有，所以三棱锥体积的最大值29已知四面体的棱长均为分别为棱上靠近点的三等分点，过三点的平面与四面体的外

31、接球的球面相交,得圆，则球的半径为_，圆的面积为_【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】 【解析】设点A在平面上的射影为，则为的中心，所以，由于为正三角形，故四面体外接球的球心在线段上，设球的半径为，则，即，解得；设在平面上的射影为，则即为过三点的平面截球所得截面圆的圆心设在平面上的射影为与交于点在中，为高的,所以所以由得由球的截面性质得平面，所以截面圆的半径，所以圆的面积为.2023届高考数学专项练习与球相关的外接与内切问题一方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，

32、是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.（3）球自身的对称性与多面体的对称性；二解题策略 类型一 柱体与球【例1】（2020河南高三（理）已知长方体的表面积为，则该长方体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题意得出，由这两个等式计算出，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，所以，故外接球半

33、径，因此，所求长方体的外接球表面积.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.【举一反三】1.（2020河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径，外接球的表面积.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系

34、式，可球的半径.2.（2020安徽高三（理）已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为,外接球的半径为，则，所以，所以外接球的表面积为，故选：.【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3（2020河南高三（理）有一圆柱状有盖铁

35、皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：）A个B个C个D个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球故选：类型二 锥体与球【例2】5已知球O的半径为，以球心O为中心的正四面体的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被的四个面截得的曲线的长度之和为

36、，则正四面体的体积为_【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题【答案】【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高，体高，在和中，即，【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为_【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为，过A作ADBC，设等边三角形ABC的中心为O，则，即再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：2（2020宁夏育才中学）九章算术是我国古代的数

37、学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，则，解得，又，解得，外接球的半径为，外接球的体积为3（2020贵阳高三（理）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】过作，交于，取的中点，连接，取的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点，可证为外接球的球心，利用解直

38、角三角形可计算【详解】如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点因为为等边三角形，所以因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因平面，故 又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故，因，故平面在中，因，故，故平面，同理平面因为正方形的中心，故球心在直线上，因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径在中，故，所以球的表面积为类型三 构造法（补形法）【例3】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】平面，将三棱锥补成长方体，如下

39、图所示：设，连接、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，则为的中点，所以，且，设，且，所以，球的半径为，在中，在中，由余弦定理可得，平面，平面，平面，则，设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则.当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即.由题意可得，解得.所以，因此，球的表面积为.故选：B.【举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,

40、则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为ABCD【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3（2020贵州高三月考（理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体中，取棱的中点分别为，则该几何体为四棱锥，

41、其体积为.故选：类型四 与球体相关的最值问题【例4】（2020福建高三期末（理）在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.【详解】解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知，则.又正三棱锥的体积，则，令，则或（舍去），函数在上单调递增，在上单调递减，当时，V取得最大值，故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高.【举一

42、反三】1.（2020广东高三（理）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2（2020遵义市南白中学高三期末）已知，四点在同一个球的球面上，若