2023届高考数学专项练习微专题 平面向量（解析版）.pdf

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1、微专题平面向量微专题平面向量【秒杀总结】结论【秒杀总结】结论1 1：极化恒等式：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC 2=AC 2=a+b2=a2+2ab+b2(1)DB 2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2 a2+b2=2 AB 2+AD 22.极化恒等式：极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式(1)平行四边形模式：

2、ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14(2)三角形模式：ab=AM2-14DB2(M为BD的中点)结论结论2 2：矩形大法：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA2+OC2=OB2+OD2【证明】【证明】(坐标法坐标法)设AB=a,AD=b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则OA2+OC2=(x2+y2)+(x-a)2+(y-b)2OB2+OD2=(x-a)2+y2

3、+x2+(y-b)2OA2+OC2=OB2+OD22023届高考数学专项练习微专题 平面向量（解析版）结论结论3 3：三点共线的充要条件：三点共线的充要条件设OA、OB、OP 是三个不共线向量，则A、B、P共线存在R使OP=(1-)OA+OB 特别地，当P为线段AB的中点时，OP=12OA+12OB 结论结论4 4：等和线：等和线【基本定理】【基本定理】(一一)平面向量共线定理平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然(二二)等和线等和线平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP，OP=OA+OB(,R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则+=k(

4、定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,+)；(4)当等和线过O点时，k=0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；结论结论5 5：奔驰定理：奔驰定理【奔驰定理】【奔驰定理】若O为ABC内任一点，且OA+OB+OC=0，则SBOC:SAOC:SAOB=:【典型例题】【典型例题】例例1.1.在ABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10，则AB AC=_例例2.2.正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则

5、PA PB 的取值范围是例例3.3.已知圆C1:x2+y2=9与C2:x2+y2=36，定点P(2,0)，A、B分别在圆C1和圆C2上，满足PAPB，则线段AB的取值范围是例例4.4.在平面内，已知 AB1 AB2，OB1=OB2=1，AP=AB1+AB2，若|OP|0)，AC=yAQ(y0)，则1x+1y+1的最小值为()A.34B.1C.43D.44.(2023 全国 高三专题练习)如图，在半径为 4 的扇形 AOB 中，AOB=120，点 P 是 AB上的一点，则AP BP 的最小值为()A.-8B.-3C.-2D.-45.(2023全国高三专题练习)在平面内，定点A,B,C,D满足|D

6、A|=|DB|=|DC|，DA DB=DB DC=DC DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.47+6 34D.37+2 3346.(2023 全国 高三专题练习)ABC 中，AB=2，ACB=4，O 是 ABC 外接圆圆心，是 OC AB+CA CB 的最大值为()A.0B.1C.3D.57.(2023全国高三专题练习)AB为C：(x-2)2+(y-4)2=25的一条弦，AB=6，若点P为C上一动点，则PA PB 的取值范围是()A.0，100B.-12，48C.-9，64D.-8，728.(2023 全国 高三专题练习)在 A

7、BC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD=13AB+12AC，则SBCDSACD=()A.16B.12C.13D.239.(2023全国高三专题练习)已知向量a，b，c满足 a=4，a在b方向上的投影为 2，c c-a=-3，则|b-c|的最小值为()A.3-1B.3+1C.2 3-2D.2 3+210.(2023全国高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AE BD=-23，则AF EF 的最小值为()A.-23B.-43C.-15275D.-733611.(2023 全国 高三专题练习)P 是 ABC 所在平面上的一点,满足 PA+PB+

8、PC=2AB,若 SABC=6,则PAB的面积为()A.2B.3C.4D.812.(2023全国高三专题练习)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A.3B.2 2C.5D.2二、二、多选题多选题13.(2023全国高三专题练习)在ABC中，AB=AC=3，BC=4，O为ABC内的一点，设AO=AB+AC，则下列说法正确的是()A.若O为ABC的重心，则+=23B.若O为ABC的内心，则+=25C.若O为ABC的外心，则+=910D.若O为ABC的垂心，则+=1514.(2023全国模拟预测)已知a，b，c是互不相等的非零

9、向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，c=xa+ybx,yR，记OA=a，OB=b，OC=c，则下列说法正确的是()A.若 a-c b-c=0，则O，A，B，C四点在同一个圆上B.若 a-c b-c=0，则 c的最大值为2C.若 c=1，则 a-c b-c的最大值为22+1D.若 c=1，则x+y的最小值为-215.(2023全国高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz)的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O 是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SAO

10、A+SBOB+SCOC=0设O是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是的ABC三个内角，以下命题正确的有()A.若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3B.若 OA=OB=2，AOB=56，2OA+3OB+4OC=0，则SABC=92C.若O为ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则C=2D.若O为ABC的垂心，3OA+4OB+5OC=0，则cosAOB=-6616.(2023全国高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有

11、独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中COD=23,OC=3OA=3，动点P在CD上(含端点)，连接OP交扇形 OAB 的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是()图1图2A.若y=x，则x+y=23B.若y=2x，则OA OP=0C.AB PQ-2D.PA PB 11217.(2023全国高三专题练习)如图，圆是边长为2 3 的等边三角形ABC的内切

12、圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x，yR)，则2x+y可以取值为()A.16B.13C.23D.118.(2023全国高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 O 是 ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为SA、SB、SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0.若O是锐角 ABC 内的一点，BAC、ABC、ACB 是ABC 的三个内角，且点 O满足 OA OB=OB OC=OC OA，则()A.O为ABC

13、的垂心B.AOB=-ACBC.OA:OB:OC=sinBAC:sinABC:sinACBD.tanBACOA+tanABCOB+tanACBOC=0三、三、填空题填空题19.(2023 全国 高三专题练习)在 ABC 中，点 E，F 分别是线段 AB，AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若ABC的面积为2，则PB PC+BC2的最小值是_.20.(2023四川南充统考一模)已知向量a与b夹角为锐角，且 a=b=2，任意R，a-b的最小值为3，若向量c满足 c-a c-b=0，则 c的取值范围为_21.(2023 上海徐汇 位育中学校考模拟预测)已知圆 O 半径为 1，P、A、B 是圆 O上

14、不重合的点，则 PA PB 的最小值为_.22.(2023全国高三专题练习)已知平面向量a,b,c满足|b|c|=1，若|3a-(b+c)|=|ab|c|，则-a2+2b2+c2的最小值是_23.(2023全国高三专题练习)已知平面向量a、b、c满足：a与b的夹角为23,c-a c-b=0,a+b=2，记M是 c-a-b的最大值，则M的最小值是_24.(2023全国高三专题练习)点M在ABC内部，满足2MA+3MB+4MC=0，则SMAC:SMAB=_微专题微专题平面向量平面向量【秒杀总结】【秒杀总结】结论结论1 1：极化恒等式：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和

15、：平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)证明：不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-bAC 2=AC 2=a+b2=a2+2ab+b2(1)DB 2=DB2=a-b2=a2-2ab+b2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2 a2+b2=2 AB 2+AD 22.极化恒等式：极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2-a-b2-极化恒等式(1)平行四边形模式：ab=14AC2-DB2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14(2)三角形模式：a

16、b=AM2-14DB2(M为BD的中点)结论结论2 2：矩形大法：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA2+OC2=OB2+OD2【证明】【证明】(坐标法坐标法)设AB=a,AD=b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则OA2+OC2=(x2+y2)+(x-a)2+(y-b)2OB2+OD2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2OA2+OC2=OB2+OD2结论结论3 3：三点共线的充要条件：三点共线的充要条件设OA、OB、OP 是三个不共线向量，则

17、A、B、P共线存在R使OP=(1-)OA+OB 特别地，当P为线段AB的中点时，OP=12OA+12OB 结论结论4 4：等和线：等和线【基本定理】【基本定理】(一一)平面向量共线定理平面向量共线定理已知OA=OB+OC，若+=1，则A,B,C三点共线；反之亦然(二二)等和线等和线平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP，OP=OA+OB(,R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则+=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，

18、k(1,+)；(4)当等和线过O点时，k=0；(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；结论结论5 5：奔驰定理：奔驰定理【奔驰定理】【奔驰定理】若O为ABC内任一点，且OA+OB+OC=0，则SBOC:SAOC:SAOB=:【典型例题】【典型例题】例例1.1.在ABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10，则AB AC=_【答案】-16【解析】因为M是BC的中点，由极化恒等式得：AB AC=AM2-14BC2=9-14100=-16例例2.2.正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA PB 的取值范围是【答案】-2,6【解析】取 AB 的中点 D，连结 CD，因

19、为三角形 ABC 为正三角形，所以 O 为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC=2OD=2，所以CD=3，AB=2 3(也可用正弦定理求AB)又由极化恒等式得：PA PB=PD2-14AB2=PD2-3因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max=3当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min=1所以PA PB-2,6例例3.3.已知圆C1:x2+y2=9与C2:x2+y2=36，定点P(2,0)，A、B分别在圆C1和圆C2上，满足PAPB，则线段AB的取值范围是【答案】41-2,41+2【解析】以PA,PB为邻边作矩形PAQB，则|AB|=|PQ|由|OP|2+|OQ|2=|O

20、A|2+|OB|2得|OQ|2+4=9+36，即|OQ|=41，Q的轨迹是以O为圆心，半径为41 的圆，|PM|=41-2,|PN|=41+2，|AB|=|PQ|41-2,41+2例例4.4.在平面内，已知 AB1 AB2，OB1=OB2=1，AP=AB1+AB2，若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.0,52 B.52,72 C.52,2 D.72,2【答案】D【解析】因为AP=AB1+AB2，所以四边形AB1PB2是平行四边形，又AB1 AB2，所以四边形AB1PB2是矩形，从而|OA|2+|OP|2=|OB1|2+|OB2|2=2，因为|OP|12，所以74|OA|22，即720

21、)，AC=yAQ(y0)，则1x+1y+1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M为线段BC的中点，则AM=12AB+12AC 又AG=2GM，所以AM=32AG，又AB=xAP(x0)，AC=yAQ(y0)所以32AG=x2AP+y2AQ，则AG=x3AP+y3AQ 因为G,P,Q三点共线，则x3+y3=1，化得x+y+1=4由1x+1y+1=14x+y+11x+1y+1=14xy+1+y+1x+2142xy+1y+1x+2=1当且仅当xy+1=y+1x时，即x=2,y=1时，等号成立，1x+1y+1的最小值为1故选：B4.(2023 全国 高三专题练习)如图，在半

22、径为 4 的扇形 AOB 中，AOB=120，点 P 是 AB上的一点，则AP BP 的最小值为()A.-8B.-3C.-2D.-4【答案】A【解析】设BOP=023，如图，以OB所在的直线为x轴，以OB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.则由已知可得，O 0,0，B 4,0，AOB=23，根据三角函数的定义知A-2,2 3，P 4cos,4sin.则AP=4cos+2,4sin-2 3，BP=4cos-4,4sin，所以，AP BP=4cos+2,4sin-2 3 4cos-4,4sin=-8 cos+3sin+8=-16sin+6+8，因为，023，所以6+656.则，当+6=2，即=3时，

23、该式子有最小值为-8.故选：A.5.(2023全国高三专题练习)在平面内，定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA DB=DB DC=DC DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.47+6 34D.37+2 334【答案】B【解析】由题意知|DA|=|DB|=|DC|，即点D到A,B,C三点的距离相等，可得D为ABC的外心，又由DA DB=DB DC=DC DA=-2，可得DA DB-DB DC=DB(DA-DC)=DB CA=0，所以DBAC，同理可得DABC,DCAB，所以D为ABC的垂心，所以ABC的外心与垂心

24、重合，所以ABC为正三角形，且D为ABC的中心，因为DA DB=DA DB cosADB=DA 2-12=-2，解得 DA=2，所以ABC为边长为2 3 的正三角形，如图所示，以A为原点建立直角坐标系，则B(3,-3),C(3,3),D(2,0)，因为 AP=1，可得设P(cos,sin)，其中0,2，又因为PM=MC，即M为PC的中点，可得M3+cos2,3+sin2，所以 BM 2=3+cos2-32+3+sin2+32=37+12sin-6437+124=494.即 BM 2的最大值为494.故选：B.6.(2023 全国 高三专题练习)ABC 中，AB=2，ACB=4，O 是 ABC

25、外接圆圆心，是 OC AB+CA CB 的最大值为()A.0B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O作ODAC,OEBC，垂足分别为D，E，如图，因O是ABC外接圆圆心，则D，E分别为AC，BC的中点，在ABC中，AB=CB-CA，则|AB|2=|CA|2+|CB|2-2CA CB，即CA CB=|CA|2+|CB|2-22，CO CA=CO CA cosOCA=CD CA=12CA 2，同理CO CB=12|CB|2，因此，OC AB+CA CB=OC CB-CA+CA CB=CO CA-CO CB+CA CB=12|CA|2-12|CB|2+|CA|2+|CB|2-22=|CA|2-1，

26、由正弦定理得：|CA|=|AB|sinBsinACB=2sinBsin4=2sinB2，当且仅当B=2时取“=”，所以OC AB+CA CB 的最大值为3.故选：C7.(2023全国高三专题练习)AB为C：(x-2)2+(y-4)2=25的一条弦，AB=6，若点P为C上一动点，则PA PB 的取值范围是()A.0，100B.-12，48C.-9，64D.-8，72【答案】D【解析】取AB中点为Q，连接PQPA+PB=2PQ，PA-PB=BA PA PB=14(PA+PB)2-(PA-PB)2=144|PQ|2-|BA|2，又|BA|=6，CQ=25-622=4PA PB=|PQ|2-9，点P为

27、C上一动点，|PQ|max=5+CQ=9,|PQ|min=5-CQ=1PA PB 的取值范围-8，72.故选：D.8.(2023 全国 高三专题练习)在 ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD=13AB+12AC，则SBCDSACD=()A.16B.12C.13D.23【答案】B【解析】如图，设AD交BC于E，且AE=xAD=x3AB+x2AC，由B,E,C三点共线可得：x3+x2=1x=65，AE=25AB+35AC，25AE-AB=35AC-AE 2BE=3EC.设SCED=2y，则SBED=3y，SBCD=5y.又AE=65AD AD=5DE，SACD=10y，SBCDSACD

28、=5y10y=12.故选：B.9.(2023全国高三专题练习)已知向量a，b，c满足 a=4，a在b方向上的投影为 2，c c-a=-3，则|b-c|的最小值为()A.3-1B.3+1C.2 3-2D.2 3+2【答案】A【解析】设a，b向量的夹角为，则 acos=2，则cos=2a=24=12，因为 0,，所以=3.不妨设a=OA=2,2 3，b=OB=m,0m0，设c=OC=x,y，则c c-a=x,y x-2,y-2 3=-3，整理得 x-12+y-32=1，所以点C的轨迹是以 1,3为圆心，半径r=1的圆，记圆心为D，又b-c=m-x,-y，即|b-c|=m-x2+y2=BC，当直线B

29、C过圆心D，且垂直于x轴时，BC可取得最小值，即 BCmin=3-r=3-1.故选：A.10.(2023全国高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2EC，AE BD=-23，则AF EF 的最小值为()A.-23B.-43C.-15275D.-7336【答案】D【解析】由题意知：BE=23BC，设DAB=AE BD=AB+BE AD-AB=AB AD-AB2+23BC AD-23BC AB=4cos-4+83-83cos=-23cos=12=3以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系：A-3,0，E2 33,-13，设

30、F 0,t则AF=3,t，EF=-2 33,t+13AF EF=-2+t t+13=t2+13t-2当t=-16时，AF EF min=136-118-2=-7336本题正确选项：D11.(2023 全国 高三专题练习)P 是 ABC 所在平面上的一点,满足 PA+PB+PC=2AB,若 SABC=6,则PAB的面积为()A.2B.3C.4D.8【答案】A【解析】PA+PB+PC=2AB=2 PB-PA，3PA=PB-PC=CB，PA CB，且方向相同SABCSPAB=BCAP=CB PA=3，SPAB=SABC3=2选A12.(2023全国高三专题练习)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，

31、动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为A.3B.2 2C.5D.2【答案】A【解析】方法一：特殊值法x=2,y=1+2 55+=x2+y=1+2 552 2,故选A方法二：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设A 0,1,B 0,0,C 2,0,D 2,1,P x,y,易得圆的半径r=25，即圆C的方程是 x-22+y2=45，AP=x,y-1,AB=0,-1,AD=2,0，若满足AP=AB+AD，则x=2y-1=-，=x2,=1-y，所以+=x2-y+1，设z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，点P x,y在圆 x-22+y2=45上，所以圆心(2,0)

32、到直线x2-y+1-z=0的距离dr，即2-z14+125，解得1z3，所以z的最大值是3，即+的最大值是3，故选A.二、二、多选题多选题13.(2023全国高三专题练习)在ABC中，AB=AC=3，BC=4，O为ABC内的一点，设AO=AB+AC，则下列说法正确的是()A.若O为ABC的重心，则+=23B.若O为ABC的内心，则+=25C.若O为ABC的外心，则+=910D.若O为ABC的垂心，则+=15【答案】ACD【解析】对于A选项，重心为中线交点，则OA+OB+OC=0，即AO=OB+OC，因为AO=AB+AC=OB-OA+OC-OA，则AO=1-OB+1-OC，所以1-=1，1-=1

33、，所以+=23，故A正确；对于B选项，内心为角平分线交点，则BCOA+ACOB+ABOC=0，即4OA+3OB+3OC=0，所以AO=34OB+34OC，由A选项，则1-=34，1-=34，所以+=35，故B错误；对于C选项，外心为垂直平分线交点，即ABC的外接圆圆心，因为AB=AC=3，设D为边BC的中点，所以AD=12AB+AC，AO AD，所以=，因为AO=AB+AC，所以AO 2=2AB2+2AC 2+22AB AC，在ABC中，cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=9+9-16233=19，则sinA=1-cos2A=4 59，BCsinA=2R=2 AO，所以424 592=

34、92+92+223319，易知0，所以=920，所以+=910，故C正确；对于D选项，垂心为高线交点，设BEAC，垂足为边AC上点E，则B，E，O共线，由C选项，因为AO=AB+AC，=，所以AO AC=OB-OA AC+AC 2，因为OBAC，则AO AC=-OA AC+AC 2，即 1-AO AC=AC 2，因为AO=AE+EO，所以 1-AE+EO AC=AC 2，即 1-AE AC=AC 2，因为SABC=12ABACsinA=12ACBE，所以BE=4 53，所以AE=AB2-BE2=32-4 532=13，所以 1-133=32，解得=110，所以+=15，故D正确；故选：ACD1

35、4.(2023全国模拟预测)已知a，b，c是互不相等的非零向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，c=xa+ybx,yR，记OA=a，OB=b，OC=c，则下列说法正确的是()A.若 a-c b-c=0，则O，A，B，C四点在同一个圆上B.若 a-c b-c=0，则 c的最大值为2C.若 c=1，则 a-c b-c的最大值为22+1D.若 c=1，则x+y的最小值为-2【答案】AD【解析】对于A选项，如图，若 a-c b-c=0，则CA CB=0，所以CA CB，又ab，所以AOB+ACB=，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；对于B选项，若 a-c b-c=0，由A选项知，O，A，B

36、，C四点在同一个圆上，又 c=OC，则其长度为圆上弦的长度.当线段OC为该圆的直径时，c最大，且最大值等于 AB=a2+b2=2，故B错误；对于C选项，由题可得A，B，C均在以O为圆心、1为半径的圆上，设OA=cos,sin，OC=cos,sin，又OA OB，则OB=cos2+,sin2+=-sin,cos.其中，0,2.则 a-c b-c=OA-OC OB-OC=cos-cos-sin-cos+sin-sin cos-sin=sincos-sincos-coscos+sinsin+1=sin-cos-+1=1+2sin-41+2，当-=34时取等号.故C错误.对于D选项，由C选项分析结合c

37、=xa+yb可知cos=xcos-ysinsin=xsin+ycos.又 c=1，则 xcos-ysin2+xsin+ycos2=1x2cos2+sin2+y2cos2+sin2-2xycossin+2xycossin=1x2+y2=1，则由重要不等式有：x+y2=x2+y2+2xy2 x2+y2=2.得x+y-2，当且仅当x=y=-22时取等号.故D正确.故选：AD15.(2023全国高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz)的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O 是ABC内一点，B

38、OC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SAOA+SBOB+SCOC=0设O是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是的ABC三个内角，以下命题正确的有()A.若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3B.若 OA=OB=2，AOB=56，2OA+3OB+4OC=0，则SABC=92C.若O为ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则C=2D.若O为ABC的垂心，3OA+4OB+5OC=0，则cosAOB=-66【答案】ACD【解析】对A，由奔驰定理可得，OA+2OB+3OC=SAOA+SBOB+SCOC=0，又OA、OB、OC 不共线，故SA:SB:SC

39、=1:2:3，A对；对B，SC=1222sinAOB=1，由2OA+3OB+4OC=0得SA:SB:SC=2:3:4，故SABC=94SC=94，B错；对C，若O为ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则SA:SB:SC=3:4:5，又SA:SB:SC=12ar:12br:12cr=a:b:c(r为内切圆半径)，三边满足勾股定律，故C=2，C对；对D，若O为ABC的垂心，则BOC+A=，OB OC=OB OC cosBOC=-OB OC cosA，又OB AC=OB OC-OA=0OB OC=OB OA OC cosA=OA cosC，同理 OC cosB=OB cosC,OA cosB=

40、OB cosA，OA:OB:OC=cosA:cosB:cosC，3OA+4OB+5OC=0，则SA:SB:SC=3:4:5，且SA:SB:SC=12OB OC sinBOC:12OA OC sinAOC:12OA OB sinAOB=cosBcosCsinA:cosAcosCsinB:cosAcosBsinC=sinAcosA:sinBcosB:sinCcosC=tanA:tanB:tanC如图，D、E、F分别为垂足，设AF=m，tanA=3t t0，则FC=3mt,BF=34m,AB=74m,AC=9t2+1 m，又AE:EC=BEtanA:BEtanC=5:3，故AE=58AC,BE=3t

41、AE=15t8AC，由ABFC=ACBE74m3mt=15t89t2+1m2，解得t=55，由tan2C=1cos2C-1=5cosC=66，故cosAOB=-cosC=-66，D对故选：ACD16.(2023全国高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，

42、还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中COD=23,OC=3OA=3，动点P在CD上(含端点)，连接OP交扇形 OAB 的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是()图1图2A.若y=x，则x+y=23B.若y=2x，则OA OP=0C.AB PQ-2D.PA PB 112【答案】ABD【解析】如图，作OEOC,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0),C(3,0),B-12,32,D-32,3 32,设Q(cos,sin),0,23，则P(3cos,3sin),由OQ=xOC+yOD 可得cos=3x-32y,sin=3 32y，

43、且x0,y0，若y=x，则cos2+sin2=3x-32x2+3 32x2=1，解得x=y=13，(负值舍去)，故x+y=23，A正确；若y=2x，则cos=3x-32y=0，OA OP=(1,0)(0,1)=0，故B正确；AB PQ=-32,32(2cos,2sin)=3sin-3cos=2 3sin-3，由于 0,23，故-3-3,3，故2 3sin-3-3，故C错误；由于PA=(3cos-1,3sin),PB=3cos+12,3sin-32，故PA PB=(3cos-1,3sin)3cos+12,3sin-32=172-3sin+6，而+66,56，故PA PB=172-3sin+617

44、2-3=112，故D正确，故选：ABD17.(2023全国高三专题练习)如图，圆是边长为2 3 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x，yR)，则2x+y可以取值为()A.16B.13C.23D.1【答案】CD【解析】根据三角形面积公式得到12l周长r=S=12ABACsin60，可得到内切圆的半径为1；以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，可得到点的坐标为：B(-3,0)，C(3,0)，A(0,3)，D(0,0)，M(cos,1+sin)，BM=(cos+3,1+sin)，BA=(3,3)，BD=(3,0)，

45、BM=xBA+yBD BM=(cos+3,1+sin)=(3x+3y,3x)，cos=3x+3y-3，sin=3x-1，x=1+sin3y=cos3-sin3+23，2x+y=cos3+sin3+43=23sin+3+43，-1sin+31，232x+y2，故选项CD满足.故选：CD.18.(2023全国高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 O 是 ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为SA、SB、SC，则SAOA+SBOB+SCOC

46、=0.若O是锐角 ABC 内的一点，BAC、ABC、ACB 是ABC 的三个内角，且点 O满足 OA OB=OB OC=OC OA，则()A.O为ABC的垂心B.AOB=-ACBC.OA:OB:OC=sinBAC:sinABC:sinACBD.tanBACOA+tanABCOB+tanACBOC=0【答案】ABD【解析】A项：OA OB=OB OC，即OA OB-OB OC=0，OB OA-OC=0，OB CA=0，OB CA，同理可得OA CB，OC AB，故O为ABC的垂心，A正确；B：如图，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，延长CO交AB于点F，因为OA CB，所以ADB=90

47、，BAO=90-ABC，因为OB CA，所以BEA=90，ABO=90-BAC，则AOB=-ABO-BAO=-90-BAC-90-ABC=BAC+ABC=-ACB，B正确；C项：在AOB中，由正弦定理易知OAsinABO=OBsinBAO，因为BAO=90-ABC，ABO=90-BAC，所以OAsin 90-BAC=OBsin 90-ABC，即OAcosBAC=OBcosABC，OAOB=cosBACcosABC，同理可得OBOC=cosABCcosACB，故 OA:OB:OC=cosBAC:cosABC:cosACB，C错误；D项：AOB=-ACB，同理可得AOC=-ABC，BOC=-BAC

48、，则SA=12 OB OC sinBOC=12 OB OC sin-BAC=12 OB OC sinBAC=12 OA OB OC sinBACOA，同理可得SB=12 OA OB OC sinABCOB，SC=12 OA OB OC sinACBOC，因为SAOA+SBOB+SCOC=0，所以将SA、SB、SC代入，可得sinBACOA OA+sinABCOB OB+sinACBOC OC=0，因为 OA:OB:OC=cosBAC:cosABC:cosACB，所以sinBACOA:sinABCOB:sinACBOC=tanBAC:tanABC:tanACB，故tanBACOA+tanABCO

49、B+tanACBOC=0成立，D正确，故选：ABD.三、三、填空题填空题19.(2023 全国 高三专题练习)在 ABC 中，点 E，F 分别是线段 AB，AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若ABC的面积为2，则PB PC+BC2的最小值是_.【答案】2 3【解析】如图，取BC中点为M，做PNBC，则PB PC=14PB+PC 2-PC-PB 2，又PB+PC=2PM，PC-PB=BC，则PB PC=PM 2-14BC2，得PB PC+BC2=PM 2+34BC2.注意到SABC=12 BC 2 PN=BC PN=2，则 BC=2PN.又由图可得 PM PN，则PM 2+34BC2 PN

50、 2+3PN 22PN 23PN 2=2 3，当且仅当PMBC，且 PN 2=3PN 2，即 PN=43 时取等号.故答案为：2 320.(2023四川南充统考一模)已知向量a与b夹角为锐角，且 a=b=2，任意R，a-b的最小值为3，若向量c满足 c-a c-b=0，则 c的取值范围为_【答案】3-1,3+1【解析】设向量a与b的夹角为，02，则ab=22cos=4cos，a-b=a-b2=a2-2ab+2b2=4-8cos+42=42-8cos+4，所以当=-8cos24=cos时，a-b取得最小值为3，即4 cos2-8coscos+4=4 1-cos2=2sin=3，所以sin=32,