广东省清远市2022-2023学年高二上学期期末教学质量检测数学试题含答案.pdf

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1、清远市 20222023 学年第一学期高中期末教学质量检测高 二 数 学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册,选择性必修第二册第四章占 85%,非本学期内容占 15%。一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.

2、已知数列 1,-2,3,-2,5,则该数列的第 200 项为 A.102 B.-102 C.-103 D.103 2.已知等轴双曲线C的焦距为 12,则C的实轴长为 A.32 B.62 C.122 D.6 3.已知椭圆C:2+2+6=1 的离心率为32,则C的长轴长为 A.82 B.42 C.22 D.4 4.已知数列an满足an=sin(2+4),其前n项和为Sn,则S2022=A.-22B.-12C.1-22D.0 5.在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC上一点,且 5=t+2+3,则t=A.1 B.2 C.3 D.-2 6.已知等比数列an的前n项和为Sn,若36=17,则96=A.43

3、7B.43 C.417D.41 7.若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4-2有且只有一个交点,则实数k的值不可能是 A.34 B.45 C.43 D.2 8.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,且满足Sn+1=2Sn+2n+1,若存在实数,使不等式an(n-19)Sn对任意nN*恒成立,则的最大值为 A.-24 B.-18 C.-683D.-703二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.已知an为等差数列,a1+a3+a5=66,a2+a4+a6=5

4、7,则 A.an的公差为-2 B.an的通项公式为an=31-3n C.an的前n项和为59-322 D.|an|的前 50 项和为 2575 10.已知直线l1:mx+3y-5=0 与直线l2:5x+(m-2)y-5=0,则下列选项正确的是 A.若l1l2,则m=-34 B.若l1l2,则m=-3 C.l2被圆x2+y2=9 截得的弦长的最小值为 42 D.若圆x2+y2=4 上有四个点到l1的距离为 1,则m(-4,4)11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABCD,ABC=2,AB=PA=12CD=2,BC=4,M为PD的中点,则 A.BMPC B.异面直线BM与AD所成

5、角的余弦值为3010 C.直线BM与平面PBC所成角的正弦值为77 D.点M到直线BC的距离为10 12.如图,圆锥PO的轴截面PAB为直角三角形,E是其母线PB的中点.若平面过点E,且PB平面,则平面与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分,设此抛物线的焦点为F,且CF=3.记OD的中点为M,点N在曲线CED上,则 A.圆锥PO的母线长为 4 B.圆锥底面半径为 22 C.建立适当坐标系,该抛物线的方程可能为y2=6x D.|MN|+|NF|的最小值为 3 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知平面内一点P(9,8,5),

6、点Q(6,6,6)在平面外,若的一个法向量为n=(2,1,1),则Q到平面的距离为 .14.已知两圆C1:(x-2)2+(y-6)2=9 与C2:x2+y2+2x-4y-3m=0 外离,则整数m的取值是 .15.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P,A,B,C,满足PA=2,PA平面ABC,ACBC,若三棱锥P-ABC的体积为 2,则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为 .16.一小孩玩抛硬币跳格子游戏,规则如下:抛一枚硬币,若正面朝上,往前跳两格,若反面朝上,往前

7、跳一格.记跳到第n格可能有an种情况,若a1=1,an的前n项和为Sn,则a8=,S10=.(本题第一空 3 分,第二空 2 分)四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)设等差数列an的前n项和为Sn,且S6=2S4,a2n=2an-1.(1)求an的通项公式.(2)令bn=(2-1)22,数列bn的前n项和为Tn.证明:Tn18.18.(12 分)已知ABC的顶点分别为A(-1,7),B(-4,-2),C(3,-1).(1)求ABC外接圆的方程;(2)设P是直线l:4x-3y-25=0 上一动点,过点P作ABC外接圆的一条切线,切

8、点为Q,求|PQ|的最小值及点P的坐标.19.(12 分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A平面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=2,AA1=AB=4,E为棱AA1的中点.(1)证明:BCC1E.(2)设=(0b0)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是双曲线的中心,半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根,这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C:22-22=1(ab0)的实轴长为 6,其蒙日圆方程为x2+y2=1.(1)求双曲线C的标准方程;(2)设D为双曲线C的左顶点,直线l与双曲线C交于不同于D的E,F两点,若以EF为直径的圆经过点D,且D

9、GEF于G,证明:存在定点H,使|GH|为定值.清远市 20222023 学年第一学期高中期末教学质量检测 高二数学参考答案 1.B 该数列的通项公式为an=(-1)n+1,所以a200=(-1)201200=-102.2.B 因为 2c=12,所以c=6.因为a=b,所以 2a2=c2=36,所以a=32,故实轴长为 62.3.B 因为椭圆C的离心率为32,所以+6-+6=32,得m=2,故长轴长为 2+6=42.4.D 因为an是周期为 4 的周期数列,且a1=22,a2=-22,a3=-22,a4=22,S4=0,所以S2022=a1+a2=0.5.C 因为 5=t+2+3=t+2+3(

10、-),所以 8=t+2+3,即=8+14+38.因为M是平面ABC上一点,所以8+14+38=1,所以t=3.6.A 设S3=x,则S6=7x,因为an为等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列.因为6-33=7-=6,所以S9-S6=36x,所以S9=43x,故96=437.7.B 如图,曲线y=4-2表示以O为圆心,2 为半径的上半圆,因为直线l:y=k(x-2)+4 与半圆相切,所以|-2+4|2+1=2,解得k=34.因为P(2,4),A(-2,0),所以kPA=1,又直线l与曲线y=4-2有且只有一个交点,所以kkPA或k=34,所以实数k的取值范围是(1,+)34.8

11、.A 因为Sn+1=2Sn+2n+1,所以+12+1-2=1.因为a1=2,所以2是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2=n,所以Sn=n2n,所以an=Sn-Sn-1=n2n-(n-1)2n-1=(n+1)2n-1(n=1 也满足).因为an(n-19)Sn,所以(n+1)2n-1(n-19)n2n,即2(-19)+1.令f(n)=2(-19)+1,f(n+1)-f(n)=2(+1)(-18)+2-2(-19)+1=2(2+3n-18)(+1)(+2)=2(-3)(+6)(+1)(+2),所以f(1)f(2)f(3)=f(4)f(5),所以f(n)min=f(3)=f(4)=-24,故

12、的最大值为-24.9.BC 设an的公差为d,前n项和为Sn,因为a1+a3+a5=3a3=66,a2+a4+a6=3a4=57,所以a3=22,a4=19,所以d=-3.因为an=31-3n,所以Sn=(1+)2=59-322,故|an|的前 50 项和为-S50+2S10=3502-59502+2590-31022=2565.10.BC 若l1l2,则m5+3(m-2)=8m-6=0,所以m=34,故 A 不正确.若l1l2,则m(m-2)-35=m2-2m-15=(m+3)(m-5)=0,所以m=-3 或m=5.当m=5 时,l1,l2重合,当m=-3 时,符合题意,故 B 正确.因为直

13、线l2过定点(1,0),所以当m=2 时,l2被圆x2+y2=9 截得的弦长最短,最小值为 29-1=42,故 C 正确.因为圆x2+y2=4 上有四个点到l1的距离为 1,所以圆心(0,0)到l1的距离小于 1.由|-5|2+91,解得m(-,-4)(4,+),故 D 不正确.11.ACD 过A作AECD,垂足为E,则DE=2,以A为坐标原点,分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,-2,0),P(0,0,2),M(2,-1,1).=(2,-3,1),=(4,2,-2),=(4,0,0),=(0,-2,2),=(

14、4,-2,0).因为 =24+(-3)2+1(-2)=0,所以 A 正确.因为 cos=|=42+(-3)(-2)1425=7010,所以直线BM与AD所成角的余弦值为7010,故 B 不正确.设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则=4x=0,=-2y+2z=0,令y=1,得m=(0,1,1).设直线BM与平面PBC所成角为,则 sin=|cos|=|=77,所以直线BM与平面PBC所成角的正弦值为77,故 C 正确.设点M到直线BC的距离为d,则d=|2-|2=10,即点M到直线BC的距离为10,故 D 正确.12.ABD 设圆锥PO的母线PA=2a,则底面半径为2a.以E为原点,EO

15、所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则C(a,-2a),设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为|CF|=a+2=3,2a2=2pa,所以a=p=2,所以圆锥PO的母线长为 4,底面半径为 22,故 A,B 正确.因为该抛物线的方程为y2=4x,M(2,2),且|NF|=xN+1,所以|MN|+|NF|=|MN|+xN+1.当MN平行于x轴时,|MN|+|NF|取得最小值,最小值为xM+1=3,故 C 不正确,D 正确.13.766 因为=(-3,-2,1),所以Q到平面的距离为|=76=766.14.-1 因为圆C1的圆心为(2,6),圆C2的圆心为(-1,2),所以两圆圆心的距离

16、为(2+1)2+(6-2)2=5.因为圆C1的半径为 3,圆C2的半径为5+3,所以5+3+3 0,所以-53m-13,故整数m的取值为-1.15.16 如图所示,取AB的中点D,过D作ODPA,且OD=12PA=1,因为PA平面ABC,所以OD平面ABC.因为ACBC,所以DA=DB=DC,所以OA=OB=OC=OP,所以O是三棱锥P-ABC外接球的球心,OA为球的半径.因为VP-ABC=1312ACCBPA=2,所以ACCB=6.因为AB2=AC2+BC22ACBC=12,所以球的半径R=OA=2+(12AB)21+(3)2=2,当且仅当AC=BC=6时,等号成立,此时AB=23,所以Rm

17、in=2,故所求表面积的最小值为 4R2=16.16.34;231 根据题意,跳到第n+2 格有两种可能,一种是从第n+1 个格跳过来,有an+1种方式,另一种是从第n个格跳过来,有an种方式,所以an+2=an+an+1.因为a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89,所以S10=231.17.(1)解:设等差数列an的公差为d,.1 分 则61+15d=2(41+6d),1+(2n-1)d=21+(n-1)d-1,.3 分 解得a1=3,d=2,因此an=2n+1.5 分(2)证明:因为an=2n+1,所以bn=(2-

18、1)2(2n+1)2=181(2-1)2-1(2+1)2,.8 分 所以Tn=18(1-132)+(132-152)+1(2-1)2-1(2+1)2=181-1(2+1)20,即m2-9k2+80,且1+2=188-92,12=-92-728-92.6 分 因为 =(x1+3)(x2+3)+y1y2=0,所以(k2+1)x1x2+(km+3)(x1+x2)+m2+9=(k2+1)-92-728-92+(km+3)188-92+m2+9=0,化简得m2-54km+153k2=(m-3k)(m-51k)=0,所以m=3k或m=51k,且均满足m2-9k2+80.8 分 当m=3k时,直线l的方程为

19、y=k(x+3),直线过定点(-3,0),与已知矛盾,当m=51k时,直线l的方程为y=k(x+51),过定点M(-51,0).10 分 当直线l的斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE:y=x+3,联立方程组=+3,29-28=1,得x=-3(舍去)或x=-51,此时直线l过定点M(-51,0).因为DGEF,所以点G在以DM为直径的圆上,H为该圆圆心,|GH|为该圆半径.故存在定点H(-27,0),使|GH|为定值 24.12 分 书书书?高二数学?参考答案?第?页?共?页?清远市?学年第一学期高中期末教学质量检测高二数学参考答案?该数列的通项公式为?槡?所以?槡槡?因为?所以?因为?所以?

20、所以?槡?故实轴长为槡?因为椭圆?的离心率为槡?所以?槡?槡?槡?得?故长轴长为?槡槡?因为?是周期为?的周期数列?且?槡?槡?槡?槡?所以?因为?所以?即?因为?是平面?上一点?所以?所以?设?则?因为?为等比数列?所以?仍成等比数列?因为?所以?所以?故?如图?曲线?槡?表示以?为圆心?为半径的上半圆?因为直线?与半圆相切?所以?槡?解得?因为?所以?又直线?与曲线?槡?有且只有一个交点?所以?或?所以实数?的取值范围是?因为?所以?因为?所以?是首项为?公差为?的等差数列?所以?所以?所以?也满足?因为?所以?即?令?所以?所以?故?的最大值为?设?的公差为?前?项和为?因为?所以?所以

21、?因为?所以?故?的前?项和为?若?则?所以?故?不正确?若?则?所以?或?当?时?重合?当?时?符合题意?故?正确?因为直线?过定点?所以当?时?被圆?截得的弦长最短?最小值为槡槡?故?正确?因为圆?上有四个点到?的距离为?所以圆心?到?的距离小于?由?槡?解得?高二数学?参考答案?第?页?共?页?故?不正确?过?作?垂足为?则?以?为坐标原点?分别以?所在直线为?轴建立如图所示的空间直角坐标系?则?因为?所以?正确?因为?槡槡?槡?所以直线?与?所成角的余弦值为槡?故?不正确?设平面?的法向量为?则?令?得?设直线?与平面?所成角为?则?槡?所以直线?与平面?所成角的正弦值为槡?故?正确?

22、设点?到直线?的距离为?则?槡?槡?即点?到直线?的距离为槡?故?正确?设圆锥?的母线?则底面半径为槡?以?为原点?所在直线为?轴建立平面直角坐标系?如图所示?则?槡?设抛物线的方程为?因为?所以?所以圆锥?的母线长为?底面半径为槡?故?正确?因为该抛物线的方程为?槡?且?所以?当?平行于?轴时?取得最小值?最小值为?故?不正确?正确?槡?因为?所以?到平面?的距离为?槡?槡?因为圆?的圆心为?圆?的圆心为?所以两圆圆心的距离为?槡?因为圆?的半径为?圆?的半径为?槡?所以?槡?所以?故整数?的取值为?如图所示?取?的中点?过?作?且?因为?平面?所以?平面?因为?所以?所以?所以?是三棱锥?

23、外接球的球心?为球的半径?因为?所以?因为?所以球的半径?槡?槡?槡?当且仅当?槡?时?等号成立?此时?槡?所以?故所求表面积的最小值为?根据题意?跳到第?格有两种可能?一种是从第?个格跳过来?有?种方式?另一种是从第?个格跳过来?有?种方式?所以?因为?所以?高二数学?参考答案?第?页?共?页?所以?解?设等差数列?的公差为?分则?分解得?因此?分?证明?因为?所以?分所以?分?解?设?外接圆的方程为?分由?解得?分所以?外接圆的方程为?分?外接圆?的圆心为?半径?分因为?槡?槡?所以要使?最小?只需?最小?分当?时?最小?所以?分所以?槡槡?分设?则?得?即?分?证明?以?为坐标原点?所在

24、直线分别为?轴?轴?轴建立如图所示的空间直角坐标系?则?分因为?分所以?分所以?故?分?解?因为?所以?分设平面?的法向量为?所以?令?得?分因为?所以?到平面?的距离?槡?分由?槡?槡?得?分?解?因为?所以当?时?所以?分当?时?分两式相减可得?所以?所以?是首项为?公比为?的等比数列?分?高二数学?参考答案?第?页?共?页?所以?分设等差数列?的公差为?因为?所以?因为?成等比数列?所以?解得?舍去?或?所以?分?因为?分所以?分相减得?分所以?分?解?因为?且?所以?分所以?分因为?所以?即?分所以?分因为?所以?所以?所以?即?分?因为?所以?为等边三角形?即?分如图?在?中?由余弦

25、定理得?分所以?所以?分因为?所以?所以?槡?当且仅当?即?槡?时?等号成立?所以?的最小值为槡?分?解?由题意知?分因为双曲线?的蒙日圆方程为?所以?分所以?槡?分故双曲线?的标准方程为?分?证明?设?当直线?的斜率存在时?设?的方程为?联立方程组?化简得?高二数学?参考答案?第?页?共?页?则?即?且?分因为?所以?化简得?所以?或?且均满足?分当?时?直线?的方程为?直线过定点?与已知矛盾?当?时?直线?的方程为?过定点?分当直线?的斜率不存在时?由对称性不妨设直线?联立方程组?得?舍去?或?此时直线?过定点?因为?所以点?在以?为直径的圆上?为该圆圆心?为该圆半径?故存在定点?使?为定值?分