2022-2023学年九年级数学中考复习《勾股定理的应用》解答综合练习题(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习勾股定理的应用解答综合练习题（附答案）1生态兴则文明兴，生态衰则文明衰“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知A90，ABAD3米，BC10 米，CD8 米，已知每平方米的改造费用为 200 元，请问改造该区域需要花费多少元？2小亮用 11 块高度都是 2cm 的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形 ABCD 木板，截面如图所示两木墙高分别为 AE 与 CF，点 B在 EF 上，求正方形 ABCD 木板的面积 3如图，一架梯子 AB 斜靠在

2、一竖直的墙 OA 上，这时 AO3m，OAB30，梯子顶端A 沿墙下滑至点 C，使OCD60，同时，梯子底端 B 也外移至点 D 求 BD 的长度（结果保留根号）补充：直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半 4如图，四边形 ABCD 为某街心公园的平面图，经测量 ACBCAD80 米，BD80米，且C90（1）求DAC 的度数；（2）若直线 CA 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 D处安装一个监控装置来监控道路 CA 的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大距离为80 米，求被监控到的道路长度为多少米？5为了提高人民群众的防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇

3、叭响起来了，宣传横幅挂上了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心如图，在一条笔直公路 MN 的一侧点 A处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离（AB 的长）为 800 米，若在宣讲车 P 周围 1000米以内能听到广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶（1）请问村庄能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是 300 米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？6小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当他把绳子拉直后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开 5m

4、（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高 7 九章算术中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问葭长几何其大意为：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度（1 丈10 尺）解决下列问题：（1）示意图中，线段 AF 的长为 尺，线段 EF 的长为 尺；（2）求芦苇的长度 8 算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记 仕女佳人

5、争蹴，终朝笑语欢嬉 良工高士素好奇，算出索长有几”（注：1 步5 尺）译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长”9如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为 5m 工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长 BC 为 13m，工作人员以 0.5m/s 的速度拉绳子，10s 后船移动到 D 点的位置（B，D，A 三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离（假设绳子是直的，结果保留根号）10 育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行

6、速度为30m/min，第二组的步行速度为 40m/min，半时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距 1500m（1）试判断这两组同学行走的方向是否成直角；（2）如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？11 一艘轮船从A港向南偏西48方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60km（1）若轮船从 C 岛沿 CA 返回 A 港所需的时间为 3 小时，求轮船速度（2）C 岛在 A 港的什么方向？12为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在图中 AB 所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点 C 和点

7、D 处，CAAB 于点 A，DBAB 于点 B 已知 AB25km，CA15km，DB10km问：图书室 E 应建在距点 A 多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？13一棵高 12m 的大树被折断，折断处 A 距地面 4.5m（点 B 为大树顶端着地处）在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部 C 的距离为 6.5m，倒下的大树会砸到小轿车吗？通过计算说明理由 14 学校校内有一块如图所示的三角形空地 ABC，其中 AB13 米，BC14 米，AC15 米，ADBC 于点 D，若 BD 的长度为 x 米（1）在 RtABD 中，AD2 ，在 RtACD 中，AD2 （用含 x 的代数

8、式表示）；（2）学校计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为 60元，学校修建这个花园需要投资多少元？15如图，北泉路 OM 和长春路 ON 相交成 30角；沿公路 OM 方向离两条公路的交叉处O 点 160 米的 A 处坐落着向阳桥中学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，路两旁 100 米内受到噪声影响，已知有一台拖拉机正沿 ON 方向行驶，速度为 5 米秒（1）向阳桥中学是否受到噪声的影响，并说明理由；（2）若向阳桥中学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿 ON 方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是多少？16甲同学在拼图探索活动中发现；用 4 个形状大小完全相同的直

9、角三角形（直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，可以拼成像图 1 那样的正方形，并由此得出了关于 a2，b2，c2.的一个等式（1）请你写出这一结论：，并给出验证过程；（2）试用上述结论解决问题：如图 2 如图，在四边形 ABCD 中，BD90，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为 30，乙的面积为 16，丙的面积为17，求“丁”的面积 17我市道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 60km/h如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点 A 正前方 30m 的 C 处，2 秒后又行驶到与车速检测点 A 相距 50m 的 B 处请

10、问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？18八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝 CE 的高度，他们进行了如下操作：测得 BD 的长度为 24 米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 30 米；牵线放风筝的小明身高 AB 为 1.68 米（1）求风筝的高度 CE；（2）若小亮让风筝沿 CD 方向下降了 8 米到点 M（即 CM8 米），则他往回收线多少米？19如图，一艘轮船以 30 海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 60 海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到

11、A 处时，测得台风中心移动到位于点 A 正南方向的 B 处，且 AB40 海里 若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从 A 点出发到最初遇到台风的时间 20有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆低端的距离或者1 的大小来调整晾杆的高度，图 2 是晾衣架的侧面的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根长度不等的支撑杆，AO70cm，BODO80cm（1）当 BD120cm，求交叉点 O 离地面的高度；（2）当190时，较高支撑杆的高 AE 多高？参考答案 1解：如图，连接 BD，在 RtABD 中，由勾股定理得，BD（米），BD2+CD262+82100，CB2100，BD2

12、+CD2CB2，BDC90，S四边形ABCDSABD+SBDC+9+2433（平方米），200336600（元），改造该区域需要花费 6600 元 2解：AEEF，CFEF，AEBBFC90，EAB+ABE90 ABC90，ABE+CBF90 EABCBF，ABBC，在ABE 和BCF 中，ABEBCF（AAS），AEBF2510（cm），CF2612（cm）在 RtBCF 中，BC2BF2+CF2102+122244，S正方形ABCDBC2244cm2，即正方形 ABCD 木板的面积为 244cm2 3解：在 RtABO 中，AO3m，OAB30，OBm，AB2m，根据勾股定理知 BO，OC

13、D60，ODC30，在AOB 和DOC 中，AOBDOC（AAS），OAOD，OCOB，BDODOB3 4解：（1）ACBCAD80 米，BD80米，C90 ABC 是等腰直角三角形，AB80（米），CABABC45，BD80米，在ABD 中，有 AD2+AB2802+（80）2（80）2BD2，ABD 是直角三角形，BAD90，DAC90+45135；（2）过点 D 作 DEAC，交 CA 的延长线于 E，作点 A 关于 DE 的对称点 F，连接 DF，如图：由轴对称的性质，得：DFDA80，AEEF，由（1）知，CAD135，DAE45，ADE 是等腰直角三角形，即 AEDE，在 RtAD

14、E 中，有 AE2+DE2802，解得：AE40（米），AF80（米），被监控到的道路长度为 80米 5解：（1）村庄能听到宣传，理由：村庄 A 到公路 MN 的距离为 800 米1000 米，村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始影响村庄，行驶 QD 点结束对村庄的影响，则 APAQ1000 米，AB800 米，BPBQ600（米），PQ1200 米，影响村庄的时间为：12003004（分钟），村庄总共能听到 4 分钟的宣传 6解：如图，AB 表示旗杆，AC 表示拉展的绳子，设 AB 的长是 xm，则 AC 的长是（x+1）m，在 RtABC 中 AB2+BC2AC2，x

15、2+52（x+1）2，整理得：x2+52x2+2x+1，解得：x12，答：旗杆的高是 12m 7解：（1）由题意可得：AFAB5 尺，EF1 尺，故答案为：5，1；（2）设芦苇长 EGAGx 尺，则水深 FG（x1）尺，在 RtAFG 中，52+（x1）2x2，解得：x13，则 EG13（尺），答：芦苇长 13 尺 8解：设绳索有 x 尺长，由题意得：102+（x+15）2x2，解得：x14.5，即绳索长 14.5 尺 9解：在 RtABC 中，CAB90，BC13m，AC5m，AB12（m），此人以 0.5m/s 的速度收绳，10s 后船移动到点 D 的位置，CD130.5108（m），AD

16、（m），BDABAD（12）（m）答：船向岸边移动了（12）m 10解：（1）半小时以后，第一组的路程：3030900（m），第二组的路程：40301200（m），9002+1200215002，两组同学行走的夹角成直角；（2）设 xmin 后两组相遇，根据题意得 30 x+40 x1500，解得：x（min）答：经过min 后才能相遇 11解：（1）由题意 AD60km，RtABD 中，AD2+BD2AB2，得 602+BD21002 BD80（km）CDBCBD1258045（km）AC75（km）75325（km/h）答：轮船速度为 25km/h；（2）AB2+AC21002+75215

17、625，BC2125215625，AB2+AC2BC2 BAC90 NAC180904842 C 岛在 A 港的北偏西 42 12解：设 AExkm，则 BE（25x）km；在 RtACE 中，由勾股定理得：CE2AE2+AC2x2+152；同理可得：DE2（25x）2+102；若 CEDE，则 x2+152（25x）2+102；解得：x10 答：图书室 E 应该建在距 A 点 10km 处，才能使它到两所学校的距离相等 13解：倒下的大树不会砸到小轿车，理由是：在 RtABC 中，AC4.5m，AB124.57.5（m），BC6（m）又66.5，倒下的大树不会砸到小轿车 14解：（1）BC1

18、4 米，BDx 米，CD（14x）米，在 RtABD 中，AD2AB2BD2169x2，在 RtACD 中，AD2AC2CD2152（14x）229x2+28x，故答案为：169x2，29x2+28x；（2）在 RtABD 与 RtACD 中，AD2AB2BD2，AD2AC2CD2，169x229x2+28x，解得 x5，AD2AB2BD213252144，AD12（米），学校修建这个花园的费用为：1412605040（元）答：学校修建这个花园需要投资 5040 元 15解：（1）向阳桥中学会受到噪声影响，理由：如图所示，过点 A 作 ACON 于点 C，MON30，OA160 米，ACOA8

19、0 米，80m100m，向阳桥中学会受到噪声影响；（2）以 A 为圆心，半径长为 100m 画圆与 ON 交 B，D 两点，连接 AB，AD，在 B 到 D范围内，向阳桥中学都会受到影响，ABAD100 米，由勾股定理得：BC60（米），BD2BC120 米，影响的时间应是：t24（秒）；答：拖拉机沿 ON 方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是 24 秒 16解：（1）结论：a2+b2c2 验证：阴影部分的面积4ab2ab，阴影部分的面积（a+b）2c2，（a+b）2c22ab，即 a2+b2c2 故答案为：a2+b2c2（2）连接 AC，由勾股定理得 AB2+BC2AC2，AD2+CD

20、2AC2，甲的面积+乙的面积丙的面积+丁的面积，甲的面积为 30，乙的面积为 16，丙的面积为 17，丁的面积为 30+161729 17解：这辆小汽车超速了，理由：由已知得 AB50m，AC30m，在直角三角形 ABC 中，AB2AC2+BC2，BC2AB2AC2502302402，BC40m，又72km/h60km/h，这辆小汽车超速了：726012（km/h）18解：（1）由题意可知 ABAE，CEAE，BDCE，BAEAEDBDE90，四边形 ABDE 是矩形，DEAB1.68 米，BDC90，BC30 米，BD24 米，CD18（米），CECD+DE18+1.6819.68 米，答：

21、风筝的高度 CE 为 19.68 米（2）如图，连接 BM，则 DMCDCM18810（米），BM26（米），30264（米），答：他往回收线 4 米 19解：如图，若轮船在 t 小时后到达 A1时，最初遇到台风，此时台风中心到达 B1，则 A1B120 海里，A1A30t，AB14060t，由勾股定理知，（30t）2+（4060t）2202，解得：t1，t2，则轮船从 A 点出发到最初遇到台风的时间是小时 20解：（1）设交叉点 O 离地面的高度为 hcm，BODO80cm，BD120cm，h20（cm），答：交叉点 O 离地面的高度为 20cm；（2）190，OBOD，BOD 是等腰直角三角形，B45，AEBE，ABE 是等腰直角三角形，ABAO+BO150（cm），AEAB75（cm），答：较高支撑杆的高 AE 为 75cm