湘豫名校联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（理科）试题含答案.pdf

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1、数学?理科?参考答案?第?页?共?页?湘 豫 名 校 联 考?年?月高三春季入学摸底考试数学?理科?参考答案题号?答案?一?选择题?本题共?小题?每小题?分?共?分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的?解析?由题意得?集合?故?故选?解析?因为?所以复数?的共轭复数是?故选?解析?根据题意?得?解得?故?当?时?故选?解析?根据?得?或?所 以?为 偶 函 数?排 除?令?得?排 除?因 为?排除?故选?解析?如图?建立平面直角坐标系?设正视图的椭圆?部分?对应的标准方程为?结合题意及三视图可得?所以椭圆?部分?对应的标准方程为?将点槡?代入?可得?故该椭球形状观鸟台的最高处到

2、地面的垂直高度为?米?故选?解析?输入?第一次循环?第二次循环?第三次循环?第四次循环?结束循环?此时?所以输出?故选?解析?由题可知?数列?是以?为首项?为公差的等差数列?所以?所以?所以?所以?故?所以数列?的前?项和?故选?解析?因为?槡?槡?所以?槡?因为?槡?所以?所以?槡?根据余弦定理?得?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?所 以数学?理科?参考答案?第?页?共?页?槡?故双曲线?的离心率为?槡?槡?故选?解析?设?辆汽车中恰有?辆达到标准时的概率为?则?则?当?时?所以?在?上单调递增?当?时?所以?在?上单调递减?所以?在?处取得最大值?所以?故选?解析?由题可得?即?因为?

3、所以由二倍角公式可得?即?由余弦定理?得?所以?整理可得?所以?即?所以?槡?当且仅当?槡?时?成立?故?周长的最小值为槡?故选?解析?方法一?由题可得?因为?所以?过点?向下底面做垂线?垂足为?则?槡?槡?根 据 圆 的 性 质?得?槡?槡?所 以?槡?槡?所以?因为?所以?槡槡?设点?到平面?的距离为?则?槡?解得?槡?故?与平面?所成的角的正弦值为?槡?槡?故选?方法二?如图?设?为上底面的圆心?因为?所以?设?为下底面的圆心?所以?因为?所以?平面?因为?所以?平面?所以?平面?所以平面?平面?因为平面?平面?所以?与平面?所成的角即为?过点?作?于点?因为?所以?因为?槡?所以?槡?

4、所 以?所 以?故选?解析?设?则?令?得?令?得?或?故?在?上单调递增?在?上单调递减?在?上 单 调 递 增?所 以?极小值?极大值?设?则?令?得?在同一平面直角坐标系中作出函数?和?的图象?如图数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所示?联立?消去?得?化简得?整理得?解得?或?槡?或?槡?若函数?的值域为?由数形结合易知?槡?故选?二?填空题?本题共?小题?每小题?分?共?分?解析?因为?所以由基本不等式得?槡?槡?槡?槡槡?所以槡?槡槡?得?槡?所以?当且仅当?时取等号?所以?的最大值是?解析?因为?且?的展开式为?故?的系数为?解析?根据题意?槡?槡?槡?因为?所以?槡?所以?

5、所以?所以?故?槡?槡?解析?方法一?因为?槡?所以由?得?所以方程?在?上有且仅有?个实数根?因为?所以?令?则?令?即?所以?所 以?的 单 调 递 增 区 间 为?单 调 递 减 区 间 为?因为?所以?因为?槡?槡?槡?易知?所以槡?槡?即槡?槡?方法二?由题可得?方程?即?在?上有且仅有?个实数根?设?则函数?与?的图象有且仅有?个交点?如图为两个恰好不成立的临界位置?设函数?与?相切于点?又?所以?消去?得?因为?所以?所以?由图观察知两种临界位置?分别为?时?时?此两种情况对应的?值分别为?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?槡?槡?所以槡?槡?三?解答题?共?分?解答应写出文

6、字说明?证明过程或演算步骤?第?题为必考题?每个试题考生都必须作答?第?题为选考题?考生根据要求作答?一?必考题?共?分?解析?因为?所以?因为?所以?所以数列?是首项为?公比为?的等比数列?分所以?整理可得?所以?所以?分又?故?分?因为?又?所以?所以?分当?时?分所以?分?分所以?又?满足上式?所以?分?解析?由图表可知?非?重度沉迷?的抖音用户男性有?人?重度沉迷?的抖音用户男性有?人?非?重度沉迷?的抖音用户女性有?人?重度沉迷?的抖音用户女性有?人?分填写列联表如下?非?重度沉迷?重度沉迷?合计人数?男?人数?女?合计?分根据列联表中的数据计算可得?因此有?的把握认为性别与是否为?

7、重度沉迷?刷抖音有关系?分?由表可知?重度沉迷?的抖音用户有?人?中度沉迷?的抖音用户有?人?轻度沉迷?的抖音用户有?人?抽取的?重度沉迷?中度沉迷?与?轻度沉迷?的抖音用户分别有?人?人?人?分?的所有可能取值为?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?则?分所以?的分布列为?故购书券总和?的数学期望为?分?解析?方法一?存在?且?理由如下?因为四边形?为菱形?所以?与?互相垂直且平分?因为?所以?所以三角形?是等边三角形?因为?平面?平面?平面?所以?因为?平面?平面?所以?平面?又?平面?所以?分过点?作?于点?易得四边形?为矩形?设?则?因为?所以?所以?分欲使?平面?只需?分即?所以?

8、解得?所以存在实数?使得?平面?且?分方法二?存在?且?理由如下?若?平面?又?平面?所以?即?分因为?平面?所以?平面?因为?平面?所以?所以?所以?分所以?故?即?分在菱形?中?所以?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以?因为四边形?为菱形?所以?与?互相垂直且平分?因为?平面?平面?所以?因为?平面?平面?所以?平面?又?平面?所以?因此?时?平面?分?方法一?如图?以?为原点?边上的垂直平分线所在直线为?轴?所在直线为?轴?所在直线为?轴?建立如图所示的空间直角坐标系?设?则?槡?槡?槡?所以?槡?槡?分设平面?的法向量为?则?所以槡?槡?解得?槡?令?则平面?的一个法向量为?槡

9、?分设平面?的法向量为?则?所以?槡?解得?令?得平面?的一个法向量为?分设锐二面角的平面角为?则?槡槡?故平面?与平面?所成的锐二面角的余弦值为?分方法二?不妨设?则?如图?作?垂足为?连接?易得?所以?所以?为平面?与平面?所成角的平面角?分在梯形?中?所以?槡?槡?又?槡?槡?槡?槡?所以?为等腰三角形?分作?垂足为?则?槡?槡?在?中?所以?槡?分又?槡?槡?槡?所以在?中?分所以平面?与平面?所成锐二面角的余弦值为?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?解析?因为?的焦点坐标分别为?所以?即抛物线的方程为?分根据抛物线的定义?得?所以?故?所以直线?关于直线?对称?即两直线的斜率之

10、和为?分设直线?的方程分别为?和?且存在?联立方程?可得?设?则?分所以?代入?得点?的坐标为?分同理可得点?的坐标为?分所以?即直线?的斜率为定值?分?方法一?设椭圆?上关于直线?对称的两点为?的中点为?直线?的方程为?直线?的方程为?联立方程?可得?所以?所以?分故?代入?可得?分所以?所以?槡?槡?因为原点到直线?的距离为?槡?所以?槡?槡?所以原点到直线?的距离的取值范围是?槡?分方法二?设椭圆?上关于直线?对称的两点为?的中点为?因为?所以?分又?两式相减?得?所以?即?分设直线?的方程为?则?由?可得?分又因为点?在椭圆内?所以?所以?槡?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?所以

11、原点到直线?的距离?槡?槡?所以原点到直线?的距离的取值范围为?槡?分?解析?因为?所以?分所以曲线?在点?处的切线的斜率为?分又?故曲线?在点?处的切线方程是?即?分?方法一?当?时?令?则?槡?当?槡?时?所以?在?槡?上单调递减?当?槡?时?所以?在?槡?上单调递增?分所以?槡?槡?槡?槡?槡?且?槡?当?槡?时?故?因为?槡?槡槡槡?在?槡?上单调递增?所以?只有一个零点?槡?不符合题意?分当?时?令?由题意可知?有两个零点等价于?在?上有两个零点?因为?所以?在?上单调递增?最多有一个零点?不符合题意?分当?时?此时?不是?的零点?且?令?由题意可知?有两个零点等价于?在?且?时有两

12、个零点?令?解得?或?当?或?时?单调递增?当?或?时?单调递减?所以?在?上的最大值为?在?上的最小值为?若?且?则?至多有一个零点?不符合题意?分所以?或?即?当?时?数学?理科?参考答案?第?页?共?页?又当?从大于?的方向逼近?时?当?时?此时?在?且?上有两个零点?分当?时?又当?从大于?的方向逼近?时?当?从小于?的方向逼近?时?此时?在?且?上有两个零点?综上所述?实数?的取值范围为?分方法二?函数?有两个零点等价于方程?有两个不相同的实数根?分因为?不是该方程的实数根?所以?分令?且?则直线?与函数?的图象有两个不同的交点?分因为?令?得?或?当?时?当?时?当?时?所以?在?

13、上单调递增?在?上单调递减?分又当?时?当?时?当?时?当?时?分?的大致图象如图所示?分所以由图可得?当?或?时?直线?与函数?的图象有两个不同的交点?即函数?有两个零点?故实数?的取值范围为?分?二?选考题?共?分?请考生在第?题中任选一题作答?如果多做?则按所做的第一题计分?解析?由?槡?得?槡?所以?槡?故直线?的普通方程是?槡?分由?得?代入公式?得?所以?即?故曲线?的直角坐标方程是?分数学?理科?参考答案?第?页?共?页?方法一?由?其中?且?得?槡?槡?分现将射线?代入曲线?的极坐标方程?可得?槡?所以?槡?分又直线?的极坐标方程为?槡?分现将?代入直线?的极坐标方程?可得?槡?槡?槡?槡?槡?分所以?槡?槡?槡?分方法二?由题可得射线?其中?且?的直角坐标方程为?联立?解得?槡?槡?则点?槡?槡?分联立?槡?解得?槡?槡?则点?槡?槡?分所以?槡?槡?槡?槡?槡?槡?分?解析?由已知可得?当且仅当?时?等号成立?分?因为?所以?所以?分所以原式?槡?分当且仅当?即?或?时?等号成立?因为?时?所以?的最小值为?分