2023学年九年级数学中考复习一元二次方程的应用《几何图形变换+面积问题》常考题型专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习一元二次方程的应用几何图形变换+面积问题 常考题型专题训练（附答案）1如图，一个长为 acm，宽为 bcm 的矩形铁片（1）如果 a30，b20，在矩形的中央挖掉一个 200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；（2）如果 a2b，在四个角上分别裁掉四个边长为 4cm 的正方形，把它制作成一个体积为 4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积 2 如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长 36 米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过 6 米（围栏宽忽略不计）（1）每个生态园的面积为 48 平方米

2、，求每个生态园的边长；（2）每个生态园的面积能否达到 60 平方米？请说明理由 3为庆祝中国共产党成立 100 周年，某市举办了“学党史感党恩跟党走”建党 100 周年文艺汇演主题活动，活动前，主办方工作人员准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为 26米）作为一边，用 48 米隔栏绳作为另三边，设立一个面积为 300 平方米的矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为 1 米的出入口（出入口不用隔栏绳），那么围成的这个矩形 ABCD 的长与宽分别是多少米呢？4将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那

3、么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由 5 如图，一个边长为 8m 的正方形花坛由 4 块全等的小正方形组成 在小正方形 ABCD 中，点 G，E，F 分别在 CD，AD，AB 上，且 DG1m，AEAFx，在AEF，DEG，五边形 EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是 20 元、20 元、10元（1）当 x2 时，小正方形 ABCD 种植花卉所需的费用；（2）试用含有 x 的代数式表示五边形 EFBCG 的面积；（3）当 x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总

4、费用是 715 元？6学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为 72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为 140m 的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为 1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位（1）若观众席内有 x 行座椅，用含 x 的代数式表示每行的座椅数，并求 x 的最小值；（2）若全校师生共 2400 人，那么座位够坐吗？请说明理由 7某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线 ABC 表示墙面）建饲养场，已知 ABBC，AB3 米，BC15 米，现计划用总长为 38 米的篱笆

5、围建一个“日”字形的饲养场 BDEF，并在每个区域开一个宽 2 米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆 GH 隔开），点 F 可能在线段 BC 上，也可能在线段 BC 的延长线上 （1）如图 1，当点 F 在线段 BC 上时，设 EF 的长为 x 米，则 DE 米；（用含 x 的代数式表示）若围成的饲养场 BDEF 的面积为 132 平方米，求饲养场的宽 EF 的长；（2）如图 2，当点 F 在线段 BC 延长线上，所围成的饲养场 BDEF 的面积能否为 156 平方米？如果能达到，求出 EF 的长；如果不能，请说明理由 8如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花

6、，原空地一边减少了 4m，另一边减少了 5m，剩余部分面积为 650m2（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成 1m 宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为 812m2，求小道的宽度 9如图，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 D 从点 C 开始沿 CA 边运动，速度为 1cm/s，与此同时，点 E 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 2cm/s，当点 E 到达点C 时，点 D 同时停止运动，连接 AE，设运动时间为 ts，ADE 的面积为 S（

7、1）是否存在某一时刻 t，使 DEAB？若存在，请求出此时刻 t 的值，若不存在，请说明理由（2）点 D 运动至何处时，SSABC？10如图，在矩形 ABCD 中、AB15cm，AD5cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到点 B 为止，点 Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动（点P 停止移动时，点 Q 也停止移动）设移动时间为 t（s）连接 PQ，QB（1）当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 13cm？（2）四边形 APQD 的形状可能为矩形吗？若可能，求出 t 的值；若不可能，请说明理由 11 沿 AC 向点 C 方向运

8、动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 向点 B 方向运动如果点 P 的速度是 4cm/s，点 Q 的速度是 2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动的时间为 ts，求：（1）用含 t 的代数式表示 RtCPQ 的面积 S；（2）当 t3 秒时，这时，P、Q 两点之间的距离是多少？（3）当 t 为多少秒时，SSABC？12如图，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（1）如果 P，Q 同时出发，几秒钟后，可使 P

9、Q 的长为 4厘米？（2）点 P，Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由 13如图 A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB16cm，AD6cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 点为止，点 Q 以 2m/s 的速度向 D 点移动，当点 P 到达 B 点时点 Q 随之停止运动（1）AP ，BP ，CQ ，DQ （用含 t 的代数式表示）；（2）t 为多少时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2；（3）t 为多少时，点 P 和点 Q 的距离为 10

10、cm 14如图，在ABC 中，B90，AB6 厘米，BC8 厘米点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动），点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点C 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动）（1）如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于ABC 的三分之一？（2）如果 P、Q 两点分别从 A、B 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动），动点 Q 从 B 出发，沿 BC 移动（到达点 C 即停止运动），几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？15已知：如图，A

11、BC 是边长为 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间 t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求PBQ 的面积；（2）当 t 为何值时，PBQ 是直角三角形？（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是ABC 面积的三分之二？如果存在，求出 t 的值；不存在请说明理由 16如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB3cm，BC6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点

12、N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的？（2）是否存在时间 t，使AMN 的面积达到 3.5cm2？若存在，求出时间 t；若不存在，说明理由 17在 RtABC 中，AC6cm，BC8cm，点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长的速度向 C点移动，点 Q 从 C 点出发以每秒 2 个单位长的速度向点 B 移动，点 P、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置所用的时间为 t 秒（1）当时间 t3 时，求线段 PQ 的长；（2）当移动时间 t 等于何值时，PCQ 的面积为 8cm2？（3）点 D

13、为 AB 的中点，连接 CD，移动 P、Q 能否使 PQ、CD 互相平分？若能，求出点 P、Q 移动时间 t 的值；若不能，请说明理由 18如图，AOBO6 厘米，OC 是一条射线，OCAB一动点 P 从点 A 以 1 厘米/秒的速度向点 B 爬行，另一动点 Q 从点 O 以 2 厘米/秒的速度沿射线 OC 方向爬行，它们同时出发，当点 P 到达 B 点时点 Q 也停止运动设运动时间为 t 秒（1）直接写出 OQ （用 t 的代数式）（2）经过多少秒，POQ 的面积为 8 平方厘米（3）当 t 时，PBQ 为等腰三角形（直接写出答案）19如图，RtABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，一

14、动点 P 从点 A 出发沿边 AC向点 C 以 1cm/s 的速度运动，另一动点 Q 同时从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动问：（1）运动几秒时，CPQ 的面积是 8cm2？（2）运动几秒时，CPQ 与ABC 相似？20在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm/秒的速度移动，同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/秒的速度移动如果 P、Q两点在分别到达 B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ 的面积等于 8cm2？（2）设运动开始后第 t 秒时，五

15、边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；写出 t 为何值时，s 的值最小（3）当 t时，试判断DPQ 的形状（4）计算四边形 DPBQ 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论 参考答案 1解：（1）设这个铁框的宽度为 xcm，根据题意可得：（302x）（202x）200，解得：x15，x220（不合题意舍去），答：这个铁框的宽度为 5cm；（2）由题意可得：4（a8）（b8）4576，则 4（2b8）（b8）4576，解得：b130，b218（不合题意舍去），则 a30260（cm），故 ab30601800（cm2），答：原矩形的面

16、积为 1800cm2 2解：（1）设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为米，根据题意得：x48，整理得：x212x+320，解得：x14，x28（不符合题意，舍去），12 答：每个生态园的长为 12 米，宽为 4 米（2）每个生态园的面积不能达到 60 平方米，理由如下：设垂直于墙的一边长为 y 米，则平行于墙的一边长为米，根据题意得：y60，整理得：y212y+400，（12）24140160，该方程没有实数根，即每个生态园的面积不能达到 60 平方米 3解：设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为（48+22x）米，根据题意得：x（48+22x）300，整理得：x22

17、5x+1500，解得：x110，x215，当 x10 时，48+22x48+22103026，不符合题意，舍去；当 x15 时，48+22x48+22152026，符合题意 答：围成的这个矩形 ABCD 的长为 20 米，宽为 15 米 4解：（1）设其中一段铁丝长为 xcm（0 x10），则另一段铁丝长为（20 x）cm，根据题意得：（）2+（）217，整理得：x220 x+640，解得：x14，x216（不符合题意，舍去），20 x20416 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm，16cm（2）设其中一段铁丝长为 acm（0a10），则另一段铁丝长为（20a）cm，两个正方形的面积之

18、和为 wcm2，根据题意得：w（）2+（）2，即 w（a10）2+，0，当 a10 时，w 取得最小值，此时 20a201010，答：两个正方形的面积之和存在最小值，此时两段铁丝的长度均为 10cm 5解：（1）若 x2，则 DE2，SAEFAEAF2，SDFGDGDF121，S五边形EFBCGS正方形ABCDSAEFSDFG1642+113 所需费用为：202+201+1013190（元）；（2）设 AEAFx 米，则 DF（4x）米 SAEFAEAFx2，SDFGDGDF1（4x）2x，S五边形EFBCGS正方形ABCDSAEFSDFG16x22+xx2+x+14，（3）根据题意得 420

19、 x2+20（2x）+10（x2+x+14）715，整理得 4x24x+10，解得 x1x2 答：当 AEAF米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是 715 元 6解：（1）移动围栏的总长为 140m，且观众席内有 x 行座椅，每行的座椅数为（1402x）个 1402x72，x34，x 的最小值为 34（2）座位够坐，理由如下：依题意得：x（1402x）2400，整理得：x270 x+12000，解得：x130（不符合题意，舍去），x240，若全校师生共 2400 人，那么座位够坐 7解：（1）设 EF 的长为 x 米，则 DE38+2+2（3x3）（453x）（米）故答案为：（453x）依题

20、意得：x（453x）132，整理得：x215x+440，解得：x14，x211 当 x4 时，453x45343315，不合题意，舍去；当 x11 时，453x453111215，符合题意 答：饲养场的宽 EF 的长为 11 米（2）不能达到，理由如下：设 EF 的长为 y 米，则 DE米，依题意得：y156，整理得：y220y+1040，（20）241104160，该方程没有实数根，即当点 F 在线段 BC 延长线上，所围成的饲养场 BDEF 的面积不能达到 156 平方米 8解：（1）设原正方形空地的边长为 xm，则剩余部分长（x4）m，宽（x5）m，依题意得：（x4）（x5）650，整理

21、得：x29x6300，解得：x130，x221（不合题意，舍去）答：原正方形空地的边长为 30m（2）设小道的宽度为 ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30y）m，宽（301y）m的矩形，依题意得：（30y）（301y）812，整理得：y259y+580，解得：y11，y258（不合题意，舍去）答：小道的宽度为 1m 9解：（1）存在，理由如下：假设存在某一时刻 t，使 DEAB，AC6，BC8，CDt，CE82t，t，符合题意（t 最大为 824 秒），存在某一时刻 t秒，使 DEAB；（2）设运动 t 秒时，SSABC，根据图示可知，SSACESDCESABC，SABCACCB6824 平方

22、厘米，SACEACCE6（82t）（246t）平方厘米，SDCECDCEt（82t）（4tt2）平方厘米，S（246t）（4tt2）246t4t+t2（t210t+24）平方厘米，SSABC，t210t+2424，解一元二次方程得：t17，t23，点 E 到达点 C 时，点 D 同时停止运动，在整个运动过程中 0t4，t3 秒符合题意，此时 CD3（cm），CD3cm 时，SSABC 10解：（1）设出发 t 秒后 P、Q 两点间的距离是 13cm 则 AP3t，CQ2t，作 QMAB 于 M，则 PM|152t3t|155t|，（155t）2+52132，解得：t0.6 或 t5.4，答：P

23、、Q 出发 0.6 和 5.4 秒时，P，Q 间的距离是 13cm；（2）四边形 APDQ 的形状有可能为矩形；理由：当四边形 APQD 为矩形，则 APDQ，即 3t152t，解得：t3 答：当 P、Q 出发 3 秒时四边形 APQD 为矩形 11解：（1）若运动的时间为 ts，则 CP（204t）cm，CQ2tcm，SCPCQ（204t）2t20t4t2 又，0t5 RtCPQ 的面积 S20t4t2（0t5）（2）当 t3 时，CP204t20438（cm），CQ2t236（cm），PQ10（cm）（3）依题意得：20t4t21520，整理得：t25t+60，解得：t12，t23 t 为

24、 2 或 3 时，SSABC 12解：（1）设 x 秒钟后，可使 PQ 的长为 4cm，由题意得：（6x）2+（2x）2（4）2，解得：x2 或 x，答：P、Q 同时出发 2 或秒钟后，可使 PQ 的长为 4厘米；（2）不存在 理由：设 y 秒时，PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半，由题意得：（6y）2y68，整理，得 y26y+120，364120，方程无解，即：不存在 13解：（1）当运动时间为 ts 时，AP3tcm，BP（163t）cm，CQ2tcm，DQ（162t）cm 故答案为：3tcm；（163t）cm；2tcm；（162t）cm（2）依题意得：（163t）+2t633，整理

25、得：16t11，解得：t5.答：当 t 为 5 时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2（3）过点 Q 作 QEAB 于点 E，则 PE|（163t）2t|165t|，如图所示 依题意得：|165t|2+62102，即（165t）282，解得：t1，t2 答：当 t 为或时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm 14解：（1）设 t 秒后，PBQ 的面积等于ABC 的三分之一，根据题意得：2t（6t）68，解得：t2 或 4 答：2 秒或 4 秒后，PBQ 的面积等于ABC 的三分之一（2）设 x 秒时，P、Q 相距 6 厘米，根据题意得：（6x）2+（2x）236，解得：x0（舍去）或 x

26、 答：秒时，P、Q 相距 6 厘米 15解：（1）经过秒时，APcm，BQcm，ABC 是边长为 3cm 的等边三角形，ABBC3cm，B60，BP3cm，PBQ 的面积BPBQsinB；（2）设经过 t 秒PBQ 是直角三角形，则 APtcm，BQtcm，ABC 中，ABBC3cm，B60，BP（3t）cm，PBQ 中，BP（3t）cm，BQtcm，若PBQ 是直角三角形，则BQP90或BPQ90，当BQP90时，BQBP，即 t（3t），t1（秒），当BPQ90时，BPBQ，3tt，t2（秒），答：当 t1 秒或 t2 秒时，PBQ 是直角三角形（3）过 P 作 PMBC 于 M，BPM

27、中，sinB，PMPBsinB（3t），SPBQBQPMt（3t），ySABCSPBQ32t（3t）t2t+，y 与 t 的关系式为 yt2t+，假设存在某一时刻 t，使得四边形 APQC 的面积是ABC 面积的，则 S四边形APQCSABC，t2t+32，t23t+30，（3）24130，方程无解，无论 t 取何值，四边形 APQC 的面积都不可能是ABC 面积的 16 解：（1）设经过 ts，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的，则 DN2tcm，AMtcm，ANADDN（62t）cm，ANAMADAB，即（62t）t63，整理得：t23t+20，即（t1）（t2）0，解得：t11，t

28、22，则经过 1s 或 2s，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的；（2）不存在，理由为：假设存在时间 ts，使AMN 的面积达到 3.5cm2，则ANAM3.5，整理得：2t26t+70，3656200，方程没有实数根，则AMN 的面积不能达到 3.5cm2 17解：（1）APt，CQ2t，t3 时，AP3，CQ6，PC633 在 RtPCQ 中，由勾股定理，得 PQ3 答：PQ3；（2）APt，CQ2t，PC6t（6t）2t8，解得：t12，t24（3）PQ、CD 不互相平分 当 PQ、CD 互相平分，四边形 PCQD 是平行四边形，PDCQPDCQ 点 D 为 AB 的中点，P 是

29、AC 的中点，APAC3，PDCQBC4 t PQ、CD 不互相平分 18解：（1）由函数图象，得 OQ2t，故答案为：2t；（2）当 P 在 AO 上，解得：t12，t24 t12，t24 在 0t6 范围内，t12，t24 P 在 BO 上，8，解得：t33+，t43 t33+在 6t12 范围内，t33+；（3）在 RtBOQ 中，由勾股定理，得 BQ24t2+36，BP12t，BP214424t+t2，PBQ 是等腰三角形，PBBQ，PB2BQ2，4t2+3614424t+t2，解得：t14+2，t242（舍去）当 PBPQ 时，BP214424t+t2，PQ24t2+（6t）2，t1

30、，t2（舍去）故答案为：4+2或 19解：（1）设 x 秒后，可使CPQ 的面积为 8cm2 由题意得，APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm，则（6x）2x8，整理，得 x26x+80，解得 x12，x24 则 P、Q 同时出发，2 秒或 4 秒后可使CPQ 的面积为 8cm2（2）设运动 y 秒时，CPQ 与ABC 相似 若CPQCAB，则，即，解得 y2.4 秒；若CPQCBA，则，即，解得 y秒 综上所述，运动 2.4 秒或秒时，CPQ 与ABC 相似 20解：（1）设经过 t 秒，PBQ 的面积等于 8cm2则：BP6t，BQ2t，所以 SPBQ（6t）2t8，即 t26t+80

31、，可得：t2 或 4，即经过 2 秒或 4 秒，PBQ 的面积等于 8cm2（2）根据（1）中所求出的 SPBQPBBQ（6t）2t，整理得 SPBQt2+6t（0t6）则 S五边形APQCDS矩形ABCDSPBQ72（t2+6t）t26t+72（t3）2+63（0t6），当 t3 时，S五边形APQCD63，故当 t3 秒，五边形 APQCD 的面积最小，最小值是 63cm2，（3）当 t1.5s 时，AP1.5，BP4.5，CQ9，DP2146.25，PQ229.25，DQ2117，PQ2+DQ2DP2，DPQ 为 Rt；（4）SDPBQ612t126（122t），7236，36，四边形 DPBQ 的面积是固定值 36