2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题突破训练（附答案）1如图，ABC 为等边三角形，在BAC 内作射线 AP（BAP30），点 B 关于射线AP 的对称点为点 D，连接 AD，作射线 CD 交 AP 于点 E，连接 BE（1）依题意补全图形；（2）设BAP，求BCE 的大小（用含 的代数式表示）；（3）用等式表示 EA，EB，EC 之间的数量关系，并证明 2在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（8，0），点 B（0，6），把ABO 绕点 B 逆时针旋转，得ABO，点 A，O 旋转后的对应点为 A，O，记旋转角为 （1）如图，若 90，求 AA的长；（2）如图，

2、若 120，求点 O的坐标；（3）在（2）的条件下，边 OA 上的一点 P 旋转后的对应点为 P，当 OP+BP取得最小值时，求点 P的坐标（直接写出结果即可）3轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一，即寻找对称轴，将对称轴的一侧图形进行翻折，来构造满足条件的几何辅助线【例题】如图 1，OC 是AOB 的平分线，且OAC+CBO180，试猜想 AC 与 BC的数量关系，并说明理由；分析：将AOC 沿直线 OC 翻折，得到COE，通过相关定理即可得到结论请猜想 AC与 BC 的数量关系，并说明理由；【拓展应用】如图 3，A、D 为线段 BC 同侧两点，BACBDC60，2ACB+ACD180，

3、若 AB10，AC6，求 CD 的长 4在ABC 中，ACB90，ACBC，以 C 为顶点作等腰直角三角形 CMN连接 BN，射线 NM 交线段 BC 于点 D（1）如图 1，MCN90，CMCN，点 A，M，N 在一条直线上，直接写出线段 AM和线段 BN 的数量关系和位置关系；（2）如图 2，点 A，M，N 在一条直线上时，CMN90，MCMN 求证：BN+CMAM；若 AM4，BN1，求 AB 的长；若 CM2，将CMN 绕点 C 逆时针旋转，在旋转过程中射线 NM 交直线 AB 于点H，当DBH 是直角三角形时，直接写出 CD 的长 5如图，OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，A

4、OBCOD，AC、BD 交于 M （1）如图 1，当 90时，AMD 的度数为 （2）如图 2，当 60时，AMD 的度数为 （3）如图 3，当OCD 绕 O 点任意旋转时，AMD 与 是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用 表示AMD，并用图 3 进行证明；若不确定，说明理由 6已知ABC 是等边三角形（1）将ABC 绕点 A 逆时针旋转角（0180），得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O 如图 a，当 20时，ABD 与ACE 是否全等？（填“是”或“否”），BOE 度；当ABC 旋转到如图 b 所在位置时，求BOE 的度数；（2）如图 c，在 AB 和 AC 上分别截取点

5、 B和 C，使 ABAC，连接 BC，将ABC绕点 A 逆时针旋转角（0180），得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O，请利用图 c 探索BOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由 7综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 ABC中，BAC90，ABAC，D 为 BC 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D 上，得到MDN，将MDN 绕点 D 旋转，射线 DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，如图 1 所示（1）操作发现：如图 2，当 E，F 分别是 AB，AC 的中点时，试猜想线段 DE 与 DF 的数量关系是

6、，位置关系是 （2）类比探究：如图 3，当 E，F 不是 AB，AC 的中点，但满足 BEAF 时，判断DEF的形状，并说明理由（3）拓展应用：如图 4，将MDN 绕点 D 继续旋转，射线 DM，DN 分别与 AB，CA的延长线交于 E，F 两点，满足 BEAF，DEF 是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；若在MDN 绕点 D 旋转的过程中，射线 DM，DN 分别与直线 AB，CA 交于 E，F 两点，满足 BEAF，若 ABa，BEb，则 AE （用含 a，b 的式子表示）8如图 1，在等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在边 AB 上，将射线 CP 绕点 C 逆时针旋转

7、 45，交 AB 于点 Q，再将CAP 绕点 C 逆时针旋转 90得CBM，连接 QM根据以上操作可知：QCM45，CPQCMQ（1）将点 P 移动到边 BA 的延长线上，重复上述操作得到图 2，根据操作，判断 AP、PQ、BQ 之间的数量关系，并说明理由（2）如图 3，等腰 RtABC 改为等边ABC 且 AB2，点 P 为射线 BC 上一动点，将射线 AP 绕点 A 逆时针旋转 30，交射线 BC 于点 Q，再将APC 绕点 A 逆时针旋转 60得AMB，当BMQ 为直角三角形时，请直接写出 CP 的长 9如图已知ABC 为等腰直角三角形，A90，D、E 分别为 AC、BC 上的两点，连接

8、 DE，将 DE 绕点 E 逆时针旋转 90得 EF，连接 DF 与 AB 交于点 M （1）如图 1，当DEC30时，若，求 AD 的长；（2）如图 2，连接 CF，N 为 CF 的中点，连接 MN，求证：；（3）如图 3，连接 AF，将 AF 绕点 A 顺时针旋转 60得 AG，连接 FG、BG、CG，若AC4，当ACG 周长取得最小值时，直接写出BCG 的面积 10如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点（1）观察猜想图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关

9、系是 ；（2）探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 ADm，ABn，请直接写出PMN 面积的最大值 11（1）问题发现 如图（1），在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD35，连接AC，BD 交于点 M 的值为 ；AMB 的度数为 （2）类比探究 如图（2），在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC，交 BD 的延长线于点 M请计算的值及AMB 的度数（3）拓展延伸 在（2）的条件下，将OCD 绕点 O 在平面

10、内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M若 OD2，AB8，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长 12在等腰ABC 中，ABC90，ABBC，将斜边 AC 绕点 A 逆时针旋转一定角度得到线段 AD，AD 交 BC 于点 G，过点 C 作 CFAD 于点 F（1）如图 1，当旋转 22.5时，若 BG1，求 AC 的长；（2）如图 2，当旋转 30时，连接 BD，恰好使 BDAC，延长 CF 交 BD 于点 E，连接EG，求证：AGCE+EG；（3）如图 3，点 M 是 AC 边上一动点，在线段 BM 上存在一点 N，使 NB+NA+NC 的值最小时，若 NA2，请直接写出CNM 的

11、面积 13综合与探究 解决问题（1）如图 1，ABC 和CDE 都是等边三角形（CDAB），将CDE 绕着点 C 顺时针旋转，连接 BD、AE 如图 2，当点 E 在 BA 的延长线上时，DBA ；如图 3，当点 A 恰好在边 CD 上时，且点 A 是 CD 的中点，DBA ；如图 4，当点 D 在 BA 的延长线上时，求证：AEBC 拓展应用（2）如图 5，在等边ABC 中，D 是ABC 外一点，连接 AD、CD、BD，若ADC30，AD3，BD5，求BCD 的面积 14如图 1，平面直角坐标系中，ABx 轴，OAAB，C 是点 A 关于 x 轴的对称点，BCOA，交 x 轴于点 E，连接

12、OB（1）求证：OB 平分AOE，OCE 是等边三角形；（2）如图 2，若 F 在 OB 上，BAF45，连接 CF点 B 的坐标为（a，b），直接写出点 F 的坐标（用 a、b 表示）15 在锐角ABC 中，AB4，BC5，ACB45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2连接 AA1，CC1若 AA14，求 CC1的长；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1求线段 EP1长度的最大值

13、与最小值 16如图 1，在ABC 中，BAC90，ABAC，BDAB（1）若 AB3，BAD+BCD45，求线段 BD 的长度；（2）如图 2，点 E、G 分别是边 AB、AC 上的点，将线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90至线段 EF，连接 CF、EG，若FCBEGA45，证明 BE+BDCG；（3）如图 3，在（2）问的基础上，若 G 点为 AC 边上靠点 A 的三等分点，且 AB3，作点 F 关于直线 BC 的对称点 F，连接 BF、GF、BG，求四边形 ABFG 面积的最大值 17综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动（1）操作判断如图 1，将矩形

14、纸片 ABCD 折叠，使 AB 落在边 AD 上，点 B 与点 E 重合，折痕为 AF，即可得到正方形 AEFB，沿 EF 剪开，将正方形 AEFB 折叠使边 AB，AE 都落在正方形的对角线 AF 上，折痕为 AG，AH，连接 GH，如图 2根据以上操作，则GAH （2）迁移探究 将图 2 中的GAH 绕点 A 按顺时针旋转，使它的两边分别交边 BF，FE 于点 I，J，连接IJ，如图 3探究线段 BI，IJ，EJ 之间的数量关系，并说明理由（3）拓展应用 连接正方形对角线 BE，若图 3 中的IAJ 的边 AI，AJ 分别交对角线 BE 于点 K，R，将正方形纸片沿对角线 BE 剪开，如图

15、 4，若 BK2，ER4，请直接写出 KR 的长 18如图，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 得AED，点 B，C 分别旋转到了点 E，D（1）如图 1，若ACB90，AB5，AC3，2BAC，连接 CE，求 CE 的长；（2）如图 2，若 60，延长 BC 交 AE 于点 F，连接 BE 并延长 BE 至点 G，使得 EGAF，连接 GF，连接 AG 交 DE 于点 H，猜想线段 EH，DH，CF 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，ABC 为等腰直角三角形，ABC90，过点 C 作 AB 平行线 l，若 045，延长 AE 交线段 BC 于点 P，AD 与 l 交于点 Q，连

16、接 PQ，当APQ 面积最小时，请直接写出的值 19【问题背景】如图 1，在 RtABC 中，ABAC，D 是直线 BC 上的一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90至 AE，连接 CE，求证：ABDACE；【尝试应用】如图 2，在图 1 的条件下，延长 DE，AC 交于点 G，BFAB 交 DE 于点 F，求证：FGAE；【拓展创新】如图 3，等腰 RtABC 的顶点 A 在BDC 内，ADB45，BD6，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90至 AE，点 D、E、B 恰好共线，直接写出BDC 的面积 20如图，等边ABC 中，点 D 是 AB 延长线上一点，点 E 在 CD 上，连

17、接 AE，AEC60（1）如图 1，连接 BE，求证：BE 平分AED；（2）如图 2，点 F 为线段 AC 上一点，连接 BF 交 AE 于点 G，若点 G 为 BF 的中点，求证：AFBD；（3）如图 3，点 F 为线段 AC 上一动点，作 F 关于 AB 的对称点 F，连接 AF，CF，交AD 于点 K，点 D 在 AB 的延长线上运动，始终满足 AFBD，连接 FD，BF 交 AE 于点G，当 FD 取得最大值时，此时 AD28，SBCD49，求整个运动过程中 GF 的最小值 参考答案 1解：（1）补全图形如图 1 所示，（2）ABC 是等边三角形，BACACB60，ABAC，点 B

18、关于射线 AP 的对称点为点 D，BAPDAP，ABAD，CADBACBAPDAP602，ADAC，ACD（180CAD）180（602）60+，BCEACDACB；（3）EAEB+EC，证明：如图 2，在 EA 上取一点 F，使 EFEB，由（2）知，ACD60+BAP，CAE60BAP，ACD+CAE120，AEC60，由折叠知，AEBAEC60，BEF 是等边三角形，BFBE，EBF60，ABC60，ABCEBF60，ABFCBE，ABC 是等边三角形，ABCB，由（2）知，BAPBCE，ABFCBE（ASA），AFCE，EAEF+AFEB+CE 2解：（1）如图，点 A（8，0），点

19、B（0，6），OA8，OB6，AB10，ABO 绕点 B 逆时针旋转 90，得ABO，BABA，ABA90，ABA为等腰直角三角形，AABA10；（2）作 OHy 轴于 H，如图，ABO 绕点 B 逆时针旋转 120，得ABO，BOBO3，OBO120，HBO60，在 RtBHO中，BOH90HBO30，BHBO3，OHBH3，OHOB+BH6+39，O点的坐标为（3，9）；（3）ABO 绕点 B 逆时针旋转 120，得ABO，点 P 的对应点为 P，BPBP，OP+BPOP+BP，作 B 点关于 x 轴的对称点 C，连接 OC 交 x 轴于 P 点，如图，则 OP+BPOP+PCOC，此时

20、OP+BP 的值最小，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，C（0，6），设直线 OC 的解析式为 ykx+b，把 O（3，），C（0，6）代入得，解得，直线 OC 的解析式为 yx6，当 y0 时，x60，解得 x，则 P（，0），OP，OPOP，作 PDOH 于 D，BOABOA90，BOH30，DPO30，ODOP，PDOD，DHOHOD3，P点的坐标为（，）3解：【例题】ACBC，理由：将AOC 沿直线 OC 翻折，得到COE，AOCEOC，ACEC，OACOEC，BEC+OEC180 BEC+OAC180，OAC+CBO180，BECCBO，ECBC，ACBC；【拓展应用】如图 3，延

21、长 AC 至 F，使 AFAB，连接 BF，2ACB+ACD180，ACB90ACD，BCF180ACB90+ACD，BCDACB+ACD90+ACD，BCDBCF，BAC60，BABF，ABF 是等边三角形，F60，AD60，DF，BCBC，BCDBCF（AAS），CDCF，AFAC+CFAC+CD，ABAC+CD，AB10，AC6，CDABAC4 4（1）解：AMBN，AMBN；理由：ACBMCN90，ACBMCBMCNMCB，ACMBCN，ACBC，CMCN，ACMBCN（SAS），AMBN，AMCBNC，在 RtMCN 中，CMCN，CMNCNM45，AMC180CMN135，BNC1

22、35，ANC+ANB135，ANB135ANC90，AMBN，即 AMBN，AMBN；（2）证明：如图，过点 C 作 CFCN，交 AN 于点 F，CMN 是等腰直角三角形，CNM45，CMMN，CFCN，ACB90，FCNACB，CFNCNF45，ACFBCN，CFCN，ACBC，ACFBCN（SAS），AFBN，CFCN，CMMN，MFMNCM，AMAF+FMBN+CM；解：AM4，BN1，BN+CMAM，CMMNAMBN3，ANAM+MN7，在 RtABN 中，根据勾股定理得，AB5；解：在 RtABC 中，ACBC，B45，、当BDH90时，如图，此时点 M 与点 D 重合，CMN 是

23、等腰直角三角形，CM2，CDCM2；、当BHD90时，如图，BHD90，B45，BDH45，CDN45N，CDCN4，即 CD 的长为 2或 4 5解：（1）如图 1 中，设 OA 交 BD 于 K OAOB，OCOD，AOBCOD，BODAOC，BODAOC，OBDOAC，AKMBKO，AMKBOK90，AMD1809090 故答案为 90（2）如图 2 中，设 OA 交 BD 于 K OAOB，OCOD，AOBCOD，BODAOC，BODAOC，OBDOAC，AKMBKO，AMKBOK60，AMD18060120，故答案为 120（3）如图 3 中，设 OA 交 BD 于 K OAOB，O

24、COD，AOBCOD，BODAOC，BODAOC，OBDOAC，AKOBKM，AOKBMK AMD180 6解：（1）ADE 是由ABC 绕点 A 旋转 得到，ABC 是等边三角形，ABADACAE，BADCAE20，在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS）；20，ABDAEC（18020）80，又BAE+BAC20+6080，在四边形 ABOE 中，BOE360808080120；故答案为：是，120；由已知得：ABC 和ADE 是全等的等边三角形，ABADACAE，ADE 是由ABC 绕点 A 旋转 得到的，BADCAE，BADCAE，ADBAEC，ADB+ABD+BAD180，AE

25、C+ABD+BAD180，ABO+AEC+BAE+BOE360，BAEBAD+DAE，DAE+BOE180，又DAE60，BOE120；（2）如图，ABAB，ACAC，BCBC，ABC 是等边三角形，ABC是等边三角形，根据旋转变换的性质可得 ADAE，BADCAE，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），ABDACE，BOC180（OBC+OCB），180（OBC+ACB+ACE），180（OBC+ACB+ABD），180（ACB+ABC），180（60+60），60，当 030时，BOEBOC60，当 30时，点 B，点 O，点 E 共线 当 30180时，BOE180BOC180

26、60120 7解：（1）BAC90，点 D 是 BC 的中点，ADBDCDBC，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AC 的中点，DEAB，DFAC，AEAB，AFAC，四边形 AEDF 是矩形，ABAC，AEAF，矩形 AEDF 是正方形，DEDF，EDF90，故答案为：DEDF，DEDF；（2）如图 1，DEF 是等腰直角三角形，理由如下：连接 AD，由上知：ADBC，ADB90，ADE+BDE90，ABAC，BAC90，D 是 BC 的中点，BC45，DACBAD45，ADBDBC，BDAC，BEAF，DBEDAF（SAS），DEDF，ADFBDE，ADE+ADF90，EDF90，DE

27、F 是等腰直角三角形；（3）如图 2，DEF 仍是等腰直角三角形，理由如下：连接 AD，由上知：DACABC45，ADBD，180DAC180ABD，FADDBE，BEAF，DBEDAF（SAS），DEDF，ADFBDE，同（2）可得：EDE90，DEF 仍是等腰直角三角形；如图 1，AEABBEab 如图 2，AEAB+BEa+b，故答案为：ab 或 a+b 8解：（1）AP、PQ、BQ 之间的数量关系为：AP2+BQ2PQ2，理由如下：将CAP 绕点 C 逆时针旋转 90得CBM，APBM，CPCM，CAPCBM，PCAMCB，ACB90，ACBC，CABCBA45，CAP180CAB13

28、5CBM，QBMCBMACB90，BM2+BQ2QM2，射线 CP 绕点 C 逆时针旋转 45，交 AB 于点 Q，PCQ45，即PCA+ACQ45，MCB+ACQ45，MCQACB（MCB+ACQ）904545PCQ，CPCM，CQCQ，PCQMCQ（SAS），PQQM，BM2+BQ2QM2，APBM，AP2+BQ2PQ2；（2）当 P 在线段 BC 上时，如图：将CAP 绕点 C 逆时针旋转 90得CBM，ABMACP60ABQ，QBMABM+ABQ120，BMQ 不可能是直角三角形；当 P 在 C 左侧射线 BC 上时，若BMQ90，如图：将CAP 绕点 C 逆时针旋转 90得CBM，A

29、BMACP180ACB120，QBMABMABC1206060，BMBQ，QMBM，设 BMCPm，则 BQ2m，QMm，PAQ30，PAC+CAQ30MAB+CAQ，MAQBAC（MAB+CAQ）603030PAQ，APAM，AQAQ，APQAMQ（SAS），PQQMm，CQPQCPmm，BQ+CQBCAB2，2m+（mm）2，解得 m1，CP1；若BQM90时，如图：将CAP 绕点 C 逆时针旋转 90得CBM，ABMACP180ACB120，QBMABMABC1206060，BQBM，QMBQ，设 BQn，则 BM2nCP，QMn，PAQ30，PACCAQ30MABCAQ，CAQMAB3

30、0，MAQCAQ+CAM（MAB30）+CAM603030PAQ，APAM，AQAQ，APQAMQ（SAS），PQQMn，CQCPPQ2nn，BQCQBCAB2，n（2nn）2，解得 n+1，CP2n2+2；综上所述，CP 的长为1 或 2+2 9解：（1）过点 D 作 DHBC，垂足为 H，如图 1：设 BEa，则 CDBEa，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC45，DHBC，DHC90，HDC90C45，DHCH，DHC 为等腰直角三角形，DHCHa，DEC30，DE2DH2a，EHa，BCBE+EH+HCa+a+a2a+a，又BC2+，2a+a2+，a1，CDa，ABC 是等腰直角三

31、角形，AC，ADACCD；（2）证明：连接 BF、ME，过点 D 作 DHBC，垂足为 H，如图 2：由旋转可得：EDEF 且DEF90，DEH+FEB90，DHBC，DEH+EDH90，FEBEDH，CDBE，且 CDHD，BEHD，在FEB 和EDH 中，FEBEDH（SAS），FBEEHD90，EDEF，且DEF90，EFDEDF45，又ABC45，EFDABC45，即EFMMBE45，F、B、E、M 四点共圆，即四边形 FBEM 为圆内接四边形，FBE+FME180，FME180FBE1809090，EMFM，又EFED，FMDM（三线合一），点 M 是 DF 的中点，又点 N 是 C

32、F 的中点，MN 是DFC 的中位线，MNDC，CDBE，MNBE；（3）以 AB 为边向外作等边三角形ABP，连接 BF，如图 3：由旋转可得：AFAG，且FAG60，AGF 为等边三角形，ABP 为等边三角形，ABAP，且BAP60，FAGBAP60，FAG+PAFBAP+PAF，BAFPAG，在BAF 和PAG 中，BAFPAG（SAS），ABFAPG，由（2）可知，FBE90，ABFFBEABC904545，APGABF45，AP 是一条定线段，APG45说明 D、E 运动时，F 随之运动，G 也随之运动，但G 始终在与线段 AD 成 45角的直线上运动，或者说点 G 的运动轨迹是一条

33、经过点 P 且与 AP 夹角大小为 45的直线，即图 3 中的直线 PQ，当 CGPQ 时，CG 的长度最小，此时，延长 QP、CB 交于点 K，过点 P 作 PRBK，垂足为 R，过点 G 作 GTBC，垂直为 T，如图 4：ABP 是等边三角形，APBABP60，且 PBAB，ABAC4，PB4，APG45，且ABC45，KPB180APBAPG180604575，KBP180ABPABC180604575，KPBKBP75，KPKB，且PKB18075230，设 PRx，则 KP2PR2x，KPKB2x，KRx，BRKBKR2xx，在 RtPBR 中，PR2+BR2PB2，即，x2，x，

34、KB2x，ABAC4，BC，KCKB+BC2 CGBC，CGK90，又K30，CG，GTBC，且GCT90K60，sinGCT，GT，SBCGBCGT6+6 10解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PNBD，点 P，M 是 CD，DE 的中点，PMCE，PMCE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADC+ACD90，MPNDPM+DPNDCA+ADC90，PMPN，故答案为：PMPN，PMPN；（2）结论：PMN 是等腰直角三角形 理由：由旋转知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），AB

35、DACE，BDCE，利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE，PMPN，PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPMDCE，同（1）的方法得，PNBD，PNCDBC，DPNDCB+PNCDCB+DBC，MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBC BCE+DBCACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBCACB+ABC，BAC90，ACB+ABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形；（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PMPNBD，PM 最大时，PMN 面积最大，点 D 在 BA 的延长线上，BDAB+ADm+n，PM（m+n），SPMN最大PM2（m+n）2 11解

36、：（1）AOBCOD36，AOB+DOACOD+DOA，COADOB，又OAOB，OCOD，COADOB（SAS），ACBD，1，故答案为：1；设 AO 与 BD 交于点 E，由知，COADOB，CAODBO，AOB+DBODEO，AMB+CAODEO，AOBAMB35，故答案为：35；（2）在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，tan30，AOB+DOACOD+DOA，即DOBCOA，DOBCOA，DBOCAO，DBO+OEB90，OEBMEA，CAO+MEA90，AMB90，AMB90；（3）如图 31，当点 M 在直线 OB 左侧时，在 RtOCD 中，OCD30，

37、OD2，CD2OD4，在 RtOAB 中，AB8，由（2）知，AMB90，且，设 BDx，则 ACAMx，在 RtAMB 中，AM2+MB2AB2，（x）2+（x+4）282，解得，x11+，x21（舍去），ACAM+；如图 32，当点 M 在直线 OB 右侧时，在 RtAMB 中，AM2+MB2AB2，（x）2+（x4）282，解得，x11+，x21（舍去），ACAM+，综上所述，AC 的长为+或+12（1）解：如图 1，当旋转 22.5时，则CAGGAB22.5，过点 G 作 GHAC 于点 H，则 GHBG1，在等腰 RtCGH 中，BCA45，则 CGGH，则 BCBG+CG，在等腰

38、RtABC 中，ACBC2+；（2）证明：如图 2，延长 CE 交 BA 的延长线于点 T，CFAD，CFGABC90，AGBCGF，TCGGAB，ABGCBT90，BABC，ABGCBT（ASA），AGCT，BGBT，BDAC，EBGACB45，则EBT90EBG45EBG，BTBG，BEBE，BEGBET（SAS），BTEG，AGCTCE+ETCE+EG；（3）解：如图 3，将CBN 绕点 B 逆时针旋转 60得到PBQ，连接 QN，AP 则 PQCN，BQN 是等边三角形，BNNQ，BNQBQN60，CN+AN+BNPQ+QN+NAAP，当 P，Q，N，A 共线时，NC+BN+AN 的值

39、最小，此时ANB120，BAN15，ABN1801201545，ABC90，ABNCBN45，BABC，BMAC，设 MNx，则 AMBMx，NBm，m+xx，xm，ANCN2MN（+1）m，NA2，即 CN2，MN1，则 CM，则CNM 的面积CMMN1 13（1）解：ABC 和CDE 都是等边三角形，ACBC，CDCE，ABCBACACBDCE60，ACEBCD，CAE120，ACEBCD（SAS），CAECBD120，DBADBCABC1206060，故答案为：60；解：点 A 是 CD 的中点，CDE 是等边三角形，AECD，即EAC90，ABC 和CDE 都是等边三角形，ACBC，C

40、DCE，ABCBACACBDCE60，CDBCEA（SAS），CBDCAE90，DBA30，故答案为：30；证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，ACBC，CDCE，ABCBACACBDCE60，ACEBCD，ACEBCD（SAS），CAEABC60，CAEACB60，AEBC；（2）如图 5，以 DC 为边作等边三角形 CDE，连接 AE，过点 E 作 EGDC 于 G，过点A 作 AFCD 于 F，ABC 和CDE 是等边三角形，ACBCAB，CDCEDE，ACBDCE60，BCDACE，ACEBCD（SAS），AEBD5，SACESBCD，ADC30，CDE60，ADE90，DE4，D

41、ECEDC4，SADEADDE346，CDE 是等边三角形，EGCD，DGCG2，DEG30，GEDG2，SDCECDGE424，ADC30，AFCD，AFAD，SACDCDAF43，SACESACD+SCDESADE4+3643 SBCD43 14（1）证明：OAOB，AOBABO，ABx 轴，ABOBOE，AOBBOE，OB 平分AOE；ABx 轴，BCOA，四边形 OEBA 是平行四边形，AOAB，四边形 OEBA 是菱形，则 OEABOA，AOBBOEABOOBE，C 是点 A 关于 x 轴的对称点，EOCAOE2，在OBE 中，OEC2COE，OCCE，而 OAOC，OAOE，OCC

42、E，OCCEOE，OCE 是等边三角形；（2）解：过点 A 作 AHx 轴于点 H，过点 F 作 FNAB 于点 N，由（1）知，AOH60，则 OH，则 ABaOHa，在ABF 中，BAF45，由（1）知，NBF30，设：BNm，则 FNmAN，则 ABAN+BNm+ma，解得：m（a），则 FNm（a），则 BNm，点 F 的坐标为（，）15解：（1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45，BCBC1，CC1BC1CB45，CC1A1CC1B+A1C1B45+4590（2）ABCA1BC1，BABA1，BCBC1，ABCA1BC1，ABC+ABC1A1BC1+ABC1，ABA1CBC1，A

43、BA1CBC1，CC15；（3）如图，过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在 RtBCD 中，BDBC，当 P 在 AC 上运动至 BPAC 时，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB上时，EP1最小，最小值为：EP1BP1BEBDBE2；当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1BC+BE2+57 综上所述：线段 EP1长度的最大值为 7，线段 EP1长度的最小值为2 16（1）解：如图 1，作 AEBC 于 E，作直线 DE，

44、交 AC 于 F，ABAC，BAC90，BAECAEBAC45，AECEBC，ACBABC45，BAD+DAE45，BAD+BCD45，DAEDCE，DAE+CAEDCE+ACB，DACACD，ADCD，DF 是 AC 的垂直平分线，DFAC，AFAC，AFD90，BDAB，ABD90，四边形 ABDF 是矩形，BDAF；（2）证明：如图 1，作 EHAB，交 BC 于 H，连接 FH，作 EKBC，交 AC 于 K，可得等腰直角三角形 BEH，GHEACB45，EHBE，BEHDEF90，EHB45，BEHDEHDEFDEH，BEDHEF，BEDHEF（SAS），EHFEBD90，FHBD，

45、CHF180EHFEHB45，CHFGKE，ACBEHB45，EHAC，四边形 EHCK 为平行四边形，EBEHCK，EKCH，GEKEGAGKEEGA45，FCBEGA45，GEKFCB，CFHEGK（ASA），GKFHBD，CK+GKCG，BE+BDCG；（3）如图 2，在 AB 上截取 AHAG，连接 HF 并延长交 BC 于 M，连接 MF，ABAC，BHCG，BE+EHBHCG，BE+BDCG，EHBD，DEF90，HEF+BED90，EBD90，EDB+BED90，HEFBDE，FHEEBD（SAS），FHB90，点 F 在过 H 点且与 AB 的垂直直线上运动，HMB45，点 F

46、 和点 F关于 BC 对称，BMFHMB45，HMF90，点 F在过 M 点且与 HM 垂直的直线上运动，S四边形ABFGSABG+SBFG+hBG+hBG，点 E 在点 B 处时，F 在 H 处时，hBG最大，此时，S四边形ABFG（AG+BN）AB 17解：（1）四边形 ABFE 是正方形，BAD90，由折叠得BAGGAFBAF，EAHHAFEAF，GAHFAG+FAHBAF+EAFBAD45，故答案为：45（2）IJEJ+BI 理由：如图，将AEJ 顺时针旋转 90得到ABJ，由旋转的性质可得 AJAJ，EJBJ，EAJBAJ 四边形 ABFE 为正方形，BAE90 由（1）中结论可得I

47、AJ45，BAI+EAJ45，BAJ+BAI45，IAJIAJ 在AIJ 和AIJ中，AIAI，IAJIAJ，AJAJ，AIJAIJ（SAS），IJIJ IJBJ+BI，IJEJ+BI（3）如图，将AER 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABR，连接 KR，根据旋转的性质可得EABR45，ERBR 由（2）中的结论可证AKRAKR，KRKR E45，ABE45，KBRABE+ABR90 在 RtKBR中，BK2+BR2KR，BK2+ER2KR2，18解：（1）DAC2BAC，DAEBAC，CAE+DAE2DAE，CAEDAE，ACAD，AEAE，CAEDAE（SAS），CEDEBC，ACB90，

48、AB5，AC3，BC4，CE4；（2）如图 1，EHCFDH，理由如下：在 AH 上截取 EQCF，AEAB，BAE60，ABE 是等边三角形，AEB60，在ABF 中，AFB180BAEABC18060ABC120ABC，GEQ180AEBAED18060AED120AED，AEDABC，AFBGEQ，EGAF，GEQAFC（SAS），GQEACF，ACGQ，180GQE180ACF，ACBGQH，DACB，GQHD，ADAC，GQAD，GHQAHD，GHQAHD（AAS），HQDH，EHEQDH，EHCFDH；（3）如图 2，作 AFl 于 F，AFC90，B90，lAB，BCF90，四边

49、形 ABCF 是矩形，ABBC，四边形 ABCF 是正方形，不妨设正方形 ABCF 的边长为 1，将ABP 绕点 A 顺时针旋转 90至AFH，BAC45，BAF90，BAP+FAQ45，FAH+FAQ45，HAQ45，HAQPAQ，AHAP，AQAQ，PAQHAQ（SAS），作HAQ 的外接圆 O，连接 OQ，OA，OH，作 OGHQ 于 G，设O 的半径为 R，HOQ2HAQ90，HQOH，OGHQR，OA+OGAF，R+R1，R2，当 R2时，此时点在 AF 上，即 AF 平分QAH（HAFFAQ22.5），SQAH最小HQAFR1，即PAQ 的面积最小值为：1，此时BAPHAF22.5

50、，AP 平分BAC，19【问题背景】证明：如图 1，BACDAE90，DABEAC，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）【尝试应用】证明：如图 2，过点 D 作 DKDC 交 FB 的延长线于 K DKCD，BFAB，BDKABK90，ABAC，BAC90，ABCACB45，DBKK45，DKDB，ABDACE，ABDACE135，DBECDK，ECG45，BFAB，CAAB，AGBF，GDFK，在ECG 和DKF 中，ECGDKF（AAS），DFEG，DEAE，DF+EFAE，EG+EFAE，即 FGAE【拓展创新】解：如图 3 中，过点 A 作 AEAD 交 BD 于 E，连接