2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用 解答题专题提升训练（附答案）1如图，某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 CB5 米（1）求钢缆 CD 的长度；（精确到 0.1 米）（2）若 AD2 米，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米，且EAB120，则灯的顶端 E 距离地面多少米？（参考数据：tan400.84，sin400.64，cos40）2 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 MN 是装订机的底座，AB 是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆 DE 的 D 点固定，点 E 沿 AB 滑动，压柄 BC 可绕着转轴

2、 B 旋转已知压柄 BC 的长度为 15cm，BD5cm，压柄与托板的长度相等（1）当托板与压柄夹角ABC37时，如图点 E 从 A 点滑动了 2cm，求连接杆 DE的长度；（2）当压柄 BC 从（1）中的位置旋转到与底座 AB 的夹角ABC127，如图求这个过程中点 E 滑动的距离（答案保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8tan370.75）3如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处竖立标杆 CD，标杆的高是 2m，在 DB 上选取观测点 E、F，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为 58、45从 F测得 C、A 的仰角分别为 22、70求建筑物 A

3、B 的高度（精确到 0.1m）（参考数据：tan220.40，tan581.60，tan702.75）4如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的 俯角为 其中 tan2，无人机的飞行高度 AH 为 500米，桥的长度为 1255 米 求点 H 到桥左端点 P 的距离；若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30，求这架无人机的长度AB 5如图，一扇窗户垂直打开，即 OMOP，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 35到达 ON 位置，此时，点 A、C 的对应位

4、置分别是点 B、D测量出ODB 为 25，点 D 到点 O 的距离为 25cm（1）求 B 点到 OP 的距离；（2）求滑动支架的长（结果精确到 0.1cm参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos550.57，tan551.43）6如图是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC 为米，tanA，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点 D 与 C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，求 BD 的长（结果保留根号）7如图，已知ABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与CD

5、 相交于点 E（1）如果 BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；（2）连接 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED4，求 cosA 的值；（3）连接 PD，如果 BP22CD2，且 CE3，ED5，求线段 PD 的长 8如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E连接 AD，BC，AD5，cosBCD（1）求弦 CD 的长；（2）求O 的半径 9 动感单车是一种新型的运动器械 图是一辆动感单车的实物图，图是其侧面示意图 BCD 为主车架，AB 为调节管，点 A，B，C 在同一直线上已知 BC 长为 70cm，BCD的度数为 58当 AB 长度调至 34

6、cm 时，求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度（结果精确到1cm）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）10随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实如图 1 是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一图 2 是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC8，CD2，D135，C60，且ABCD，求出垂尾模型 ABCD 的面积（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）11如图，O 是ABC 的外接圆，点 D 在 BC 延长线上，且满足CADB（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若 AC 是BAD 的平

7、分线，sinB，BC4，求O 的半径 12如图，以ABC 的边 AC 上一点 O 作O 经过点 B、C，交 AC 于点 D连接 BD，作OGBD 交O 于点 G，交 BC 于点 E，连接 DG 交 BC 于点 F（1）当ABDC 时，求证：AB 为O 的切线；（2）若 GB4，GD8，求 FD 的长；（3）若 sinGDB，求 tanBGD 的值 13如图，在 RtAOB 中，AOB90，以 O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边 AB 于点D，点 C 在边 OA 上且 CDAC，延长 CD 交 OB 的延长线于点 E（1）求证：CD 是圆的切线；（2）已知 sinOCD，AB4，求 AC 长度

8、及阴影部分面积 14随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G 网络全覆盖，20212025 年拟建设 5G 基站 3000 个，如图，在斜坡 CB 上有一建成的 5G基站塔 AB，小明在坡脚 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45，然后他沿坡面 CB 行走了 50 米到达 D 处，D 处离地平面的距离为 30 米且在 D 处测得塔顶 A 的仰角 53（点 A、B、C、D、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53，cos53，tan53）（1）求坡面 CB 的坡度；（2）求基站塔 AB 的高 15北京时间 2022 年 4 月 16 日 9 时

9、 56 分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为 8m 的励志条幅（即 GF8m）小亮同学想知道条幅的底端 F 到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点 B 处，在点 B 正上方点 A 处测得条幅顶端 G 的仰角为 37，然后向教学楼条幅方向前行 12m到达点 D 处（楼底部点 E 与点 B，D 在一条直线上），在点 D 正上方点 C 处测得条幅底端 F 的仰角为 45，若 AB，CD 均为 1.65m（即四边形 ABDC 为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端 F 到地面的距离 FE 的长度（结果精确到 0.1m 参考数据：sin370.60

10、，cos370.80，tan370.75）16 某一时刻，一缕阳光照射在教学楼上，教学楼的影子恰好映射到后面的小山包的 D 处，已知教学楼底部 B 距离小山包底部 C 的水平距离 BC10 米，小山包坡面 CD 与水平线的夹角为 45，且 CD 的长为米，阳光光线与水平线的夹角为 35，A、B、C、D均在同一平面上，求教学楼的高 AB（参考数据：tan350.7，sin350.5735，cos350.8192）17某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口 AC 改造为车库斜坡入口AD已知入口高 AB4m，且 ABBD，点 C 处测得ACB45，新坡面坡角ADB30（1）求斜坡底部增

11、加的长度 CD 为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线 AE6m，地下停车库坡道入口上方点 E 处有悬挂广告牌 EF，EFBD，EF1.3m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到 0.1，参考数据：1.4，1.7）18某居民楼 MN 后有一个坡度为 i1：2.4 的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌 PQ（如图所示），已知 QA5.2 米，水平地面上居民楼 MN 距坡底 A 点的距离 AN1.2 米当太阳光线与水平线成 53角时，测得广告牌 PQ 落在居民楼上的影子 EN 长为 3 米，求广告牌 PQ 的

12、高（参考数据：sin53，cos53，tan53）19在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量如图，在山坡坡脚 C 处测得该建筑物顶端 B 的仰角为 60，沿山坡向上走 20m 到达 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为 30已知山坡坡度 i3：4，即 tan，请你帮助该小组计算建筑物的高度 AB （结果精确到 0.1m，参考数据：1.732）20数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，DCAM 于点 E，在 A 处测得大树底端 C 的仰角为 15，沿水平地面前进 30 米到达 B 处，测得大树顶端 D 的仰角为53，测得山坡坡角CBM30（图中各点均在同一平面内）（1）求

13、斜坡 BC 的长；（2）求这棵大树 CD 的高度（结果取整数），（参考数据：sin53，cos53，tan53，1.73）参考答案 1解：（1）在 RtBCD 中，6.7；（3 分）（2）在 RtBCD 中，BC5，BD5tan404.2（4 分）过 E 作 AB 的垂线，垂足为 F，在 RtAFE 中，AE1.6，EAF18012060，AF0.8（6 分）FBAF+AD+BD0.8+2+4.207 米（7 分）答：钢缆 CD 的长度为 6.7 米，灯的顶端 E 距离地面 7 米（8 分）2解：（1）如图，作 DHBE 于 H，在 RtBDH 中，DHB90，BD5，ABC37，cos37，

14、DH5sin3750.63（cm），BH5cos3750.84（cm）ABBC15cm，AE2cm，EHABAEBH15249（cm），DE3（cm）答：连接杆 DE 的长度为cm（2）如图，作 DHAB 的延长线于点 H，ABC127，DBH53，BDH37，在 RtDBH 中，sin370.6，BH3cm，DH4cm，在 RtDEH 中，EH2+DH2DE2，（EB+3）2+1690，EB（）（cm），点 E 滑动的距离为：15（3）2（16）（cm）答：这个过程中点 E 滑动的距离为（16）cm 3解：在 RtCED 中，CED58，tan58，DE，在 RtCFD 中，CFD22，ta

15、n22，DF，EFDFDE，同理：EFBEBF，解得：AB5.9（米），答：建筑物 AB 的高度约为 5.9 米 4解：在 RtAHP 中，AH500米，由 tanAPHtan2，可得 PH250 米 点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米 设 BCHQ 于 C 在 RtBCQ 中，BCAH500米，BQC30，CQ1500 米，PQ1255 米，CP245 米，HP250 米，ABHC2502455 米 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米 5解：（1）如图所示：在 RtBOE 中，MON35，BOD55，tan55，OE，同理，DE，ODOE+DE+25，解得：BE8.8，答：B

16、点到 OP 的距离为 8.8cm；（2）在 RtBDE 中，sinBDE，BD21.0（cm），答：滑动支架的长约为 21.0cm 6解：如图，点 D 与点 C 重合时，BCBD，BCBCBDA，tanA，tanBCB，设 BBx 米，则 BC3x 米，在 RtBCB 中，BB2+BC2BC2，即：x2+（3x）2（）2，x（负值舍去），BDBC米 故 BD 的长为米 7解：（1）P 为 AC 的中点，AC8，CP4，ACB90，BC6，BP2，D 是边 AB 的中点，P 为 AC 的中点，点 E 是ABC 的重心，BEBP；（2）如图 1，过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F，

17、BDDA，FDDC，BFAC，CE2，ED4，则 CD6，EF6+410，设 CPk，则 PA4k，PDAB，D 是边 AB 的中点，PAPB4k BCk，AC5k，AB2k，cosA；（3）ACB90，D 是边 AB 的中点，CDBDAB，PB22CD2，BP22CDCDBDAB，PBDABP，PBDABP，BPDA，ADCA，DPEDCP，PDECDP，DPEDCP，PD2DEDC，CE3，ED5，DC3+58，PD2 8解：（1）ABCD，CEDECD，cosBCD，cosAcosBCD 在 RtADE 中，AD5，cosA AE4，DE3，则 CD6，（2）设半径为 r，则 OE4r，

18、ODr 在 RtBCE 中，OE2+DE2OD2，（4r）2+9r2，r 9解：AB34cm，BC70cm，ACAB+BC104cm，在 RtACE 中，sinBCD，AEACsinBCD1040.8588cm 答：点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约 88cm 10解：如图，过点 A 作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于 F，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB的延长线于 E，ABCD，四边形 AECF 是矩形，BCD60，BCE906030，在 RtBCE 中，BCE30，BC8，BEBC4，CEBC4，ADC135，ADF18013545，ADF 是等腰直角三角形，DFAFCE4，

19、由于 FCAE，即 4+2AB+4，AB42，S梯形ABCD（2+42）424，答：垂尾模型 ABCD 的面积为 24 11证明：（1）连接 OA，OC 与 AB 相交于点 E，如图，OAOC，OACOCA，CADB，AOC2CAD，OCA+CAO+AOC180，2CAO+2CAD180，CAO+CAD90，OAD90，OA 是O 的半径，AD 是O 的切线；解：（2）AC 是BAD 的平分线，BACDAC，CADB，BACB，OCAB，BEAE，在 RtBEC 中，BC4，sinB，CE，BE，设O 的半径为 r，则 CEOCCEr，在 RtAOE 中，OA2OE2+AE2，r2（r）2+，

20、解得：r 12解：（1）证明：如图 1，连接 OB，则 OBOC，OBCC，ABDC，ABDOBC，CD 是O 的直径，CBD90，即OBC+OBD90，ABOABD+OBDOBC+OBD90，OBAB，OB 是O 的半径，AB 是O 的切线（2）证明：CD 是O 的直径，CBD90，即 CBBD OGBD，OGBC，GDBGBF，又DGBBGF，GBDGFB；，GB2GFGD，428GF，GF2，FD826（3）连接 CG，如图 2 所示：GDBGCB，OGBC，BECE，设 GEx，OGOCr，则 OErx，CG3x 在 RtCGE 中，在 RtOCE 中，OE2+CE2OC2，即 解得：

21、，CD2r9x，在 RtDBC 中，BD2+BC2CD2，BD7x 或 BD7x（舍去），13（1）证明：如图，连接 OD，ACCD，AADCBDE，AOB90，A+ABO90，又OBOD，OBDODB，ODB+BDE90，即 ODEC，OD 是半径，EC 是O 的切线；（2）解：在 RtCOD 中，由于 sinOCD，设 OD4x，则 OC5x，CD3xAC，在 RtAOB 中，OBOD4x，OAOC+AC8x，AB4，由勾股定理得，OB2+OA2AB2，即：（4x）2+（8x）2（4）2，解得 x1 或 x1（舍去），AC3x3，OC5x5，OBOD4x4，ODCEOC90，OCDECO，

22、CODCEO，即，EC，S阴影部分SCOES扇形 4 4，答：AC3，阴影部分的面积为 14解：（1）如图，过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 F，过点 D 作 DMCE，垂足为 M 由题意可知：CD50 米，DM30 米 在 RtCDM 中，由勾股定理得：CM2CD2DM2，CM40 米，斜坡 CB 的坡度DM：CM3：4；（2）设 DF4a 米，则 MN4a 米，BF3a 米，ACN45，CANACN45，ANCN（40+4a）米，AFANNFANDM40+4a30（10+4a）米 在 RtADF 中，DF4a 米，AF（10+4a）米，ADF53，tanADF，解得 a，

23、AF10+4a10+3040（米），BF3a米，ABAFBF40（米）答：基站塔 AB 的高为米 15解：设 AC 与 GE 相交于点 H，由题意得：ABCDHE1.65 米，ACBD12 米，AHG90，设 CHx 米，AHAC+CH（12+x）米，在 RtCHF 中，FCH45，FHCHtan45x（米），GF8 米，GHGF+FH（8+x）米，在 RtAHG 中，GAH37，tan370.75，解得：x4，经检验：x4 是原方程的根，FEFH+HE5.655.7（米），条幅底端 F 到地面的距离 FE 的长度约为 5.7 米 16解：过点 D 分别作 AB、CF 的垂线，垂足分别为 M、

24、N，则四边形 MBND 为矩形，MDBN，MBDN，DCN45，CD5米，CDBN5 米，BC10 米，DMBN15 米，AEDM，EAD35，ADM35，在 RtAMD 中，tanADM，AMDMtanADM150.710.5（米），BMDN5 米，AB10.5+515.5（米），答：教学楼的高 AB 为 15.5 米 17解：（1）ABBD，B90，在 RtABC 中，AB4m，ACB45，BC4（m），在 RtABD 中，ADB30，BD4（m），CDBDBC（44）m，斜坡底部增加的长度 CD 为（44）m；（2）延长 EF 交 AD 于点 G，过点 F 作 FHAD，垂足为 H，由题

25、意得：FHGAEG90，AEBD，EADADB30，AGF90EAD60，在 RtAEG 中，AE6m，EGAEtan3062（m），EF1.3m，FGEGEF2.1（m），在 RtFHG 中，FHFGsin602.11.8（m），限制高度约为 1.8 米 18解：过点 E 作 EFPQ 于点 F，延长 PQ 交 BA 于点 G，则 QGBA，设 QGx 米，山坡的坡度为 i1：2.4，AG2.4x 米，由勾股定理得：x2+（2.4x）25.22，解得：x2，则 QG2 米，AG2.4x4.8 米，EFNG4.8+1.26（m），在 RtPEF 中，PEF53，EF6m，则 PFEFtanPE

26、F6tan5368（m），FQENQG321（m），PQ8+19（m）答：信号塔 PQ 的高约为 9m 19解：过点 D 作 DEAC，垂足为 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DEAF，DFAE，在 RtDEC 中，tan，设 DE3x 米，则 CE4x 米，DE2+CE2DC2，（3x）2+（4x）2400，x4 或 x4（舍去），DEAF12 米，CE16 米，设 BFy 米，ABBF+AF（12+y）米，在 RtDBF 中，BDF30，DFy（米），AEDFy 米，ACAECE（y16）米，在 RtABC 中，ACB60，tan60，解得：y6+8，经检验：y6+8是原方程的根，ABBF+AF18+831.9（米），建筑物的高度 AB 约为 31.9 米 20解：（1）由题意得：CAE15，AB30 米，CBE 是ABC 的一个外角，ACBCBECAE15，ACBCAE15，ABBC30 米，斜坡 BC 的长为 30 米；（2）在 RtCBE 中，CBE30，BC30 米，CEBC15（米），BECE15（米），在 RtDEB 中，DBE53，DEBEtan531520（米），DCDECE201520（米），这棵大树 CD 的高度约为 20 米