北师大版2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学上册第一次月考测试题（附答案）一、单项选择题（共 18 分）1关于 x 的方程（a1）x2+4x30 是一元二次方程，则（）Aa1 Ba1 Ca1 Da0 2如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 边的中点，AB6，则OE 的长为（）A2 B3 C6 D12 3下列说法正确的是（）A对角线互相垂直的四边形是菱形 B邻边相等的矩形是正方形 C对角线相等的平行四边形是正方形 D有一个内角是直角的四边形是矩形 4已知 m 是一元二次方程 x2+4x10110 的一个根，则 2m2+8m+1 的值是（）A2022 B2023 C20

2、22 D2023 5如图，在矩形 ABCD 中，AB2cm，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，DEAC，垂足为 E，OECE，则 BC 的长为（）A2cm B4cm C2cm D2cm 6已知关于 x 的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）0（其中 p，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）A1 可能是方程 x2+qx+p0 的根 B1 可能是方程 x2+qx+p0 的根 C0 可能是方程 x2+qx+p0 的根 D1 和1 都是方程 x2+qx+p0 的根 二、填空题（共 18 分）7方程 2x2+3x40 的二次项系数为 8如图，在菱形 ABCD 中，A4

3、0，则CBD 的度数为 9关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 10观察表格，一元二次方程 x2x1.10 的一个解的取值范围是 x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2x1.1 0.71 0.54 0.35 0.14 0.09 0.34 0.61 11边长为 2 的一个正方形和一个等边三角形按如图所示的方式摆放，则ABC 的面积为 12如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，OA2，OC4，对角线 AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 AC 于点 D若 y 轴上有一点 P（不

4、与点 C 重合），能使AEP 是以 AE 为腰的等腰三角形，则点 P 的坐标为 三、解答题（共 30 分）13如图，ABCADC90，O 是线段 AC 的中点，求证：OBOD 14解方程：x24x+30 15以下是某同学解方程 x23x2x+6 的过程：解：方程两边因式分解，得 x（x3）2（x3），方程两边同除以（x3），得 x2，原方程的解为 x2（1）上面的运算过程第 步出现了错误（2）请你写出正确的解答过程 16 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 BEAC，且 BEAC，连接 EC，求证：四边形 BECO 是矩形 17如图，在正方形 ABCD

5、中，E 是 AB 的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）（1）如图 1，作正方形 ABCD 的一条对称轴，且该对称轴与 AD 平行（2）如图 2，在 AD 上找一点 F，使得 CFDE 18已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k2k20（1）求证：无论 k 为何值，方程都有两个不相等的实数根（2）若方程有一个根为2，求 k 的值 四、解答题（共 24 分）19如图，一矩形草坪的长为 25 米，宽为 12 米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是 230 平方米（1）求小路的宽（2）每平方米小路的建设费用为 200 元，求修建两

6、条小路的总费用 20如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 交于点 O，AC2AB，BEAC，OEAB（1）求证：四边形 ABEO 是菱形（2）若 AC4，BD8，求四边形 ABEO 的面积 21阅读下面的材料，解答问题 材料：解含绝对值的方程：x23|x|100 解：分两种情况：当 x0 时，原方程化为 x23x100，解得 x15，x22（舍去）；当 x0 时，原方程化为 x2+3x100，解得 x35，x42（舍去）综上所述，原方程的解是 x15，x25 请参照上述方法解方程 x2|x+1|10 五、解答题（共 18 分）22关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0

7、经过适当变形，可以写成（xs）（xt）p（st）的形式现列表探究 x24x50 的变形：变形 s t p（x+1）（x5）0 1 5 0 x（x4）5 0 4 5（x1）（xq）8 1 q 8（x2）29 2 2 9 回答下列问题：（1）表格中 q 的值为 （2）观察上述探究过程，表格中 s 与 t 满足的等量关系为 （3）记 x2+bx+c0 的两个变形为（xs1）（xt1）p1和（xs2）（xt2）p2（p1p2），求的值 23如图 1，在正方形 ABCD 中，O 是对角线的交点，P 是线段 AO 上任一点（不与点 A，O 重合），过点 P 作 PEPB，PE 交边 CD 于点 E（1）P

8、CE 的度数为 （2）求证：PBPE（3）如图 2，若正方形 ABCD 的边长为 4，过点 E 作 EFAC 于点 F，在点 P 运动的过程中，PF 的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由 六、解答题（本大题共 12 分）24课本再现：（1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，P 是 AD 上不与 A 和 D 重 合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 EF 求 PE+PF 的值 如图 1，连接 PO，利用PAO 与PDO 的面积之和是矩形面积的，可求出 PE+PF 的值

9、，请你写出求解过程 知识应用：（2）如图，在矩形 ABCD 中，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，将矩形 ABCD 沿直线 MN折叠，使点 D 恰好与点 B 重合，点 C 落在点 C处 如图 2，P 为线段 MN 上一动点（不与点 M，N 重合），过点 P 分别作直线 BM，BC 的垂线，垂足分别为 E 和 F，以 PE，PF 为邻边作平行四边形 PEGF，若 DM13，CN5，求平行四边形 PEGF 的周长 如图 3，当点 P 在线段 MN 的延长线上运动时，若 DMm，CNn请用含 m，n 的式子直接写出 GF 与 GE 之间的数量关系 参考答案 一、单项选择题（共 18 分）1解：由

10、题意得：a10，解得：a1，故选：C 2解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，ABAD6，点 E 是 AD 的中点，OEAD3，故选：B 3解：A对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 A 选项不符合题意；B邻边相等的矩形是正方形，所以 B 选项符合题意；C对角线相等的平行四边形是矩形，所以 C 选项不符合题意；D有一个内角是直角的平行四边形是矩形，所以 D 选项不符合题意 故选：B 4解：m 为一元二次方程 x2+4x10110 的一个根 m2+4m10110，即 m2+4m1011，2m2+4m+12（m2+4m）+121011+12023 故选：D 5解：四边形 ABCD 是矩形，OA

11、OCAC，ODBD，ACBD，CDAB2cm，OAODOC，DEAC，OECE，DEA90，ODCD，OCODCD2cm，BD2OD4cm，BC2（cm），故选：A 6解：根据题意，可得（2q）24（p+1）20，且 p+10，q（p+1），当 qp+1 时，qp10，此时 x1 是方程 x2+qx+p0 的根，当 q（p+1）时，q+p+10，此时 x1 是方程 x2+qx+p0 的根，p+10，p+1（p+1），x1 和 x1 不能同时是方程 x2+qx+p0 的根，当 x0 时，p0，q1，当 p0，q1 时，x0 是方程 x2+qx+p0 的根，故选项 D 符合题意，故选：D 二、填空

12、题（共 18 分）7解：方程 2x2+3x40 的二次项系数为 2 故答案为：2 8解：四边形 ABCD 是菱形，AC40，CDCB，CBD70，故答案为：70 9解：根据题意得424m0，解得 m4 故答案为 4 10解：由 x1.6 时，x2x1.10.14，x1.7 时，x2x1.10.09，由函数的增减性，得 x2x1.10 的解满足 1.6x1.7，故答案为：1.6x1.7 11解：过点 C 作 CD 和 CE 垂直正方形的两个边长，如图，一个正方形和一个等边三角形的摆放，四边形 DBEC 是矩形，CEDB1，ABC 的面积ABCE121，故答案为：1 12解：对角线 AC 的垂直平

13、分线交 AB 于点 E，AECE，OA2，OC4，ABOC4，BCOA2，设 AEm，则 BE4m，CEm，在 RtBCE 中，BE2+BC2CE2，即：（4m）2+22m2，解得：，设点 P 坐标为（0，y），AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，当 APAE，则，解得：，当 EPAE，则，解得：y14，y21，点 P 的坐标为或或（0，4）或（0，1），故答案是：或或（0，4）或（0，1）三、解答题（共 30 分）13证明：ABCADC90，点 O 是 AC 的中点，OBAC，ODAC，OBOD 14解：x24x+30（x1）（x3）0 x10，x30 x11，x23 15解：（1）上面

14、的运算过程第步出现了错误；故答案为：；（2）方程两边因式分解，得 x（x3）2（x3），移项得 x（x3）+2（x3）0，方程左边分解得（x3）（x+2）0，方程转化为 x30 或 x+20，所以原方程的解为 x13，x22 16证明：四边形 ABCD 是菱形，BOC90，OCOAAC，BEAC，BEOC，BEAC，四边形 BECO 是平行四边形，BOC90，平行四边形 BECO 是矩形 17 解：（1）（2）CN/AB，AD/BC，F 是 AD 的中点，AEDF，又ADCD，EADFDC EADFDC，DFM+FDM90，CFDE 18（1）证明：在方程 x2+（2k1）x+k2k20 中，

15、b24ac（2k1）24（k2k2）90，此方程总有两个不相等的实数根（2）解：将 x2 代入 x2+（2k1）x+k2k20 中，k2+3k0，解得：k0 或3 如果方程有一个根为2，k 的值为 0 或3 四、解答题（共 24 分）19解：（1）设小路的宽为 x 米，则非阴影部分可合成长为（25x）米，宽为（12x）米的矩形，依题意得：（25x）（12x）230，解得：x237x+700，解得：x12，x235（不符合题意，舍去）答：小路的宽为 2 米（2）200（2512230）14000（元）答：修建两条小路的总费用为 14000 元 20证明：（1）BEAC，OEAB，四边形 ABEO

16、 是平行四边形，四边形 ABCD 是平行四边形，AC2AO，AC2AB，AOAB，四边形 ABEO 是菱形；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，AOAC2，OBBD4，连接 AE 交 BO 于 M，由（1）知，四边形 ABEO 是菱形，AE、OB 互相垂直平分，OMBO2，AM4，AE8，四边形 ABEO 的面积AEOB8416 21解：当 x+10，即 x1 时，原方程可化为 x2（x+1）10，即 x2x20，（x2）（x+1）0，x20 或 x+10，解得 x12，x21，当 x+10，即 x1 时，原方程可化为 x2+（x+1）10，即 x2+x0，x（x+1）0，x0 或 x+

17、10，解得 x10（舍去），x21（舍去），综上所述，原方程的解是 x12，x21 五、解答题（共 18 分）22解：（1）x24x50，x24x+38，（x1）（x3）8，所以 q3；故答案为：3；（2）表格中 s 与 t 满足的等量关系为 s+t4；故答案为：s+t4；（3）由（2）得 s1+t1b，s2+t2b，所以 s1+t1s2+t2，即 t1t2s2s1，所以1 23（1）解：四边形 ABCD 是正方形，ACD45，P 是线段 AO 上任一点，点 E 在 CD 边上，PCE45，故答案为：45；（2）证明：如图 1，过点 P 作 MNAD，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，P

18、BPE，BPE90，MPB+EPN90 四边形 ABCD 是正方形，BADD90，ADMN，BMPBADPNED90，MPB+MBP90，EPNMBP，在 RtPNC 中，PCN45，PNC 是等腰直角三角形，PNCN，BMPPNEABC90，四边形 BMNC 是矩形，BMCNPN，BMPPNE（ASA），PBPE；（3）解：在 P 点运动的过程中，PF 的长度不发生变化，PF2，理由：如图 2，连接 OB，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，OBAC，AOB90，AOBEFP90，OBP+BPO90，PEPB，BPE90，BPO+OPE90，OBPOPE，由（1）得 PBPE，

19、OBPFPE（AAS），PFOB，AB4，ABO 是等腰直角三角形，OB2，PF 的长为定值 2 六、解答题（本大题共 12 分）24解（1）如图 1，连接 PO，四边形 ABCD 是矩形，S矩形ABCD12，OAOCOBOD，SABDSBCD，ABC90，BCAD4，SAODSABOSBOCSCOD，3，；（2）四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AABC90，ADBC，DMNBNM，连接 BP，过点 M 作 MHBC 于 H，如图 2 所示：则四边形 ABHM 是矩形，MHAB，由折叠的性质得：DMBM，DMNBMN，BMNBNM，DMBMBN13，ADBCBN+CN13+518，AMADDM18135，在 RtABM 中，由勾股定理可得，MH12，SBMNSPBM+SPBN，PEBM，PFBN，BMBN，PE+PFMH12，平行四边形 PEGF 的周长2（PE+PF）21224，GF 与 GE 之间的数量关系为：，理由如下：连接 BP，过点 M 作 MHBC 于 H，如图 3 所示：由折叠的性质得：DMBMBNm，ADBC+CNBN+n，AMADDMm+nmn，SBMPSNBM+SPBN，PEBM，PFBN，PF，BMBN，PEMH+PF，四边形 PEGF 是平行四边形，GFPE，GEPF，即