2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习 抛物线与 x 轴交点问题 解答专题提升训练（附答案）1已知一个二次函数的图象与 x 轴的交点为（2，0），（4，0），且顶点在函数 y2x 的图象上（1）求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式（2）点 P 在函数 y2x 的图象上，若点 P 向左平移 n 个单位或向右平移（n+4）个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点 P 的坐标 2 如图，直线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，抛物线经过点 A，C，与 x 轴交于另一点 B（1）求抛物线的解析式；（2）若 D 是位于 x 轴上方的抛物线上一点，且 SABDSABC，请直接写出点 D 的坐标 3

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C已知 OA3，该抛物线的对称轴为直线 x（1）求出该抛物线的表达式及点 B、C 的坐标；（2）连接 AC，将线段 AC 平移，使得平移后线段的一个端点恰好在这条抛物线上，另一个端点在对称轴上点 A、C 平移后的对应点分别记为点 D、E，求 D、E 点坐标 4已知二次函数 yx2+xm 的部分图象如图所示（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程 x2+xm0 的解（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式 5在平面直角坐标系 xOy 中

3、，已知抛物线 yax2+bx1（a0）（1）若抛物线过点（4，1）求抛物线的对称轴；当1x0 时，图象在 x 轴的下方，当 5x6 时，图象在 x 轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（4，y1），（2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且 y3y1y2，设抛物线的对称轴为直线 xt，直接写出 t 的取值范围 6二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，抛物线顶点为 A（1，4），与 y 轴、x 轴分 别交于点 B 和点 C（3，0）（1）求 a，b 的值，并根据图象直接写出当 y0 时，x 的取值范围；（2）平移该二次函数的图象，使点 C 恰

4、好落在点 A 的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点 7已知二次函数 ya（x1）（x1a）（a 为常数，且 a0）（1）求证：该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较 y1与 y2的大小；（3）当 0 x3 时，y2，直接写出 a 的取值范围 8已知抛物线 y2x2+bx+c（1）若 bc3，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，当线段 AB 的长度最短时，求该抛物线的解析式；（2）若 b2，当 0 x2 时，抛物线与 x 轴有且只有一个交点，求 c 的取值范围 9 已知，如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与

5、 y 轴交于点 C（0，6）且经过点（1，10）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）求ABC 的面积，并写出 y0 时 x 的取值范围 10如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知抛物线的对称轴是直线 x1，OAOC2 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在第三象限内，且 PEOD，求PBE 的面积 11已知抛物线与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x轴交于点 D，且 OB2OD（1）当 b2

6、时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线 y1的对称轴在 y 轴的左侧时，存在垂直于 x 轴的直线，分别与直线和抛物线 y1交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方请结合图象，求出 b的取值范围 12如图抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0）（1）求该抛物线的函数表达式（2）若该抛物线 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3），在该抛物线上，求四边形 ACFD的面积 13在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+2（a，b 是常数且 a0）（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，2）两点，求函数 yax2+bx+2 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标

7、；（2）写出一组 a，b 的值，使函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴有两个不同的交点，并说明理由；（3）已知 ab1，当 xm，n（m，n 是实数）时，该函数对应的函数值分别为 M，N，若 m+n2，求 M+N 的最大值 14如图，直线 y2x4 与 x 轴交于点 A，抛物线 yax2+4x+2a+1 经过点（1，8），与 x轴的一个交点为 B（B 在 A 的左侧），过点 B 作 BC 垂直 x 轴交直线于 C（1）求 a 的值及点 B 的坐标；（2）将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，点 B、C 的对应点分别为点 E、F将抛物线 yax2+4x+2a+1 沿 x 轴向右平移使它过点

8、 F，求平移后所得抛物线的解析式 15在平面直角坐标系中，抛物线 yax（x4）（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点，且 A 点在 B 点的左侧，点 C 在其对称轴上，且点 C 的纵坐标为 2（1）求ABC 的面积；（2）若2x4 时，二次函数 yax（x4）（a0）有最小值为4，求 a 的值 16已知二次函数 yax22mx+m（a、m 是常数，a0）过点 A（1，y1），B（1，y2），C（2，y3）（1）若 y1m 该抛物线的对称轴为直线 ；求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点（2）若 y21，y1y3y2，求 m 的取值范围 17已知二次函数 ykx2+（k+

9、1）x+1（k0）（1）求证：无论 k 取任何实数，该函数的图象与 x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标 18已知抛物线 y1ax2+x+c 经过点 A（0，），B（1，2）（1）求抛物线 y1的解析式；（2）抛物线 y1与 x 轴是否有公共点，若有，求公共点的坐标，若没有，请说明理由；（3）连接 AB，将线段 AB 向右平移 5 个单位长度得到线段 AB，若线段 AB与抛物线 y2amx2+x+c（其中 m0）有且仅有一个公共点，求 m 的取值范围 19已知抛物线 L：yx2+2x+3，顶点为 M，对称轴与 x 轴交于 N，抛物线 L

10、与 x 轴交于点 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）（1）求点 A、B 的坐标；（2）将抛物线 L 向左或向右平移 m 个单位长度，得到抛物线 L，其中点 A 的对应点为A，当AAMAMN，求平移后抛物线的表达式 20已知二次函数 yx2+bx3 的图象经过点（2，5）（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）当此二次函数的图象沿 y 轴方向平移一次后与 x 轴只有一个交点时，求平移的方向和距离 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于另一点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求

11、此抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，交直线 AB 于点 F，作 PGAB 于点 G求出PFG 的周长最大值；（3）在抛物线 yx2+bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M，使得ABM 与ABD 的面积相等？若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 1解：（1）设二次函数的表达式为 ya（x+2）（x4）（a0），由二次函数图象与 x 轴的交点坐标可知对称轴为 x1，将 x1 代入 y2x 可得二次函数的顶点坐标为（1，2）将（1，2）代入 ya（x+2）（x4）（a

12、0）可得 a，所以二次函数的表达式为 y（x+2）（x4），即 yx2+x+（2）设点 P 坐标为（t，2t），向左平移 n 个单位后得 P（tn，2t），向右平移（n+4）个单位后，得 P（t+n+4，2t），P、P均落在二次函数的图象上，1，2t+42，t1 点 P 坐标为：（1，2）2解：（1）直线 AC 的解析式为，当 x0 时，y4，当 y0 时，x8 A（8，0），C（0，4）抛物线交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，抛物线的函数表达式为（2）SABDSABC，点 C 纵坐标为4，点 D 纵坐标为 4，将 y4 代入得 4x2+x4，解得 x13+，x23，点 D 坐标为或 3

13、解：（1）OA3，A（3，0），抛物线的对称轴为直线 x，且过点 A，解得，该抛物线的函数表达式为 yx2+x6；令 x0，得 y6，C（0，6），令 y0，得 x2+x60，解得 x12，x23，B（2，0）；（2）由题意可知 D 点的横坐标为或，把 x代入 yx2+x6 得，y，D（，），OC6，E 的纵坐标为6+，E（，），把 x代入 yx2+x6 得，y，D（，），OC6，E 的纵坐标为6+，E（，），故 D 点的坐标为（，），E 点的坐标为（，），或 D 点的坐标为（，），E 点的坐标为（，）4解：（1）yx2+xm，抛物线对称轴为直线 x，抛物线经过（1，0），抛物线过点（2，0）

14、，x2+xm0 的解为 x11，x22（2）抛物线经过原点，抛物线解析为 yx2+x 5解：（1）若抛物线过点（4，1），116a+4b1，b4a，对称轴为 x2；当1x0 时，图象在 x 轴的下方，当 5x6 时，图象在 x 轴的上方，抛物线的对称轴为直线 x2，且 2（1）52，抛物线必过点（1，0）和（5，0）把（5，0），（1，0）代入 yax2+bx1（a0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）xt，b2at，解析式变形为 yax22atx1（a0），把（4，y1），（2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3a2at1，y116a+8at1，y24a+4at1

15、，y3y1y2，解得：，t 的取值范围是3t 6解：（1）由题意得：，解得：，yx2+2x+3，令 y0，则x2+2x+30，解得：x11，x23，二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），结合图象可知，当 y0 时，x 的取值范围为1x3，a1，b2；当 y0 时，x 的取值范围为1x3，（2）C（3，0），点 C 平移到点 A，抛物线向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式为 y（x1+2）2+4+4（x+1）2+8，令 x0 时，y7，函数图象与 y 轴的交点坐标为（0，7），令 y0，则（x+1）2+80，解得：x12，函数图象与 x 轴的交点为

16、（12，0）和（1+2，0），与 y 轴的交点为（0，7）7（1）证明：令 y0，即 a（x1）（x1a）0，a0，x10 或 x1a0，即 x11，x21+a，11+a，方程有两个不相等的实数根，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，y1a2+a，y22a2+4a y1y2a2+a+2a24a3a23a 当 a0 或 a1 时，y1y2，当 a1 时，y1y2，当 0a1 时，y1y2；（3）二次函数 va（x1）（x1a），整理可得：yax2a（a+2）x+a（a+1），由（1）可知：当 y0 时，解得：x1，x1+a，二次函数的图象交轴于（

17、1，0）和（1+a，0）两点，对称轴 x，当 x时，ya（1）（1a）a（）二次函数图象的顶点坐标为（，），由（2）可知：当 x0 时，y1a2+a，当 t3 时，y22a2+4a，当 a0 时，二次函数的图象开口向上，0 x3，解得：2a1，0aI，当 a0 时，二次函数图象开口向下，对称轴 x，当 03，即_2a0 时，二次函数图象在顶点处取得最大值，2 解得：a2，2a0，当0，即 a2，由题意可知，a2+a2，解得：2a1，即 a2，综上所述，当 0 x3 时，y2，a 的取值范围是：2a1，且 a0 8解：（1）bc3，cb3，抛物线为 y2x2+bx+b3，设抛物线与 x 轴的交点

18、坐标为 A（x1，0）和 B（x2，0），AB，当 b4 时，AB 的长度最短，cb31，该抛物线的解析式为：y2x2+4x+1；（2）b2，抛物线的解析式为：y2x22x+c，抛物线的对称轴为：x，当顶点坐标在 x 轴上时，在 0 x2 时，抛物线与 x 轴有且只有一个交点，此时，解得 c；当，即4c0 时，在 0 x2 时，抛物线与 x 轴有且只有一个交点，综上，c或4c0 9解：（1）二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点（0，6）、B（1，10），解这个方程组，得，该二次函数的解析式是 yx2+5x+6；（2）yx2+5x+6（x）2+顶点坐标是（，）；对称轴是直线 x；（3）二次函

19、数 yx2+5x+6 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，x2+5x+60，解这个方程得：x11，x26，即二次函数 yx2+5x+6 与 x 轴的两个交点的坐标为 A（1，0），B（6，0）ABC 的面积 SABCABOC|6（1）|621；由图象可知，当 y0 时，1x6 10解：（1）OAOC2，A（2，0），C（0，2），根据题意得：，解得，抛物线的函数表达式为 yx2+x2；（2）由 yx2+x2 可得 B（4，0），设直线 BC 为 ykx2，将 B（4，0）代入得：y4k2，k，直线 BC 为 yx2，设 P（m，m2+m2），m0，则 E（m，m2），D（m，0），PE（m2）

20、（m2+m2）m2m，ODm，PEOD，m2mm，解得 m0（舍去）或 m3，PE，BDOBOD431，PBE 的面积为PEBD1 11解：（1）当 b2 时，抛物线的表达式为 yx22x+c，该抛物线的对称轴为直线 x1 点 D（1，0）OD1 OB2OD，OB2，B（2，0）2222+c0 解得：c0 抛物线的表达式为 yx22x（2）当抛物线 y1的对称轴在 y 轴的左侧时，b0 设直线和 x 轴的交点为 E，E（，0）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x，D（，0）OD OB2OD，OBb B（b，0）BDb，ADBDb OAAD+OD2b A（2b，0）如图，当点 E 在点

21、A 的右侧时，存在垂直于 x 轴的直线，分别与直线和抛物线 y1交于点 P，Q，且点 P，Q 均在 x 轴下方，2b 解得：b 存在垂直于 x 轴的直线，分别与直线和抛物线 y1交于点 P，Q，且点 P，Q均在 x 轴下方，此时 b 12解：（1）抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0），解得：抛物线的函数表达式为 yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，F（1，4）令 x0，则 y3 C（0，3）连接 CD，过点 A 作 AECD，交 DC 延长线于点 E，过点 F 作 FHCD 于点 H，如图，C（0，3），D（2，3），CD2，CDAB，

22、AE3，FH1 四边形 ACFD 的面积SFCD+SACD CDFH+CDAE 21+23 1+3 4 13解：（1）把点（1，0）和（2，2）代入得：，解得：，抛物线的解析式为 y2x24x+2，y2x24x+22（x1）2，该函数图象的顶点坐标是（1，0）；（2）例如 a1，b3，此时 yx2+3x+2；b24ac10，函数 yx2+3x+2 图象与 x 轴有两个不同的交点；（3）ab1，yx2x+2 由题意得：Mm2m+2，Nn2n+2，m+n2，m2n M+Nm2m+2n2n+2 m2n2+2（2n）2n2+2 2n2+4n2 2（n1）2，20，当 n1 时，M+N 的最大值为 0

23、14解：（1）令 y0，则2x40 解得：x2 A（2，0）抛物线 yax2+4x+2a+1 经过点（1，8），a+4+2a+18 a1 抛物线的解析式为 yx2+4x+3 令 y0，则 x2+4x+30 解得：x1 或3 B 在 A 的左侧，B（3，0）（2）当 x2 时，y2（3）42，C（3，2）A（2，0），B（3，0），AB1 将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，点 B、C 的对应点分别为点 E、F，AEAB1，EFBC2 E（2，1），F（0，1）yx2+4x+3（x+2）21，设沿 x 轴向右平移过点 F 的抛物线的解析式为 y（x+2m）21，（2m）211 m2 平移后所得

24、抛物线的解析式为 y1 或 y1 即 yx22x+1 或 yx2+2x+1 15解：（1）令 ax（x4）（a0）0，x10，x24，A（0，0），B（4，0），AB4，点 C 在其对称轴上，且点 C 的纵坐标为 2，点 C 到 x 轴的距离为 2，ABC 的面积（2）抛物线 yax（x4）ax24axa（x2）24a，对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，4a）当 a0 时，抛物线的开口方向向上，因此 x2 时，y4a4，解得，a1；当 a0 时，抛物线的开口方向向下，由于 2（2）42，因此 x2 时，ya（22）24a12a4，解得，a1 或 a 16解：（1）y1m，A（1，m），把 A

25、（1，m）代入 yax22mx+m 得 a2m，对称轴为：x，故答案为：x；a2m，a0，m0，（2m）24am4m2+8m212m20，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）y21，B（1，1），把 B（1，1）代入 yax22mx+m，得 am+1，把 A（1，y1）代入 yax22mx+m，得 y1a+2m+mm+1+2m+m4m+1，把 C（2，y3）代入 yax22mx+m，得 y34a4m+mm+4，y1y3y2，解得 m3 17证明：（1）令 y0，则 kx2+（k+1）x+10，（k+1）24k k2+2k+14k k22k+1（k1）20，无论 k 取

26、任何实数，方程 kx2+（k+1）x+10 总有实数根，无论 k 取任何实数，该函数的图象与 x 轴总有交点；解：（2）该函数的图象与 x 轴只有一个交点，（k1）20 解：k1k21 yx2+2x+1（x+1）2 该函数图象的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，0）18解：（1）抛物线 y1ax2+x+c 经过点 A（0，），B（1，2），解得：，抛物线的解析式为 y1x2+x+；（2）抛物线 y1与 x 轴是有公共点 令 y10，则x2+x+0，即 x22x30，解得：x11，x23，抛物线 y1与 x 轴的公共点的坐标为（1，0）和（3，0）；（3）由题意得，A（5，），B（6，2），设

27、直线 AB的解析式为 ykx+b，则，解得：，直线 AB解析式为 yx1，且 5x6，线段 AB与抛物线 y2amx2+c（其中 m0）有且仅有一个公共点，方程mx2+x+x1 在 5x6 的范围内有且只有一个解，整理得，方程mx2+2mx+0 在 5x6 的范围内有且只有一个解，抛物线 y3mx2+2mx+在 5x6 的范围内与 x 轴有且仅有一个公共点，抛物线 y3mx2+2mx+对称轴为 x2，且开口向下，由图可知，当 x5 时，y30，当 x6 时，y30，即，解得：，m 的取值范围是m1 19解：（1）由抛物线 L：yx2+2x+3，令 y0，x2+2x+30，x11x.23 点 A

28、 在点 B 左侧，A（1，0），B（3.0）（2）yx2+2x+3（x1）2+4，M（1，4），N（1，0），AN2，MN4 AAMAMN，tanAAMtanAMN，AAM90，tanAAM，则 AN2MN8 设抛物线平移平移后 A点对应的坐标为 A（n，0），N（1.0），A（7，0）或 A（9，0），m6 或 m10 平移后抛物线的表达式为 y（x1+6）2+4（x+5）2+4x210 x21，或 y（x110）2+4（x11）2+4，即 y（x+5）2+4 或 y（x11）2+4 20解：（1）将（2，5）代入 yx2+bx3 得 54+2b3，解得 b2，抛物线对称轴为直线 x1（2）

29、b2，yx2+2x3，设平移后解析式为 yx2+2x3+m，由平移后抛物线与 x 轴只有一个交点可得224（3+m）0，解得 m4，抛物线向上平移 4 个单位 21解：（1）直线 AB：yx+3 与坐标轴交于 A（3，0）、B（0，3），代入抛物线解析式 yx2+bx+c 中，抛物线解析式为：yx22x+3；（2）直线 yx+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，BAO45，PHAO，PGAB，AFHPFGFPG45，PFG 是等腰直角三角形，设 P（m，m22m+3），F（m，m+3），PFm22m+3m3m23m，PFG 周长为：m23m+（m23m），（+1）（m+）2+，PFG 周长的最大值为：（3）点 M 有三个位置，如图所示的 M1、M2、M3，都能使ABM 的面积等于ABD 的面积 此时 DM1AB，M3M2AB，且与 AB 距离相等，D（1，4），E（1，2）、则 N（1，0）yx+3 中，k1，直线 DM1解析式为：yx+5，直线 M3M2解析式为：yx+1，x+5x22x+3 或 x+1x22x+3，x11，x22，x3，x4，M1（2，3），M2（，），M3（，）