2022-2023学年九年级数学中考复习《圆中的定值问题》解答题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆中的定值问题解答题专题训练（附答案）1如图ABC（1）用尺规作出ABC 的外接圆（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）如果C30，ABAC3直接写出ABC 外接圆的半径 2如图，在以 AB 为直径的半圆中，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交 AB 于点 D，若 AD5，DB7（1）求 BC 的长；（2）求圆心到 BC 的距离 3如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BD 是直径，ABAD，过点 A 作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证：BEDF；（2）若 BC3，DC5，求 AC 的长 4如图，在半径为 3cm 的O 中，A、B、C

2、三点在圆上，点 P 从点 B 开始以cm/s 的速度在劣弧 BC 上运动，且运动时间为 t（单位：s），若BOA90，AOC120，BOPn（1）BOC ，劣弧 BPC 的长为 ，劣弧 BP 的长为 （用含 t的代数式表示）；（2）n 与 t 之间的函数关系式为 ，t 的取值范围为 ；（3）是探究当点 P 运动多少 s 时，以 P，B，A 三点为顶点的三角形是等腰三角形，并说明其理由 5如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（m，2m+4）（m2），且与 x 轴相切于点 B，y 与 x 之间存在一种确定的函数关系，其图象是一条常见的曲线，记作曲线 F （1）如图 1，y

3、时，直接写出P 的半径；当 m1，x2 时，直接写出P 的半径（2）求曲线 F 最低点的坐标（用含有 m 的式子表示）；（3）如图 2，若曲线 F 最低点总在直线 yx+3 的下方，点 C（2，y1），D（1，y2）都在曲线 F 上，试比较 y1与 y2的大小 6问题提出（1）如图 1已知ACBADB90，请用尺规作图作出ABD 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；点 C 是否在ABD 的外接圆上 （填“是”或“否”）问题探究（2）如图 2四边形 ADBC 是O 的内接四边形，ACBADB90，ADBD求证：CA+CBCD；（3）如图 3点 P 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，点 E

4、 是平面上一点，EBAB 且EABA点 Q 是线段 AE 的中点，请在图中画出点 E，并求线段 PQ 与 AB 之间的数量关系 7如图 RtABC 中，ABC90，P 是斜边 AC 上一个动点，以 BP 为直径作O 交 BC于点 D，与 AC 的另一个交点 E，连接 DE （1）当时，若130，求C 的度数；求证 ABAP；（2）当 AB15，BC20 时 是否存在点 P，使得BDE 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 CP 的长；以 D 为端点过 P 作射线 DH，作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在CPH 内，则 CP的取值范围为 （直接写出结果）8问题提出（1）如图 1，在

5、 RtABC 中，ACB90，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D 过点 D 分别作 DEAC，DFBC垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线段是 问题探究（2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8 P 是上一点，且2，连接 AP，BP APB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP，CFBP，垂足分别为 E，F，求线段 CF 的长 问题解决（3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O 的直径 AB70m，点 C 在O 上，且 CACB P 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交O 于点 D 连接 AD，BD过点 P 分别作 PE

6、AD，PFBD，垂足分别为 E，F按设计要求，四边形 PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区 设 AP 的长为 x（m），阴影部分的面积为 y（m2）求 y 与 x 之间的函数关系式；按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合理 试求当 AP30m 时室内活动区（四边形 PEDF）的面积 9定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”例如：凸四边形 ABCD中，若AC，BD，则称四边形 ABCD 为准平行四边形（1）如图，A，P，B，C 是O 上的四个点，APCCPB60，延长 BP 到 Q，使 AQAP求证：四

7、边形 AQBC 是准平行四边形；（2）如图，准平行四边形 ABCD 内接于O，ABAD，BCDC，若O 的半径为 5，AB6，求 AC 的长；（3）如图，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，若四边形 ABCD 是准平行四边形，且BCDBAD，请直接写出 BD 长的最大值 10如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 P 在线段 AD 上，由点 D 向点 A 运动，当点 P 与点 A 重合时，停止运动以点 P 为圆心，PD 为半径作P，P 与 AD 交于点 M点 Q 在P 上且在矩形 ABCD 外，QPD120（1）当 PD2时 PC ，扇形 QPD 的面积 ，点 C 到P 的最短

8、距离 ；（2）P 与 AC 相切时求 PC 的长？（3）如图P 与 AC 交于点 E、F 当 EF6.4 时，求 PD 的长？（4）请从下面两问中，任选一道进行作答 当P 与ABC 有两个公共点时，直接写出 PD 的取值范围；直接写出点 Q 的运动路径长以及 BQ 的最短距离 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，4），点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接AB，过点 A 作 ACAB，交 x 轴于点 C，点 D 是点 C 关于点 A 的对称点，连接 BD，以AD 为直径作Q 交 BD 于点 E，连接并延长 AE 交 x 轴于点 F，连接 DF（1）求线段 AE 的长；（2）若

9、 ABBO2，求 tanAFC 的值；（3）若DEF 与AEB 相似，求 EF 的值 12已知四边形 ABCD 为O 的内接四边形，直径 AC 与对角线 BD 相交于点 E，作 CHBD 于 H，CH 与过 A 点的直线相交于点 F，FADABD （1）求证：AF 为O 的切线；（2）若 BD 平分ABC，求证：DADC；（3）在（2）的条件下，N 为 AF 的中点，连接 EN，若AED+AEN135，O 的半径为 2，求 EN 的长 13 发现问题：（1）如图 1，AB 为O 的直径，请在O 上求作一点 P，使ABP45（不必写作法）问题探究：（2）如图 2，等腰直角三角形ABC 中，A90

10、，ABAC3，D 是AB 上一点，AD2，在 BC 边上是否存在点 P，使APD45？若存在，求出 BP的长度，若不存在，请说明理由 问题解决：（3）如图 3，为矩形足球场的示意图，其中宽 AB66 米、球门 EF8 米，且EBFA点 P、Q 分别为 BC、AD 上的点，BP7 米，BPQ135，一位左前锋球员从点 P 处带球，沿 PQ 方向跑动，球员在 PQ 上的何处才能使射门角度（EMF）最大？求出此时 PM 的长度 14如图 1，O 的弦 BC6，A 为 BC 所对优弧上一动点且 sinBAC，ABC 的外角平分线 AP 交O 于点 P，直线 AP 与直线 BC 交于点 E（1）求证：点

11、 P 为的中点；（2）如图 2，求O 的半径和 PC 的长；（3）若ABC 不是锐角三角形，求 PAAE 的最大值 15定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边 （1）如图 1，ABC 中，ABCB，A30，点 O 在 AC 边上，以 OC 为半径的O恰好经过点 B，求证：O 是ABC 的切圆（2）如图 2，ABC 中，ABAC5，BC6，O 是ABC 的切圆，且另外两条边都是O 的切边，求O 的半径（3）如图 3，ABC 中，以 AB 为直径的O 恰好是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，O 与 BC 交于点 F，取弧

12、BF 的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EHAB 于点 H，若 CF8，BF10，求 AC 和 EH 的长 16如图 1，已知O 的内接四边形 ABCD，ABCD，BCAD，AB6，BC8（1）求证：四边形 ABCD 为矩形（2）如图 2，E 是上一点，连接 CE 交 AD 于点 F，连接 AC 当点 D 是中点时，求线段 DF 的长度 当 16SDCF3S四边形ABCD时，试证明点 E 为的中点（3）如图 3，点 E 是O 上一点（点 E 不与 A、C 重合），连接 EA、EC、OE，点是AEC 的内心，点 M 在线段 OE 上，且 ME2MO，则线段 MI 的最小值

13、为 17问题探究（1）如图 1，C，D 是AOB 的边 OA 上两点，直线 OB 与I 相切于点 P，点 P1是直线OB 上异于点 P 的任意一点，请在图 1 中画出CP1D，试判断CPD 与CP1D 的大小关系，并证明；（2）如图 2，已知矩形 ABCD 中，点 M 在边 BC 上，点 E 在边 AB 上，AB8，AE6，当AME 最大时，请求出此时 BM 的长；问题解决（3）如图 3，四边形 ABCD 是某车间的平面示意图，AB4米，AD8米，AD60，BCD90，工作人员想在线段 AD 上选一点 M 安装监控装置，用来监视边 BC，现只要使得BMC 最大，就可以让监控装置的效果达到最佳问

14、在线段 AD上是否存在点 M，使BMC 最大？若存在，请求出 DM 的长；若不存在，请说明理由 18已知O 的直径 AB 为 10，D 为O 上一动点（不与 A、B 重合），连接 AD、BD（1）如图 1，若 AD8，求 BD 的值；（2）如图 2，弦 DC 平分ADB，过点 A 作 AECD 于点 E，连接 BE 当BDE 为直角三角形时，求 BE 的值；在点 D 的运动过程中，BE 的值是否存在最小值？若存在，请直接写出 BE 的最小值；若不存在，请说明理由 19【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（2，0）动点 B 在

15、O 上，连接 AB，作等边三角形 ABC（A，B，C 为顺时针顺序），求 OC 的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接 OB，以OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE，连接 AE（1）请你找出图中与 OC 相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段 OC 的最大值【迁移拓展】（3）如图，点 D 是以 BC 为直径的半圆上不同于 B、C 的一个动点，以 BD为边作等边三角形 ABD，请直接写出 AC 的最大值和最小值 20如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（6，8），P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点

16、C，连结 AB，PC，BC，设 OPm（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形（2）连结 PB，求 tanBPC 的值（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值（4）作点 O 关于 PC 的对称点 O，在点 P 的整个运动过程中，当点 O落在APB 的内部（含边界）时，请写出 m 的取值范围 参考答案 1解：（1）如图，O 即为所求（2）连接 OA，OC ACAB，ACBB30，AOC2B60，OAOC，AOC 是等边三角形，OAAC3，故答案为 3 2解：（1）连接 CA、CD；根据折叠的性质，得：；CA

17、BCBD+BCD；CDACBD+BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），CADCDA，即CAD 是等腰三角形；过 C 作 CEAB 于 E，则 AEDE2.5；BEBD+DE9.5；在 RtACB 中，CEAB，根据射影定理，得：BC2BEAB9.512114；故 BC（2）设圆心到 BC 的距离为 h，圆的半径为 r6，由（1）知，RtECB 中，BE9.5，BC，h，故圆心到 BC 的距离为 3（1）证明：BD 是直径，BADBCD90，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，EAFCAFD90，四边形 AECF 是矩形，EAF90，EABFAD，ABAD，AEBAFD（A

18、AS），BEDF；（2）解：BC3，DC5，BD，ABADBD，AEBAFD，AEAF，S四边形ABCDABAD+BCCDBCAEBDAF16，AE4，ACBADB45，ACAE4 4解：（1）BOA90，AOC120，BOC360BOAAOC18090120150 劣弧 BPC 的长为：点 P 从点 B 开始以cm/s 的速度在劣弧 BC 上运动，劣弧 BP 的长为：t 故答案是：150；cm；t；（2）BOPn，t，整理得出：n12t，当 n150时，15012t，t12.5，故 0t12.5 故答案是：n12t；0t12.5；（3）在ABP 中，以 AB 为腰时（如图 1），BPABAP

19、45，BOP45+4590，故 n9012t，解得：t7.5（秒），以 AB 为底边时（如图 2），BPABOA45，BAP67.5，BOP267.5，故 13512t，解得：t11.25（秒）综合上述：当点 P 运动时间为 7.5，11.25 秒，ABP 为等腰三角形 5解：（1）如图 1，连接 PB，则 PB，P 的半径为；如图 1，连接 PA，则 PAPB，m1，A（1，2），又P（x，y），（1x）2+（2y）2y2，整理，得 yx2+x+，当 x2 时，y，P 的半径为；（2）P（x，y），A（m，2m+4），且 PBPA，y2（mx）2+（2m+4y）2，整理，得 y（xm）2+m

20、+2，曲线 F 为抛物线，m2，0，抛物线 y（xm）2+m+2 的开口向上，曲线 F 最低点的坐标即顶点坐标为（m，m+2）；（3）由（2）知，曲线 F 最低点的坐标为（m，m+2），对称轴为直线 xm，且曲线 F 最低点总在直线 yx+3 的下方，m+2m+3，解得，m2，又m2，2m2，点 C（2，y1），D（1，y2）都在曲线 F 上，则当对轴称为 m时，点 C 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，则 y1y2；当对称轴2m时，由二次函数的图象及性质可知，点 C 离对称轴更近，则 y1y2；当对称轴m2 时，由二次函数的图象及性质可知，点 D 离对称轴更近，则 y1y2 6解：问题提出（

21、1）作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，以 O 为圆心，AO 长为半径作圆，即为ABD的外接圆，ACBADB90，点 A，点 B，点 D，点 C 四点共圆，点 C 在ABD 的外接圆上，故答案为：是；问题探究（2）如图 2，将BCD 绕点 D，逆时针旋转 90到AED 处，EADDBC，四边形 ADBC 是圆内接四边形，DBC+DAC180，EAD+DAC180，E、A、C 三点共线，CAE 为平角，由旋转知，AEBC，DECD，CDE90，CDE 是等腰直角三角形，CECD，CEAE+ACBC+AC，CA+CBCD；（3）如图 3，连接 BQ，BP，以点 B 为圆心，AB 长为半径作圆

22、，以点 A 为圆心，AB 长为半径作圆，两圆的交点为 E，点 A 的左右各有个点 E，设 AB3x，则 AEx，若点 E 在点 A 的左侧，BEAB，点 Q 是 AE 的中点，BQAE，AQEQ，BQx，四边形 ABCD 是正方形，点 P 是对角线 AC 的中点，APBP，APBP，由（2）的结论可得：AQ+BQPQ，PQx PQx，PQ，若点 E 在点 A 的右侧，同理可求：PQAB 7（1）解：连接 BE，如图 1 所示：BP 是直径，BEC90，130，50，100，CBE50，C40；证明：，CBPEBP，ABE+A90，C+A90，CABE，APBCBP+C，ABPEBP+ABE，A

23、PBABP，APAB；（2）解：由 AB15，BC20，由勾股定理得：AC25，ABBCACBE，即152025BE BE12，连接 DP，如图 11 所示：BP 是直径，PDB90，ABC90，PDAB，DCPBCA，CPCD，BDE 是等腰三角形，分三种情况：当 BDBE 时，BDBE12，CDBCBD20128，CPCD810；当 BDED 时，可知点 D 是 RtCBE 斜边的中线，CDBC10，CPCD10；当 DEBE 时，作 EHBC，则 H 是 BD 中点，EHAB，如图 12 所示：AE9，CEACAE25916，CHBCBH20BH，EHAB，即，解得：BH，BD2BH，C

24、DBCBD20，CPCD7；综上所述，BDE 是等腰三角形，符合条件的 CP 的长为 10 或或 7；当点 Q 落在CPH 的边 PH 上时，CP 最小，如图 2 所示：连接 OD、OQ、OE、QE、BE，由对称的性质得：DE 垂直平分 OQ，ODQD，OEQE，ODOE，ODOEQDQE，四边形 ODQE 是菱形，PQOE，PB 为直径，PDB90，PDBC，ABC90，ABBC，PDAB，OEAB，OBOP，OE 为ABP 中位线，PEAE9，PCACPEAE25997；当点 Q 落在CPH 的边 PC 上时，CP 最大，如图 3 所示：连接 OD、OQ、OE、QD，同理得：四边形 ODQ

25、E 是菱形，ODQE，连接 DF，DBA90，DF 是直径，D、O、F 三点共线，DFAQ，OFBA，OBOF，OFBOBFA，PAPB，OBF+CBPA+C90，CBPC，PBPCPA，PCAC12.5，7CP12.5，故答案为：7CP12.5 8解：（1）ACB90，DEAC，DFBC，四边形 CEDF 是矩形，CD 平分ACB，DEAC，DFBC，DEDF，四边形 CEDF 是正方形，CECFDEDF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接 OP，如图 2 所示：AB 是半圆 O 的直径，2，APB90，AOP18060，ABP30，同（1）得：四边形 PECF 是正方形，PFCF，在

26、RtAPB 中，PBABcosABP8cos3084，在 RtCFB 中，BFCF，PBPF+BF，PBCF+BF，即：4CF+CF，解得：CF62；（3）AB 为O 的直径，ACBADB90，CACB，ADCBDC，同（1）得：四边形 DEPF 是正方形，PEPF，APE+BPF90，PEAPFB90，将APE 绕点 P 逆时针旋转 90，得到APF，PAPA，如图 3 所示：则 A、F、B 三点共线，APEAPF，APF+BPF90，即APB90，SPAE+SPBFSPABPAPBx（70 x），在 RtACB 中，ACBCAB7035，SACBAC2（35）21225，ySPAB+SAC

27、Bx（70 x）+1225x2+35x+1225；当 AP30 时，AP30，PBABAP703040，在 RtAPB 中，由勾股定理得：AB50，SAPBABPFPBAP，50PF4030，解得：PF24，S四边形PEDFPF2242576（m2），当 AP30m 时室内活动区（四边形 PEDF）的面积为 576m2 9证明：（1）APCCPB60，APQ60，且 AQAP，APQ 是等边三角形，Q60QAP，四边形 APBC 是圆内接四边形，QPAACB60，Q+ACB+QAC+QBC360，QAC+QBC240，且QACQAP+BAC+PAB120+PAB120，QBC120，QACQB

28、C，且QPAACB60Q，四边形 AQBC 是准平行四边形；（2）如图，连接 BD，ABAD，BCDC，ABDADB，CBDCDB，ABCADC，四边形 ABCD 是准平行四边形，BADBCD，四边形 ABCD 是圆内接四边形，BAD+BCD180，ABC+ADC180，BADBCD90，BD 是直径，BD10，AD8，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到CDH，ABDH6，ACCH，ACH90，ABCCDH，ABC+ADC180，ADC+CDH180，点 A，点 D，点 H 三点共线，AHAD+DH14，AC2+CH2AH2，2AC2196 AC7；（3）如图，作ACD 的外接圆O，过点

29、 O 作 OEAC 于 E，OFBC 于 F，C90，A30，BC2，ABC60，ABC60，ACBC2 四边形 ABCD 是准平行四边形，且BCDBAD，ABCADC60，AOC120，且 OEAC，OAOC，ACOCAO30，CEAE，OE1，CO2OE2，OEAC，OFBC，ECF90，四边形 CFOE 是矩形，CEOF，OECF1，BFBC+CF3，BO2，当点 D 在 BO 的延长线时，BD 的长有最大值，BD 长的最大值BO+OD2+2 10解：（1）如图 1，连接 PC，QP，PC 交P 于 T，矩形 ABCD ADC90，CDAB6，ADBC8，在 RtCDP 中，由勾股定理得

30、：PC4，QPD120，PD2 4 CTCPPT422 故答案为：4，4，2；（2）如图 2，P 与 AC 相切时，设切点为点 H，连接 PH，则 PHAC，四边形 ABCD 是矩形，ADC90，在 RtABC 中，AB6，BC8，AC10，在 RtADC 中，sinDAC，设P 半径为 x，则 PHPDx，AP8x，在 RtAHP 中，sinPAH，x3，在 RtPDC 中，CD6，PD3，PC3；（3）如图 3，过点 P 作 PHAC，连接 PF；则PHAADC90，PAHDAC，AHPADC，设P 半径为 x，则 PFPDx，AP8x，PH（8x），在P 中，FHAC，EF6.4，HF3

31、.2，在 RtPHF 中，+3.22x2，x4 或 x13（舍），PD4；（4）如图 4，作 PMAC 于 M，作 PNBC 于 N，当 PMPD 时，P与 AC 相切，只有 1 个公共点，由（2）知，此时 PD3，当 PN6 时，P与ABC 有 3 个公共点；当 6PNPB 时，P 与ABC 有 3 个公共点；PB2AB2+AP2，AP2（ADPD）2 62+（8PD）2PD2，解得：PD 综上所述，PD 的范围为：3PD6 或PD8；如图 5，QPD120，当点 P 与点 A 重合时，AQAD 点 Q 的运动路径是线段 DQ，DAQ120，ADQAQD30，BQ 的最短距离是点 B 到直线

32、 CQ 的距离；过点 B 作 BKCQ 于 K，BK 交 AD 于 S，过 A 作 ALCQ 于 L，连接 BD，AQ，ALCQ，ALDALQ90，AQAD，ALAL RtADLRtAQL DLQL，DALQAL60，即：DLADsinDAL8sin604 DQ2DL8 在 RtBCD 中，BD10 设 SDm，则 SKm，AS8m ASBDSK90ADQ903060，ABS30 tanABS，即 8m6tan30，解得：m82 KS（82）4，BS2AS4 BKKS+BS4+43+4 故点 Q 的运动路径长是 8，BQ 的最短距离是 3+4 11解：（1）点 A（0，4），AO4，AD 是Q

33、 的直径，AEBAED90，AEBAOB90，BA 垂直平分 CD，BCBD ABOABE 在ABE 和ABO 中，ABEABO（AAS）AEAO4；（2）设 BOx，则 ABx+2，在 RtABO 中，由 AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2，解得：x3，OBBE3，AB5，EAB+ABE90，ACB+ABC90，EABACB，BFAAFC，BFAAFC，设 EFx，则 AF4+x，BF（4+x），在 RtBEF 中，BE2+EF2BF2，32+x2（4+x）2，解得：x，即 EF，tanAFC；（3）当DEFAEB 时，BAEFDE，ADEFDE，BD 垂直平分 AF，EFAE4

34、；当DEFBEA 时，ABEFDE，ABDF，ADFCAB90，DF 相切Q，DAEFDE，设Q 交 y 轴于点 G，连接 DG，作 FHDG 于 H，如图所示：则FDHDAG，四边形 OGHF 是矩形，OGFH，ABEABO，OABEAB，ABAD，DAECAO，CAODAE，DAEDAE，DAEDAGFDEFDH，AGAE4，EFFHOGAO+AG4+48，综上所述，若DEF 与AEB 相似，EF 的值为 4 或 8 12（1）证明：如图 1，AC 为O 的直径，ADC90，DAC+DCA90，ABDDCA，FADABD，FADDCA，FAD+DCA90，CAAF，AF 为O 的切线（2）

35、证明：如图 2，连接 OD，ABDAOD，DBCDOC，BD 平分ABC，ABDDBC，DOADOC，DADC（3）如图 3，连接 OD 交 CF 于 M，作 EPAD 于 P，AC 为O 的直径，ADC90 DADC，DOAC，FACDOC90，AFOM，AOOC，OMAF ODE+DEO90，OCM+DEO90 ODEOCM DOECOM，ODOC，ODEOCM，OEOM，设 OMm，AE2m，APPE2m，DP2+m，AED+AEN135，AED+ADE135，AENADE，EANDPE，EANDPE，m，AN，AE，勾股定理得 NE 13解：（1）如图所示：作 AB 的垂直平分线交O

36、于点 P、P，则点 P 或 P即为所求；（2）存在 如图 2 和图 2所示：在ABC 中 BAC90，ABAC3，AD2 BC45，BD，BCAB6 BDP+BPD135 APD45 APC+BPD135 BDPAPC BPDCAP 设 BPx，则 PC6x 解得 x13+，x23 BP3+或 BP3；（3）如图 3，过点 E、F 作圆，与 PQ 相切于点 M，圆心为点 O，连接 FM，EM，此时FME 的度数最大 理由：在O 上取一点 G，连接 FG 并延长交 PQ 于点 M，连接 AG，AM，FGEFME，FGEFME，FMEFME，FME 的度数最大 作线段 EF 的中垂线 l，l 经过

37、圆心 O，且交 EF 于点 N，交 PQ 于点 K，过点 K 作 KHBC 于 H 设O 的半径为 r，则 OEOMr，BPQ135，KPH45，PHK 是等腰直角三角形，PHKH AB66，EF8，BN33，EN4，PHKH33，BH33+740，KN40 在等腰 RtOKM中，OKr，ONNKOK40r 在 RtONE 中，42+（40r）2r2，解得 r14012，r240+12（舍去），PMPKr3340+12127 当射门角度最大时，PM 的长度为（127）米 14（1）证明：如图 1，连接 PC，AB，AP 平分BAF，BAPPAF，PAF+PAC180，PAC+PBC180，PA

38、FPBC，又BAPPCB，PBCPCB，PBPC，点 P 为的中点；（2）解：连接 OB，OC，过 O 作 OMBC 于 M，OM 垂直平分 BC，BMCMBC3，BOMBOCBAC，sinBAC，sinBOM，OB5，O 的半径是 5，在 RtOMC 中，OM4，在 RtPMC 中，PMOM+OP9，PC3；（3）ACE+BCABPE+BCA180，ACEBPE，同理，CAEPBCPAB，ACEAPB，PAAEACAB，如图 4，过 C 作 CQAB 于 Q，sinBAC，CQACsinBAC，SABCABCQABAC，PAAESABC，ABC 非锐角三角形，且 BC6，当 A 运动到使AC

39、B90时，ABC 面积最大，在 RtABC 中，BC6，AB10，AC8，SABCBCAC24，此时，PAAE80，即 PAAE 的最大值为 80 15（1）证明：连接 OB，如图，ABAC，A30，AC30 CAB180AC120 OBOC，OBCC30 OBACBAOBC90 即 OBBA OB 是圆的半径，AB 与O 相切 圆心 O 在 AC 边上，O 是ABC 的切圆；（2）解：当圆心 O 在 BC 边上，O 与 AB，AC 边相切于点 M，N 时，连接 OA，OM，ON，如图，AB，AC 是O 的切线，OMAB，ONAC，AO 平分BAC ABAC，AOBC，OBOCBC3 AOBO

40、，OMAB，BOMBAO BM OM；当圆心 O 在 AC 边上，O 与 AB，BC 边相切于点 M，N 时，连接 OM，ON，BO，过点 A 作 AHBC 于点 H，如图，设 OMONr，AB，BC 是O 的切线，OMAB，ONBC ABAC，AHBC，BHCHBC3，AH4 BCAH6412 SABCSABO+SCBO，ABr+BCr12 12 r 综上，O 的半径为或；（3）解：连接 AF，如图，AB 为O 的直径，AFBC O 是ABC 的切圆，AC 是O 的切边，ABAC ACFBAF AF4 AC12，AB6 D 是弧 BF 的中点，FADBAD 设 FE2k，则 BE3k，BFF

41、E+BE10，2k+3k10 k2 EF4，BE6 EHAB，ACAB，EHAC EH4 16（1）证明：如图 1，ABCD，BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形，AC，四边形 ABCD 内接于O，A+C180，AC90，ABCD 是矩形；（2）解：点 D 是的中点，ECDDAC，CDFADC90，CDFADC，即，DF；证明：如图 2，过点 F 作 FDAC，16SDCF3S四边形ABCD，166DF368，DF3，AF835，DACDAF，FDAADC90，FDACDA，FD3，DFDF3，FDAC，FDCD，CF 平分DCA，ECDECA，点 E 为的中点（3）如图 3，连接 AI、

42、CI，过点 O 作 OOAC 交O 于 O、O，点是AEC 的内心，AIC90+AEC135，点 I 的运动路径为分别以 O、O为圆心，OA 为半径的两段弧，ABC90，AB6，BC8，AC10，OAOC5，即O的半径为 5，点 M 在线段 OE 上，且 ME2MO，OMOE5，即点 M 的运动路径为以 O 为圆心，OM 为半径的圆，MI 取得最小值时，点 I 在 OE 上，此时，OI55，MI 的最小值为：MIOIOM555，故答案为：5 17解：（1）在直线 OB 上取任意一点 P1（不和 P 重合），连接 DP1交O 于 E、连接 CP1和 CE，如图：CPD 与CP1D 的关系是：CP

43、DCP1D，证明如下：，CPDCED，而CEDCP1D，CPDCP1D；（2）如图：由（1）知，作线段 AD 的垂直平分线，垂足为 G，在线段 AE 的垂直平分线上取点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作O，当O 与线段 BC 相切于 M时，若 M 与 M重合，此时AME 最大，BC 是O 的切线，OMBC，OGAE，BGOBOMB90，四边形 OGBM是矩形，BMOG，OMBG，AB8，AE6，BE2，EG3，OMOEBGEG+BE5，OG4，BMOG4，故当AME 最大时，BM 的长为 4；（3）存在，理由如下：如图：当过 B、C 的O 与 AD 相切于 M 时，连接 BM、CM，此时BM

44、C 最大，连接 OB、OC，分别延长 AB、DC 交于 F，则ADF 是等边三角形，BFC60，AFDFAD8，BFAFAB4，在 RtBCF 中，CF2，BC6，过 O 作 OGBC 于 G，交 AF 于 K，交 AD 于 J，则 BGBC3，KJBC，BGJ90BCD，KJDF，BKFKBF2，KGCF，AKAB+BK6，KJDF，即，KJ6，设 OBr，KJDF，MJOD60，OJ，OGKJKGOJ65，在 RtOGB 中，OG2OB2BG2r29，r29（5）2，整理得 r260r+2520，解得 r3018或 30+18（舍去），OM3018，JMOM106，由等边三角形的对称性可得

45、 DJKF2，DMJM+DJ106+2126，故在线段 AD 上存在 M，使BMC 最大，符合条件的 DM 的长为 126 18解：（1）AB 为O 的直径，ADB90，BD6；（2）ADB90，弦 DC 平分ADB，ADCBDCADB45，当BED90时，如图，AECD，AED90，AED+BED180，点 E 在 AB 上，BDC45，DBE904545，ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，点 E 与点 O 重合，BEAB5；当DBE90时，如图，BDC45，BED45BDC，BEBD，DEBE，AECD，ADC45，AEDEBE，ADDE2BE，ADB90，AD2+BD2AB21

46、00，（2BE）2+BE2100，BE2或 BE2（舍去），综上所述，BE 的长为 5 或 2；在点 D 的运动过程中，BE 的值存在最小值，最小值是，理由如下：如图，连接 OC、AC，取 AC 的中点 F，连接 EF、BF，过点 F 作 FHAB 于点 H，则 AOCOAB5，ADC45，AOC2ADC90，AOCO，CAO45，ACOA5，AECD，F 为 AC 的中点，EFAFAC，CAO45，FHAB，AHFHAF，BHABAH，BF，BEBFEF（当且仅当点 E 在线段 BF 上时等号成立），BE，即 BE，BE 的最小值是 19解：【解决问题】（1）如图 1 中，结论：OCAE，理

47、由：ABC，BOE 都是等边三角形，BCBA，BOBE，CBAOBE60，CBOABE，CBOABE（SAS），OCAE（2）在AOE 中，AEOE+OA，当 E、O、A 共线，AE 的最大值为 3，OC 的最大值为 3【迁移拓展】（3）如图 2 中，以 BC 为边作等边三角形BCM，ABDCBM60，ABCDBM，且 ABDB，BCBM，ABCDBM（SAS），ACMD，欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可，BC4定值，BDC90，点 D 在以 BC 为直径的O 上运动，如图，由图象可知，当点 D 在 BC 上方，DMBC 时，DM 的值最大，最大值2+2，AC 的最大值为 2

48、+2 当点 A 在线段 BD 的右侧时，同法可得 AC 的最小值为 22 20（1）证明：COA90，PC 是直径，PBC90，A（0，8），B（6，8），ABy 轴，当 A 与 P 重合时，OPB90，四边形 POCB 是矩形；（2）解：连接 OB，如图 1，BPCBOC，ABOC，ABOBOC，BPCBOCABO，tanBPCtanABO，（3）解：PC 为直径，M 为 PC 中点，如图 2，当 OPBM 时，延长 BM 交 x 轴于点 N，OPBM，BNOC 于 N，ONNC，四边形 OABN 是矩形，NCONAB6，BNOA8，设M 半径为 r，则 BMCMPMr，MNBNBM8r，M

49、N2+NC2CM2，（8r）2+62r2，解得：r，MN8，M、N 分别为 PC、OC 中点，mOP2MN，如图 3，当 OMPB 时，BOMPBO，PBOPCO，PCOMOC，OBMBOMMOCMCO，在BOM 与COM 中，BOMCOM（AAS），OCOB10，AP8m，BP2AP2+AB2（8m）2+62，ABOBOCBPC，BAOPBC90，ABOBPC，PC，PC2BP2（8m）2+62，又 PC2OP2+OC2m2+102，（8m）2+62m2+102，解得：m5 或 m20（舍去），综上所述，m或 m5；（4）点 O 与点 O关于直线 PC 对称，POCPOC90，即点 O在圆上，当 O与 O 重合时，得 m0，当 O落在 AB 上时，则 m28+（8m）2，得 m5，当 O与点 B 重合时，得 m，m 的取值范围为 0m5 或 m