2022届河南省驻马店市高三第二次模拟测试数学考题.pdf

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1、 选择题 已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.由得，所以.故选：B 选择题 若等差数列的前两项分别为 1，3，则该数列的前 10 项和为（）A.81 B.90 C.100 D.121【答案】C【解析】先求得公差，然后根据等差数列前 项和公式求得前项的和.因为公差，所以该数列的前 10 项和为.故选：C 选择题 设复数，定义.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据复数代数形式的运算法计算出，再根据定义求出.解：因为，所以，则.故选：B.选择题 书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是红楼梦”；事件表示“一

2、本是西游记，一本是水浒传”；事件 表示“取出的两本中至少有一本红楼梦”.下列结论正确的是（）A.与 是互斥事件 B.与是互斥事件 C.与 是对立事件 D.，两两互斥【答案】B【解析】根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项.由于事件包含于事件，与 是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与 是互斥事件.所以 A,C,D 三个选项错误.故选：B 选择题 若双曲线：的一条渐近线方程为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A 选择题 已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 P-A

3、BC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A.PA，PB，PC 两两垂直 B.三棱锥 P-ABC 的体积为 C.D.三棱锥 P-ABC 的侧面积为【答案】C【解析】根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图，然后再计算可得.解：根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图如图所示，其中 D 为 AB 的中点，底面 ABC.所以三棱锥 P-ABC 的体积为，、不可能垂直，即不可能两两垂直，.三棱锥 P-ABC 的侧面积为.故正确的为 C.故选：C.选择题 如图，在等腰直角中，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设出等腰直角

4、三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.设，则，所以，所以.因为，所以.故选：D 选择题 函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.因为，所以是偶函数，排除 C 和 D.当时，令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除 B.故选：A 选择题 设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则 取自的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概

5、型概率计算公式，计算出所求概率.作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，所以由图可得 取自的概率为.故选：B 选择题 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为（）A.30 B.C.33 D.【答案】B【解析】由判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得 的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.因为，所以，又底面，所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故选：B 选择题 已知函数，则函数的零点所在

6、区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.当时，.当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以 令，得，因 为，所以函数的零点所在区间为.故选：A 选择题 已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（）A.16 B.16 C.120 D.12【答案】D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.设，联立 则，因为直线经过

7、 C 的焦点，所以.同理可得，所以 故选：D.填空题 函数的最小值为_.【答案】9【解析】结合的定义域，判断出的单调性，由此求得的最小值.的 定 义 域 为，且在 定 义 域 上 单 调 递 增，.故答案为：填空题 函数的图象的对称轴方程为_.【答案】【解析】根据含有绝对值的三角函数的对称性列方程，解方程求得的对称轴.依题意，令，得函数的对称轴方程为.故答案为：填空题 在正方体中，设，与底面所成角分别为，则_.【答案】.【解析】根据线面角的概念判断出线面角，由此求得线面角的正切值，再结合两角和的正切公式，求得的值.因为，都与底面垂直，所以，所以.故答案为：填空题 在数列中，曲线在点处的切线经过

8、点，下列四个结论：；数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是_.【答案】【解析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.，曲线在点处的切线方程为，则.，则是首项为 1，公比为的等比数列，从而，.故所有正确结论的编号是.故答案为：解答题 为了解某中学学生对中华人民共和国交通安全法的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成，六组，得到如下频率分布直方图.（1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同

9、一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在内的概率.【答案】（1）79；（2）【解析】（1）首先根据频率分布直方图计算出答对题数的平均数，由此求得成绩的平均分的估计值.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（1）因为答对题数的平均数约为.所以这 40 人的成绩的平均分约为.（2）答对题数在内的学生有人，记为，；答对题数在内的学生有人，记为，.从答对题数在内的学生中随机抽取 2 人的情况有，共 10 种，恰有1人答对题数在内的情况有，共 6 种，故所求概率.解答题 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，

10、C 的对边.已知 a3，且 B60.（1）求ABC 的面积；（2）若 D，E 是 BC 边上的三等分点，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理，可得ABC 为直角三角形，然后可计算 b，可得结果.（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.（1）ABC 中，由 csinCasinA+bsinB，利用正弦定理得 c2a2+b2，所以ABC 是直角三角形.又 a3，B60,所以；所以ABC 的面积为.（2）设 D 靠近点 B，则 BDDEEC1.，所以 所以.解答题 如图，在四棱锥中，平面，为的中点，与相交于点.（1）证明：平面.（2）若，求点到平面的距离.【答案】（

11、1）证明见解析；（2）【解析】（1）首项通过证明，证得，然后通过证明四边形是正方形证得，由此证得平面，所以.通过证明为等腰直角三角形证得，由此证得平面.（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得点到平面的距离.（1）证明：平面，.，四边形为平行四边形，.又，且为的中点，四边形为正方形，.又，平面，则.平面，又，为等腰直角三角形，为斜边上的中点，且，平面.（2）解：，.设到平面的距离为，由，得，解得.解答题 已知函数.（1）若在上存在极大值，求 的取值范围；（2）若 轴是曲线的一条切线，证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）求得的导函数，对 分成三种情况，结合在上存在极大值，

12、求得 的取值范围.（2）首先根据 轴是曲线的一条切线求得 的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.（1）解：，令，得，.当时，单调递增，无极值，不合题意；当时，在处取得极小值，在处取得极大值，则，又，所以；当时，在处取得极大值，在处取得极小值，则，又，所以.综上，的取值范围为.（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，解得.设函数，当或时，；当时，.所以在处取得极小值，且极小值为.又，所以当时，故当时，.解答题 已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在

13、定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.（1）证明：椭圆经过点，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：椭圆的焦距为 2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率

14、存在时，设的方程为.由，得，.设，则，.，即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.解答题 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 的直角坐标为，过 的直线 与曲线相交于，两点.（1）若 的斜率为 2，求 的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.【答案】（1）：，：；（2）【解析】（1）根据点斜式写出直线 的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.（2）将直线 的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.（1）的直角坐标方程为，即，则 的极坐标方程为.曲线的普通方程为.（2）直线 的参数方程为（为参数，为 的倾斜角），代入曲线的普通方程，得.设，对应的参数分别为，所以，在的两侧.则.解答题 已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.（1）解：，由，解得，故.（2）证明：因为，所以，所以，所以.