2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》填空题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习轴对称最短路径问题填空题专题训练（附答案）1如图，在等边ABC 中，ADBC，垂足为点 D，AD4，P 是 AD 上一动点，E 为 AB的中点，连接 PE，PB，则 PB+PE 的最小值为 2如图，在 RtABC 中，C90，B30，AB8，点 P 是边 BC 上一动点，点 D在边 AB 上，且 BDAB，则 PA+PD 的最小值为 3已知两点 M（3，5），N（1，1），点 P 是 x 轴上一动点，若使 PM+PN 最短，则点 P 的坐标应为 4如图，AOB30，M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP6cm，则PMN 的

2、周长的最小值为 cm 5如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8E 为矩形内一点，连接 CE，DE，且ADEDCE，P 为 AD 边上一动点，连接 BP，EP，则 BP+EP 的最小值为 6如图，菱形 ABCD 的边长为 4cm，且ABC60，E 是 BC 中点，P 点在 BD 上，则PE+PC 的最小值为 7如图，在正方形 ABCD 中，AB5，点 E 在边 CD 上，且 CE2，在边 BC 上取两点 M，N（点 M 在点 N 左侧），且始终保持 MN1，线段 MN 在边 BC 上平移，则 AM+EN 的最小值为 8 等腰 RtAOB 和等腰 RtCOB 按如图所示方式放置，OABOCB90

3、，A（1，1），将AOB 沿 x 轴平移，得到DEF，连结 CD，CE当 CD+CE 的值最小时，点 D 的坐标为 9如图，在矩形 ABCD 中，AC10，AD8，点 E 为直线 BC 上任意一点，连接 AE，然后以 AE 为直角边向 AE 的右侧构造等腰直角三角形 AEF，连接 BF，则ABF 周长的最小值为 10如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD6，AE4，AF2，G，H 分别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 EFGH 周长的最小值为 11在平面直角坐标系中，已知 A（3，2）、B（2，7），在 x 轴上求一点 C，使|CBCA|最大，则点 C 的坐标为 12如图所示，四边形 A

4、BCD 中，ACBD 于点 O，AOCO8，BODO6，点 P 为线段 AC 上的一个动点过点 P 分别作 PMAD 于点 M，作 PNDC 于点 N连接 PB，在点 P 运动过程中，PM+PN+PB 的最小值等于 13如图，点 C 在线段 AB 上，DAC 是等边三角形，四边形 CDEF 是正方形，点 P 是线段 AE 上的一个动点，连接 PB，PC，若 AC2，BC3，则 PB+PC 的最小值为 14如图，ABC 是等边三角形，M 是 AC 边上的中点，Q 是 BC 边中点，N 是线段 CQ 任意一点，P 是 AB 边上任意一点，P 关于 AC 对称的点为 P，已知 AB，则 NPMP 的

5、最大值为 15如图，在正方形 ABCD 中，AB4，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC边上，且 BM3，P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 16如图，在平面直角坐标系中有 A（0，3），D（5，0）两点将直线 l1：yx 向上平移 2个单位长度得到直线 l2，点 B 在直线 l2上，过点 B 作直线 l1的垂线，垂足为点 C，连接AB，BC，CD，则折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值为 17如图，矩形 ABCD 中，AB2，AD8，E、F 分别为 AD、BC 上两个动点，且EFC60，连接 AF，CE，当 AF+EF+CE 最小时

6、，BF 的长为 18如图，ABC 中，A90，AB4k，AC3k，M、N、P 分别是边 AB、AC、BC 上的动点，连接 PM、PN 和 MN，若设 PM+PN+MN 的最小值为 y，则 y 与 k 的数量关系为 19如图，在ABC 中，A54，C76，D 为 AB 中点，点 P 在 AC 上从 C 向 A运动；同时，点 Q 在 BC 上从 B 向 C 运动，当PDQ 时，PDQ 的周长最小 20如图ABC 为等腰三角形，其中ABCBAC30，以 AC 为底边作ACD，其中ACDCAD30，再以 AD 为底边作ADE，其中ADEDAE30，ADE两底角的角平分线交于点 O，点 P 为直线 AC

7、 上的动点，已知|BPDP|最大值为 8则DP+OP 的最小值为 参考答案 1解：连接 EC 交 AD 于点 P，BAC 是等边三角形，BPCP，PB+PEPC+PEEC，当 E、P、C 三点共线时，PB+PE 的值最小，E 是 AB 的中点，ADBC，ADEC，AD4，EC4，PB+PE 的最值为 4，故答案为：4 2解：如图，作 D 关于 BC 的对称点 E，连接 AE 交 BC 于 P，则 PA+PD 的值最小，过 E 作 EFAC 交 AC 的延长线于 F，过 D 作 DHAC 于 H，则 DHEF，DHBC，ACB90，B30，AB8，ACAB4，ADHB30，BDAB2，AD6，C

8、FDEBD1，AF5，DH3，EF3，AE2，PA+PD 的最小值为 2，故答案为：2 3解：作 M 点关于 x 轴的对称点 M，M（3，5），M（3，5），设直线 MN 的解析式为 ykx+b，解得，直线 MN 的解析式为 y3x+4，P 的纵坐标为 0，3x+40，解得 x，P（，0）故答案为：（，0）4解：作 P 点关于 OA 的对称点 C，作 P 点关于 OB 的对称点 D，连接 CD，CD 与 OA、OB 的交点即为所求点 M、N，PMN 的周长CD，此时PMN 的周长最小，点 P 与点 D 关于 OB 对称，POOD，点 P 与点 C 关于 OA 对称，OPOC，AOB30，COD

9、60，OCD 为等边三角形，OP6cm，CD6cm，PMN 的周长的最小值为 6cm，故答案为 6 5解：如图，作点 B 关于 AD 的对称点 T，取 CD 的中点 O，连接 OT，OE，PT，过点 O作 ORAB 于点 R，四边形 ABCD 是矩形，ADBC8，ADBC，ADC90，ODOC，ADORBC，ARBR2，ABAT4，RT6，OT10，ADEDCE，ADE+CDE90，DCE+CDE90，CED90，OECD2，点 E 在O 上运动，PT+PE+OEOT10，PT+PE1028，PTPB，PB+PE8，PB+PE 的最小值为 8 故答案为：8 6解：如图，在菱形 ABCD 中，点

10、 A、C 关于 BD 对称，PAPC，连接 AE，与 BD 的交点即为所求的点 P，在菱形 ABCD 中，ABC60，ABBC，ABC 是等边三角形，AB4cm，BE2cm，点 E 是 BC 的中点，AEBC，AE2cm，即 PE+PC 的最小值为 2cm 故答案为：2cm 7解：作 A 点关于 BC 的对称点 G，连接 MG，过点 G 作 GHMN，过点 N 作 NHMG，四边形 MGHN 是平行四边形，NHMGAM，AM+NENH+NE，当 E、N、H 三点共线时，AM+NE 有最小值，过点 H 作 HKCD 交延长线于点 K，AB5，CE2，EK7，MN1，GH1，HK4，在 RtHKE

11、 中，EH，AM+EN 的最小值为，故答案为：8解：如图，将AOB 沿 x 轴平移，得到DEF，点 D 的纵坐标为 1，设 D（t，1），过点 D 作 DGx 轴于点 G，则 G（t，0），E（t1，0），作点 E 关于直线 y1 的对称点 E（t1，2），连接 CE，则 CECE，CD+CECD+CE，当 D、C、E三点共线时，CD+CEDE为最小值，设直线 CD 的解析式为 ykx+b，把 C（1，1）和 D（t，1）代入，得：，解得：，直线 CD 的解析式为 yx，点 E（t1，2）在直线 CD 上，2（t1），解得：t，D（，1）；故答案为：（，1）9解：如图，过点 F 作 FGBA，

12、交 BA 的延长线于点 G，AEF 为等腰直角三角形，AGFEBA（AAS），BEAG，GFAB，设 BEAGx，AC10，AD8，CD6，AB6，GF6 BGAB+AG6+x，BF，AF，AF+BF+，设 P（x，0），M（6，6），N（0，6），则 MP+PN+，作点 N 关于 x 轴上对称点 N（0，6），则 MP+PNMP+PN，连接 MN，当 M、P、N在同一直线上时，MP+PNMP+PN最小值为 MN，MN6，NN6+612，MN6，即 AF+BFMP+PN 的最小值为 6，ABF 周长的最小值为 6+6 10解：作 F 点关于 BC 的对称点 F，作 E 作 CD 的对称点 E，

13、连接 EF交 BC 于 G，交 CD于 H，连接 EH，FG，FGFG，EHEH，四边形 EFGH 周长EF+FG+GH+HEEF+FG+GH+HEEF+FF，当 E、G、H、F四点共线时，四边形 EFGH 周长有最小值，AB3，AF2，BF1，BF1，AE4，AD6，AE4，ED2，DE2，AE8，在 RtAEF中，EF4，在 RtAEF 中，EF2，四边形 EFGH 周长的最小值为 4+26，故答案为：6 11解：由 BCACAB 可知当 A、B、C 三点共线时|CBCA|最大，设直线 AB 为 ykx+b，直线过 A（3，2）、B（2，7），解得，直线 AB 为 yx+5，当 y0 时，

14、x5，点 C 的坐标为（5，0）故答案为：（5，0）12解：AOCO8，BODO6，AC10，四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD 于点 O，平行四边形 ABCD 是菱形，AD10，CDAD10，连接 PD，如图所示：SADP+SCDPSADC，ADPM+DCPNACOD，即10PM+10PN166，10（PM+PN）166，PM+PN9.6，当 PB 最短时，PM+PN+PB 有最小值，由垂线段最短可知：当 BPAC 时，PB 最短，当点 P 与点 O 重合时，PM+PN+PB 有最小值，最小值9.6+615.6，故答案为：15.6 13解：作 C 点关于 AE 的对称点 C，连接 CB

15、 与 AE 交点为 P，PB+PCBC，EAD15，DAC60，GAC45，AGCG，DCA45，AC2，GC，CC2，过 C作 CHAC，则CCH 为等腰直角三角形，CH2，H 与 A 重合，CAAC，在 RtABC中，ABAC+BC5，AC2，BC，PB+PC 的最小值为，故答案为：14解：如图，连接 MP，MN，点 P，P关于 AC 对称，MPMP，NPMPNPMP，在MNP中，由三角形三边关系可知，NPMPMN，当 M，N，P三点共线时，NPMPMN，NPMPMN，且当 N 与点 Q 重合时，取得最大值，即 NPMPMQ，即NPMP 的最大值为 MQ 的长 在等边ABC 中，AB，AC

16、ABBC，C60，点 M 为 AC 的中点，点 Q 为 BC 的中点，CQMCAC，即 NPMP 的最大值为 故答案为：15解：如图所示：以 BD 为对称轴作 N 的对称点 E，连接 PE，ME，因为正方形的对角线互相垂直平分且相等，点 N 和 E 关于 BD 成轴对称，PNPE，PMPNPMPE，当点 P，E，M 三点共线时，PMPE 的值最大，为 ME 的长，在正方形 ABCD 中，AB4，AC4，N 是 AO 的中点，点 N 和 E 关于 BD 成轴对称，PMABCD，CME90，NCM45，ECM 为等腰直角三角形，CMME1，即 PMPN 的最大值为 1，故答案为：1 16解：如图，

17、将点 A 沿 y 轴向下平移 2 个单位得到 E（0，1），以 AE 为斜边，作等腰直角三角形 AEF，则点 F（1，2），连接 CF，AEF 是等腰直角三角形，AFEF，AEF45，将直线 l1：yx 向上平移 2 个单位长度得到直线 l2，AOC45，BC，BCAF，AEFAOC45，EFOC，AFEF，BCOC，AFBC，四边形 ABCF 是平行四边形，ABCF，AB+BC+CDCF+CD，当点 C，点 D，点 F 三点共线时，CF+CD 有最小值为 DF 的长，即 AB+BC+CD 有最小值，点 D（5，0），点 F（1，2），DF2，折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值为

18、 2+，故答案为：2+17解：如图，过点 E 作 EHBC 于点 H，则四边形 ABHE 是矩形，EHAB2，EHF90，EFH60，FEH30，EF2FH，FH2，EF4，设 BFx，则 CH8x26x，AF+EC+，欲求 AF+EC 的最小值，相当于在 x 轴上 寻找一点 P（x，0），使得 P 到 M（0，2），N（6，2）的距离和最小（如图 1 中），作点 M 关于 x 轴的对称点 F，连接 FN，F（0，2），N（6，2），直线 FN 的解析式为 yx2，令 y0，可得 x3，x3 时，PM+PN 的值最小，此时 BF3，故答案为：3 18解：作点 P 关于 AB 的对称点 P1，作

19、点 P 关于 AC 的对称点 P2，连接 PP1，PP2，P1M，P2N，AP1，AP2，如图所示：根据轴对称的性质可得 APAP1，APAP2，BAP1BAP，CAP2CAP，BAC90，BAP+CAP90，BAP1+CAP290，P1AP2180，P1，A，P2三点共线，MPMP1，NPNP2，PM+PN+MN 的最小值即为 P1P2的最小值，P1P22PA，当 APBC 时，AP 取得最小值，此时 PM+PN+MN 的值最小，A90，AB4k，AC3k，根据勾股定理，得 BC5k，ABC 的面积，AP 的最小值为k，PM+PN+MN 的值最小为 y，故答案为：y 19解：过点 D 作 D

20、FBC 于 N，并截取 NFDN，过点 D 作 DEAC 于 M，并截取 MEDM，连接 EF，则 EF 的长为DPQ 的最小值，根据作图知：AC 垂直平分 DE，BC 垂直平分 DF，DQFQ，PDPE，DQ+DP+PQFQ+QP+PE，根据两点之间线段最短，所以 EF 的长是DPQ 的最小值，此时有：FDQDQP，MDPDPQ，在ABC 中有A54，C76，B50，BDN40，ADM36，QDP180BDNADMFDQMDP 1804036（DQP+DPQ）104（180PDQ）10490+QDP，解得：QDP28 故当PDQ28时，PDQ 的周长最小 20解：作 D 点关于 AC 的对称点 D，DACCAB30，D在 AB 上，BD与 AC 的交点 P 为点 A，DPDP，此时|BPDP|的值最大为 BD，|BPDP|最大值为 8，BD8，连接 CD，CBA30，ACD30，ACDDCA，BCD1203090，ADADCDCDBDsin304，DAD60，DD4，OA 是DAE 的角平分线，DO 是ADE 的角平分线，OADODA15，DAO75，DOOA，DDAD，ODDOAD（SSS），AODDOD75，DOADAO75，DODA4，DP+OP 的值为 4，故答案为：4