2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册7.6 用锐角三角函数解决问题 解答专项练习题（附答案）1 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔 AB 垂直于桥面 BC 于点 B，其中两条斜拉索 AD、AC 与桥面 BC 的夹角分别为 60和 45，两固定点 D、C 之间的距离约为 33m，求主塔 AB 的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）2某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB 的长度（结果保留小数点后一位，1.7）3如图是某水库大坝的横截面，坝高 CD20m，背水坡 BC 的坡度为 i11：1为了对水库大坝进行升级加

2、固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 i21：，求背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离（参考数据：1.41，1.73结果精确到 0.1m）4 动感单车是一种新型的运动器械 图是一辆动感单车的实物图，图是其侧面示意图 BCD 为主车架，AB 为调节管，点 A，B，C 在同一直线上已知 BC 长为 70cm，BCD的度数为 58当 AB 长度调至 34cm 时，求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度（结果精确到1cm）（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）5在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量如图，在山坡坡脚 C 处测得该建筑

3、物顶端 B 的仰角为 60，沿山坡向上走 20m 到达 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为30已知山坡坡度 i3：4，即 tan，请你帮助该小组计算建筑物的高度 AB（结果精确到 0.1m，参考数据：1.732）6 如图，希望中学的教学楼 AB 和综合楼 CD 之间生长着一棵高度为 12.88 米的白杨树 EF，且其底端 B，D，F 在同一直线上，BFFD40 米在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶 A 处测得点 C 的仰角为 9，点 E的俯角为 16 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到 0.01米）；若不能，说明

4、理由 解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）0.156 0.158 0.276 0.287 7如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD15m，斜坡的倾斜角为，cos小文在 C 点处测得楼顶端 A 的仰角为 60，在 D 点处测得楼顶端 A 的仰角为 30（点 A，B，C，D 在同一平面内）（1）求 C，D 两点的高度差；（2）求居民楼的高度 AB（结果精确到 1m，参考数据：1.7）8位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战

5、争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度无人机在点 A 处测得烈士塔顶部点 B的仰角为 45，烈士塔底部点 C 的俯角为 61，无人机与烈士塔的水平距离 AD 为 10m，求烈士塔的高度（结果保留整数参考数据：sin610.87，cos610.48，tan611.80）9北京时间 2022 年 4 月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为 8m 的励志条幅（即 GF8m）小亮同学想知道条幅的底端 F 到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点 B 处，在点 B 正上方

6、点 A 处测得条幅顶端 G 的仰角为 37，然后向教学楼条幅方向前行 12m 到达点 D 处（楼底部点 E 与点 B，D 在一条直线上），在点 D 正上方点 C 处测得条幅底端F 的仰角为 45，若 AB，CD 均为 1.65m（即四边形 ABDC 为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度（结果精确到0.1m 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）10随着我国科学技术的不断发展，5G 移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G 网络全覆盖，20212025 年拟建设 5G 基站 3000 个，如图，在斜坡 CB 上有一建成的 5G基站塔 AB

7、，小明在坡脚 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45，然后他沿坡面 CB 行走了 50 米到达 D 处，D 处离地平面的距离为 30 米且在 D 处测得塔顶 A 的仰角 53（点 A、B、C、D、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53，cos53，tan53）（1）求坡面 CB 的坡度；（2）求基站塔 AB 的高 11如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头 C，货轮航行到 A 处时，测得码头 C在北偏东 60方向上 为了躲避 A，C 之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东 30方向继续航行，当它航行到 B 处后，又沿着南偏东 70方向航行 20 海里到达码头 C求货轮从

8、 A 到 B 航行的距离（结果精确到 0.1 海里参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192）12如图，我国某海域有 A，B，C 三个港口，B 港口在 C 港口正西方向 33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A 港口在 B 港口北偏西 50方向且距离 B 港口 40nmile 处，在 A 港口北偏东 53方向且位于 C 港口正北方向的点 D 处有一艘货船，求货船与 A 港口之间的距离（参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19，sin530.80，cos530.60，tan531.33）132022 年 6 月 5 日

9、，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB、BC 为机械臂，OA1m，AB5m，BC2m，ABC143机械臂端点 C 到工作台的距离CD6m（1）求 A、C 两点之间的距离；（2）求 OD 长（结果精确到 0.1m，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，2.24）14某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，河旁有一座小山，山高 BC80m，点 C、A 与河岸 E、F 在同一水平线上，从山顶 B处测得河岸 E 和对岸 F 的俯角分别为D

10、BE45，DBF31若在此处建桥，求河宽 EF 的长（结果精确到 1m）参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60 15如图是一矩形广告牌 ACGE，AE2 米，为测量其高度，某同学在 B 处测得 A 点仰角为 45，该同学沿 GB 方向后退 6 米到 F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端 P 点仰角为37若该同学眼睛离地面的垂直距离为 1.7 米，灯杆 PE 的高为 2.25 米，求广告牌的高度（AC 或 EG 的长）（精确到 1 米，参考数据：sin370.6，tan370.75）16如图，小谢想测某楼的高度，她站在 B 点从 A 处望向三楼的老田（D），测得仰角D

11、AG为 30，接着她向高楼方向前进 1m，从 E 处仰望楼顶 F，测得仰角FEG 为 45，已知小谢身高（AB）1.7m，DF6m（参考数据：1.7，1.4）（1）求 GE 的距离（结果保留根号）；（2）求高楼 CF 的高度（结果保留一位小数）17如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活绿色出行”健步走公益活动，小宇在点 A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东 68的点 C 处，观光船到滨海大道的距离 CB 为 200 米当小宇沿滨海大道向东步行 200 米到达点 E 时，观光船沿北偏西 40的方向航行至点 D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C 处航行到

12、 D 处的距离（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin680.93，cos680.37，tan682.48）18 我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图）数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图所示，当无人机从位于塔基 B 点与古槐底 D 点之间的地面 H 点，竖直起飞到正上方 45 米 E 点处时，测得塔 AB 的顶端 A 和古槐 CD 的顶端 C 的俯角分别为 26.6和 76（点 B，H，D 三点在同一直线上）已知塔高为 39 米，塔基 B 与树底 D 的水平距离为 20 米，求古槐的高度（结果

13、精确到 1 米）（参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50，sin760.97，cos760.24，tan764.01）19数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，DCAM 于点 E，在 A 处测得大树底端 C 的仰角为 15，沿水平地面前进 30 米到达 B 处，测得大树顶端 D 的仰角为53，测得山坡坡角CBM30（图中各点均在同一平面内）（1）求斜坡 BC 的长；（2）求这棵大树 CD 的高度（结果取整数），（参考数据：sin53，cos53，tan53，1.73）20如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为 2cm，

14、固定支点 O 到水平桌面的距离为 7.5cm，当支架 OA、AB 拉直时所形成的线段与点 M 共线且与底座垂直，此时测得 B 到底座的距离为 31.64cm（线段 AB，AO，OM 的和），经调试发现，当OAB115，AOM160时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得 A 到 B 的水平距离为 10cm，求此时点 B 到桌面的距离（参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，）参考答案 1解：在 RtADB 中，ADB60，tanADB，BD，在 RtABC 中，C45，tanC，BCAB，BCBDCD33m，AB33，AB78（m）答：主塔 AB 的高约为 78m

15、 2解：如图，过点 C、D 分别作 BE 的平行线交 BA 的延长线于点 M、N，在 RtBDE 中，BDE904545，DEBE14m，在 RtACM 中，ACM60，CMBE14m，AMCM14（m），ABBMAM CEAM 20+1414 10.2（m），答：AB 的长约为 10.2m 3解：在 RtBCD 中，BC 的坡度为 i11：1，1，CDBD20 米，在 RtACD 中，AC 的坡度为 i21：，ADCD20（米），ABADBD202014.6（米），背水坡新起点 A 与原起点 B 之间的距离约为 14.6 米 4解：AB34cm，BC70cm，ACAB+BC104cm，在 R

16、tACE 中，sinBCD，AEACsinBCD1040.8588cm 答：点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约 88cm 5解：过点 D 作 DEAC，垂足为 E，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DEAF，DFAE，在 RtDEC 中，tan，设 DE3x 米，则 CE4x 米，DE2+CE2DC2，（3x）2+（4x）2400，x4 或 x4（舍去），DEAF12 米，CE16 米，设 BFy 米，ABBF+AF（12+y）米，在 RtDBF 中，BDF30，DFy（米），AEDFy 米，ACAECE（y16）米，在 RtABC 中，ACB60，tan60，解得：y6+8，经检

17、验：y6+8是原方程的根，ABBF+AF18+831.9（米），建筑物的高度 AB 约为 31.9 米 6解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作 EGAB，垂足为 G，作 AHCD，垂足为 H，如图：由题意知，EGBF40 米，EFBG12.88 米，HAE16AEG16，CAH9，在 RtAEG 中，tanAEG，tan16，即 0.287，AG400.28711.48（米），ABAG+BG11.48+12.8824.36（米），HDAB24.36 米，在 RtACH 中，AHBDBF+FD80 米，tanCAH，tan9，即 0.158，CH800.15812.64（米），

18、CDCH+HD12.64+24.3637.00（米），答：综合楼的高度约是 37.00 米 7解：（1）过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于点 E，在 RtDCE 中，cos，CD15m，（m）（m）答：C，D 两点的高度差为 9m（2）过点 D 作 DFAB 于 F，由题意可得 BFDE，DFBE，设 AFxm，在 RtADF 中，tanADFtan30，解得 DFx，在 RtABC 中，ABAF+FBAF+DE（x+9）m，BCBECEDFCE（x12）m，tan60，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，AB+924（m）答：居民楼的高度 AB 约为 24m 8解：由题意得，BA

19、D45，DAC61，在 RtABD 中，BAD45，AD10m，BDAD10m，在 RtACD 中，DAC61，tan611.80，解得 CD18，BCBD+CD10+1828（m）烈士塔的高度约为 28m 9解：设 AC 与 GE 相交于点 H，由题意得：ABCDHE1.65 米，ACBD12 米，AHG90，设 CHx 米，AHAC+CH（12+x）米，在 RtCHF 中，FCH45，FHCHtan45x（米），GF8 米，GHGF+FH（8+x）米，在 RtAHG 中，GAH37，tan370.75，解得：x4，经检验：x4 是原方程的根，FEFH+HE5.655.7（米），条幅底端 F

20、 到地面的距离 FE 的长度约为 5.7 米 10解：（1）如图，过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 F，过点 D 作 DMCE，垂足为 M 由题意可知：CD50 米，DM30 米 在 RtCDM 中，由勾股定理得：CM2CD2DM2，CM40 米，斜坡 CB 的坡度DM：CM3：4；（2）设 DF4a 米，则 MN4a 米，BF3a 米，ACN45，CANACN45，ANCN（40+4a）米，AFANNFANDM40+4a30（10+4a）米 在 RtADF 中，DF4a 米，AF（10+4a）米，ADF53，tanADF，解得 a，AF10+4a10+3040（米），BF3

21、a米，ABAFBF40（米）答：基站塔 AB 的高为米 11解：过 B 作 BDAC 于 D，由题意可知ABE30，BAC30，则C18030307050，在 RtBCD 中，C50，BC20（海里），BDBCsin50200.76615.32（海里），在 RtABD 中，BAD30，BD15.32（海里），AB2BD30.6430.6（海里），答：货轮从 A 到 B 航行的距离约为 30.6 海里 12解：过点 A 作 AECD，垂足为 E，过点 B 作 BFAE，垂足为 F，由题意得：EFBC33.2 海里，AGDC，GADADC53，在 RtABF 中，ABF50，AB40 海里，AFA

22、Bsin50400.7730.8（海里），AEAF+EF64（海里），在 RtADE 中，AD80（海里），货船与 A 港口之间的距离约为 80 海里 13 解：（1）如图，过点 A 作 AECB，垂足为 E，在 RtABE 中，AB5m，ABE37，sinABE，cosABE，0.60，0.80，AE3m，BE4m，CE6m，在 RtACE 中，由勾股定理 AC36.7m（2）过点 A 作 AFCD，垂足为 F，FDAO1m，CF5m，在 RtACF 中，由勾股定理 AF2m OD24.5m 14解：在 RtBCE 中，BC80m，BECDBE45，CBE45，BECCBE45，CEBC80

23、m 在 RtBCF 中，BC80m，BFCDBF31，tanBFC，CF133.3 EFCFCE133.38053.353（m）答：河宽 EF 的长约为 53m 15解：由题意：DHBF6 米，DBHF1.7 米，PE2.25 米，如图，设直线 DH 交 EG 于 M，交 AC 于 N，则 EMAN 设 ANx，则 PMx+2.25，在 RtAND 中，ADN45，ANNDx，AEMN2，则 MH6+x+28+x，在 RtPHM 中，tan37，解得 x15，ACAN+NC15+1.717（米），故广告牌的高度为 17 米 16解：（1）设 GExm，EGF90，FEG45，EFG 是等腰直角

24、三角形，FGEGxm，在 RtADG 中，DAG30，AGEG+AE（x+1）m，tanDAGtan30，DGAG（x+1）m，FGDGDF，x（x+1）6，解得：x，答：GE 的距离为m；（2）由（1）得：FGGEm，GCAB1.7m，CFFG+GC+1.717.2（m），答：高楼 CF 的高度约为 17.2m 17解：过点 C 作 CFDE 于 F，由题意得，D40，ACB68，在 RtABC 中，CBA90，tanACB，ABCBtan682002.48496（m），BEABAE496200296（m），CFEFEBCBE90，四边形 FEBC 为矩形，CFBE296m，在 RtCDF

25、中，DFC90，sinD，CD462.5（m），答：观光船从 C 处航行到 D 处的距离约为 462.5m 18解：过点 A 作 AMEH 于 M，过点 C 作 CNEH 于 N，由题意知，AMBH，CNDH，ABMH，在 RtAME 中，EAM26.6，tanEAM，AM12 米，BHAM12 米，BD20，DHBDBH8 米，CN8 米，在 RtENC 中，ECN76，tanECN，ENCNtanECN84.0132.08 米，CDNHEHEN12.9213（米），即古槐的高度约为 13 米 19解：（1）由题意得：CAE15，AB30 米，CBE 是ABC 的一个外角，ACBCBECAE

26、15，ACBCAE15，ABBC30 米，斜坡 BC 的长为 30 米；（2）在 RtCBE 中，CBE30，BC30 米，CEBC15（米），BECE15（米），在 RtDEB 中，DBE53，DEBEtan531520（米），DCDECE201520（米），这棵大树 CD 的高度约为 20 米 20解：过点 A 作 AC 平行于水平桌面，过点 B 作 BCAC 于点 C，再延长 MO 交 AC 于点D，由题意可知：ODAC，AC10cm，OM7.525.5cm，AOM160，AOD180AOM20，ODAC，ADO90，OAD90AOD70，OAB115，BACOABOAD1157045，ABCBAC45，ACBC10cm，在 RtABC 中，cosBAC，AB，AB+AO+OM31.64cm，AO12cm，在 RtAOD 中，cosAOD，ODAOcosAOD12cos2011.28cm，BC+OD+7.511.28+10+7.528.78cm，点 B 到桌面得距离为 28.78cm