2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练(附答案)327.pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题专题提升训练（附答案）1如图AB 为O 的直径，C，D 为圆上的两点，BD 平分ABC 交 AC 于点 E（1）求证：DC2DEDB；（2）若 AE5，tanDBC，求 BE 的长；（3）过点 B 作O 的切线，交 DC 的延长线于点 F，若 AE6，CE4，求 BF 的长 2如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是边 BC 的中点，过点 D 作 DEAB 于点 E，ACD的外接圆 O 与边 AB 交于点 A，F（1）作出ACD 的外接圆，补全图形；（2）证明 DE 是O 的切线；（3）若 cosBAC，BE1，求线段 AF 的长度 3如图

2、，点 D 在以 AB 为直径的O 上，过 D 作O 的切线交 AB 延长线于点 C，AECD于点 E，交O 于点 F，连接 AD，FD（1）求证：DAEDAC；（2）求证：DFACADDC；（3）若 sinC，AD4，求 EF 的长 4如图，AB 为O 的直径，C 是O 上异于点 A，B 的一点，且点 C 在 AB 的上方，连接OC过点 C 作O 的切线，过点 B 作该切线的垂线，垂足为点 D，直线 DB 交O 于点E（1）连接 BC，过点 C 作 CFAB 于点 F求证：CDCF（2）连接 AC，OE，填空：当A 的度数为 时四边形 BDCO 是正方形 当A 的度数为 时，以 B，C，O，E

3、 为顶点的四边形是菱形 5如图，在 RtABC 中，A90，边 AB，BC 分别与O 相切于点 D，E，O 的半径为 r（1）若点 F 在优弧 DE 上，且DFE70，求ABC 的度数；（2）若点 F 在O 上运动，当四边形 DBEF 为菱形时，求ABC 的度数；（3）若 AB8，AC6，当O 与 RtABC 的三边都相切时，请直接写出 r 的值 6如图 1，以ABC 的边 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，连接 AD，点 E 为 AD 上一点（不与端点重合），连接 CE，作 DFCE 于点 F，延长 DF 交 AC 于点 M，交 BA 的延长线于点 G，BGDACE（1）求证：BG 是O

4、 的切线；（2）求证：；（3）如图 2，延长 CE 交 AB 于点 H，若 HE4，ACHBCH，sinBGD，求BC 的长 7如图，点 E 是正方形 ABCD 边 BC 上一点（点 E 不与 B、C 重合），连接 AE 交对角线 BD于点 F，ADF 的外接圆 O 交边 CD 于点 G，连接 GA、GE，设（1）求EAG 的度数（2）当 时，求 tanAEG（3）用 的代数式表示，并说明理由 8如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB的延长线于点 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KEGE；（2）若 KG2KDGE

5、，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若 sinE，AK2，求O 的半径 9如图，ABCD 的顶点 A，B，C 都在O 上，AD 与O 相切于点 A，O 的半径为 4，设D，OBC（1）若 50，求 的度数；（2）请探究 与 之间的关系，并说明理由；（3）若 60，请求出ABCD 的面积 10如图，在ABC 中，ABAC，O 为ABC 的外接圆，且O 的半径为 3，过 C 作 CDAB，CD 交O 于 D，连接 AD 交 BC 于点 E（1）尺规作图：延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：AF

6、 是O 的切线；当点 C 在O 上运动时，求 ABFD 的最大值 11如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 D 作 DHAC 于点 H，连接 DE 交线段 OA 于点 F（1）求证：DH 是O 的切线；（2）若点 A 为 EH 的中点，求的值；（3）若 EAEF2，求O 的半径 12在 RtABC 中，A90，ABAC4，O 是 BC 边上的点，O 与 AB 相切，切点为 D，AC 与O 相交于点 E，且 ADAE（1）求证：AC 是O 的切线；（2）如果 F 为 DE 上的一个动点（不与 D、E 重合），过点 F 作O

7、的切线分别与边 AB、AC 相交于 G、H，连接 OG、OH，有两个结论：四边形 BCHG 的周长不变；GOH 的度数不变 已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设 BGx，CHy，试问 y 与 x 之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量 x 的取值范围，并说明当 xy 时 F 点的位置 13如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点 O，分别交 x 轴、y 轴于点 A（2，0），B（0，8），连结 AB直线 CM 分别交M 于点 D，E（点 D 在左侧），交 x 轴于点 C（17，0），连结 AE（1）求M 的半径和直线 CM 的函数表达式

8、；（2）求点 D，E 的坐标；（3）点 P 在线段 AC 上，连结 PE当AEP 与OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的 OP 的长 14如图，四边形 BCDE 是O 的内接四边形，DE 是O 的直径，BC、ED 的延长线交于点 A，连接 CE、BD 交于点 F，DF2FCFE，点 H 是线段 CE 上一点连接 BH、DH（1）求证：DFBF；（2）若BECDBH，BDE45，求；（3）在（2）的条件下，若 AEAC，CB+DE2+2求线段 AC 的长度 15如图 1，O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，且连接 AC 并延长，与BD 的延长线相交于点 E（1）求证：CDED；（2）

9、AD 与 OC，BC 分别交于点 F，H 若 CFCH，如图 2，求证：CFAFFOAH；若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 16已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E，且 ODAC，垂足为点 F（1）如图 1，如果 ACBD，求弦 DE 的长；（2）如图 2，如果 DE：BE3：2，求ABD 的正切值；（3）连结 BC，CD，DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积 17如图，在O 中，CD 为O 的直径，弧 AB弧 AC，AFCD，垂足为点 F，射线 AF交 CB 于点 E（1）如图 1，

10、求证：CAFACB；（2）如图 2，连接 EO 并延长交 AC 于点 G，连接 FG，求证：AC2FG；（3）如图 3，在（2）的条件下，若 tanFGE，四边形 FECG 的面积为 14，求 AC 的长 18如图，O 的半径为 1，点 A 是O 的直径 BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，ADCD，A30（1）求证：直线 AC 是O 的切线；（2）求ABC 的面积；（3）点 E 在上运动（不与 B、D 重合），过点 C 作 CE 的垂线，与 EB 的延长线交于点 F 当点 E 运动到与点 C 关于直径 BD 对称时，求 CF 的长；当点 E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此

11、时 CF 的长 19如图，O 的直径 AB8，MAC 为等腰三角形，MAMC，点 M 在O 上 （1）如图 1，当点 C 与点 O 重合时，MAC 的度数为 ；（2）如图 2，当点 C 为线段 OB 的中点时，求 cosMAC 的值；（3）在第（2）的前提下，延长 MC 至点 P，连接 PB，则当 PC 长为多少时 PB 与O相切？20如图 1，四边形 ABCD 内接于O，AD 为直径，点 C 作 CEAB 于点 E，连接 AC（1）求证：CADECB；（2）若 CE 是O 的切线，CAD30，连接 OC，如图 2 请判断四边形 ABCO 的形状，并说明理由；当 AB2 时，求 AD，AC 与

12、围成阴影部分的面积 参考答案 1解：（1）连接 AD，BD 平分ABC，CDBDBACAD，BDCCDE，DCEDBC，DC2DEDB；（2）设CDBDBACAD，则 tan，则 cos，在 RtADE 中，ADAEcos52，则 DEAD，在 RtABD 中，BD4，则 BEBDDE3；（3）连接 DO 交 AC 于点 G，BD 平分ABC，则 D 是的中点，则 DOAC，且 AGGCAC（6+4）5，则 GE5CE1，DGBC，DGEBCE 故 DG：BCGE：CEDE：BE1：4，设 GDx，则 BC4x，点 G、O 分别为 AC、AB 的中点，故 OG 是ABC 的中位线，则 OGBC

13、2x，则圆的半径OG+DGx+2x3x，在 RtAOG 中，AO2AG2+OG2，即（3x）2（2x）2+52，解得 x，故 DGx，BC4x4，则 BE4，DE：BE1：4，则 DE，BDDE+BE5，则 DC2DEDB530，则 CD；BF 是圆的切线，故FBCBACBDF，FF，FBCFDB，FC：FBBC：BD4：5，设 FC2a，则 FB15a，FD+2a，同理可得，FBCFDB，FB2FCFD，即（15a）22a（+2a），解得 a，则 FB15a 2（1）解：ABAC，点 D 是边 BC 的中点，ADBC，ADC90，AC 是ACD 的外接圆 O 的直径，AC 的中点即为ACD

14、的外接圆的圆心，补全图形如图 1 所示，（2）证明：如图 2，连接 OD，由（1）知，ADBC，ADC90，点 O 是 AC 的中点，OD 是 RtADC 的斜边的中线，ODOC，ACBODC，ABAC，ACBABC，ODCABC，DEAB，BED90，ABC+BDE90，ODC+BDE90，ODE180（BDE+ODC）90，ODDE，OD 是O 的半径，DE 是O 的切线；（3）解：如图 3，连接 CF，AC 为O 的直径，AFC90，在 RtAFC 中，cosBAC，cosBAC，设 AF3x，则 AC5x，DEAB，AED90AFC，DECF，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 BF

15、 的中点，BF2BE，BE1，BF2，ABBF+AF2+3x，ABAC，2+3x5x，x1，AF3x3，即线段 AF 的长度为 3 3（1）证明：如图，连接 OD CD 是O 的切线，ODEC，AECE，AEOD，EADADO，OAOD，ADODAO，DAEDAC （2）证明：如图，连接 BF AB 是直径，AFB90，AEEC，AFBE90，BFEC，ABFC，ADFABF，ADFC，DAFDAC，DAFCAD，DFACADDC （3）解：过点 D 作 DHAC 于 H CD 是O 的切线，ODC90，sinC，可以假设 ODk，OC4k，则 OAODk，CDk，ODDCOCDH，DHk，O

16、Hk，AHOA+OHk，AD2AH2+DH2，（4）2（k）2+（k）2 k8 或8（舍弃），AC5k40，AB2k16，sinCsinABF，AE10，AF4，EFAEAF1046 4解：（1）AB 是直径，故ACB90，BCF+ACF90，ACF+CAF90，BCFBCA，CD 是圆 O 的切线，故BCD+BCO90，而BACOCA，OCA+BCOBCO+BAC90，BACBCD，BCFBCD，BDCD，CFBF，CDCF；（2）当A45时，四边形 BDCO 是正方形，理由：A45，则COB90，而DCOCDB90，四边形 BDCO 是矩形，而 BOCO，四边形 BDCO 是正方形，故答案

17、为 45；当A30或 60时，以 B，C，O，E 为顶点的四边形是菱形，理由：当 BO 是四边形对角线时，当A30时，以 B，C，O，E 为顶点的四边形是菱形，如图题干，A30，则COB60，BCO 为等边三角形，故 COCBBO，DECO，OBECOB60，BOE 为等边三角形，故 OEBEOB，COOECBBO，以 B，C，O，E 为顶点的四边形是菱形；当 BO 是边时，如下图，当A60时，以 B，C，O，E 为顶点的四边形是菱形，COA 为等边三角形，COACOA，DECO，EBOCOA60，BEO 为等边三角形，BEOEOB，BEECCOOB，B，C，O，E 为顶点的四边形是菱形，故答

18、案为：30或 60 5解：（1）连接 OD、OE，边 AB，BC 分别与O 相切于点 D，E，则BDOBEO90，则DOE360BDOBEO360180ABC2DFE140，ABC40；（2）当四边形 DBEF 为菱形时，DEFB，设DEFB，由（1）同理可得，B+DOE180，而DOE2DEF2，故+2180，解得 60，故ABC60；（3）在 RtABC 中，AB8，AC6，则 BC10，当当O 与 RtABC 的三边都相切时，则 SABCABACABr+ACr+BCr（AB+BC+AC）r，即 68（6+8+10）r，解得 r2 6解：（1）BGDACE，且AMGCMF，180BGDAM

19、G180ACECMF，即GAMCFM，DFCE，GAMCFM90，OABG，BG 是O 的切线；（2）AC 为O 直径，ADCADB90，OABG，B90ACBDAC，ADBCDA，ABADACBD，BDAC，BGDACE，BGDACE，ACBDBGAE，ABADBGAE，；（3）设 CH 交O 于 N，连接 AN，如图：AC 为O 直径，ADC90ANC，DFCE，FCD90FDCEDF，ANDG，BGDHAN，NADADG，ACHBCH，BGDACE，ACHBCHEDFBGDHANNAD，在AHN 和AEN 中，AHNAEN（ASA），HNENHE，AHAE，HE4，HNEN2，sinBG

20、D，sinHAN，RtAHN 中，可得 AH5AE，RtAHC 中，sinACHsinBGD，可得 CH，AC，ECCHHE，BDAC，ACEBCH，AECBHC，BC 7解：（1）BD 是正方形 ABCD 的对角线，BDC45，GAFFDG，EAG45，（2）连接 GF，在正方形 ABCD 中ADG90，又在圆 O 的内接四边形 ADGF 中AFG+ADG180，AFG90 由（1）得GAE45，AGF45，FAGAGF，AFGF，GFE180AFG90，BE+CEBC，正方形 ABCD 中 ADBC，ADBC，BEFDAF，tanAEG3，（2）过 F 作 FHCD，垂足为 H，连接 CF

21、，利用正方形轴对称可得 CFAF，由（2）知 AFGF CFGF，FHCD，CHHG，ADBCBE+CE，BEFDAF，FHCD，ADC90，HFCDBC，DGDHGH，GHCH，8解：（1）如图 1，连接 OG EG 为切线，KGE+OGA90 CDAB，AKH+OAG90，又OAOG，OGAOAG，KGEAKHGKE，KEGE （2）KG2KDGE理由如下：如图 2，连接 GD KG2KDGE，又由（1）知KGEGKE，GKDEGK，KGDE 又CAGD，CE ACEF （3）连接 OG，OC，如图 3 所示 sinEsinACH，设 AH3t，则 AC5t，CH4t，KEGE，ACEF，

22、CKAC5t，HKCKCHt 在 RtAHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2AK2，即（3t）2+t2（2）2，解得 t2 设O 半径为 r，在 RtOCH 中，OCr，OHr3t，CH4t，由勾股定理得：OH2+CH2OC2，即（r3t）2+（4t）2r2，解得 rt 9解：（1）设ABOx，OAOB，BAOABOx，ABC+x50+x AD 是圆的切线，OAD90，则BAD90+x，ADBC，BAD+ABC180，即 50+x+（90+x）180，解得：x20，故ABC50+2070，又ABCD 中，DABC，70；（2）290，理由：同（1）设ABOx，则ABC+x，BAD90+x，

23、则+x+（90+x）180，即+2x90，x（90），又ABC+x，+（90），290；（3）60，则根据（2）得：30，ABO30，OAOB，OBOC，BAOABO30，OBCOCB30，OBOB，ABOCBO（AAS），ABBC，则平行四边形 ABCD 是菱形 作 OEAB 于点 E 在直角OBE 中，BEOBcosABO42，则 AB2BE4，BCAB4，则 SABCDABBCsinABC4424 10解：（1）补全图形如图 1 所示，（2）证明：如图 2，连接 OA，ABAC，OABC，垂足记作点 H，ABCD，BBCD，ABAC，BACB，ACBBCD，ACDACB+BCD2ACB，

24、CFAC，CAFAFC，ACDCAF+AFC2CAF，2ACB2CAF，ACBCAF，AFBC，OABC，OAAF，点 A 在A 上，AF 是O 的切线；由知，ACBCAF，BACB，CAFB，BD，CAFD，AFCDFA，ACFDAF，AF2CFDF，CFACAB，AF2ABDF，AFCCAF，DCAF，DAFC，ADAF，AD2ABDF，ABFD 最大，AD2最大，即 AD 最大，AD 是O 的弦，AD最大2O 的半径6，ABFD 的最大值为 36 11解：（1）连接 OD，OBOD，OBDODB，ABAC，ABCACB，ODBACB，ODAC，DHAC，DHOD，DH 是O 的切线；（2

25、）如图 2，连接 OD，AD，BE，AB 为O 的直径，BEA90，由（1）知，DHC90，DHCBEA，DHBE，AB 是O 的直径，ADB90，ADBC，ABAC，BDCD，CHEH，点 A 是 EH 的中点，AEAH，设 AEm，则 AHm，CHEHAE+AH2m，ACAH+CH3m，OAABACm，ODm，由（1）知，ODAC，AEFODF，；（3）设O 的半径为 r，即 ODOBr，EFEA，EFAEAF，ODEC，FODEAF，则FODEAFEFAOFD，DFODr，DEDF+EFr+2，BDCDDEr+2，在O 中，BDEEAB，BFDEFAEABBDE，BFBD，BDF 是等腰

26、三角形，BFBDr+2，AFABBF2OBBF2r（2+r）r2，BFDEFA，BE，BFDEFA，即 解得：r11+，r21（舍），综上所述，O 的半径为 1+12解：（1）连接 OD、OE、OA，O 与 AB 相切，切点为 D，ADO90 在AOD 与AOE 中，AODAOE（SSS）AEOADO90，即 OEAC 又OE 是半径，AC 是O 的切线；（2）的结论正确；理由如下：连接 OF、OG、OH，由题意，GD、GF 以及 HF、HE 与圆相切，所以 GDGF，HEHF，DOGFOG，FOHHOE，而DOE90，所以可以得到GOH45 （3）BGx，CHy，易得：GFGDx2，FHHE

27、y2，AG4x，AH4y，所以 GHx+y4，由BAC90，可得 GH2AG2+AH2，代入上述各数值，化简可得 y，由 AG0，AE0，可得 x4，y4，所以 2x4，当 xy 时，有 AGAH，由于 ABAC 所以可得 GH 与 BC 平行，连接 AO，设 AO 交 GH 于 F，有OFH90，所以 F为切点 F，即 F 为 AO 与圆的交点同时 F 是的中点 13解：（1）AOB90，AB 为M 的直径，点 M 是 AB 的中点，则点 M（1，4），则圆的半径为 AM，设直线 CM 的表达式为 ykx+b，则，解得，故直线 CM 的表达式为 yx+；（2）设点 D 的坐标为（x，x+），

28、由 AM得：（x1）2+（x+4）2（）2，解得 x5 或3，故点 D、E 的坐标分别为（3，5）、（5，3）；（3）过点 D 作 DHOB 于点 H，则 DH3，BH853DH，故DBO45，由点 A、E 的坐标，同理可得EAP45；由点 A、E、B、D 的坐标得，AE3，同理可得：BD3，OB8，当AEPDBO45时，则AEP 为等腰直角三角形，EPAC，故点 P 的坐标为（5，0），故 OP5；AEPBDO 时，EAPDBO，EAPDBO，即，解得 AP8，故 PO10；AEPBOD 时，EAPDBO，EAPOBD，即，解得 AP，则 PO2+，综上所述，OP 为 5 或 10 或 14

29、（1）证明：BCEEDB，CBDDEC，BCFEDF，DFBFFCFE，DF2FCFE，DF2DFBF，DFBF；（2）解：BECBDC，BECDBH，BECBDCDBH，CDBH，CFDHFB，DFBF，CFHF，四边形 CDHB 是平行四边形，BCDH，DHCBCEBDE45，BHCDCE90，DHC、BHC 是等腰直角三角形，CFHF，CH2CF，2；（3）解：四边形 CDHB 是平行四边形，HDBC，HDBC，CDBH，CDBH，AEAC，DEDH，CB+DE2+2 HDBC，DH+DH2+2 解得：DH2，DE2 DHC、BHC 是等腰直角三角形，CDCHBH，BE，CHB90，EH

30、B90，EH2，CECH+EH3，四边形 BCDE 是O 的内接四边形，CDE+EBC180,CDE+ADC180,ADCEBC，DCE90，BCE45，ACDECB45，ACDECB，即，AC3 15（1）证明：如图 1 中，连接 BC ，DCBDBC，AB 是直径，ACBBCE90，E+DBC90，ECD+DCB90，EDCE，CDED （2）证明：如图 2 中，CFCH，CFHCHF，AFOCFH，AFOCHF，CADBAD，AFOAHC，CFAFOFAH 解：如图 3 中，连接 OD 交 BC 于 G设 OGx，则 DG2x ，CODBOD，OCOB，ODBC，CGBG，在 RtOCG

31、 和 RtBGD 中，则有 22x212（2x）2，x，即 OG，OAOB，OG 是ABC 的中位线，OGAC，AC 16解：（1）ODAC，AFO90，又ACBD，即，AODDOCBOC60，AB2，AOBO1，AFAOsinAOF1，则 AC2AFBD，连接 OE，CABDBA30，OEAB，则 BE，则 DEBDBE；（2）如图 2，连接 BC，AB 为直径，ODAC，AFOC90，ODBC，DEBC，DEFBEC，DEFBEC，设 FD3a，则 BC2a，又AOOB，OF 是ABC 的中位线，则 OFa，则 ODOF+DFa+3a4aBA1，解得 a，连接 CO，则 FC，则 EFCF

32、，而 DF3a，则 tanFDEtanABD，即 tanABD；（3）如图 3，BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，BOC，AODCOD，则+2180，解得：n4 或2，2 舍去 BOC90、AODCOD45，BCAC，AFO90，OFAOcosAOF，则 DFODOF1，SACDACDF（1）17证明：（1）如图 1，连接 AD，DC 为O 的直径，DAC90，AFCD，AFD90，ADF+DAFFAC+DAF，ADFFAC，ADFACB，FACACB；（2）如图 2，连接 AO，AOOC，OACOCA，CAFACB，EAOECO，AEEC，AOE

33、COE（AAS），AEOCEO，EG 平分AEC，AEC 是等腰三角形，G 是 AC 的中点，AFC 是直角三角形，AC2FG；（3）如图 3，过 G 作 GHDC 于 H，AFCD，AFGH，在 RtAFC 中，G 是 AC 的中点，AGCG，GHAF，EACAFG，EACECA，AFGECA，AFG+EFG180，ECA+EFG180，F、E、C、G 四点共圆，FGEFCE，tanFGE，tanFCE，即，设 EFa，FC4a，由勾股定理得：EC3a，AEEC3a，AFAEEF3aa2a，GHAFa，由勾股定理得：AC2AF2+CF2（2a）2+（4a）224a2，四边形 FECG 的面积

34、SEFC+SFCG14，EFFC+FCGH14，a4a+4aa14，解得 a2，AC224a284 AC2 18（1）证明：连接 OC，如图 1，ADCD，A30，ACD30，CDB60，ODOC，OCD60，ACOACD+OCD90，OC 是半径，直线 AC 是O 的切线；（2）解：OCD60，OCOD，DCO 是等边三角形，CDADOD1，作 CHBD 于点 H，则 DH，如图 2，CH，ABAD+BD3，SABC（3）当点 E 运动到与点 C 关于直径 AB 对称时，CEAB 于点 K，如图 3，BD 为O 的直径，CK，CE2CK，CFCE，ECF90，CDBCEB60，CFCEtan

35、603，点 E 在上运动过程中，CDBCEB60，在 RtECF 中，tan60，CFCE，当 CE 最大时，CF 取得最大值，当 CE 为直径，即 CE2 时，CF 最大，最大值为 2 19解：（1）点 C 与点 O 重合，MCAC，MAMC，AMC 是等边三角形，MAC60，故答案为：60；（2）过 M 作 MHAB 于 H，连接 MB，如图：O 的直径 AB8，C 为线段 OB 的中点，AC6，BC2，MAMC，MHAB，AHCHAC3，AHM90，AB 为O 直径，AMB90，AMBAHM，又AA，AHMAMB，即 AM2AHAB，AM2 RtABM 中，cosMAC；（3）过 M 作

36、 MHAB 于 H，连接 MB，如图：由（2）知：CHAH3，BC2，CMAM2，PB 与O 相切，PBCMHC，而MCHBCP，BCPHCM，,即，CP 20（1）证明：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，CBED，AD 为O 的直径，ACD90，D+CAD90，CBE+CAD90，CEAB，CBE+BCE90，CADBCE；（2）四边形 ABCO 是菱形，理由：CAD30，COD2CAD60，CE 是O 的切线，OCCE，CEAB，OCAB，DABCOD60，由（1）知，CBE+CAD90，CBE90CAD60DAB，BCOA，四边形 ABCO 是平行四边形，OAOC，ABCO 是菱形；由知，四边形 ABCO 是菱形，OAOCAB2，AD2OA4，由知，COD60，在 RtACD 中，CAD30，CD2，AC2，AD，AC 与围成阴影部分的面积为 SAOC+S扇形COD SACD+S扇形COD 22+