2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》圆与三角函数综合解答题专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年北师大版九年级数学下册第 3 章圆 圆与三角函数综合解答题专题提升训练（附答案）1如图，AB 是O 的直径，C 为 AB 延长线上一点，过点 C 作O 的切线 CD，D 为切点，点 F 是的中点，连接 OF 并延长交 CD 于点 E，连接 BD，BF（1）求证：BDOE；（2）若 OE3，tanC，求O 的半径 2如图，已知O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 D，交 BC 的延长线于点 E（1）求证：DACDCE；（2）若 AB2，sinD，求 AE 的长 3如图，ABC 内接于O，过点 B 作O 的切线 DE，F 为

2、射线 BD 上一点，连接 CF（1）求证：CBEA；（2）若O 的直径为 5，BF2，tanA2，求 CF 的长 4 如图，CE 是O 的直径，D 为O 上一点，过点 D 作O 的切线，交 CE 延长线于点 A，连接 DE，过点 O 作 OBED，交 AD 的延长线于点 B，连接 BC（1）求证：直线 BC 是O 的切线；（2）若 AE2，tanDEO，求 AO 的长 5如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 sinC，半径 OA3，求 AE 的长 6如图

3、，ABC 内接于O，AB 是O 的直径PC 是O 的切线，C 为切点，PDAB于点 D，交 AC 于点 E（1）求证：PCEPEC；（2）若 AB10，ED，sinA，求 PC 的长 7如图，PB 切O 于点 B，联结 PO 并延长交O 于点 E，过点 B 作 BAPE 交O 于点A，联结 AP，AE（1）求证：PA 是O 的切线；（2）如果 OD3，tanAEP，求O 的半径 8如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 与O 相切，ADBC，连接 OD，AC（1）求证：BDCA；（2）若 tanB，OD，求O 的半径长 9如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，BA 平分C

4、BF，过点 A 作 ADBF，垂足为 D（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若 BD1，tanBAD，求O 的直径 10如图，AB 为O 的直径，直线 l 与O 相切于点 C，过点 A 作 ADl 于点 D，交O于点 E（1）求证：CADBAC；（2）若 sinBAC，BC6，求 DE 的长 11如图，在ABC，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，且 BF 是O 的切线，BF 交 AC 的延长线于 F（1）求证：CBFCAB（2）若 AB5，sinCBF，求 BC 和 BF 的长 12如图，在ABC 中，以 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，交 AB 于点

5、G，且 D 是 BC 中点，DEAB，垂足为 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）若 CF5，cosA，求 BE 的长 13如图，以ABC 的边 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中点，连接AE 交 BC 于点 F，ACB2BAE（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 sinB，BD5，求 BF 的长 14如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ADCE，垂足为 D，AC 平分DAB（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若 AD4，cosCAB，求 AB 的长 15如图，已知 AB 是O 的直径，O 经过 RtACD 的直

6、角边 DC 上的点 F，交 AC 边于点 E，点 F 是弧 EB 的中点，C90，连接 AF（1）求证：直线 CD 是O 切线（2）若 BD2，OB4，求 tanAFC 的值 16如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作半圆O，交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）如果O 的半径为 5，cosDAB，求 BF 的长 17如图，已知锐角三角形 ABC 内接于O，ODAB 于点 D，连接 OC（1）若ACB60，求证：ODOC（2）过点 C 做O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若 sinE，

7、CE3，OD，求 OC 的长 18如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，连接 AC，BC，OEAC 于点 E，EDAB 交BC 于点 F，且ECDCFD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：CD2FDED；（3）若 sinA，BC6，求 CD 的长 19如图，点 D 是O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在O 上，且 ABADAO（1）判断 BD 是否是O 的切线，请说明理由；（2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F，且 BE6，sinBFA，求O 的直径长 20如图，已知O 是边长为 6 的等边ABC 的外接圆，点 D，E 分别是 BC，AC 上两点

8、，且 BDCE，连接 AD，BE 相交于点 P，延长线段 BE 交O 于点 F，连接 CF（1）求证：ADFC；（2）连接 PC，当PEC 为直角三角形时，求 tanACF 的值 21如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O 与 AC 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长 AC 至点 F，使BAC2CBF（1）求证：BF 是O 的切线（2）若 tanCBF，求线段 CD 的长 22如图，在ABC 中，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E，延长 DE 交 CA 的延长线于点 F，延长 BA 交O 于 G，且BAF2C（1）求证：DE 为O 的切线

9、；（2）若 tanEFC，求的值 参考答案 1（1）证明：OBOF，13，点 F 是的中点，12 23，BDOE；（2）解：连接 OD，如图，直线 CD 是O 的切线，ODCD，在 RtOCD 中，tanC，设 OD3k，CD4k OC5k，BO3k，BC2k BDOE，即 DE6k，在 RtODE 中，OE2OD2+DE2，（3）2（3k）2+（6k）2，解得 k OB3，即O 的半径的长 2解：（1）AD 是圆 O 的切线，DAB90 AB 是圆 O 的直径，ACB90 DAC+CAB90，CAB+ABC90，DACB OCOB，BOCB 又DCEOCB DACDCE（2）AB2，AO1

10、sinD，OD3，DC2 在 RtDAO 中，由勾股定理得 AD2 DACDCE，DD，DECDCA，即 解得：DE AEADDE 3（1）证明：如图，连接 BO 并延长交O 于点 M，连接 MC，AM，MCB90，M+MBC90，DE 是O 的切线，CBE+MBC90，CBEM，CBEA；（2）解：过点 C 作 CNDE 于点 N，CNF90，由（1）得，MCBEA，tanMtanCBEtanA2，在 RtBCM 中，BM5，tanM2，在 RtCNB 中，CN4，BN2，BF2，FNBF+BN4，在 RtFNC 中，FN4，CN4，4解：（1）连接 OD，DEBO，14，23，ODOE，3

11、4，12，在DOB 与COB 中，DOBCOB，OCBODB，BD 切O 于点 D，ODB90，OCB90，ACBC，直线 BC 是O 的切线；（2）DEO2，tanDEOtan2，设 OCr，BCr，由（1）证得DOBCOB，BDBCr，由切割线定理得：AD2AEAC2（2+r），AD2，DEBO，r1，AO3 5（1）证明：连接 OD，OBOD，BODB，ABAC，BC，ODBC，ODAC，DFAC，ODDF，DF 是O 的切线；（2）解：连接 BE，AD，AB 是直径，AEBADB90，ABAC，ABCC，BDDC，sinC，sinABC，AB2OA6，AD2，BD2，BC2BD4，在

12、RTBEC 中，sinC，BEBC44，在 RTABE 中，AE2 6解：（1）PC 是圆 O 的切线，PCAB AB 是圆 O 的直径，ACB90 A+B90 PDAB，A+AED90 AEDB PECAED，PCEPEC（2）如图所示，过点 P 作 PFAC，垂足为 F AB10，sinA，BCAB6 AC8 DE，sinA，AE ECACAE8 PCPE，PFEC，EF AEDPEF，EDAEFP，AEDPEF，解得：EP PC 7（1）证明：如图，连接 OA，OB，PB 是O 的切线，PBO90，OAOB，BAPE 于点 D，POAPOB，在PAO 和PBO 中，PAOPBO（SAS）

13、，PAOPBO90，PAOA，直线 PA 为O 的切线，（2）在 RtADE 中，ADE90，tanAEP，设 ADx，DE2x，OE2x3 在 RtAOD 中，由勾股定理，得（2x3）2x2+32，解得 x14，x20（不合题意，舍去），AD4，OAOE2x35，即O 的半径的长 5 8（1）证明：连接 OC CD 与O 相切，OC 为半径，2+390，AB 是O 的直径，ACB90，1+B90，又OAOC，12，3B，即BDCA（2）解：ADBC，AB 是O 的直径，DACACB90，1+B90，2+390，12，B3，ABCDCA，B 的正切值为，设 AC，BC2k，则 AB3k，在OD

14、C 中，OD，OCABk，解得：k2，O 的半径长为 3 9（1）证明：连接 OA；BC 为O 的直径，BA 平分CBF，ADBF，ADBBAC90，DBACBA；OACOCA，DAODAB+BAOBAO+OAC90，DA 为O 的切线 （2）解：BD1，tanBAD，AD2，AB，cosDBA；DBACBA，BC5 O 的直径为 5 10（1）证明：连接 OC，CD 为O 的切线，OCCD，ADCD，OCAD，CADACO 又OCOA，ACOOAC，CADOAC，即CADBAC（2）过点 B 作 BFl 于点 F，连接 BE，AB 为O 的直径，AEB90，又 ADl 于点 D，AEBADF

15、BFD90，四边形 DEBF 是矩形，DEBF AB 为O 的直径，ACB90，ACD+BCF90 ADC90，ACD+CAD90，BCFCAD CADBAC，BCFBAC 在 RtBCF 中，BC6，sinBCFsinBAC，BF，DEBF 11（1）证明：如图 1，连接 AE AB 是O 的直径，AEB90，BAEBAC BF 是O 的切线，CBFBAE，CBFCAB（2）解：由（1）可知CBFBAE，sinBAEsinCBF，在 RtABE 中，sinBAE，BE，BC2，如图 2，过 C 作 CMBF 于点 M，则 sinCBF，即，解得 CM2，由勾股定理可求得 BM4，又ABCM，

16、即，解得 BF 12（1）证明：如图，连接 OD CDDB，COOA，OD 是ABC 的中位线，ODAB，AB2OD，DEAB，DEOD，即 ODEF，直线 EF 是O 的切线；（2）解：ODAB，CODA 在 RtDOF 中，ODF90，cosFOD，设O 的半径为 R，则，解得 R，AB2OD 在 RtAEF 中，AEF90，cosA，AE，BEABAE2 13（1）证明：连接 AD，如图 1 所示 E 是弧 BD 的中点，12 BAD21 ACB21，CBAD AB 为O 直径，ADBADC90 DAC+C90 CBAD，DAC+BAD90 BAC90 即 ABAC 又AC 过半径外端，

17、AC 是O 的切线（2）解：过点 F 作 FGAB 于点 G如图 2 所示：在 RtABD 中，ADB90，设 AD2m，则 AB3m，由勾股定理得：BDm BD5，m AD，AB 12，ADB90，FGFD 设 BFx，则 FGFD5x 在 RtBGF 中，BGF90，解得：3 BF3 14（1）证明：连接 OC OAOC，OACOCA，AC 平分DAB，CADCAB，DACACO，ADOC，ADDE，OCDE，直线 CE 是O 的切线；（2）连接 BC，AB 为O 的直径，ACB90，ADCACB，AC 平分DAB，DACCAB，cosCAD，在 RtACD 中，AC5，在 RtABC 中

18、，AB 15（1）证明：连接 OF，BE，如图：AB 是O 的直径，AEB90，C90，AEBACD，BECD，点 F 是弧 BE 的中点，OFBE，OFCD，OF 为半径，直线 CD 是O 的切线；（2）解：COFD90，ACOF，OFDACD，BD2，OFOB4，OD6，AD10，AC，CD，ACOF，OA4，即，解得：CF，tanAFC 16（1）证明：连接 OD，如图，AB 为O 的直径，ADB90，ADBC，ABAC，AD 平分 BC，即 DBDC，OAOB，OD 为ABC 的中位线，ODAC，DEAC，ODDE，EF 是O 的切线；（2）DACDAB，ADEABD，在 RtADB

19、中，sinADEsinABDcosDAB，而 AB10，AD8，在 RtADE 中，sinADE，AE，ODAE，FDOFEA，即，BF 17解：（1）证明：如图，连接 OA，OB，AOB2ACB120 OAOB，ODAB，AODBOD60，OAD30，ODOA，ODOC（2）如图，延长 CO 交 AB 与点 H，作 CFAB 于点 F，在 RtCEF 中，sinE，CE3，CF2，EC 是O 的切线，OCCE，OCE90，ODAB，ODE90，COD+E180，COD+HOD180，HODE，sinHODsinE，设 HD2x，则 OH3x，在 RtOHD 中，OD，根据勾股定理，得（3x）

20、2（2x）2，解得 x，负值舍去，DH1，OH，ODCF，即，解得 OC 18解：（1）证明：连接 OC，AB 是直径，ACB90，OCA+OCB90，OAOC，OACOCA，OAC+BCO90，ECDCFD，DD，DCFDEC，DCFDEC，EDAB，DECCAO，DCF+BCO90，即 DCOC，CD 是的切线；（2）DCFDEC，CD2FDED；（3）sinA，BC6，OEAC，EC，EDAB，CFCB3，EF，DCFDEC，设 CD3x，则 ED4x，FD4x5，CD2FDED，（3x）2（4x5）4x，解得，x，19（1）证明：连接 OB 如图，ABADAO，DBAD，ABOAOB，

21、DBA+D+ABO+AOB180，DBA+ABO90，OBBD，点 B 在O，BD 是O 的切线；（2）解：过点 B 作 BHAE 于 H如图，ABAO，AOOB，ABAOOB，ABO 为等边三角形，AOB60，AOB2C，C30，EC，E30，BE6，BHBE3，EHBE3，在 RtBHF 中，BH3，sinBFA，BF，在 RtABF 中，sinBFA，设 ABx，AF3x，BF2x，x，AB，O 的直径长为 9 20解：（1）ABC 为等边三角形，ABBC，ABDBCE60，BDCE，ABDBCE（SAS），BDACEB，CEBF+FCE，FBACBCA60，CEBBCA+FCEBCF，

22、BDABCF，ADCF；（2）如图，连接 PC，当PEC 为直角三角形时，可分 3 种情况讨论：PCE90或CEP90或CPE90，当PCE90时，PCEACB60，PCE90这种情况不存在；当PEC90时，PECF+ACF，F60，ACF30，tanACF；当CPE90时，过点 A 作 AHBC 于点 H，如图，设 AEx，则 CDAEx，CE6x，ABAC，AHBC，BHCH3，HACHAB30，HD3x，BFC60，CPE90，PCFHAC30，ADFC，FCADAC，PCFFCAHACDAC，HADPCE，AHDCPE90，AHDCPE，PEADHDCE，BPDAPEACB60，PAE

23、CAD，PAECAD，PEADAECD，观察式可知：HDCEAECD，（3x）（6x）x2，解得 x2，AE2，过点 E 作 EGAB 于点 G，在 RtAEG 中，EAG60，AGAEcos6021，EGAEsin602，BGABAG615，在 RtBGE 中，tanABE，tanACFtanABE，综上所述，当PEC 为直角三角形时，tanACF 的值为或 21解：（1）连接 AE，AB 为直径，AEBC，ABAC，BAEBAC，BAC2CBF，BAECBF，ABE+BAE90，ABE+CBF90，BF 是O 的切线；（2）tanCBF，tanCAE，设 CEx，AE3x，ACx，x1，A

24、CAB，AEBC，BC2CE2，连接 BD，则DBCCAE，AB 是O 的直径，BDCADB90，tanCAEtanDBC，设 CDa，BD3a，BCa2，a，CD 22解：（1）连接 OD，OCOD，CODC，BAF2C，BAFB+C，BC，BODC，ABOD，DEAB，ODDF，DE 为O 的切线；（2）过 O 作 OHAG 于点 H，则 AHGH，EFOH，AOHEFA，tanEFC，tanAOH，设 AH3x，则 AG2AH6x，OH4x，AC2AO10 x，ODOA5x，tanEFC，设 AE3y，则 EF4y，AF，AEOD，AEFODF，即，AE3y2x，BEABAE10 x2x8x，