2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习轴对称最短路径问题解答题专题训练（附答案）1如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 E，交 AB于点 F，M 是直线 EF 上的动点（1）当 MDBC 时 若 ME1，则点 M 到 AB 的距离为 ；若CMD30，CD3，求BCM 的周长；（2）若 BC8，且ABC 的面积为 40，则CDM 的周长的最小值为 2如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M（1）若B70，求BAC 的大小（2）连接 MB，若 AB8cm，MBC 的周长是 14cm 求 BC 的长

2、；在直线 MN 上是否存在点 P，使 PB+CP 的值最小，若存在，标出点 P 的位置并求 PB+CP的最小值，若不存在，说明理由 3如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）若A1B1C1与ABC 关于 y 轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点的坐标分别为 ；（2）ABC 的面积是 ；（3）在 x 轴上作一点 P，使 PA+PB 的值最小（保留作图痕迹，不写作法）4在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，1），B（3，2）（1）如图 1，在 y 轴上是否存在一点 P，使 PA+PB 最小，若存在求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（2）如图 2

3、，点 C 坐标为（4，1），点 D 由原点 O 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，求点 D 运动几秒时，四边形 ABCD 是平行四边形 5如图，在矩形 ABCD 中，AB2，ABD60，G，H 分别是 AD，BC 边上的点，且AGCH，E，O，F 分别是对角线 BD 上的四等分点，顺次连接 G，E，H，F，G（1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形；（2）填空：当 AG 时，四边形 GEHF 是矩形；当 AG 时，四边形 GEHF 是菱形；（3）求四边形 GEHF 的周长的最小值 6如图，C 为线段 BD 上动点，分别过点 B、D 作 ABBD 于点 B，EDBD 于点 D，连接

4、 AC、EC，已知 AB3、DE2、BD12，设 CDx（1）直接写出用含 x 的代数式表示的 AC+CE 的长 （无需化简）；（2）观察图形并说明在什么情况下 AC+CE 的值最小？最小值是多少？写出计算过程；（3）综上，直接写出代数式的最小值 7在ABC 中，ABAC，D 是直线 BC 上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使AEAD，DAEBAC，连接 CE设BAC，BCE（1）如图（1），点 D 在线段 BC 上移动时，角 与 之间的数量关系是 ；若线段BC2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；（2）如图（2），点 D 在线段 BC 的延长线上移动

5、时，请问（1）中 与 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；线段 BC、DC、CE 之间的数量是 8问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小例如：（1）对于任意两个代数式 M，N 的大小比较，有下面的方法：当 MN0 时，MN；当 MN0 时，MN；当 MN0 时，MN 反过来也成立因此，我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”（2）对于比较两个正数 a，b 的大小，我们还可以用它们的平方进行比较：a2b2（a+b

6、）（ab），a+b0，（a2b2）与（ab）的符号相同 当 a2b20 时，ab0，得 ab；当 a2b20 时，ab0，得 ab；当 a2b20 时，ab0，得 ab 问题解决（3）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B5 纸设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且xy，张丽同学的用纸总面积为 S1，李明同学的用纸总面积为 S2，回答下列问题：S1 （用含 x，y 的代数式表示）；S2 （用含 x，y 的代数式表示）；试比较谁的用纸总面积更大？（4）如图 1 所示，要在燃气管道 l

7、上修建一个泵站，向 A，B 两镇供气，已知 A，B 到 l的距离分别是 3km，4km（即 AC3km，BE4km），ABxkm，现设计两种方案：方案一：如图 2 所示，APl 于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道长度 a1AB+AP 方案二：如图 3 所示，点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P处，该方案中管道长度 a2AP+BP 在方案一中，a1 km（用含 x 的代数式表示）；在方案二中，a2 km（用含 x 的代数式表示）；请分析说明哪种方案铺设的输气管道较短？（5）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次购买的价格有变化，两位采

8、购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买 1000kg，乙每次用去 1000 元，而不管购买多少饲料设两次购买的饲料单价分别为 m 元/kg 和 n 元/kg（m，n 是正数，且 mn），试分析哪位采购员的购货方式合算？9在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上，已知点 A（0，4），以 AB 为直角边在 AB 左侧作等腰直角ABC，CAB90（1）当点 B 在 x 轴正半轴上，且 AB8 时，求 AB 解析式；求 C 点坐标；（2）当点 B 在 x 轴上运动时，连接 OC，求 AC+OC 的最小值及此时 B 点坐标 10如图，已知ABCADC90，BCCD，CACE

9、（1）求证：ACBACD；（2）过点 E 作 MEAB，交 AC 的延长线于点 M，过点 M 作 MPDC，交 DC 的延长线于点 P 连接 PE，交 AM 于点 N，证明 AM 垂直平分 PE；点 O 是直线 AE 上的动点，当 MO+PO 的值最小时，证明点 O 与点 E 重合 11如图，菱形 ABCD 的边长为 1，ABC60，点 E 是边 AB 上任意一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，C，AE，EF 的中点分别为 M，N（1）求证：AFEF；（2）求 MN+NG 的最小值 12已知点 P 在MON 内（1）如图 1，点 P 关于射线 OM 的对称点

10、是 G，点 P 关于射线 ON 的对称点是 H，连接OG、OH、OP 若MON50，则GOH ；若 PO5，连接 GH，请说明当MON 为多少度时，GH10；（2）如图 2，若MON60，A、B 分别是射线 OM、ON 上的任意一点，当PAB 的周长最小时，求APB 的度数 13如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 和 BD 相交于点 O、点 E 是 CD 的中点，过点C 作 AC 的垂线，与 OE 的延长线交于点 F，连接 FD（1）求证：四边形 OCFD 是矩形；（2）若四边形 ABCD 的周长为 4，AOB 的周长为 3+，求四边形 OCFD 的面积；（3）在（2）问的条件下，B

11、D 上有一动点 Q，CD 上有一动点 P，求 PQ+QE 的最小值 14如图 1，在ABC 中，ABC 的平分线与边 AC 的垂直平分线相交于点 D，过点 D 作DFBC 于点 F，DGBA 交 BA 的延长线于点 G（1）求证：AGCF；（2）如图 2，点 M，N 分别是线段 AB，射线 BD 上的动点，若 BC5，SABC5，求MN+AN 的最小值 15如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0），B（2，0），点 C 是 y 轴正半轴上一点，点 P 在 BC 的延长线上（1）若点 P 的坐标为（1，2），求PAB 的面积；已知点 Q 是 y 轴上任意一点，当PAQ 周长取最小值时，求点 Q

12、 的坐标；（2）连接 AC，若APCACP，APC 比PAB 大 20，求ABC 的度数 16已知如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，CE，BECE，BECE，点 F 是 EC 上一动点，连接 BF（1）如图 1，当 BFAB 时，连接 DF，延长 BE，CD 交于点 K，求证：FDDK；（2）如图 2，以 BF 为直角边作等腰 RtFBG，FBG90，连接 GE，若 DE，当点 F 在运动过程中，求BEG 周长的最小值 17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BD 平分ABC，过点 D 作 DEBC，交 BC

13、 的延长线于点 E，连接 OE（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若，AC4，求 OE 的长；（3）若点 P 是 BD 上一动点，在（2）的条件下，请求出PCE 周长的最小值 18如图，在平面直角坐标系中，OAOB6，OD1，点 C 为线段 AB 的中点（1）直接写出点 C 的坐标为 ；（2）点 P 是 x 轴上的动点，当 PB+PC 的值最小时，求此时点 P 的坐标；（3）在平面内是否存在点 F，使得以 A、C、D、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 19如图，在正方形 ABCD 中，F 为 BC 为边上的定点，E、G 分别是 AB、C

14、D 边上的动点，AF 和 EG 交于点 H 且 AFEG（1）求证：AFEG；（2）若 AB6，BF2 若 BE3，求 AG 的长；连结 AG、EF，求 AG+EF 的最小值 20如图 1，在ABC 中，ABAC，点 E 为边 AB 上一点，连接 CE（1）如图 1，以 CE 为边作等腰三角形 DCE，DEDC，连接 AD，且满足条件 ABAD，BADE，ACD3B，求证：DEDC（2）如图 2，BAC120，过点 A 作直线 AMBC 交 BC 于点 M，点 F 为直线 M 上一点，BEAF，连接 CF，当 CE+CF 最小时，直接写出ECF 的度数 参考答案 1解：（1）MDBC，ABAC

15、，D 是 BC 的中点，A、M、D 共线，AD 是ABC 的对称轴，ME1，点 M 到 AB 的距离为 1，故答案为：1；D 是 BC 的中点，MDBC，MBMC，MD 平分BMC，BMC2CMD60，BCM 是等边三角形，BCBMMC，D 是 BC 的中点，BC2CD6，BMMCBC6，BCM 的周长为 BC+BM+MC18；（2）连接 AD 交 EF 于点 M，EF 是 AC 的垂直平分线，AMCM，CM+MDAM+MDAD，此时CMD 的值最小，最小值为 AD+CD，BC8，ABC 的面积为 40，AD10，D 是 BC 的中点，CD4，AD+CD14，CMD 的周长最小值为 14，故答

16、案为：14 2解：（1）ABAC，B70，BAC18070240；（2）MN 垂直平分 AB MBMA，又MBC 的周长是 14cm，AC+BC14cm，BC6cm（3）当点 P 与点 M 重合时，PB+CP 的值最小，为 AC 长，最小值是 8cm 3解：（1）如图 A1（1，1）B1（4，2）C1（3，4），故答案为：（1，1）、（4，2）、（3，4）；（2）A1B1C1的面积（2+3）32 7.513 3.5（3）如图所示，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，再连接 AB，与 x 轴的交点 P 即为所求 4解：（1）作 A 点关于 y 轴的对称点 M（1，1），连接 BM 后与 y 轴的

17、交点即为所求的点P，如下图所示：设直线 BM 的解析式为 ykx+b，代入 M（1，1），B（3，2），解之得，直线 BM 解析式为，令 x0，解得 y，存在点 P 的坐标，且 P（0，）；（2）当四边形 ABCD 是平行四边形，只能是 AC 为一条对角线，另一条对角线为 BD，设 D（m，0），由中点坐标公式可知：线段 AC 的中点坐标为，即，线段 BD 的中点坐标为，即，又线段 AC 与 BD 中点为同一个点，解得 m2，故四边形 ABCD 是平行四边形，D 点的坐标为（2，0），又速度为 1 个单位每秒，经过 2 秒后，四边形 ABCD 是平行四边形 5（1）证明：四边形 ABCD 是矩

18、形，ADBC，ADBC，GDFHBE，AGCH，DGBH，E，O，F 分别是对角线 BD 上的四等分点，DFBE，在DGF 和BHE 中，DGFBHE（SAS），GFHE，DFGBEH，EFGFEH，GFHE，四边形 GEHF 是平行四边形；（2）当 AG时，四边形 GEHF 是矩形理由如下：连接 GH，如下图，BAD90，ABD60，ADB30，BD2AB4，AD，AGCH，ADBC2，AGBH，四边形 ABHG 是平行四边形，GHAB2，E，O，F 分别是对角线 BD 上的四等分点，EFBD2，EFGH，四边形 GEHF 是平行四边形，四边形 GEHF 是矩形，故答案为：；当 AG时，四边

19、形 GEHF 是菱形理由如下：连接 BG、DH、GH，如下图，AGCH，ADBC，DGBH，DGBH，四边形 BHDG 是平行四边形，AG，AB2，A90，DGADAG，BG，BGDG，四边形 BHDG 是菱形，GHBD，即 GHEF，四边形 GEHF 是平行四边形，四边形 GEHF 是菱形 故答案为：；（3）解：过 E 作 EMAD 于 M，延长 EM 到点 N，使得 MNEM，连接 FN，NG，过 F作 FPEM 于点 P，如下图，则 MNEMDE，FPAD，EGNG，EFPADB30，EPEF1，PNEM+MNEP2，PF，EG+FGNG+FGFN，当 F、G、N 三点共线，EG+FGN

20、G+FGFN 的值最小，其值为 FN，四边形 GEHF 的周长的最小值为：2（EG+FG）2 6解：（1）ABBD，AB3，CDx，BC12x，在 RtABC 中，AC，EDBD，DE2，在 RtDEC 中，CE，AC+CE，故答案为：；（2）如图，当 C 是 AE 和 BD 交点时，延长 ED 与 AB 的垂线 AF 交于点 F，AC+CEAE13，AC+CE 的最小值为 13；（3）如图，AB3，ED2，DB4，连接 AE 交 BD 于点 C，AE的最小 AE 的长即为代数式的最小值，四边形 ABDF 为矩形，ABDF1，AFBD4，在 RtAEF 中，由勾股定理得，AE5，即代数式的最小

21、值为 5 7解：（1）+180；理由如下：DAEBAC，DAEDACBACDAC CAEBAD，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS），ABDACE，BAC+ABD+ACB180，BAC+ACE+ACB180，BAC+BCE180，即+180，故答案为：+180；由知，ABDACE，BDCE，ADAE，CD+CEBD+CDBC2，当 ADBC 时，AD 最短，即四边形 ADCE 周长的值最小，点 A 到直线 BC 的距离是 3，ADAE3，四边形 ADCE 周长的最小值是 2+3+38，故答案为：8；（2）成立，理由如下：DAEBAC，DAE+CADBAC+CAD，BADCAE，在BA

22、D 和CAE 中，ABDACE（SAS），ABDACE，ACDABD+BACACE+DCE，BACDCE，BAC+BCEDCE+BCE180，即+180；ABDACE（SAS），ABDACE，BDCE，BDBC+CD，CEBC+CD，故答案为：CEBC+CD 8解：（3）S13x+7y，S22x+8y 故答案为：3x+7y，2x+8y S1S2（3x+7y）（2x+8y）xy，xy xy0 S1S20 S1S2 张丽同学的用纸总面积更大（4）a1AB+AC（3+x）km，故答案为：（3+x）作 BFAA 于点 F，在 RtBAF 中，由勾股定理得 BF2AB2AF2x21，在 RtBFA中，由

23、勾股定理得 ABAP+BPAP+BPkm，a2km，故答案为：a12a22（x+3）2（）26x39，由 6x390，得，此时 a12a220，即 a1a2，两种方案铺设的输气管道一样长；由 6x390，得，此时 a12a220，即 a1a2，方案二铺设的输气管道较短；由 6x390，得，此时 a12a220，即 a1a2，方案一铺设的输气管道较短 （5）mn 所以乙采购员的购货方式合算 9解：（1）A（0，4），AB8，OB4，B（4，0），设直线 AB 的解析式为 ykx+4，04k+4，k，AB 解析式：yx+4；过点 A 作 x 轴的平行线，分别过点 C、B 作 y 轴的平行线，交于

24、G、H 则AHBCGA（AAS）AGHB4，CGAH4，C（4，44）；（2）由AGCBHA 可知 AG4，（B 在 x 轴负半轴同理可说明）点 C 在直线 x4 上运动，作点 O 关于直线 x4 的对称点 O，OCOC4，OO4+48，AC+OCAC+OC AC+OC 的最小值为 AO4，此时 OBAHCG2，B（2，0）10证明：（1）ABCADC90，BCCD，ACAC，RtABCRtADC（HL），ACBACD；（2）RtABCRtADC，BACCAD，CACE，CAECEA，EBA90，BEABACCAE30，PDAE，MPPD，AEMP，PMCMAE30，MEAB，MEBABE90

25、，MEA90+30120，MAE30，EMA30，CPMP，CEME，MCPMCE60，NECNPC（SAS），ENPN，N 是 EP 的中点，NCPE，AM 垂直平分 PE；延长 PD、ME 交于 Q 点，由知，BEA30，MEB90，MEA120，DEQ60，PDAE，EDQ90，EQD30，CPN30，EPDDQE，PEEQ，ME+PEQE+MEMQ，此时 ME+PE 的值最小，点 O 是直线 AE 上的动点，当 MO+PO 的值最小时，E 点与 O 点重合 11解：（1）证明：连接 CF，FG 垂直平分 CE，CFEF，四边形 ABCD 为菱形，A 和 C 关于对角线 BD 对称，CF

26、AF，AFEF；（2）连接 AC，M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点，MNAF，NGCF，即 MN+NG（AF+CF），当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时，AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小，菱形 ABCD 边长为 1，ABC60，ABC 为等边三角形，ACAB1，即 MN+NG 的最小值为；12解：（1）点 P 关于射线 OM 的对称点是 G，点 P 关于射线 ON 的对称点是 H，OGOP，OMGP，OM 平分POG，同理可得 ON 平分POH，GOH2MON250100，故答案为：100；PO5，GOHO5，当MON90时，GOH1

27、80，点 G，O，H 在同一直线上，GHGO+HO10；（2）如图所示：分别作点 P 关于 OM、ON 的对称点 P、P，连接 OP、OP、PP，PP交 OM、ON 于点 A、B，连接 PA、PB，则 APAP，BPBP“，此时PAB 周长的最小值等于 PP的长 由轴对称性质可得，OPOPOP，POAPOA，POBPOB，POP2MON260120，OPPOPP（180120）230，OPAOPA30，同理可得BPOOPB30，APB30+3060 13（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，COD90，ACCF，CFBD ODEFCE，E 是 CD 中点，CEDE，在ODE 和FCE

28、 中，ODEFCE（ASA）；ODFC，CFBD，四边形 OCFD 是平行四边形，四边形 OCFD 是矩形；（2）解：菱形 ABCD 的周长为 4，ABBCCDDA，COD90，AOCO，BODO，AOB 的周长为 3+，AB+AO+BO3+，AO+BO3，CO+DO3，在 RtCOD 中，CO2+DO2（CO+DO）22CODOCD2，322CODO（）2，CODO2，四边形 OCFD 的面积CODO2；（3）解：如图，过点 O 作 OGAD 于点 G，过点 E 作 EHAD 于点 H，则四边形 OGHE是矩形 OGEH，由（2）可知，OAOD2，AD，OAODADOG，OG，EHOG 四边

29、形 ABCD 是菱形，BD 平分ADC，作点 P 关于 DB 的对称点 P，连接 QP，PQ+QEEQ+QPEH，PQ+QE 的最小值为 14（1）证明：如图 1，连接 AD，DC，BD 平分ABC，DGBA，DFBC，DGDF 又点 D 在边 AC 的垂直平分线上，DADC 在 RtDGA 和 RtDFC 中，RtDGARtDFC（HL）AGCF（2）解：BD 平分ABC，点 M 在线段 AB 上，点 M 关于 BD 的对称点 M在边 BC 上 如图 2，作点 M 关于 BD 的对称点 M，连接 MN，过点 A 作 APBC 于点 P，MNMN MN+ANMN+ANAP 当点 A，N，P 在

30、同一条直线上且 APBC 时，MN+AN 的值最小，最小值即为 AP 的长 SABC5，BC5，AP2 MN+AN 的最小值为 2 15解：（1）点 A（2，0），B（2，0），P（1，2），PAB 的面积为424；如图，连接 QB，A 和 B 关于 y 轴对称，QAQB，QA+QPQB+QP，当 P、Q、B 三点共线时 QB+QP 最小，即PAQ 周长取最小，点 Q 为直线 PB 与 y 轴的交点，设直线 PB 为 ykx+b，直线过点 B（2，0），P（1，2），解得，yx+，当 x0 时，y，Q（0，），当PAQ 周长取最小值时，点 Q 的坐标（0，）；（2）如图，连接 AC，设ABCx

31、，CACB，CABABCx，PCACAB+ABC2x，APCACP2x，PAB2x20，PAB+PBA+APB180，2x20+2x+x180，解得 x40，ABC 的度数为 40 16（1）证明：如图 1 中，延长 BF 交 CD 于点 T EBEC，BEC90，ECBEBC45，四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，ABCD，DECECB45，CEK90，DEKDEF，ABBF，ABCD，BTCD，BEFCTF90，EFBTFC，EBFECK，在BEF 和CEK 中，BEFCEK（ASA），EFEK，在DEK 和DEF 中，DEKDEF（SAS），DKDF；（2）解：如图 2，作 BK

32、BE，GKBK 于点 K，延长 KG 交射线 CE 于点 P，EBKFBG90，KBGEBF90GBE，KBEF90，BGBF，BKGBEF（AAS），BKBE；EBKKBEP90，四边形 BEPK 是正方形，PEBECE，当点 F 在 CE 上运动时，点 G 在 PK 上运动；延长 EP 到点 Q，使 PQPE，连接 BQ 交 PK 于点 G，PK 垂直平分 EQ，点 Q 与点 E 关于直线 PK 对称，两点之间，线段最短，此时 GE+GBGQ+GBBQ 最小，BE 为定值，此时 GE+GB+BE 即BEG 的周长最小；作 DHCE 于点 H，则DHEDHC90，ECBEBC45，HEDEC

33、B45，HDE45HED，DHEH，DH2+EH22DH2DE2（）2，DHEH1；CH2，BECEEH+CH1+23，EQ2PE2BE6，BEQ90，BQ3，GE+GB+BE3+3，BEG 周长的最小值为 3+3 17（1）证明：ADBC，ADBCBD，BD 平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ADAB，ABBC，ADBC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，又ABBC，四边形 ABCD 是菱形；（2）解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OBOD，OAOCAC2，在 RtOCD 中，由勾股定理得：OD4，BD2OD8，DEBC，DEB90，OBOD，OEBD4（3）如图，连接

34、AE 交 BD 于点 P，连接 PC，A，C 关于 BD 对称，PC+PEPA+PEAE，此时 PC+PE 最小，即PCE 周长的最小，根据菱形 ABCD 的面积得 BCDEBDAC，2DE84，DE，AE，CE，PCE 周长的最小值为+18解：（1）OAOB6，A（6，0），B（0，6），点 C 为线段 AB 的中点，点 C 的坐标为（3，3）；故答案为：（3，3）（2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 CB交 x 轴于点 P，此时 PB+PC 的值最小，由已知得，点 B 的坐标为（0，6），点 B 关于 x 轴的对称点 B（0，6），由（1）知，C（3，3），可设直线 CB的解析式

35、为 ykx+b，解得 直线 CB的解析式为 y3x6，令 y0，3x60，x2，P（2，0）；（3）存在点 F，使以 A、C、D、F 为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，如图所示：当 AC 为对角线时，A（6，0），C（3，3），D（1，0），CF1AD5，CF1DA，点 F1的坐标为（8，3）；当 AD 为对角线时，A（6，0），C（3，3），D（1，0），ACDF2，ACDF2，点 F2的坐标为（4，3）；当 CD 为对角线时，A（6，0），C（3，3），D（1，0），CF3AD5，CF3DA，点 F3的坐标为（2，3）综上所述，点 F 的坐标是（8，3），（4，3）或（2，3）1

36、9（1）证明：如图 1，过点 G 作 GPAB 交于 P，AHEG，AEH+DAH90，PEG+PGC90，EAHPGE，PGAB，ABFGPE（AAS），AFEG；（2）BF2，PE2，AB6，BE3，AE3，AP1，在 RtAPG 中，AP1，PG6，AG；过点 F 作 FQEG，过点 G 作 GQEF，四边形 EFQG 为平行四边形，GQEF，AG+EFAG+GQAQ，当 A、G、Q 三点共线时，AG+EF 的值最小，EGAF，EGFQ，AFFQ，AFEG，AFFQ，AFQ 是等腰直角三角形，AF2，AQ4，AG+EF 的最小值为 4 20（1）证明：设 AD 与 BC 交于点 O，AO

37、BCOD，B+BAOADC+OCD，ABAD，BAO90，ABAC，BACB，ACD3BACB+OCD，OCD2B，ADC90+B2B90B，ADEB，EDCADE+ADC90，DEDC；（2）解：作GBABAM，且 BGAB，连接 BE，GA，CG，ABAC，AMBC，BAMCAM，ACBABC30，GBEEAC60，BEAF，BGACAB，GBECAF（SAS），GECF，CE+CFGE+CE，当 C，G，E 在一条直线上时，CE+CF 最短，GBA60，ABBG，GBA 是等边三角形，GAB60，BAC120，C，G，A 在一条直线上，当 CE+CF 最小时，E 与 A 重合，BEAFABAC，FAC60，AFC 是等边三角形，ACF60，即ECF60