2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形—8字形相似》解答题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习 相似三角形8 字形相似 解答题专题训练（附答案）1如图，AD 与 BC 相交于点 O，已知：BC12cm，OB8cm，AD18cm，OD6cm（1）求证：ABCD；（2）当 AD 与 BC 垂直时，求 AB 和 CD 的长（结果保留根号）2如图，BD、AC 相交于点 P，连接 BC、AD，且12，若 PB3，PC1，PD2，求 PA 的长度 3如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在线段 AD 上，CE 与 BD 相交于点 H，CE 与BA 的延长线相交于点 G，已知 DE：AE2：3，BC4DE，CE10求 EH、GE 的长 4如图，在正方

2、形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，MEAM，ME 交 CD 于 F，交 AD 的延长线于点 E（1）求证：ABMMCF；（2）若 AB4，BM2，求DEF 的面积 5如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB24，BC12，点 E 沿 BC 边从点 B 开始向点 C 以 2个单位长度的速度运动；点 F 沿 CD 边从点 C 开始向点 D 以每秒 4 个单位长度的速度运动如果 E，F 同时出发，用 t（0t6）秒表示运动的时间 请解答下列问题：（1）当 t 为何值时，CEF 是等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与ACD 相似？6如图，已知 RtABC 中，

3、ACB90，射线 CD 交 AB 于点 D，点 E 是 CD 上一点，且AECABC，联结 BE（1）求证：ACDEBD；（2）如果 CD 平分ACB，求证：AB22EDEC 7如图，以 BC 为直径的O 经过点 A，AN 平分BAC，交 BC 于点 M，P 是 BC 延长线上一点，且 PAPM（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若 MN，BC6，CM2，求 AM 的长 8已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC （1）求抛物线的解析式；（2）在直线 BC 上方抛物线上取一点 P，过点 P 作 PQx 轴交 BC 边于点 Q，求 P

4、Q 的最大值；（3）在直线 BC 上方抛物线上取一点 D，连接 OD，CDOD 交 BC 于点 F，当 SCOF：SCDF3：2 时，求点 D 的坐标 9如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，点 M 是 AD 的中点，连接 MC 交 BD 于点 N，ON1（1）求证：DMNBCN；（2）求 BD 的长；（3）若DCN 的面积为 2，直接写出四边形 ABNM 的面积 10在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O（1）如图，若四边形 ABCD 为矩形，过点 O 作 OEBC，求证：OECD（2）如图，若 ABCD，过点 O 作 EFAB 分别交 BC、AD 于点 E、F 求

5、证：2（3）如图，若 OC 平分AOB，D、E 分别为 OA、OB 上的点，DE 交 OC 于点 M，作MNOB 交 OA 于一点 N，若 OD8，OE6，直接写出线段 MN 长度 11如图是常态下的铁夹子，如图是它的示意图，AC、BC 表示铁夹的两边，ACBC，点 O 在ACB 的平分线上，ODAC 于点 D，AD26mm，DC24mm，OD7mm（1）求 OC 的长度；（2）连接 BD 交 CO 延长线于点 E，试求的值 12如图，DBE 内接于O，BD 为直径，DEEB，点 C 在O（不与 D，B，E 重合）上，A45，点 A 在直线 CD 上，连接 AB（1）如图，若点 C 在上，求证

6、：ABDCBE；（2）在（1）的条件下，DC6，DB10，求线段 CE 的长；（3）若直线 BC 与直线 DE 相交于点 F，当时，求的值 13【认识模型】（1）如图 1，直线 l1l2，直线 m、n 分别与 l1、l2交于点 A、B 和点 F、D，m 和 n 交于点 E则 ；【应用模型】（2）如图 2，在ABC 中，D 是边 AB 上一点，且若 BC4，AB10，求 AC 的长 14如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 D 在反比例函数y（k0，x0）的图象上，已知点 C 的坐标为（12，8），平行四边形 ABCD 的面积为 64（1）求反比例函数的解

7、析式；（2）点 E 为 BC 与反比例函数 y（k0，x0）图象的交点，且，求点 E 的坐标 15小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度如图：AB 为路灯主杆，AE 为路灯的悬臂，CD 是长为 1.8 米的标杆已知路灯悬臂 AE 与地面 BG 平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端 A、标杆顶端 D 和地面上一点 G 在同一直线上，此时小明发现路灯 E、标杆顶端 D 和地面上另一点 F 也在同一条直线上（路灯主杆底端 B、标杆底端 C 和地面上点 F、点 G 在同一水平线上）这时小明测得 FG 长 1.5 米，路灯的正下方 H 距离路灯主杆底端 B 的距离为 3 米请根据以上信息求出路灯主杆

8、 AB 的高度 16如图，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB（1）求证：BDEC（2）若 AB1，求 AE 的长 17如图，已知在 RtABC 中，ACB90，ACBC5，点 D 为射线 AB 上一动点，且 BDAD，点 B 关于直线 CD 的对称点为点 E，射线 AE 与射线 CD 交于点 F（1）当点 D 在边 AB 上时，求证：AFC45；延长 AF 与边 CB 的延长线相交于点 G，如果EBG 与BDC 相似，求线段 BD 的长；（2）联结 CE、BE，如果 SACE12，求 SABE的值

9、18在 RtABC 中，ACB90，CBCA，点 E 在边 BC 上（不与 B、C 点重合）CDAE 于点 F，交 AB 于点 G，BDAC，ACkCE（1）如图 1，求证：AGkBG（2）如图 2，若 k2，连接 BF，求证：BFFC（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 B 作 BHBA，交 CD 的延长线于点 H，将 HB 沿HG 翻折并延长交 AB 于点 I，若 EF，求 HI 的长 19（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图 1，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO30，OAC75，AO，BO：CO1：3，求 AB 的长 经过社团成员讨论发现，过点 B 作

10、BDAC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD就可以解决问题（如图 2）请回答：ADB ，AB （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACAD，AO，ABCACB75，BO：OD1：3，求 DC 的长 20（1）【探究发现】如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 为 CD 边上一点（不与端点重合），连接 BE，作点 D 关于 BE 的对称点 D，DD的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连接 BD，DE 小明探究发现：当点 E 在 CD 上移动时，BCEDCF并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整 证明：延长

11、 BE 交 DF 于点 G 进一步探究发现，当点 D与点 F 重合时，CDF （2）【类比迁移】如图，四边形 ABCD 为矩形，点 E 为 CD 边上一点，连接 BE，作点D 关于 BE 的对称点 D，DD的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连接 BD，CD，DE 当CDDF，AB2，BC3 时，求 CD的长；（3）【拓展应用】如图，已知四边形 ABCD 为菱形，AD，AC2，点 F 为线段BD 上一动点，将线段 AD 绕点 A 按顺时针方向旋转，当点 D 旋转后的对应点 E 落在菱形的边上（顶点除外）时，如果 DFEF，请直接写出此时 OF 的长 参考答案 1（1）证明：BC12cm，OB

12、8cm，AD18cm，OD6cm，OAADOD18612cm，OCBCOB1284cm，2，2，AOBDOC，AOBDOC，AD，ABCD；（2）解：ADBC，AOBCOD90，在 RtAOB 中，AB4，在 RtCOD 中，CD2，答：AB 的长为 4，CD 的长为 2解：12，APDBPC，DAPCBP，AP6 3解：ADBC，ADBDBC，DECECB，DEHBCH，BC4DE，CE10，HC10EH，EH2，BC4DE，DE：AE2：3，ADBC，GAEGBC，GEAGCB，GAEGBC，CE10，GC10+GE，GE6 4（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCD，BC90

13、，BCAD，BAM+AMB90，MEAM，AME90，AMB+FMC90，BAMFMC，ABMMCF；（2）解：AB4，ABBCCD4，BM2，MCBCBM422，由（1）得：ABMMCF，CF1，DFCDCF413，BCAD，EDFMCF，EEMC，DEFCMF，DE6，DEF 的面积DEDF639，答：DEF 的面积为 9 5解：（1）当 CECF 时，CEF 是等腰三角形，4t122t，t2（2）当时，ECFADC，t3 当时，FCEADC，t，综上所述，当 ts 或 3s 时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与ACD 相似 6证明：（1）AECABC，ADEBDC，ADECDB，又AD

14、CEDB，ACDEBD；（2）ADECDB，DCBEAB，ACDEBD，ACDEBD，ACB90，EAB+EBDDCB+ACD90，AEB90，CD 平分ACB，ACDBCD45，EBDEAB45，EAEB，EAB 是等腰直角三角形，EADACE，AEDCEA，AEDCEA，AE2EDEC，AE2+EB2AB2，2AE2AB2，AE2AB2，AB2EDEC，AB22EDEC 7（1）证明：连接 OA，BC 是O 的直径，BAC90，AN 平分BAC，BANCAN45，OAOB，BBAO，AOC2B，AMCAOC+OAM2B+OAM，PAPM，PAMAMP，PAM2B+OAM，OAPOAM+PA

15、M OAM+2B+OAM 2B+2OAM 2（B+OAM）2（BAO+OAM）2BAN 245 90，OA 是O 的半径，PA 是O 的切线；（2）连接 BN，BC6，CM2，BMBCCM624，CBNCAN，AMCBMN，AMCBMN，AM，AM 的长为 8解：（1）把点 A（1，0）、B（3，0）代入 yax2+bx+3 中可得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）当 x0 时，y3，C（0，3），设直线 BC 的解析式为：ykx+m，把 B（3，0），C（0，3）代入 ykx+m 中可得：，解得：，直线 BC 的解析式为：yx+3，过点 P 作 PQx 轴交 BC 于点

16、Q，设 P 点坐标为（x，x2+2x+3），则 Q 点坐标为（x，x+3），PQx2+2x+3（x+3）x2+2x+3+x3 x2+3x（x）2+，PQ 的最大值是；（3）SCOF：SCDF3：2，OF：DF3：2，过点 D 作 DGy 轴交 BC 于点 G，OCFCGD，COFODG，COFGDF，OC3，DG2，设点 D 坐标为（m，m2+2m+3），则点 G 坐标为（m，m+3），DGm2+2m+3（m+3）m2+3m，m2+3m2，解得：m11，m22，点 D 的坐标为（1，4）或（2，3）9（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DMNBCN，MDNNBC，DMNBCN

17、；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OBODBD，DMNBCN，M 为 AD 中点，AD2DM，BC2DM，BN2DN，设 OBODx，BD2x，BNOB+ONx+1，DNODONx1，x+12（x1），解得：x3，BD2x6，BD 的长为 6；（3）解：MNDCNB，DM：BCMN：CNDN：BN1：2，DCN 的面积为 2，SMNDSCND1，SBNC2SCND4，SABDSBCDSBCN+SCND4+26，S四边形ABNMSABDSMND615，四边形 ABNM 的面积为 5 10（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 AC 中点，ABBC，OEBC，OEAB，E

18、 是 BC 中点，OE；（2）证明：EFAB，DFODAB，同理，即；（3）解：作 DFOB 交 OC 于点 F，连接 EF，OC 平分AOB，AOCBOC，DFOB，DFOBOCAOC，ODF 是等腰三角形，DODF8，DFOE，DMFEMO，EM，MNOE，DMNDOE，MN 11解：（1）ODAC，ODC90，在 RtODC 中，OD7，DC24，OC25（mm），OC 的长度为 25mm；（2）过点 B 作 BFCD 交 CE 的延长线于点 F，FACF，CO 平分ACB，ACFBCF，FBCF，BFBC，AD26mm，DC24mm，ACAD+CD50mm，BCAC，BFAC50mm，

19、BEFCED，BEFDEC，的值为 12（1）证明：BD 是O 的直径，DCBDEB90，EDEB，EDBEBD45，ECBEDB45，A45，CBA90A45，CBAEBD，CBACBDEBDCBD，DBAEBC，AECB，ABDCBE；（2）解：DCB90，DC6，DB10，BC8，CBAA45，CACB8，ADCACD862，在 RtDEB 中，BEBDsin45105，ABDCBE，CE；（3），设 DCa，CB3a，BDa，在 RtDEB 中，BEBDsin45aa，DCBDEB，FDEFB，CDFEBF，13解：（1）l1l2，故答案为：；（2）如图 2，过点 A 作 BC 的平行

20、线交 CD 的延长线于点 E，作 CHAE，垂足为 H，交AB 于点 F，BCAE，ACCE，BCAE，CDBEDA，即，解得：AE8，ACCE，CHAE，AHHE4，AHCB，AHBC，AFBFAB5，FHFC，在 RtAHF 中，HF3，HC6，在 RtACH 中，AC2 14解：（1）过点 D 作 DFx 轴，垂足为 F，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 C 的坐标为（12、8），DF8，平行四边形 ACBD 的面积为 64，DFDC64，DC8，OF4，D（4，8），把 D（4，8）代入 y中可得：8，k32，反比例函数的解析式为：；（2）过点 E 作 NMDF，分别

21、交 DC、AB 于 N、M，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，MNDF8，ABCD，CEBM，NECMEB，NECMEB，ME3x，NE5x，ME+NE3x+5x8，x1，ME3，把 y3 代入中得：3，E（，3）15解：过点 D 作 DMAB 于 M，交 EH 于点 N，AEBG，ABBG，AEAB，DMAB，AEMDBG，AM 等于ADE 的边 AE 上的高，ABBG，EHBG，CDBG，ABEHCD，AEBH3 米BMCD1.8 米，AEBG，ADEGDF，即，AM3.6（米），ABAM+BM5.4（米），答：路灯主杆 AB 的高度为 5.4 米 16（1）证明：四边形 ABCD

22、 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，EAFDAB90，在EAF 和DAB 中，AEFADB（SAS），AEFADB，GEB+GBEADB+ABD90，EGB90，BDEC；（2）解：四边形 ABCD 是矩形，AECD，AEFDCF，EAFCDF，AEFDCF，即 AEDFAFDC，设 AEADa（a0），则有 a（a1）1，化简得 a2a10，解得 a或（舍去），AE 17解：（1）证明：如图 1，连接 CE，点 B 关于直线 CD 的对称点为点 E，ECBC，ECFBCF，设ECFBCF，则BCE2，ACE902，ACBC，ACEC，AECEAC180（902）45+，AECAFC+EC

23、FAFC+，AFC45；如图 2，连接 BE，CE，B、E 关于直线 CF 对称，CF 垂直平分 BE，由（1）知：AFC45，BEF45，EBG 与BDC 相似，BEGDBC45，EBG 与BDC 均为钝角，EBGBDC，GBCDBAG，G+BAGABC45，GBCD22.5，过点 D 作 DHAB 交 BC 于点 H，则BDH 是等腰直角三角形，DHBD，BHBD，BHD45，CDHBHDBCD4522.522.5BCD，CHDHBD，CH+BHBC5，BD+BD5，BD55，线段 BD 的长为 55；（2）当点 D 在 AB 上时，如图 3，过点 C 作 CMAE 于点 M，连接 BF，

24、ACECBC5，AMEMAE，AM2+CM2AC225，SACEAECM12，AMCM12，+2，得：（AM+CM）249，2，得：（AMCM）249，CMAM0，AM3，CM4，AE6，由（1）知：AFC45，BECF，BEF45，AFCABC45，A、C、B、F 四点共圆，AFB+ACB180，AFB90，BEF 是等腰直角三角形，EFBF，设 EFBFx，则 AEx+6，在 RtABF 中，AF2+BF2AB2，（x+6）2+x250，解得：x1 或 x7（舍去），BF1，SABEAEBF613；当点 D 在 AB 的延长线上时，如图 4，过点 C 作 CMAE 于点 M，连接 BF，由

25、（1）知：AFC45，CF 垂直平分 BE，BEF45，BFEF，EBFBEF45，BFE90，ACECBC5，AMEMAE，与同理可得：AMEM4，CM3，AE8，设 BFEFy，则 AF8y，在 RtABF 中，AF2+BF2AB2，（8x）2+x250，解得：x1 或 x7（舍去），BF1，SABEAEBF814；综上，SABE的值为 3 或 4 18（1）证明：如图 1 中，AECD，AFCACB90，ACF+CAF90，BCD+ACF90，CAEBCD，BDAC，DBC+ACB180，CBDACE90，ACCB，ACECBD（ASA），ECBD，DBAC，k，AGkBG（2）证明：如

26、图 2 中，连接 DE 交 AB 于 O，连接 OF，作 BMAE 交 AE 的延长线于 M k2，AC2EC，ACBC，BEECBD，BDE 是等腰直角三角形，OBEOBD45，ODOE，OBODOEOF，B，D，F，E 四点共圆，BFEBDE45，BMFM，M90，MBFBFM45，BFBM，CFEM90，CEFBEM，CEBE，CFEBME（AAS），CFBM，BFCF （3）解：如图 3 中，作 GNHI 于 N，作 BMAE 交 AE 的延长线于 M，连接 DE 交 AB于 O CFEBME，EFEM，FMBMCF3，ECBEBD，ACBC3，DEBE ABBH，DEAB，DEBH，

27、BECE，DHDC，BH2DE3，ABAC3，BGAB，GHNGHB，HGHG，HBGHNG90，HGBHGN（AAS），HNHB3，GNGB，设 INx，IGy，则有，解得 x，HIHN+NI3+19解：（1）BDAC，ADBOAC75 BODCOA，BODCOA，又AO，ODAO，ADAO+OD4 BAD30，ADB75，ABD180BADADB75ADB，ABAD4 故答案为：75；4（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所示 ACAD，BEAD，DACBEA90 AODEOB，AODEOB，BO：OD1：3，AO3，EO，AE4 ABCACB75，BAC30，ABAC，

28、AB2BE 在 RtAEB 中，BE2+AE2AB2，即（4）2+BE2（2BE）2，解得：BE4，ABAC8，AD12 在 RtCAD 中，AC2+AD2CD2，即 82+122CD2，解得：CD4 20（1）证明：如图，延长由对称可知，EGDEGD90，DEGBEC，EBCEDF，四边形 ABCD 是正方形，BCEDCF90，BCDC，在BCE 和DCF 中，BCEDCF（ASA）解：如图 1，当点 D与点 F 重合时，由对称可知DBEDBE，四边形 ABCD 是正方形，DBC45，DBEDBE22.5，由得到CDFEBD，CDF22.5，故答案为：22.5（2）解：如图 2，延长 BE

29、交 DF 于点 G，由对称可知，点 G 是 DD的中点，EGDEGD90，CDDF，CDBG，EG 是DCD的中位线，点 E 是 CD 的中点，CEDECD21，BE，由（1）得，EBCFDC，ECBEGD90，ECBEGD，EG，BGBE+EG+，EG 是DCD的中位线，CD2EG2（3）以点 A 为圆心，AD 的长为半径作圆弧，与 CD 和 BC 的交点即为点 E，如图 3，当点 E 在 CD 上时，延长 AF 交 DE 于点 G，由（1）可得，GDFOAF，四边形 ABCD 为菱形，ACBD，AOCO，ODCODA，OAFODA，AC2，OA1，AD，OD，tanOAFtanODA，OF；如图 4，当点 E 在 BC 上时，延长 AF 交 DE 于点 G，则AGD90，DAGEAGDAE，ADABAE，AEBABE，四边形 ABCD 是菱形，ABOABE，ADBC，DAEAEB，ABODAG，在AGD 和BOA 中，AGDBOA（AAS），DGAO1，AGBO，DGAO，FAOFDG，FOAFGD，FOAFGD（ASA），OFFG，设 OFFGx，则 DFx，在 RtDFG 中，DF2GF2+DG2，（x）2x2+12，解得：x，OF，综上所述，OF 的长为或