2022-2023学年九年级数学中考复习《矩形综合解答题》专题突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习矩形综合解答题专题突破训练（附答案）1如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连结 DE，AE 延长 CB 到点 F，连结 AF，使AFCDEC（1）求证：四边形 AFED 是平行四边形；（2）若四边形 AFED 是菱形，CE6，DC8，求 AE 的长 2如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EACBAC，CEAE，交 AD于点 F，连接 DE、OF（1）求证：OFAC；（2）连接 AE，CF，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形 AODE 的形状，并证明你的结论 条件：BAC2ACB；条

2、件：三角形 ABO 是等边三角形（注：如果选择条件条件分别进行解答，按第一个解答计分）3如图，矩形 ABCD 中，AD8，AC10，动点 E 在对角线 AC 上连接 DE，作 EFED交射线 BC 于点 F（1）当 AC 平分DEF 时，求 AE 的长；（2）当EFC 为等腰三角形时，求 AE 的长（3）在运动过程中，DE 与 EF 的比值是否发生变化，如果改变，请说明理由；如果不改变，请直接写出它的比值 4实践与探究 操作一：如图是一张矩形纸片，点 E 在边 AB 上，把BCE 沿直线 CE 翻折，使点 B落在对角线 AC 上的点 F 处，连结 DF，且点 E、F、D 在同一直线上（1）若C

3、EB70，则EDC （2）当 AE2 时，求 BE 的长小明对求 BE 的长进行了解答，下面是部分解答过程：如图，设 BE 的长为 x，则由折叠知，EFEBx，DECBEC 四边形 ABCD 是矩形，ABCD，DCAB2+x DCEBEC，DCEDEC，DEDC2+xDF2 请你补全余下的解答过程 操作二：如图，矩形纸片中，AB3，BC2，点 G 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的一动点，将BGE 沿 EG 所在直线翻折得到FEG，连结 DF，则线段 DF 的最小值是 5 将矩形纸片 ABCO 放在平面直角坐标系中，点 O（0，0），点 A（8，0），点 C（0，6）现绕点 O 顺时针

4、旋转矩形纸片 ABCO，得到新的矩形 ABCO，其中 A，B，C 的对应点分别为 A，B，C当直线 BC 与直线 BC有交点时，设交点为 D（1）在旋转过程中，判断线段 CD 和 CD 的数量关系，并以图为例说明理由；（2）在旋转过程中，当点 A落在线段 BC 上时（如图），直接写出点 A的坐标 ；（3）在旋转过程中，若线段 AO 恰好过线段 BC 中点 E 时（如图），求线段 CD 的长；（4）在旋转过程中，当线段 AO 与线段 BC 的交点 M 恰好是线段 BD 中点时（如图），请直接写出点 M 和点 D 的坐标 6如图 1，在长方形 ABCD 中，AB6，BC10，动点 E 从点 A 出

5、发，沿边 AD，DC 向点C 运动（1）当点 E 在边 AD 上，且 DE4 时，求AEB 的度数（2）当BCE 的面积为 20 时，求 DE 的长（3）如图 2，若 MN，AD 关于直线 BE 对称 连结 BN，BM，当点 E 在边 AD 上时，求BMN 的面积 当直线 MN 恰好经过点 C 时，请直接写出 DE 的长度 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB3，BC6若不改变矩形 ABCD的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动（1）当OAD30时，求点 C 的坐标；（2）若点 M 是 AD 的

6、中点，连接 OM，MC当点 A 在移动的过程中，OAD 等于多少度时，点 O，M，C，D 能组成平行四边形，并说明理由；求出此时点 C 的坐标 8矩形 ABCD 中，（k1），点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，过点 E 作 AE 的垂线EF，与矩形的外角平分线 CF 交于点 F【特例证明】（1）如图（1），当 k2 时，求证：AEEF；【类比探究】（2）如图（2），当 k2 时，求的值（用含 k 的式子表示）；【拓展运用】（3）如图（3），当 k3 时，P 为边 CD 上一点，连接 AP，PF，PAE45，PF，则 BC 的长为 9如图 1，在矩形 ABCD 中，已知 BC12AB5，点

7、 E、F 分别是 AC、BC 的中点，连接 EF将EFC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现：当 0时，；当 180时，；（2）拓展探究：将EFC 绕点 C 按顺时针方向旋转到如图 2 的位置，求此时的值；（3）问题解决：当EFC 旋转至 A、F、E 三点共线时，求线段 BF 的长（写出必要的解题过程）10在四边形 ABCD 中，ABCD90，ABCD10，BCAD6，P 为射线 BC 上一点，将ABP 沿直线 AP 翻折至AEP 的位置，使点 B 落在点 E 处（1）若 P 为 BC 上一点 如图 1，当点 E 落在边 CD 上时，求 CE 的长；如图 2，连接 CE，若

8、 CEAP，则 BP 与 BC 有何数量关系？请说明理由；（2）如果点 P 在 BC 的延长线上，当PEC 为直角三角形时，求 PB 的长 11如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 AD 边上的动点，将矩形 ABCD 沿 BE折叠，点 A 落在点 A处，连接 AC（1）如图 1，求证：DEA2ABE；（2）如图 2，若 AE2，求 SACB（3）点 E 在 AD 边上运动的过程中，ACB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段 AE 的长；若不存在，请说明理由 12在矩形 ABCD 中，AB8，BC16，E、F 是直线 AC 上的两个动点，分别从 A、C 两点同时出发相向

9、而行，速度均为每秒 2 个单位长度，运动时间为 t 秒，其中（0t10）（1）如图 1，M、N 分别是 AB、CD 中点，当四边形 EMFN 是矩形时，求 t 的值（2）若 G、H 分别从点 A、C 沿折线 ABC，CDA 运动，与 E、F 相同的速度同时出发 如图 2，若四边形 EGFH 为菱形，求 t 的值；如图 3，作 AC 的垂直平分线交 AD、BC 于点 P、Q，当四边形 PGQH 的面积是矩形ABCD 面积的，则 t 的值是 如图 4，在异于 G、H 所在矩形边上取 P、Q，使得 PDBQ，顺次连接 P、G、Q、H，请直接写出四边形 PGQH 周长的最小值是 13如图 1，在矩形

10、ABCD 中，AB6cm，BC8cm，动点 P、Q 分别从 C 点、A 点同时以每秒 1cm 的速度出发，且分别在边 CA，AB 上沿 CA，AB 的方向运动，当点 Q 运动到点 B 时，P、Q 两点同时停止运动设点 P 运动的时间为 ts，连接 PQ，作 PEPQ，PE 与边 BC 相交于点 E，连接 QE（1）如图 1，在点 P、Q 运动过程中，四边形 AQEP 能否是平行四边形，若能，求此时t 的值；若不能，请说明理由（2）如图 2，当 t5 时，延长 EP 交边 AD 于点 F，试探究线段 AQ、QE、CE 三者之间的等量关系，并加以证明（3）如图 3，在点 P、Q 运动过程中，延长

11、EP 交边 AD 于点 F，连接 FQ，若 FQ 平分AFP，求的值 14 已知矩形 ABCD，tanADB，点 E 是对角线 BD 上任意一点，过点 E 作 AE 的垂线，交 BC 边所在的直线于点 F，连接 AF 交对角线 BD 所在的直线于点 G（1）如图 1，当 AB3，点 E 在对角线 AC 上，求 BF 的长（2）如图 2，当 CEBD 时，求 AG：FG 的值（3）当 SAGE2SFGE时，求 BG：EG 的值 15 如图 1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E 作DFAE 于点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G（1）

12、判断AFG 的形状并说明理由；（2）求证：BF2OG；（3）如图 2：连结 EF，当BEF 的面积为矩形 ABCD 面积的时，求的值 16（1）如图 1，已知正方形纸片 ABCD，将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在正方形 ABCD 的内部，点 B 的对应点为点 M，折痕为 AE，再将纸片沿过点 A 的直线折叠，使 AD 与 AM 重合，折痕为 AF，则EAF 度；（2）如图 2，将正方形纸片沿 EF 继续折叠，点 C 的对应点为点 N当点 N 恰好落在折痕 AE 上，则AEF 度；若 AB，求线段 AP 的长；（3）如图 3，在矩形 ABCD 中，ADnAB，点 E、F 分别在

13、边 BC、CD 上，将矩形 ABCD沿 AE、AF 折叠，点 B 落在 M 处，点 D 落在 G 处，点 A、M、G 恰好在同一直线上，若BE1，ABa，则 （用含 a、n 的代数式表示结果）17【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，AD2AB，E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB，连接 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为一边在 DE的左下方作正方形 DEFG，连接 AM试判断线段 AM 与 DE 的位置关系 【探究展示】小明发现，AM 垂直平分 DE，并展示了如下的证明方法：证明：BEAB，AE2AB AD2AB，ADAE 四边形 ABCD

14、是矩形，ADBC .（平行线分线段成比例）BEAB，1 EMDM 即 AM 是ADE 的 DE 边上的中线，又ADAE，.（等腰三角形的“三线合一”）AM 垂直平分 DE【反思交流】（1）请将上述证明过程补充完整；（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图 2，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的左下方作正方形 CEFG，发现点 G 在线段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；【拓展应用】（3）如图 3，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，分别以点 B，C为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点 M，连接 MF 若 MFAB1，请直接写出 m 的值 18如图，已知

15、矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上一点，将BDE 沿 BE 折叠得到BFE，连接DF（1）初步探究 如图 1，当1，BF 落在直线 BA 上时 求证：EBAFDA；填空：；（2）深入思考 如图 2，当n（n1），BF 与边 AD 相交时，在 BE 上取一点 G，使BAGDAF，AG 与 BF 交于点 H求的值（用含 n 的式子表示），并说明理由；（3）拓展延伸 在（2）的条件下，当 n，E 是 AD 的中点时，若 FDFH12，求 AG 的长 19综合实践数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验 动手操作（1）对折矩形纸片

16、ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN，如图，求ENM 的度数；拓展延伸（2）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A处，并且折痕交 BC 边于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平，连接 AA交 ST 于点 O，连接 AT，ST 求证：四边形 SATA是菱形；解决问题（3）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB10，AD26，点 S 是边 AD 上的一动点，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 A处，并且折痕过点 S，交 AB 边

17、于点 T，把纸片展平请你求出线段 AT 长度的取值范围 20综合与实践 问题情境 在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动如图 1，在矩形ABCD 中，AB8，AD6，在矩形 AEFG 中，AE4，EF3，点 G 在 AB 上（1）探究发现 连接 AC、AF，如图 2，猜想 AC 与 AF 之间的位置关系，并说明理由；（2）将矩形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转到如图 3 的位置，连接 DG、CF，请求出的值；（3）解决问题 将矩形AEFG绕点A旋转，当点G在落在直线CF上时，直接写出线段CF的长 参考答案 1（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADFC，AFCDEC，A

18、FDE，四边形 AFED 是平行四边形；（2）四边形 ABCD 是矩形，ABCC90，ABCD，ADBC，在 RtDCE 中，CE6，DC8，则 DE10，四边形 AFED 是菱形，FEDEADAF10，BCAD10，BEBCCE1064，在 RtABE 中，ABCD8，则 AE 2（1）证明：CEAE，AEC90，四边形 ABCD 是矩形，ABCAEC90，AOCO，EACBAC，AECABC（AAS），ACEACB，FACACB，ACEFAC，FAFC，OAOC，FOAC；（2）选择，四边形 AODE 是菱形，证明：BAC2ACB，ABC90，ACB30，DACACB30，BAO60，BA

19、OCAE60，四边形 ABCD 是矩形 ABCD，OADO，ACBD，DACADO30，EADCAEDAC30，EADADO，AEOD，AEABACDBOD，四边形 AODE 是平行四边形，又OADO，四边形 AODE 是菱形 3解：（1）如图，过点 D 作 DQAC 于 Q，AD8，AC10，CD6，SACDACDQADCD，10DQ48，DQ，AQ，EFED，AC 平分DEF，DEC45，DECEDQ45，EQDQ，AEAQEQ；（2）当点 F 在线段 BC 上时，如图，连接 DF，交 AC 于点 H，EFC90，当EFC 为等腰三角形时，则有 FEFC，在 RtDEF 和 RtDCF 中

20、，RtDEFRtDCF（HL），EFDCFD，DFAC，EHCH，由（1）可得 DH，AH，CHEH，AE；当点 F 在 BC 的延长线上时，如图，延长 DE 交 BC 于 H，ECF90，当EFC 为等腰三角形时，则有 CECF，FEH90，CECF，FCEF，F+EHCHEC+CEF90，EHCHEC，ADBC，ADECHE，AEDCEH，ADEAED，AEAD8；综上可知当EFC 为等腰三角形时，AE 的长为或 8；（3）比值不变，理由如下：如图，过点 E 作 ENBC 于 N，EMCD 于 M，又BCD90，四边形 ENCM 是矩形，EMNC，NEM90DEF，DEMNEF，又ENFE

21、MD90，EDMEFN，ABCENC90，ACBECN，ECNACB，4解：（1）把BCE 沿直线 CE 翻折，CEBDEC70，DEB140，ABCD，EDC+DEB180，EDC40，故答案为：40；（2）如图，设 BE 的长为 x，则由折叠知，EFEBx，DECBEC，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，DCAB2+x，DCEBEC，DCEDEC，DEDC2+x DF2，ABCD，AEFCDF，x1 或 x1（舍去），BE 的长为1；（3）如图，连结 DG，四边形 ABCD 是矩形，AB3，BC2，CDAB3，C90，点 G 是 BC 的中点，BGCGBC1，DG，由翻折得 FGBG1，

22、DF+FGDG，DF+1，DF1，DF 的最小值为1 故答案为：1 5解：（1）结论：CDCD，理由：如图，连接 OD，在矩形 ABCO 中，点 A（8，0），点 C（0，6）；AOBC8，ABOC6，矩形 ABCO 是由矩形纸片 ABCO 旋转得到的，AOBC8，ABOC6，且 AOBC 在 RtOCD 和 RtOCD 中，RtCODRtCOD（HL），CDCD；（2）如图，过点 A作 AHx 轴于点 H，在 RtAOH 中，AHBA6，OAOA8，HO2，A的坐标为，故答案为：；（3）E 为线段 BC 中点，EC4 在 RtEOC 中，CO6，CE4，连接 OD，由（1）知：RtCODRt

23、COD，CDOCDO AOBC，CDOEOD CDOEOD，；（4）设 CMx，则 BM8x，M 恰好是线段 BD 中点，则 CD8xx82x，由（3）知 OMOD，即 x2+62（8x）2，解得 x，则 82x，点 M 的坐标点为，点 D 的坐标为 6解：（1）四边形 ABCD 为长方形，故 ABCD6，BCAD10，当 DE4 时，则 AEADDEBCDE1046AB，ABE 为等腰直角三角形，AEB45；（2）当点 E 在 AD 上时，BCE 的面积为长方形 ABCD 面积的一半，即 30，当BCE 的面积为 20 时，点 E 在 CD 上，则BCE 的面积CBCE10CE20，解得：C

24、E4，DE642；（3）MN，AD 关于直线 BE 对称，故 MNAD10，而 BMAB6，则BMN 的面积MNBM30；当点 E 在 AD 上时，如（图 3），在 RtMBC 中，BC10，BMAB6，则 CM8，则 cosBCMsinECD，则 tanECD，在 RtCDE 中，DECDtanECD68；当点 E 在 CD 上时，如（图 4），由题意得：BMCCNE90，BMAB6，MNAD10，ENDE，在 RtCBM 中，BM6，BC10，则 CM8，则 sinBCM，BCD90，则BCM+ECN90，sinBCMcosECN，则 tanECN，在 RtECN 中，CNMNMC1082

25、，则 ENCNtanECN2DE，综上，DE 的长度为 8 或 7解：（1）过点 C 作 CEy 轴于点 E，如图，OAD30，ODADBC3，ADO60，ADC90，CDE30 CECDAB，DECDcos303，OEOD+DE3+，C（，+3）；（2）OAD 等于 45 度时，点 O，M，C，D 能组成平行四边形，如图，点 M 是 AD 的中点，AOOD，OMAD3，CDAB3，CDOM 时，四边形 OMCD 为平行四边形，ODCM3，sinOAD，OAD45，OAD 等于 45 度时，点 O，M，C，D 能组成平行四边形；延长 CM，交 x 轴于点 F，如图，点 M 是 AD 的中点，M

26、F 是AOD 的中位线，MFOD，CFCM+MF3+OMMA，MFOA，OFOA，OAD45，OAOD3，OF，C（，）8（1）证明：如图，在 BA 上截取 BHBE，连接 EH，k2，ABBC，B90，BHBE，1245，AHE1801135，CF 平分DCG，DCG90，3DCG45，ECF3+4135，AEEF，6+AEB90，5+AEB90，56，ABBC，BHBE，AHEC，AHEECF（ASA），AEEF；（2）解：在 BA 上截取 BHBE，连接 EH B90，BHBE，BHEBEH45，AHE135，CF 平分DCG，DCG90，DCFDCG45 ECF135，AEEF，FEC

27、+AEB90，BAE+AEB90，BAEFEC，AHEECF，E 是 BC 边的中点，ECHBBC，AHABBC（k）BC，k1；（3）解：连接 AE，延长 AP、EF 交于 Q，当 k3 时，设 AB3a，则 BC2a，设 BEECa，则 AEa，PAE45，AEEF，AEQ 是等腰直角三角形，AEEQ，作 QMBC 交 N，AEB+QEM90，AEB+BAE90，BAEQEM，AEEQ，ABEEMQ（AAS），EMAB3a，MCEMEC2a，作 QNCD 交 BC 延长线于 M，四边形 NCMQ 是矩形，QNCMAD2a，APDNPQ，DPNQ，ADPQNP（AAS），APPQ，EFAEE

28、Q，EFFQ，PFAE，a2，a4，BC4，故答案为：4 9解：（1）当 0时，见题干图 1，AB5，BC12，AC13，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，EF 是ABC 的中位线，即 AE，BFAB6CF，EFAB，故答案为：；当 180时，如图 1，ABEF，故答案为：；（2）如图 2，连接 AE，ACBECF，BCFBCA+ACFACF+FCEACE，ACEBCF，；（3）A、F、E 三点共线时，如图 3，4，由（1）知，CF6，EF2.5，由（1）、（2）知，则 BFAE，如图 3，AEC90，则 AF，则 AEAF+EF+2.5，BFAE；如图 4，同理 AEAFEF2.5，则

29、 BF；故 BF 的长度为或 10解：（1）如图：以点 A 为圆心，AB 为半径交 CD 于点 E，AEAB10，AD6，D90，DE8，CEDCDE1082；BC2BP，理由如下：将ABP 沿直线 AP 翻折至AEP 的位置，APBAPE，PEBP，CEAP，CEPAPE，ECPAPB，PECECP，EPCP，BPBC，BC2BP；（2）PEC 是直角三角形，当EPC90时，EPCAEPB90，且 EPBP，四边形 ABPE 是正方形，PBAB10；当ECP90时，则ECPB90，ECAB，DCAB，点 E、D、C 三点共线，由翻折知 AEAB10，根据勾股定理得 DE8，EC18，设 BP

30、x，则 PCx6，在 RtECP 中，由勾股定理得：182+（x6）2x2，解得 x30，PB30；当PEC90时，点 P 在线段 BC 上，不符合题意，舍去，综上：BP10 或 30 11（1）证明：由折叠可知，AEBBEA，ABEEBA，AEAB90，DEA1802AEB，AEB90ABE，DEA1802（90ABE）2ABE；（2）解：过 A作 GHAD 交于 G 点，交 BC 于 H 点，EAB90，EAG+BAH90，GEA+EAG90，GEABAE，EAGABH，AEAE2，ABAB6，BH3AG，在 RtABH 中，369AG2+（6AG）2，解得 AG，AH6，SABC8；（3

31、）解：ACB 的度数存在最大值，理由如下：过点 B 作 BFCA交延长线于点 F，BFC90，BC8，sinBCA，当 BF 最大时，BCA就最大，当 BAAC 时，BF 的值最大，此时 E、A、C 三点共线，设 AEx，则 AEx，ED8x，AB6，EC，866，8，解得 x8+2（舍）或 x82，AE82 12解：（1）矩形 ABCD，ABCD，ABCD，MAENCF，M、N 分别是 AB，DC 中点，AMCN，E、F 分别从 A、C 同时出发相向而行，速度均为每秒 2 个单位长度，AECF2t，AMECNF（SAS），MEFN，AEMCFN，MEFEFN，MEFN，四边形 EMFN 是平

32、行四边形，如图 1，连接 MN，矩形 ABCD，M，N 分别是 AB，DC 中点，四边形 MBCN 是矩形，矩形 ABCD 中，AB8，BC16，MNBC16，AC8，四边形 EMFN 是平行四边形，当 EFMN16 时，四边形 EMFN 是矩形，84t16 或 4t816，解得 t24 或 2+4；（2）由（1）知：AECF，如图 2，连接 GH，CH，四边形 EGFH 为菱形，ACGH，OEOF，OAOC，AHHC，HC2CD2+DH2，AH264+（16AH）2，AHCH10，DH6，CD+DH8+614，t7；如图 3，连接 AQ，由同理得：AQCQ10，BQ6，由知：AP10，APC

33、Q，G、H 分别从点 A、C 沿折线 ABC，CDA 运动，AGCH，又GAPQCH90，APGCQH（SAS），GPQH，同理可证 PHGQ，四边形 GQHP 是平行四边形，四边形 PGQH 的面积是矩形 ABCD 面积的，SPGDHS矩形ABCD，2SPGQS矩形ABCD81660，SPGQ30，SAGP+SGBQ8163034，AG10+6（8AG）34，AG5，t；故答案为：；如图 4，作点 G 关于 BC 的对称点 G，过点 G作 GKDC 于 K，连接 GH，QG，则BGBGCK，QGGQ，AGCH，HKCH+CKAQ+BQ8，GK16，GH8，由知：四边形 PGQH 是平行四边形

34、，四边形 PGQH 的周长2QH+2GQ2QH+2QG2GH，当 G，Q，H 三点共线时，四边形 PGQH 周长有最小值，且最小值是 2GH16 故答案为：16 13解：（1）四边形 AQEP 能是平行四边形，此时 t 的值为，理由：由题意得：AQCPtcm，AC10cm，QBABAQ（6t）cm，若四边形 AQEP 是平行四边形，AQPE PEPQ，PQAB，B90，四边形 QBEP 为矩形，PEBQ（6t）cm PEAB，解得：t 四边形 AQEP 能是平行四边形，此时 t 的值为；（2）当 t5 时，线段 AQ、QE、CE 三者之间的等量关系为：AQ2+EC2QE2，理由：由题意得：AQ

35、CP5cm，AC10cm，APCP5cm ADBC，AFPCEP，在AFP 和CEP 中，AFPCEP（AAS），AFCE，FPEP 连接 QF，如图，FPEP，PEPQ，QP 为线段 EF 的垂直平分线，QFQE 在 RtAQF 中，AQ2+AF2QF2，AQ2+EC2QE2；（3）FQ 平分AFP，AFQPFQ AQFA，QPFP，AQQPt 在AQF 和PQF 中，AQFPQF（AAS），AFFP，FAPFPA ADBC，FAPPCE，FPAEPC，EPCECP，EPEC 过点 E 作 EHPC 于点 H，如图，PHCHt，EHCABC90，ECHACB，EHCABC，EHt，ECt，B

36、EBCEC8t，PEECt AQt，BQABAQ6t 在 RtQPE 中，PQ2+PE2QE2，在 RtQBE 中，BQ2+BE2QE2，BQ2+BE2PQ2+PE2，即：，解得：t，CPt APACCP10 ADBC，AFPCEP，14解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADBC，BADABC90，AEEC，tanADB，AB3，AD4BC，EFAC，AEEC，AFFC，在 RtABF 中，AF2AB2+BF2，（4BF）29+BF2，BF；（2）tanADB，设 AB3aCD，AD4aBC，BD5a，CEBD，AEEF，AEFBEC90，AEBCEF，SBCDBDCEBCCD，CEa，BE

37、a，ABD+DBC90DBC+BCE，ABDBCE，ABEFCE，CFa，BFa，ADBC，ADGFBG，；（3）如图，SAGE2SFGE，AG2GF，ADBC，ADGFBG，AD2BF，DG2BG，设 AB3aCD，AD4aBC，BD5a，BGa，BF2a，AFa，如图，以点 B 为原点，AB 为 y 轴，BC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，取 AF 的中点 H，连接 HB，EH，则点 A（0，3a），点 F（2a，0），点 D（4a，3a），直线 BD 的解析式为 yx，点 H 是 AF 的中点，点 H（a，a），设点 E（x，x），AEFABF90，点 H 是 AF 的中点，AHHEB

38、Ha，（ax）2+（ax）2a2，x0（舍去）或 xa，点 E（a，a），BEa，GEa，15（1）解：AFG 是等腰三角形，理由如下：AE 平分BAC，BAECAE，DFAE，AHFAHG90，AHAH，AHFAHG（ASA），AFAG，即AFG 是等腰三角形；（2）证明：如图 1，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG，AFAG，AFGAGF，AGFOGL，OGLOLG，OGOL，OLAB，DLODFB，四边形 ABCD 是矩形，BD2OD，BF2OL，BF2OG；（3）解：设 OGa，AGx，如图，AFAG，BF2OG，AFAGx，BF2a，ABx+2a，AC2（x+a

39、），AD2AC2CD22（x+a）2（x+2a）23x2+4xa，ABEDAF90，BAEADF，ABEDAF，BE，由题意知，102aAD（x+2a），AD210 xa，即 10 xa3x2+4xa，解得 x2a，AD2a，BEa，AB4a，16解：（1）四边形 ABCD 是正方形，BAD90，由折叠得：BAEEAM，DAFFAM，EAFEAM+FAM9045，故答案为：45；（2）如图 2，由折叠得：AEBAEF，AEFCEF，AEFCEFAEB，AEF+AEB+CEF180，AEF60，故答案为：60；四边形 ABCD 是正方形，BC90，AEB60，BAEEAM30，ABBC，BE1，

40、AE2，ENEC1，ANAEEN2（1）3，RtANP 中，cos30，AP22；（3）解：如图 3，延长 EM 交 AF 于点 P，过点 P 作 HNAD 于 N，将矩形纸片沿 AE、AF 折叠，点 B 落在 M 处，点 D 落在 G 处，ABAMa，PAMPAN，BEEM1，BAME90，在APM 和APN 中，APNAPM（AAS），NPPM，ANAMa，BBAN90，HNAD，四边形 ABHN 是矩形，又ANAB，四边形 ABHN 是正方形，HNBHa，EHa1，EP2EH2+PH2，（1+NP）2（a1）2+（aNP）2，NP，tanDAF，DF，故答案为：17解：（1）根据平行线分

41、线段成比例可得：，根据等腰三角形的“三线合一”可得：AMDE，故答案为：，AMDE；（2）如图，过点 G 作 GHBC 于 H，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，CBEABCGHC90，BCE+BEC90，四边形 CEFG 为正方形，CGCE，GCE90，BCE+BCG90，BECBCG，GHCCBE（AAS），HCBE，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AD2AB，BEAB，BC2BE2HC，HCBH，GH 垂直平分 BC，点 G 在 BC 的垂直平分线上；（3）过点 F 作 FHBC 于点 H，过点 E 作 ENFH 于点 N，BHNENHENF90，四边形 ABC

42、D 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，CBEABC90，四边形 BENH 为矩形，BHEN，BEN90，BEC+CEN90，四边形 CEFG 为正方形，EFEC，CEF90，CEN+NEF90，BECNEF，CBEENF90，ENFEBC（AAS），四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AD2AB，ABBE，BC2BH，BHHC，FH 垂直平分 BC，点 M 在直线 FH 上，当点 M 在 F 左侧时，mBM，当点 M 在 F 右侧时，mBM，综上所述，m 的值为或 18（1）证明：如图 1，1，ADAB，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABCD 是正方形，ABDADB45，DAAB DA

43、B90，由折叠可知FBEDBE，BFBD，BFEBDE45，折叠时 BF 落在直线 BA 上，FAEDAB90，AEF45BFE，AEAF，在EAB 和FAD 中，EABFAD（SAS），EBAFDA；解：由知：AEAF，1，故答案为：1；（2）解：n，理由如下：如图 2，延长 BE 交 DF 于点 T，由折叠可知 BE 垂直平分 DF，DTFT，BTDF，FDA+DET90，四边形 ABCD 是矩形，DAAB，ABE+AEB90，AEBDET，FDAABE，又DAFBAG，n（n1），DAFBAG，n；（3）解：如图 3，延长 BE 交 DF 于点 T，连接 FG，E 是 AD 的中点，DE

44、AE，由折叠可知 EFDE，BFBD，EFDEAE，EDFDFE，EAFEFA，又EDF+DFE+EAF+EFA180，2（DFE+EFA）180，DFE+EFA90，即DFA90，由（2）知DAFBAG，AFDAGB90，n，AGBE，GBFD，AFAGxADAB，BTFD，DTEAGE90，在DTE 和AGE 中，DTEAGE（AAS），DTAG，设 AGx（x0），则 DTx，由折叠得：BE 垂直平分 FD，FTDTx，FD2DT2x，GBFD2xx，AFGBx，在 RtAGB 中，ABx，ADAB，ADxx，四边形 ABCD 是矩形，BAD90，BFBD3x，BAGDAF，BAG+DA

45、GDAF+DAG，即BADGAF90，又AGB90，AGBGAF90，AFGB，又AFGBx，四边形 ABGF 是平行四边形，FHBHBF3xx，又FDFH12，2xx12，即 x24，x0，x2，即 AG2 19（1）解：由折叠可得：AEBE，EFAB，ABBN，BAMBNM90，ANBNAB，ABN 是等边三角形，又ENAB，ENB30，ENM60；（2）证明：折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A处，ST 垂直平分 AA，AOAO，AAST，ADBC，SAOTAO，ASOATO，ASOATO（AAS），SOTO，四边形 SATA是平行四边形，AAST，四边形 SATA

46、是菱形；（3）解：如图，当点 T 与点 B 重合时，AT 的长最大，此时 ATAB10，AT 长的最大值为 10；如图，当点 S 与点 D 重合时，AT 的长最小，设 ATx，则 BT10 x，由折叠得，ATATx，C90，ADAD26，CDAB10，AC24，BCAD26，BABCAC26242，B90，AT2BT2+BA2 x2（10 x）2+22；解得 x5.2，AT 长的最小值为 5.2，AT 长的取值范围是 5.2AT10 20解：（1）ACAF，理由如下：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是矩形，AGEF3，AEGF4，ABCD8，ADBC6，BAGF90，AGFCBA，BACAFG，AFG+GAF90，BAC+GAF90CAF，ACAF；（2）如图，连接 AF，AB8，BCAD6，AC10，AE4，EF3，AF5，DABFAG90，DAGFAC，DAGCAF，；（3）如图 4，当点 G 在线段 CF 上时，AGC90，GC，CFCG+GF4+，如图 5，当点 F 在线段 CG 上时，AGC90，GC，CFCGGF4，综上所述：CF 的长为4，故答案为：4